第十一章電磁感應素養提升課十四電磁感應中的電路和圖像問題提升點一電磁感應中的電路問題提升點二電磁感應中的圖像問題內容索引課時測評提升點一電磁感應中的電路問題1．電磁感應規律與閉合電路知識的對應關系圖2．分析電磁感應中電路問題的一般思路考向1感生電動勢的電路問題如圖所示，單匝正方形線圈A邊長為0.2m，線圈平面與勻強磁場垂直，且一半處在磁場中，磁感應強度隨時間變化的規律為B＝(0.8－0.2t)T。開始時開關S未閉合，R1＝4Ω，R2＝6Ω，C＝20μF，線圈及導線電阻不計。閉合開關S，待電路中的電流穩定后。求：

例1(1)回路中感應電動勢的大小；答案：4×10－3V由法拉第電磁感應定律有E＝n可知，電動勢大小為E＝S，S＝

L2，代入數據解得E＝4×10－3V。(2)電容器所帶的電荷量。答案：4.8×10－8C由閉合電路的歐姆定律得I＝

，由部分電路的歐姆定律得U＝IR2，電容器所帶電荷量為Q＝CU＝4.8×10－8C。對點練．如圖所示，線圈匝數為n，橫截面積為S，線圈電阻為R，處于一個均勻增強的磁場中，磁感應強度隨時間的變化率為k，磁場方向水平向右且與線圈平面垂直，電容器的電容為C，兩個電阻的阻值均為2R。下列說法正確的是A．電容器上極板帶負電B．通過線圈的電流強度為C．電容器所帶的電荷量為D．電容器所帶的電荷量為√由楞次定律知，電容器上極板帶正電，A錯誤；因E＝nkS，則I＝

，B錯誤；又UC＝I×2R＝

，則Q＝CUC＝

，C錯誤，D正確。考向2動生電動勢的電路問題(多選)如圖所示，光滑的金屬框CDEF水平放置，寬為L，在E、F間連接一阻值為R的定值電阻，在C、D間連接一滑動變阻器R1(0≤R1≤2R)。框內存在著豎直向下的勻強磁場。一長為L、電阻為R的導體棒AB在外力作用下以速度v勻速向右運動。金屬框電阻不計，導體棒與金屬框接觸良好且始終垂直，下列說法正確的是A．ABFE回路的電流方向為逆時針，ABCD回路的電流方向為順時針B．左右兩個閉合區域的磁通量都在變化且變化率相同，故電路中的感應電動勢大小為2BLvC．當滑動變阻器接入電路中的阻值R1＝R時，導體棒兩端的電壓為

BLvD．當滑動變阻器接入電路中的阻值R1＝

時，滑動變阻器的電功率為例2√√根據楞次定律可知，ABFE回路的電流方向為逆時針，ABCD回路的電流方向為順時針，故A正確；根據法拉第電磁感應定律可知，感應電動勢E＝BLv，故B錯誤；當R1＝R時，外電路總電阻R外＝

，因此導體棒兩端的電壓即路端電壓應等于BLv，故C錯誤；該電路電動勢E＝BLv，電源內阻為R，當滑動變阻器接入電路中的阻值R1＝

時，干路電流為I＝

，滑動變阻器所在支路電流為I，容易求得滑動變阻器電功率為

，故D正確。對點練．(多選)圖所示，由某種粗細均勻的、總電阻為3R的金屬條制成的矩形線框abcd，固定在水平面內且處于方向豎直向下的磁感應強度為B的勻強磁場中。一接入電路的電阻為R的導體棒PQ，在水平拉力作用下沿ab、dc以速度v勻速滑動，滑動過程中PQ始終與ab垂直，且與線框接觸良好，不計摩擦。在PQ從靠近ad處向bc滑動的過程中A．PQ中電流先增大后減小B．PQ兩端電壓先增大后減小C．PQ上拉力的功率先減小后增大D．線框消耗的電功率先減小后增大√√設PQ左側電路的電阻為Rx，則右側電路的電阻為3R－Rx，所以外電路的總電阻為R外＝

