2025屆新高考數(shù)學(xué)沖刺精準(zhǔn)復(fù)習(xí)橢圓的方程與性質(zhì)01課前自學(xué)02課堂導(dǎo)學(xué)目錄【課時(shí)目標(biāo)】掌握橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)；了解橢圓

的簡(jiǎn)單應(yīng)用.【考情概述】橢圓是新高考考查的重點(diǎn)內(nèi)容之一，難度相對(duì)較大，在

選擇題、填空題、解答題中都可以考查，小題常考數(shù)形結(jié)合思想，側(cè)重

于幾何性質(zhì)的應(yīng)用，大題常考解析思想，側(cè)重于坐標(biāo)運(yùn)算.

知識(shí)梳理1.橢圓的定義

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)

F

1，

F

2的距離的和等于

（大于｜

F

1

F

2｜）

的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的

?，兩焦點(diǎn)間的距

離叫做橢圓的

?.常數(shù)焦點(diǎn)焦距2.集合

P

＝{

M

｜｜

MF

1｜＋｜

MF

2｜＝2

a

}，｜

F

1

F

2｜＝2

c

，其中

a

，

c

為常數(shù)，且

a

＞0，

c

＞0.（1）

當(dāng)2

a

＞｜

F

1

F

2｜時(shí)，點(diǎn)

M

的軌跡為

?；（2）

當(dāng)2

a

＝｜

F

1

F

2｜時(shí)，點(diǎn)

M

的軌跡為

?；（3）

當(dāng)2

a

＜｜

F

1

F

2｜時(shí)，點(diǎn)

M

的軌跡

?.橢圓線段

F

1

F

2

不存在3.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形

性

質(zhì)范圍－

a

≤

x

≤

a

－

b

≤

y

≤

b

－

b

≤

x

≤

b

－

a

≤

y

≤

a

對(duì)稱性對(duì)稱軸：

；對(duì)稱中心：

?坐標(biāo)軸原點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形

性

質(zhì)頂點(diǎn)

A

1（－

a

，0），

A

2（

a

，0）

B

1（0，－

b

），

B

2（0，

b

）

A

1（0，－

a

），

A

2（0，

a

）

B

1（－

b

，0），

B

2（

b

，0）離心率

e

＝

，

e

∈（0，1）

a

，

b

，

c

的關(guān)系

c

2＝

a

2－

b

2

常用結(jié)論

（1）

點(diǎn)

P

（

x

0，

y

0）在橢圓內(nèi)?

?；（2）

點(diǎn)

P

（

x

0，

y

0）在橢圓上?

?；（3）

點(diǎn)

P

（

x

0，

y

0）在橢圓外?

?.

回歸課本1.判斷：

（3）

（RA選一P112定義改編）橢圓的離心率

e

越接近于1，橢圓就越

圓.

（

?

）（4）

（RA選一P114例7改編）若直線

l

與橢圓只有一個(gè)交點(diǎn)，則直線

l

與橢圓相切.

（

√

）?√?√

C

D

A.若｜

PF

1｜＝｜

PF

2｜，則∠

PF

1

F

2＝30°D.滿足△

F

1

PF

2是直角三角形的點(diǎn)

P

有4個(gè)ABC

6

（6，12）

考點(diǎn)一

橢圓的定義及應(yīng)用例1（1）

在平面內(nèi)，

F

1，

F

2是兩個(gè)定點(diǎn)，

M

是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則“｜

MF

1｜＋｜

MF

2｜為定值”是“點(diǎn)

M

的軌跡是以

F

1，

F

2為焦點(diǎn)的橢

圓”的（

B

）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件B解：由“點(diǎn)

M

的軌跡是以

F

1，

F

2為焦點(diǎn)的橢圓”可推出“｜

MF

1｜

＋｜

MF

2｜為定值”，反之不成立.所以“｜

MF

1｜＋｜

MF

2｜為定

值”是“點(diǎn)

M

的軌跡是以

F

1，

F

2為焦點(diǎn)的橢圓”的必要不充分條件.（2）

一動(dòng)圓與圓

x

2＋

y

2＋6

x

＋5＝0外切，同時(shí)與圓

x

2＋

y

2－6

x

－91

＝0內(nèi)切，則動(dòng)圓圓心的軌跡方程為

?.

總結(jié)提煉

1.橢圓定義的應(yīng)用主要有：求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、求焦點(diǎn)三角形的周

長(zhǎng)、面積及求弦長(zhǎng)、最值和離心率等.2.通常將定義和余弦定理結(jié)合使用求解關(guān)于焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)和面積

問題.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]

總結(jié)提煉

利用待定系數(shù)法要先定形（焦點(diǎn)位置），再定量，即首先確定焦

點(diǎn)所在位置，然后根據(jù)條件建立關(guān)于

a

，

b

的方程組.如果焦點(diǎn)位置不

確定，可設(shè)橢圓方程為

mx

2＋

ny

2＝1（

m

＞0，

n

＞0，

m

≠

n

）的形式.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]3.已知橢圓

C

的左、右焦點(diǎn)分別為

F

1（－1，0），

F

2（1，0），過焦

點(diǎn)

F

2的直線與橢圓

C

交于

A

，

B

兩點(diǎn).若｜

AF

2｜＝2｜

F

2

B

｜，｜

AB

｜

＝｜

BF

1｜，則橢圓

C

的方程為（

B

）B

B考點(diǎn)三

橢圓的幾何性質(zhì)考向1

橢圓的離心率問題

C

D

D[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]

B

考向2

與橢圓有關(guān)的最值或范圍問題例4（1）

我國(guó)自主研發(fā)的“嫦娥四號(hào)”探測(cè)器成功著陸月球，并通

過“鵲橋”中繼衛(wèi)星傳回了月球背面影像圖.假設(shè)“嫦娥四號(hào)”在月球

附近一點(diǎn)

P

變軌進(jìn)入以月球球心

F

為一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓軌道繞月飛行，其

軌道的離心率為

e

，設(shè)月球的半徑為

R

，“嫦娥四號(hào)”到月球表面最近

的距離為

r

，則“嫦娥四號(hào)”到月球表面最遠(yuǎn)的