專題5.6導數在探討函數中的應用一．選擇題（共8小題，滿分24分，每小題3分）1．（3分）（2024·全國·高三專題練習）函數fx=x-3A．-∞,2 B．2,+∞ C．【解題思路】求出給定函數的導數，解導數大于0的不等式作答.【解答過程】函數fx的定義域為R，求導得：f'x=x所以fx的單調增區間是2,+故選：B.2．（3分）（2024·山東高三階段練習）已知f(x)=x2-2xA．12 B．43 C．【解題思路】對fx求導得f【解答過程】f(x)=f'x=1-x-2∵x∈12,1，f所以f(x)在12,1上單調遞減，在[1,3]到上單調遞增，又f12故選：B.3．（3分）（2024·吉林·高三階段練習（理））若函數fx=lnx+axA．0,12 B．12,+【解題思路】求出函數的導數f'x=2ax2-2【解答過程】由題意fx=ln令g(x)=2當a=0時，g(x)=-2x當x>12時，f'x<0，當a>0時，g(x此時要使函數fx=lnx+即2a-1<0,此時x=12a>1，g(x則當0<x<x0時，f'x>0，fx遞增，當x0當a<0時，g(x此時要使函數fx=lnx+即2a-1<0,綜合上述，可知a的取值范圍為-∞故選：D.4．（3分）（2024·河南·模擬預料（文））已知a=e-12sin1A．c>b>a B．a【解題思路】構造函數f(x)=exsin-【解答過程】令f(x)=當-π4<x<0時，sinx+π4>0，因為0<12<所以f-即e-12sin1所以c>故選：A.5．（3分）（2024·吉林·模擬預料）設f'x是函數fx的導函數，且f'x>3fA．0,13 B．13,+【解題思路】構造函數gx=fxe3x，由已知可得函數g【解答過程】令gx=f因為f'所以g'所以函數gx在R不等式flnx<又glnx=所以不等式flnx<即lnx<1所以不等式flnx<故選：C.6．（3分）（2024·安徽·高三階段練習）函數f(x)=x2-axA．(2,+∞) B．2,103【解題思路】將題意轉化成a=x+1x在區間1【解答過程】解：由題意得x2-ax+1=0在區間12設gx=令g'x=0所以當x∈12,1，g'x<0，g所以gxmin所以gx所以實數a的取值范圍是2,10故選：B.7．（3分）（2024·遼寧高三階段練習）若關于x的不等式x2+xlna-aA．-∞,1e B．0,【解題思路】由題設有lnaexaex>lnx【解答過程】由x2+x即lnaexaex>所以f'(x)=1-lnxx所以f(x)在0,e上遞增，在在0,1上f(x)<0，(1,+∞)所以，必需且只需aex>x在令g(x)=xex，則故a≥故a的取值范圍為1e故選：D.8．（3分）（2024·全國·高二課時練習）某蓮藕種植塘每年的固定成本是2萬元，每年最大規模的種植量是10萬千克，每種植1萬千克蓮藕，成本增加1萬元銷售額y（單位：萬元）與蓮藕種植量x（單位：萬千克）滿足y=-16x3+A．6萬千克 B．8萬千克 C．7萬千克 D．9萬千克【解題思路】由已知求參數a，再利用導數探討函數的單調性，進而確定銷售利潤最大時每年需種植蓮藕量.【解答過程】設當蓮藕種植量為x萬千克時，銷售利潤為g(x)萬元，則g∵g(3)=∴a=2，即g(x當x∈(0,8)時，g'(x∴g(x)在(0,8)上單調遞增，在(8,10)上單調遞減，故當x故要使銷售利潤最大，每年需種植蓮藕8萬千克．故選：B.二．多選題（共4小題，滿分16分，每小題4分）9．（4分）（2024·北京市高二期中）函數fx=1A．（e，+∞） B．1e,+∞ C．（0，【解題思路】利用導數求得fx【解答過程】fx的定義域為0,1f'所以fx在區間1e,1,1,+所以AD選項符合題意.故選：AD.10．（4分）（2024·云南·高三階段練習）已知函數fx=xA．x=1是fx的微小值點 B．C．fx的微小值為1 D．