，外電路電阻先增大后減小，再根據閉合電路的歐姆定律可得PQ中的電流I＝

，先減小后增大，路端電壓U＝E－Ir，先增大后減小，故A錯誤，B正確；由于導體棒做勻速運動，拉力等于安培力，即F＝BIl，拉力的功率P＝BIlv，先減小后增大，故C正確；當Rx＝R時R外最大，最大值為R，小于導體棒的電阻R，又外電阻先增大后減小，由電源的輸出功率與外電阻的關系可知，線框消耗的電功率先增大后減小，故D錯誤。考向3感應電荷量的計算如圖所示，導體軌道OPQS固定，其中PQS是半圓弧，Q為半圓弧的中點，O為圓心。軌道的電阻忽略不計。OM是有一定電阻、可繞O轉動的金屬桿，M端位于PQS上，OM與軌道接觸良好。空間存在與半圓所在平面垂直的勻強磁場，磁感應強度的大小為B。現使OM從OQ位置以恒定的角速度逆時針轉到OS位置并固定(過程Ⅰ)；再使磁感應強度的大小以一定的變化率從B增加到B′(過程Ⅱ)。在過程Ⅰ、Ⅱ中，流過OM的電荷量相等，則

等于A． B．

C． D．2例3√在過程Ⅰ中，根據法拉第電磁感應定律，有E1＝

，根據閉合電路的歐姆定律，有I1＝

，且q1＝I1Δt1；在過程Ⅱ中，有E2

，q2＝I2Δt2，又q1＝q2，即＝

，所以

。故選B。返回提升點二電磁感應中的圖像問題分析電磁感應中圖像問題的思路與方法圖像類型(1)各量隨時間變化的圖像：如B-t圖像、Φ-t圖像、E-t圖像、I-t圖像、F-t圖像等。(2)各量隨位移變化的圖像：如E-x圖像、I-x圖像等。問題類型(1)根據給定的電磁感應過程選擇有關圖像。(2)根據給定的圖像分析電磁感應過程。(3)根據某種圖像分析判斷其它圖像。常用規律有關方向的判斷左手定則、安培定則、右手定則、楞次定律常用規律六類公式(1)平均感應電動勢E＝

(2)平動切割電動勢E＝Blv。(3)轉動切割電動勢E＝

Bl2ω(以一端為軸)。(4)閉合電路的歐姆定律I＝

。(5)安培力F＝IlB。(6)牛頓運動定律及運動學的相關公式等。常用方法排除法定性地分析電磁感應過程中物理量的變化趨勢(增大還是減小)、變化快慢(均勻變化還是非均勻變化)，特別是分析物理量的正負，以排除錯誤的選項。函數法根據題目所給條件定量地寫出兩個物理量之間的函數關系，然后由函數關系對圖像進行分析和判斷。考向1感生圖像問題(多選)(2023·江西宜春質檢)如圖甲所示，正方形線圈abcd內有垂直于線圈的勻強磁場，已知線圈匝數n＝10，邊長ab＝1m，線圈總電阻r＝1Ω，線圈內磁感應強度隨時間的變化情況如圖乙所示。設圖甲所示的磁場方向與感應電流方向為正方向，則下列有關線圈的電動勢e、感應電流i、ab邊的安培力F(取向下為正方向)以及焦耳熱Q隨時間t的變化圖像正確的是例4√√0～1s內產生的感應電動勢為e1＝

＝2V，方向為逆時針，同理1～5s內產生的感應電動勢為e2＝1V，方向為順時針，A錯誤；0～1s內的感應電流大小為i1＝

＝2A，方向為逆時針(負值)，同理1～5s內的感應電流大小為i2＝1A，方向為順時針(正值)，B錯誤；ab邊受到的安培力大小為F＝nBiL，可知0～1s內0≤F≤4N，方向向下，1～3s內0≤F≤2N，方向向上，3～5s內0≤F≤2N，方向向下，C正確；線圈產生的焦耳熱為Q＝eit，0～1s內產生的熱量為4J，1～5s內產生的熱量為4J，D正確。考向2動生圖像問題(多選)(2022·河北高考)

