章末復(fù)習(xí)課

要點(diǎn)回顧形成體系

［網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建］

1-加法公式-IT*全概率公式

條件概率七乘法公式一門一貝葉斯公式

隨

機(jī)~~?分布列一

變

試兩點(diǎn)分布—j均值一

及離散型隨機(jī)變量一一-L方差J"應(yīng)用

K超幾何分布一

分」二項(xiàng)分布一

布

正態(tài)分布一］正態(tài)分布密度曲線

連續(xù)型隨機(jī)變狀

3o原則

［核心歸納］

1.離散型隨機(jī)變量及其分布列

(1)隨機(jī)變量：一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間◎中的每個(gè)樣本點(diǎn)3,都有唯一

的實(shí)數(shù)X(⑼與之對(duì)應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量，通常用字母X,y,Z等表示.

(2)離散型隨機(jī)變量：所有取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量稱為離散型

隨機(jī)變量.

(3)離散型隨機(jī)變量的分布列

一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為汨，及，…，為”我們稱X取每一個(gè)

值雙i=l,2,…，〃)的概率P(X=W=p1為X的概率分布列，簡(jiǎn)稱分布列，也可

以表格的形式表示如下：

?????

XX\X2?Xi

???…

PpiP2PiPn

(4)離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)

①pRO,z=1,2,…，”；

…n

②￡pi=\.

i=\

(5)常見的分布列

兩點(diǎn)分布：對(duì)于只有兩個(gè)可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)，用A表示“成功”，A表示“失

f1,A發(fā)生，

敗"，定義x={-如果P(A)=p,貝I」P(A)=1—p,那么X的分布列如

10,A發(fā)生，

表所示

X01

Pl—pP

我們稱X服從兩點(diǎn)分布或0—1分布.

超幾何分布：假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品，從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽

取〃件(不放回)，用X表示抽取的〃件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為P(X=

,C}第4

k)=~aTk—m,m+1,m+2,…，廠其中n,N,M&N,nWN,

m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.

如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

2.二項(xiàng)分布及其應(yīng)用

p(AR)

(1)條件概率:一般地,設(shè)A和5是兩個(gè)隨機(jī)事件，且P(A)>0,稱P(B|A)=『二、一

為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率.P(8|A)讀作A發(fā)生的條件下

B發(fā)生的概率.

(2)全概率

一般地，設(shè)4,4，…，4是一組兩兩互斥的事件，AiU/hU…U4,=Q,且

n

P(4)>0,z=l,2,…，n,則對(duì)任意的事件BU。，有P(B)=￡尸(A,)P(5|4).

i=1

全概率公式是用來計(jì)算一個(gè)復(fù)雜事件的概率，它需要將復(fù)雜事件分解成若干簡(jiǎn)單

事件的概率運(yùn)算.即運(yùn)用了“化整為零”的思想處理問題.

(3)〃重伯努利試驗(yàn)：只包含兩個(gè)可能結(jié)果的試驗(yàn)叫做伯努利試驗(yàn).將一個(gè)伯努利

試驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)進(jìn)行〃次所組成的隨機(jī)試驗(yàn)稱為〃重伯努利試驗(yàn).

(4)二項(xiàng)分布：一般地，在〃重伯努利試驗(yàn)中，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率

為p(0Vp<l),用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=C加鼠1

—p)fk=0,1,2,〃.如果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨

機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X?8(〃，p).兩點(diǎn)分布是當(dāng)〃=1時(shí)的二項(xiàng)分布，

二項(xiàng)分布可以看成是兩點(diǎn)分布的一般形式.

3.離散型隨機(jī)變量的均值與方差

(1)均值、方差：一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為

??????

XX\X2Xi%?

??????

ppi〃2PiPn

則稱E(X)=X\p\-\-X2pi-\---卜XipiT---\-XnPn為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，它

反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.

nI-------------------

稱D(X)=￡⑶-E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差，ND(X))為隨機(jī)變量X的

i=1

標(biāo)準(zhǔn)差.

(2)均值與方差的性質(zhì)：若y=aX+〃，其中m〃是常數(shù)，X是隨機(jī)變量，則丫也

是隨機(jī)變量，且E(aX+b)=aE(X)+/?,D(aX+b)=a2D(X).