fx在0,2【解題思路】利用導數分析函數fx【解答過程】因為fx=x當x∈-∞,-43故fx的單調遞增區間為-∞,-4則fx且當x=1時，f且微小值為f1又f0=0，f2=2，所以fx故選：ABD.11．（4分）已知f(x)=2x3-9A．a=2 B．C．f(x)的微小值為【解題思路】依據極大值點可求解a=12，可推斷A,進而可得fx的單調性，可推斷C,依據三個零點得【解答過程】因為f'(x)=6x因為f(當1<x<2時，f'x<0，當x所以f(x)在x微小值為f(2)=4+b，極大值為若f(x)有三個零點，所以4+因為-5<b<-4，所以4<-b故選：BCD.12．（4分）（2024·全國·高三階段練習）已知函數fx=eA．gex在B．?x>1，不等式fax≥C．若fx=t有兩個零點D．若fx1=gx2【解題思路】A選項中，令t=ex>1，利用導數可求得gt單調性，依據復合函數單調性的基本原則可知A正確；B選項中，利用導數可求得fx在0,+∞上單調遞增，由此可將恒成立的不等式化為a≥2lnxx，令hx=2lnxxx>1，利用導數可求得hxmax，由a≥hxmax可知B正確；C選項中，利用導數可求得fx的單調性，由此確定x1【解答過程】對于A，當x>0時，ex>1，令t=e∵g't=1-1t=t-1∵t=e∴依據復合函數單調性可知：gex在對于B，當x>1時，lnx2>ln∵f'x=ex-1，∴當則由fax≥flnx令hx=2∴當x∈1,e時，h'x∴hx在1,e上單調遞增，在e∴a≥2e，則正實數對于C，∵f'x=ex-1，∴當∴fx在-∞,0上單調遞減，在0,+∞不妨設x1<x若x1+x2>0又fx2=令Fx=f∵x<0，∴0<ex<1，∴Fx在-∞,0上單調遞增，∴fx1對于D，由fx1=gx2=由C知：fx在-∞,0f1=e-1<2，∴∴x1=lnx令φt=ln∴當t∈2,e時，φ't∴φt在2,e上單調遞增，在e即lntx2故選：ABD.三．填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）13．（4分）（2024·廣東·高三期中）己知函數fx=x2+5【解題思路】利用導數法求單調區間即可【解答過程】函數fx=x則f'x=2所以函數fx的單調遞增區間是0,+故答案為：0,+∞14．（4分）（2024·江蘇省高三階段練習）已知函數f(x)=axex-【解題思路】先利用同構得到2aex+2lnx-2lnx+x【解答過程】由題意得axe即ax變形為2ax2令2lnx+其中令hx=2lnh'x=2x得到2ln故2a令gt=tet當t>1時，g't<0，當故gt=tet且當t>0時，gt>0，當t畫出gt故2a∈0,解得：a∈故答案為：(0,115．（4分）（2024·湖南·模擬預料）f(x)=aex+lnx【解題思路】由已知函數求導，令f'(x)=0,則可得ax=ex【解答過程】由函數f(x)=aex+lnx+bex1=ax1①，ex2=ax2②，得ex設g(x)=設h(h'(x)=1-3x+2x2=(x-1)(x-2)x2<0，故答案為：4ln16．（4分）（2024·遼寧省高三階段練習）已知函數f(x)=12x+1+x【解題思路】由條件可得f(x)圖像關于點(0,52)對稱且f(x)【解答過程】因為f(所以f(x)又f'所以f(x)f(m?即f(所以m?4x令2x-1=t而tt2+2所以m≥2-12，即實數故答案為：2-1四．解答題（共6小題，滿分44分）17．（6分）（2024·山東·高二階段練習）已知函數fx(1)若m=0，求函數f(2)若函數fx在0,+∞上是減函數，求實數【解題思路】(1)先對函數f((2)已知函數fx在0,+∞上是減函數，可知知f'【解答過程】（1）當m=0時，fff'x所以fx的單調遞減區間是0,1，單調遞增區間是（2）由函數fx在0,+∞上是減函數，知fx由f'x≤0恒成立可知設φx=ln由φ'x>0?函數φx在0,e上遞增，在∴φxmax=φ18．