如圖，兩光滑導軌水平放置在豎直向下的勻強磁場中，一根導軌位于x軸上，另一根由ab、bc、cd三段直導軌組成，其中bc段與x軸平行，導軌左端接入一電阻R。導軌上一金屬棒MN沿x軸正向以速度v0保持勻速運動，t＝0時刻通過坐標原點O，金屬棒始終與x軸垂直。設運動過程中通過電阻的電流強度為i，金屬棒受到安培力的大小為F，金屬棒克服安培力做功的功率為P，電阻兩端的電壓為U，導軌與金屬棒接觸良好，忽略導軌與金屬棒的電阻。下列圖像可能正確的是例5√√方法一

當導體棒從O點向右運動L時，即在0～

時間內，在某時刻導體棒切割磁感線的長度L＝l0＋v0ttanθ(θ為ab與ad的夾角)，則根據E＝BLv0，i＝

(l0＋v0ttanθ)，可知回路電流均勻增加；安培力F＝

(l0＋v0ttanθ)2，則F-t關系為拋物線，但是不過原點；安培力做功的功率P＝Fv0＝

(l0＋v0ttanθ)2，則P-t關系圖線為拋物線，但是不過原點；電阻兩端的電壓等于導體棒產生的感應電動勢，即U＝E＝BLv0＝Bv0(l0＋v0ttanθ)，即圖像是不過原點的直線，B、D錯誤。當在

時間內，導體棒切割磁感線的長度不變，感應電動勢E不變，感應電流i不變，安培力F的大小不變，安培力的功率P不變，電阻兩端電壓U保持不變；同理可判斷，在

時間內，導體棒切割磁感線長度逐漸減小，導體棒切割磁感線的感應電動勢E均勻減小，感應電流i均勻減小；安培力F的大小按照二次函數關系減小，但是不能減小到零，與0～

時間內是對稱的關系；安培力的功率P按照二次函數關系減小，但是不能減小到零，與0～

時間內是對稱的關系；電阻兩端電壓U按線性均勻減小，故A、C正確，B、D錯誤。故選AC。方法二

導軌上一金屬棒MN沿x軸正向以速度v0保持勻速運動，在0～

時間內，金屬棒有效切割長度均勻增大，回路中產生的感應電動勢均勻增大，根據閉合電路的歐姆定律可知，通過電阻的電流強度i均勻增大；在

時間內，金屬棒有效切割長度不變，回路中產生的感應電動勢不變，根據閉合電路的歐姆定律可知，通過電阻的電流強度i不變；在

時間內，金屬棒有效切割長度均勻減小，回路中產生的感應電動勢均勻減小，根據閉合電路的歐姆定律可知，通過電阻的電流強度i均勻減小，故A可能正確；金屬棒受到安培力的大小F＝iLB，金屬棒開始運動時，金屬棒所受安培力一定大于0，故B錯誤；金屬棒克服安培力做功的功率為P＝Fv0，故C可能正確；根據歐姆定律，電阻兩端的電壓為U＝IR，圖像形狀與圖像A類似，故D錯誤。規律總結解答電磁感應中的圖像問題的基本步驟1．明確圖像的種類，即是B-t圖像還是Φ-t圖像，或者是E-t圖像、I-t圖像等。2．分析電磁感應的具體過程。3．用右手定則或楞次定律確定方向的對應關系。4．結合安培力公式、法拉第電磁感應定律、閉合電路的歐姆定律、牛頓運動定律等知識寫出相應的函數關系式。5．根據函數關系式，進行數學分析，如分析斜率的變化、截距等。6．畫出圖像或判斷選擇圖像。

考向3圖像轉換問題(多選)如圖甲所示，三角形線圈abc水平放置，在線圈所處區域存在一變化的磁場，其變化規律如圖乙所示。線圈在外力作用下處于靜止狀態，規定垂直于線圈平面向下的磁場方向為正方向，垂直ab邊斜向下的受力方向為正方向，線圈中感應電流沿abca方向為正，則線圈內電流及ab邊所受安培力隨時間的變化規律是例6√√根據法拉第電磁感應定律有E＝

