莫興德廣西大學數信學院Email:moxingde@微積分第1頁鏈接目錄第一章函數第二章極限與連續第三章導數與微分第四章中值定理,導數應用第五章不定積分第六章定積分第七章

無窮級數(不要求)第八章多元函數第九章微分方程復習第2頁參考書[1]趙樹嫄.微積分.中國人民出版社[2]同濟大學.高等數學.高等教育出版社第3頁第三章導數與微分引例導數概念導數基本公式與運算法則高階導數微分第4頁導數概念在許多實際問題中，需要從數量上研究變量改變速度。如物體運動速度，電流強度，線密度，比熱，化學反應速度及生物繁殖率等，全部這些在數學上都可歸結為函數改變率問題，即導數。本章將經過對實際問題分析，引出微分學中兩個最主要基本概念——導數與微分，然后再建立求導數與微分運算公式和法則，從而處理相關改變率計算問題。第5頁導數和微分是繼連續性之后，函數研究深入深化。導數反應是因變量相對于自變量改變快慢程度和增減情況，而微分則是指明當自變量有微小改變時，函數大致上改變多少。重點導數與微分定義及幾何解釋導數與微分基本公式四則運算法則復合函數求導鏈式法則高階導數隱函數和參量函數求導難點導數實質，用定義求導，鏈式法則第6頁基本要求①準確敘述導數定義并深刻了解它實質②會用定義求導數③熟記求導基本公式④牢靠掌握鏈式法則⑤掌握隱函數和參量函數求導法⑥了解高階導數，掌握求高階導數方法⑦搞清微分與導數聯絡與區分，了解并會利用一階微分形式不變性第7頁一、問題提出1.自由落體運動瞬時速度問題如圖,取極限得第8頁上述求瞬時速度方法對普通變速直線運動也一樣適用。設物體作變速直線運動，其運動旅程為s=s(t)，則物體在時刻t0

瞬時速度定義為速度反應了旅程對時間改變快慢程度第9頁2.切線問題割線極限位置——切線位置播放第10頁假如割線MN繞點M旋轉而趨向極限位置MT,直線MT就稱為曲線C在點M處切線.極限位置即如圖,第11頁二、導數定義定義第12頁二、導數定義定義第13頁即其它形式第14頁第15頁關于導數說明：★導數概念是概括了各種各樣改變率而得出一個更普通、更抽象概念，它撇開了變量所代表特殊意義，而純粹從數量方面來刻畫改變率本質★★第16頁★★第17頁注意:2.導函數(瞬時改變率)是函數平均改變率迫近函數.播放第18頁★單側導數1.左導數:2.右導數:★第19頁★★第20頁第21頁三、由定義求導數（三步法）步驟:例1解第22頁例2解第23頁例3解更普通地比如,第24頁例4解尤其地第25頁第26頁例5解尤其地第27頁例6解第28頁四、導數幾何意義與物理意義1.幾何意義切線方程為第29頁法線方程為切線方程為法線方程為切線方程為法線方程為第30頁例7解由導數幾何意義,得切線斜率為所求切線方程為法線方程為第31頁2.物理意義非均勻改變量瞬時改變率.變速直線運動:旅程對時間導數為物體瞬時速度.交流電路:電量對時間導數為電流強度.非均勻物體:質量對長度(面積,體積)導數為物體線(面,體)密度.第32頁五、可導與連續關系定理y=f(x)在x0可導,則f(x)在x0連續.證第33頁注意:該定理逆定理不成立.★連續函數不存在導數舉例0比如,第34頁比如,01第35頁比如,011/π－1/π第36頁第37頁例8解第38頁六、小結1.導數實質:增量比極限;3.導數幾何意義:切線斜率;4.函數可導一定連續，但連續不一定可導;5.求導數最基本方法:由定義求導數.6.判斷可導性不連續,一定不可導.連續直接用定義;看左右導數是否存在且相等.第39頁思索題第40頁思索題解答第41頁第42頁第43頁第44頁第