（6分）（2024·上海市高二期末）求函數f((1)求函數f((2)求f(x)【解題思路】（1）求導，計算導數大于0的解為原函數的單調遞增區間，導數小于0為單調遞減區間，遞增遞減的轉折點為極大值點，遞減遞增的轉折點為微小值點；（2）由第一小問的單調性，寫出[-2,2]上的極值點和端點函數值，比較其大小可得最值.【解答過程】（1）f(令f'(x)>0，得x<-1或x所以f(x)在(-∞,-1]和[1,+∞)（2）由（1）得f(x)在[-2,-1]和[1,2]又f(-2)=43所以最大值為83，最小值為419．（8分）（2024·福建省高二階段練習）茶起源于中國，盛行于世界，是承載歷史文化的中國名片．武夷山，素有茶葉種類王國之稱，茶文化歷史久遠，茶產業生氣勃勃．2024年3月22日下午，習近平總書記來到福建武夷山星村鎮燕子窠生態茶園考察．總書記強調，過去茶產業是你們這里脫貧攻堅的支柱產業，今后要成為鄉村振興的支柱產業．3月25日，人民論壇網調研組一行循著習總書記此次來閩考察的蹤跡，走訪了福建武夷山．調研組了解到某茶葉文化推廣企業研發出一種茶文化的衍生產品，特別的暢銷．據了解，該企業年固定成本為50萬元，每生產百件產品需增加投入7萬元．在2024年該企業年內生產的產品為x百件，并能全部銷售完．據統計，每百件產品的銷售收入為G(x)（1）寫出該企業今年利潤F(x)（2）今年產量為多少百件時，該企業在這種茶文化衍生產品中獲利最大？最大利潤多少？【解題思路】（1）由題意得可得F(（2）由（1）得，F(x)=-2x【解答過程】解：（1）依題意得：F=-2（2）由（1）得，F(則F'令F'(x)=0，得當x∈(0,1)時，F'(當x∈(1,+∞)時，F'(所以當x=1時，有答：當年產量為1百件時，該企業在這種茶文化衍生產品中獲利最大且最大利潤為25萬元．20．（8分）（2024·四川·一模（文））設函數u(x)=(1)求u((2)若f(x)=u(x【解題思路】（1）由題知u'(x)=1（2）由題知lnx1=ax1-1lnx2=ax2-1，a【解答過程】（1）解：由已知u'當a≤0時，u'(x)≥0在(0,+當a>0時，由u'(若0<x<1a時，u'若x>1a時，u'(綜上，當a≤0時，u(x當a>0時，u(x)的單調遞增區間為（2）解：由題：f(x)=因為x1,x所以，lnx1-ax1要證2ln只需證明a2x1只需證2x1+3令x1x2=t，而x令函數g(t)=(2t+3)令函數h(t)=-5求導得h'則函數h(t)在0,因此g'(t)<0，函數所以g(t)>所以原不等式得證．21．（8分）（2024·江蘇蘇州·高三階段練習）已知函數fx(1)探討函數fx(2)當a=-1,b<0時，hx=【解題思路】（1）由題意可得f'x=aeax-a=（2）由題意不等式可化為e-x-lne-x?xb-lnxb在x【解答過程】（1）由題意f'x=ae當a>0若x>0，則ax>0,e若x<0，則ax<0，eax當a<0若x>0，則ax<0,e若x<0，則ax>0，eax綜上fx在-∞,0（2）當a=-1時，hx=e-x構造函數Fx=x-lnF'x=1-1x，令F'x=0，得又x∈1,+∞時，e所以只須要e-x≤x兩邊取對數，有-x≤b又x>1時，lnx>0，所以b令GG'x=1-lnx(ln則Gx在1,e單調遞增，在Gx最大值為G所以b的最小值為-e22．（8分）（2024·北京市高三階段練習）已知函數fx=x+aex(1)求函數fx(2)當x∈0,4時，求函數(3)當a<1時，試確定函數g【解題思路】（1）先對函數求導，令導函數大于0得到遞增區間，令導函數小于0得到遞減區間；（2）依據（1）確定的函數單調性，探討-a-1與[0，4]的關系，得到函數f(x)在（3）由g(x)=f(x-a)-x2，得方程x【解答過程】（1）因為f(x)=(令f'(當x變更時，f(x)x(--(-f-0+f↘↗故f(x)的單調減區間為(-（2）由（