S，根據楞次定律可得感應電流的方向，又線圈中感應電流沿abca方向為正，結合題圖乙可得，1～2s電流為零，0～1s、2～3s、3～5s電流大小恒定，且0～1s、2～3s電流方向為正，3～5s電流方向為負，故A正確，B錯誤；根據安培力的公式F＝ILB，因為每段時間電流大小恒定，磁場均勻變化，可得安培力也是均勻變化，根據左手定則可判斷出ab邊所受安培力的方向，故C錯誤，D正確。返回課時測評1．如圖是兩個相互連接的金屬圓環，小金屬環的電阻是大金屬環電阻的二分之一，勻強磁場垂直穿過大金屬環所在區域，當磁感應強度隨時間均勻變化時，在大環內產生的感應電動勢為E，則a、b兩點間的電勢差為A．

B．

C．

D．E√a、b間的電勢差等于路端電壓，而小環電阻占電路總電阻的

，故a、b間電勢差為U＝E，選項B正確。2．(多選)(2023·廣東華南師大附中模擬)如圖所示，在磁感應強度大小為B、方向豎直向下的勻強磁場中，有兩根光滑的平行導軌，間距為L，導軌兩端分別接有電阻R1和R2，導體棒以某一初速度從ab位置向右運動距離x到達cd位置時，速度為v，產生的電動勢為E，此過程中通過電阻R1、R2的電荷量分別為q1、q2。導體棒有電阻，導軌電阻不計。下列關系式中正確的是A．E＝BLv B．E＝2BLvC．

D．

√√導體棒做切割磁感線的運動，速度為v時產生的感應電動勢E＝BLv，故A正確，B錯誤；設導體棒的電阻為r，根據法拉第電磁感應定律得

，根據閉合電路歐姆定律得

，通過導體棒的電荷量為q＝

，導體棒相當于電源，電阻R1和R2并聯，則通過電阻R1和R2的電流之比

，通過電阻R1、R2的電荷量之比

，結合q＝q1＋q2，解得q1＝

，故C錯誤，D正確。3．(2024·河北石家莊模擬)如圖所示，固定在水平面上且半徑為r的金屬圓環內存在方向豎直向上、磁感應強度大小為B的勻強磁場。長為l的金屬棒，一端與圓環接觸良好，另一端固定在豎直導電轉軸OO′上，金屬棒隨軸以角速度ω勻速轉動。在圓環的A點和電刷間接有阻值為R的電阻和電容為C、板間距為d的平行板電容器，有一帶電微粒在電容器極板間處于靜止狀態。已知重力加速度為g，不計其他電阻和摩擦，下列說法正確的是A．金屬棒產生的電動勢為

B．微粒的電荷量與質量之比為C．電阻消耗的電功率為D．電容器所帶的電荷量為CBr2ω√金屬棒產生的電動勢E＝Br2ω，故A錯誤；金屬棒電阻不計，故電容器兩極板間的電壓等于金屬棒產生的電動勢，微粒所受的重力與其受到的電場力大小相等，有q＝mg，可得

，故B正確；電阻消耗的電功率P＝

，故C錯誤；電容器所帶的電荷量Q＝CE＝CBr2ω，故D錯誤。4．(多選)如圖所示，水平面上固定一個頂角為60°的光滑金屬導軌MON，導軌處于磁感應強度大小為B、方向豎直向下的勻強磁場中。質量為m的導體棒CD與∠MON的角平分線垂直，導軌與導體棒單位長度的電阻均為r。t＝0時刻，導體棒CD在水平外力F的作用下從O點以恒定速度v0沿∠MON的角平分線向右滑動，在滑動過程中始終保持與導軌良好接觸。若導體棒與導軌均足夠長，則A．流過導體棒的電流I始終為B．F隨時間t的變化關系為F＝

C．t0時刻導體棒的發熱功率為

D．撤去F后，導體棒上能產生的焦耳熱為

√√√導體棒切割磁感線的有效長度L＝2v0ttan30°，感應電動勢E＝BLv0，回路的總電阻R＝r，聯立可得通過導體棒的電流I＝

，故A正確；導體棒受力平衡，則外力F與安培力平衡，即F＝ILB，得F＝t，故B正確；t0時刻導體棒的電阻為Rx＝2v0t0tan30°·r，則導體棒的發熱功率P棒＝I2Rx＝t0，故C正確；從撤去F到導體棒停下的過程，根據能量守恒定律有Q棒＋Q軌＝

