6.3.1二項式定理

一、知識梳理

1.二項式定理：（a+b）"-.

其中叫做（a+b）”的二項展開式，

各項的系數叫做二項式系數。

2.二項展開式的通項：Tk+l=---------。

3.（1+.

二、重要題型

知識點一：二項展開式的應用

1.化簡1+3%+3/+/=（）

A.尤4B.（X+1）3C.（%+1）4D.（X-1）3

2.C；+C：X2+C；X22+…+C：2?+…+禺2"等于（）

A.2"B.2"—1C.3"D.1

3.展開=?

知識點二：二項展開式的通項的應用

4.（多選題）若二項式（x+1）6展開式中的常數項為15,則實數7的值可能為

（）

A.1B.-1C.2D.-2

5.若的展開式中含1的項的系數為21,則實數a的值為（）

A.3B.-3C.2D.-2

6.心2+±一2丫的展開式中常數項是（）

A.-252B.-220C.220D.252

7.(多選題)若(3.KF-26)"的展開式中有且僅有三個有理項，則正整數〃的

取值為（）

A.4B.6C.7D.8

8.已知+盅的二項展開式中，第三項的系數為7.

(1)求證：前三項系數成等差數列;

(2)求出展開式中所有有理項(即x的指數為整數的項).

三、鞏固練習

1.(一+5］的展開式中x的系數是()

A.90B.80C.70D.60

2.己知(x—2)9=4+q(x+1)+a,(x+1)-+…+4(x+1)',則線=()

A.27B.-27C.324D.-324

3.(1+X+X2)(I_4。展開式中/的系數為()

A.120B.135C.140D.100

4.在二項式(a+4的展開式中，常數項是；系數為有理數的項的個數是

5.的展開式的常數項是

x-y

6.(x+1)“-+2月的展開式中x的系數為

X

7.在，+2x+?的展開式中，7一的系數為—

8.已知在二三］的展開式中，第9項為常數項.求:

（1）A的值；

（2）展開式中V的系數；

（3）含x的整數次事的項的個數.

6.3.1二項式定理答案

一、知識梳理

nn22nkk

1.C°a+C'na'-'b'+C^a-b+???+C^a-b+■■■+C：b",〃eN*,

右邊的多項式,C；(Z=0,l,2,...,〃).

2.

3.C>C>+C；x2+…++…+C：x"。

二、重要題型

l.Bl+3x+3x2+x3=Cf-l3+C3-x-l2+C；-x2-l+C3-x3=(x+l)3.

j+C(2x)

Y(2xy9

6

6r6--r

4.AB二項式展開式的通項為，7；+1=C；x-C；X2小

3

令6-丁=0,得「=4,常數項為。6%4=15,m4=l,得，”=土1,故答案為±1.

5.A的展開式的通項為=c;（五

令等=4,得r=3,此時+的展開式中含/的項的系數為

（￡|c/=7a,令笥^=；,得/?=1任—舍去，

所以（&+（］利-1）的展開式中含段的項的系數為7a,所以7a=21,得a=3.

故選A.

6A由-2）5=。-工尸，可得二項式（x-L尸的展開式通項為

XXX

T=C^x'°-r（--Y=（-1）,C,>l0-2r,令10-2r=0,解得r=5,所以展開式的常

r+tX

數項為（-1）'%=-252.

7.BD（3?匠—2?）"的通項公式是

515〃-2r

Tr+］=C；?（3./廣。（-2x2y=c：?3〃一「?（一2）〃?L

設其有理項為第廠+1,則x的乘方指數為空名，

6

5n_ov,

依題意'—為整數，注意到O?rW〃，對照選擇項知〃=4、6、8,

6

逐一檢驗：〃=4時，「=1、4,不滿足條件；

〃=6時，r=0、3、6,成立；

〃=8時，尸=2、5、8,成立，故選：BD.

8.解:⑴4=第由［土］=*渭

???：戲=7，叱=28;.若］=28,〃=8,（負值舍去）

13

所以前三項分別為7>C；⑷=/，1=4x3

2&

4=C；（?）61壺）=7）.所以前三項系數分別為1,4,7,

V2x4=1+7.?.前三項系數成等差數列.

J=C；（研［士）=畀/

(2)r=0,l,2,...,7,8

，r=0,4,8,展開式中x的指數為整數，所以展開式中所有有理項為:

［Y（"）1dd=/'T4=/X=7X、%=短電"短

三、鞏固練習

1.A”咋廣0=C"*"3,

令10—3r=4,得r=2,則/的系數為C；了=90.

2.B(X-2)9=[(X+1)-3]\則其展開式的通項為：J=C；(x+l)r(-3廣,

當r=8時,4=C；(X+1)8(-3)'=—27(X+1)8,所以6=-27.

3.B(l-x尸的展開式的通項&=，(一切=(-1＞，/，分別令r=4,r=3,r=2,nJ'

442

得(1+x+V)(l-x)'°展開式中x的系數為(-1)C：0+(-l)y+(-l)Cr()=135,故選B.

4.16夜；5二項式(四+x)9的通項為*=CK&)』/.令r=O,得常數項為

C；(&y=16夜.當/=1,3,5,7,9時,系數為有理數，共5項.

、55

21

5.3+2)-1=X-

-2

尤)X

91)的展開式通項為1\5-r

,(T)'WK,2r-IO

X7

所以，(f+2)1T

-^-1的展開式通項為

7

小小或?(-1廣鏟-1°+24(-1)"0-1°=以《1盧--+2。(_1廣針t。

2Z-8=0Z=4

由，210=0'可得'

r=5

因此，(f+2)1/

4-1的展開式的常數項為以?(T『+2C，(T)5=3.

7

6.225%的系數為C!C；+C；C；X2+CC；X22+C：C；X23=225

232

7.60T3=Cl(x+2x)y,而在，+2“中

=C3(x2)3-i(2x/=C3-2k-x6-k,6—k=5,k=l,《=3x2/,則

7；=10X3X2X5/=60X5/,爐產的系數為60

8.解:二項展開式的通項2產爭.

(1