－0，可得導體棒上能產生的焦耳熱Q棒＝

，故D錯誤。5．(2023·河北張家口一模)如圖甲所示，正五邊形硬導線框abcde固定在磁場中，磁場方向與線框平面垂直，圖乙表示該磁場的磁感應強度B隨時間t變化的關系，t＝0時刻磁場方向垂直紙面向里。設垂直cd邊向下為安培力的正方向，在0～5t0時間內，線框cd邊受到該磁場對它的安培力F隨時間t變化的關系圖為√在0～2t0時間內，磁感應強度的變化率不變，則感應電流不變，方向為順時針方向，則在0～t0時間內，線框cd邊受到的安培力向下且均勻減小，在t0～2t0時間內，線框cd邊受到的安培力向上且均勻增大；在2t0～3t0時間內，磁感應強度不變，無感應電流，則無安培力；在3t0～5t0時間內，磁感應強度的變化率不變，則感應電流不變，方向為逆時針方向，則在3t0～4t0時間內，線框cd邊受到的安培力向下且均勻減小，在4t0～5t0時間內，線框cd邊受到的安培力向上且均勻增大。故選B。6．如圖所示，將一均勻導線圍成一圓心角為90°的扇形導線框OMN，圓弧MN的圓心為O點，將O點置于直角坐標系的原點，其中第二和第四象限存在垂直紙面向里的勻強磁場，其磁感應強度大小為B，第三象限存在垂直紙面向外的勻強磁場，磁感應強度大小為2B。t＝0時刻，讓導線框從圖示位置開始以O點為圓心沿逆時針方向做勻速圓周運動，規定電流方向ONMO為正，在下面四幅圖中能夠正確表示電流i與時間t關系的是√在0～t0時間內，線框沿逆時針方向從題圖所示位置開始(t＝0)轉過90°的過程中，產生的感應電動勢為E1＝

BR2ω，由閉合電路的歐姆定律得，回路中的電流為I1＝

，根據楞次定律判斷可知，線框中感應電流方向為逆時針方向(沿ONMO方向)。在t0～2t0時間內，線框進入第三象限的過程中，回路中的電流方向為順時針方向(沿OMNO方向)，回路中產生的感應電動勢為E2＝BR2ω＝3E1，感應電流為I2＝3I1。在2t0～3t0時間內，線框進入第四象限的過程中，回路中的電流方向為逆時針方向(沿ONMO方向)，回路中產生的感應電動勢為E3＝BR2ω＝3E1，感應電流為I3＝3I1。在3t0～4t0時間內，線框出第四象限的過程中，回路中的電流方向為順時針方向(沿OMNO方向)，回路中產生的感應電動勢為E4＝BR2ω，回路電流為I4＝I1，故C正確，A、B、D錯誤。7．(2023·湖北黃岡一模)如圖所示，兩個相鄰的有界勻強磁場區域，磁感應強度的大小分別為B、2B，磁場方向分別為垂直紙面向外、向里，兩磁場邊界均與x軸垂直且寬度均為L，在y軸方向足夠長。現有一邊長為

L的正方形導線框，從圖示位置開始，在外力F的作用下沿x軸正方向勻速穿過磁場區域，在運動過程中，對角線ab始終與x軸平行。線框中感應電動勢的大小為E、線框所受安培力的大小為F安。下列關于E、F安隨線框向右勻速運動距離x的圖像正確的是√線框右半部分進入左邊磁場過程，在0～

過程中，有效切割長度在隨位移均勻增大，線圈在

位置有效切割長度達到最大L，電動勢達到最大值為E0，在

～L過程中，左半部分也進入左邊磁場，有效切割長度隨位移均勻減小，到L位置時有效切割長度減小到零，電動勢減小到零；在L～

過程中，線框右半部分進入右邊磁場，左半部分在左邊磁場，兩部分切割磁感線的有效切割長度都在增大，當到達

位置時，有效切割長度都達到最大值L，由楞次定律知兩磁場中兩部分感應電流(電動勢)對線圈來說方向相同，都為逆時針方向，故總電動勢為3E0，L～3L過程的E-x圖像同理可得，故A錯誤，B正確；設線圈有效切割長度為l，本題中也是各階段計算安培力的等效長度，線圈受到的安培力大小F安＝IlB＝

，由于等效長度l在隨位移變化，成線性關系，所以安培力與位移不成線性關系，故C、D錯誤。故選B。8．(2023·河南開封一模)如圖甲所示，矩形線圈abcd固定于方向相反的兩個磁場中，所在平面垂直于磁感線，兩磁場的分界線恰好把線圈分成對稱的左右兩部分，兩磁場的磁感應強度隨時間的變化規律如圖乙所示。若規定垂直于紙面向內的磁場方向為正方向，線圈中感應電流方向沿逆時針方向為正方向，則線圈感應電流隨時間的變化圖像為√0～1s時，左側磁場減弱，右側磁場增強，由楞次定律可知線圈中有順時針方向的感應電流；1～2s時，左側磁場增強，由楞次定律可知線圈中有逆時針方向的感應電流，右側磁場增強，由楞次定律可知線圈中有順時針方向的感應電流，故二者相互抵消；2～3s時，左側磁場減弱，由楞次定律可知線圈中有順時針方向的感應電流，右側磁場減弱，由楞次定律可知線圈中有逆時針方向的感應電流，故二者相互抵消；3～4s時，左側磁場增強，右側磁場減弱，由楞次定律可知線圈中有逆時針方向的感應電流，因磁場是均勻變化的，由法拉第電磁感應定律和歐姆定律可知，感應電流的大小不變，故A、C、D錯誤，B正確。故選B。9．(多選)(2023·安徽亳州一模)在水平光滑絕緣桌面上有一邊長為L的正方形金屬線框abcd，被限制在沿cd方向的水平長直軌道上自由滑動。da邊右側有一等腰直角三角形勻強磁場區域efg，直角邊等于L，ef邊與cd邊在同一直線上，磁場方向豎直向下，其俯視圖如圖所示。線框在水平拉力F作用下向右勻速穿過磁場區域，若圖示位置為t＝0時刻，設逆時針方向為電流的正方向，水平向右的拉力為正，磁場穿過線框向里時磁通量為正。則穿過線框的磁通量Φ、感應電流i、bc間的電勢差Ubc、外力F隨位移x變化的圖像正確的是√√在x≤L的過程中，磁通量Φ＝

B

(2L－x)x，在L＜x≤2L的過程中，磁通量Φ＝

，故A錯誤；設線框電阻為R，在x≤L的過程中，由右手定則可知，線框中感應電流的方向是逆時針，為正方向，電動勢e1＝B(L－x)v，電流i1＝

(L－x)，bc間的電勢差Ubc＝

(L－x)，在L＜x≤2L的過程中，由右手定則可知，線框中感應電流的方向是順時針，為負方向，電動勢e2＝B(2L－x)v，電流i2＝－

(x－2L)，bc間的電勢差為ba、ad、dc三條邊電阻的電壓，Ubc＝

(2L－x)，故B、C正確；在x≤L的過程中，線框勻速運動，外力大小等于安培力大小為F1＝

，方向向右始終為正，安培力與x的關系圖線為拋物線，故D錯誤。故選BC。10．(多選)(2022·湖南高考)如圖，間距L＝1m的U形金屬導軌，一端接有0.1Ω的定值電阻R，固定在高h＝0.8m的絕緣水平桌面上。質量均為0.1kg的勻質導體棒a和b靜止在導軌上，兩導體棒與導軌接觸良好且始終與導軌垂直，接入電路的阻值均為0.1Ω，與導軌間的動摩擦因數均為0.1(設最大靜摩擦力等于滑動摩擦力)，導體棒a距離導軌最右端1.74m。整個空間存在豎直向下的勻強磁場(圖中未畫出)，磁感應強度大小為0.1T。用F＝0.5N沿導軌水平向右的恒力拉導體棒a，當導體棒a運動到導軌最右端時，導體棒b剛要滑動，撤去F，導體棒a離開導軌后落到水平地面上。重力加速度取10m/s2，不計空氣阻力，不計其他電阻，下列說法正確的是A．導體棒a離開導軌至落地過程中，水平位移為0.6mB．導體棒a離開導軌至落地前，其感應電動勢不變C．導體棒a在導軌上運動的過程中，導體棒b有向右運動的趨勢D．導體棒a在導軌上運動的過程中，通過電阻R的電荷量為0.58