(3)常見分布的均值和方差公式

①兩點(diǎn)分布：若隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，則均值E(X)=p,方差

D(X)=p(l—p).

②二項(xiàng)分布：若隨機(jī)變量X?3(〃，p),則均值E(X)=叩，方差D(X)=np(l—p).

4.正態(tài)分布

、2

1(f廠")

(1)函數(shù)/U)=-ke-1，xGR,其中〃CR,。＞0為參數(shù).

6/2兀2a

顯然對(duì)于任意XGR,兀r)〉0,它的圖象在x軸的上方，可以證明龍軸和曲線之間

的區(qū)域的面積為1.我們稱/U)為正態(tài)密度函數(shù),稱它的圖象為正態(tài)分布密度曲線,

簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線.隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，記作X-NQ,M).

⑵正態(tài)曲線的特點(diǎn)

①曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱;

②曲線在處達(dá)到峰值季者；

③當(dāng)網(wǎng)無限增大時(shí)，曲線無限接近X軸.

(3)正態(tài)分布的期望與方差

若X?NQi,『)，則E(X)=〃，D(X)=(r.

要點(diǎn)聚焦分類突破

要點(diǎn)一條件概率的求法

條件概率是學(xué)習(xí)相互獨(dú)立事件的前提和基礎(chǔ)，計(jì)算條件概率時(shí)，必須搞清欲求的

條件概率是在什么條件下發(fā)生的概率.一般地，計(jì)算條件概率常有兩種方法：

P(AB)

(1)P(B|A)=~-；

n(AR)

(2)P(陰.在古典概型下，〃(A8)指事件A與事件B同時(shí)發(fā)生的樣本點(diǎn)

個(gè)數(shù)；〃(A)是指事件A發(fā)生的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù).

[例1]口袋中有2個(gè)白球和4個(gè)紅球，現(xiàn)從中隨機(jī)地不放回連續(xù)抽取兩次，

每次抽取1個(gè)，則：

⑴第一次取出的是紅球的概率是多少？

(2)第一次和第二次都取出的是紅球的概率是多少？

(3)在第一次取出紅球的條件下，第二次取出的是紅球的概率是多少？

解記事件A：第一次取出的是紅球；事件&第二次取出的是紅球.

(1)從中隨機(jī)地不放回連續(xù)抽取兩次，每次抽取1個(gè)，所有樣本點(diǎn)共6X5個(gè)；第

一次取出的是紅球，第二次是其余5個(gè)球中的任一個(gè)，符合條件的有4X5個(gè)，

所以尸(A)=AX

(2)從中隨機(jī)地不放回連續(xù)抽取兩次，每次抽取1個(gè)，所有樣本點(diǎn)共6X5個(gè)；第

一次和第二次都取出的是紅球，相當(dāng)于取兩個(gè)球，都是紅球，符合條件的有4X3

4義32

個(gè)，所以尸

(3)利用條件概率的計(jì)算公式，可得

PCAB)3

P(B|A)=

P(A)5,

【訓(xùn)練1】擲兩顆均勻的骰子，已知第一顆骰子擲出6點(diǎn)，求“擲出點(diǎn)數(shù)之和

大于或等于10”的概率.

解設(shè)''擲出點(diǎn)數(shù)之和大于或等于10”為事件A；“第一顆擲出6點(diǎn)”為事件8,

3

-P(AB)361

法一P(AIB)=p(fi)=y=2-

36

法二“第一顆骰子擲出6點(diǎn)”的情況有(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,

5),(6,6)共6種.

〃(B)=6.

“擲出點(diǎn)數(shù)之和大于或等于10”且“第一顆擲出6點(diǎn)”的情況有(6,4),(6,5),

(6,6)共3種，即〃(65)=3.

n(AB)31

：.P(A\B)==

n(8)6-21

要點(diǎn)二全概率公式

全概率公式適用于“整體難算，分開易算”的情況，采取“化整為零，各個(gè)擊破”

的解題策略.

【例2】某學(xué)生的手機(jī)掉了，落在宿舍中的概率為60%,在這種情況下找到的

概率為98%；落在教室里的概率為25%,在這種情況下找到的概率為50%；落

在路上的概率為15%,在這種情況下找到的概率為20%.

求：(1)該學(xué)生找到手機(jī)的概率；

⑵在找到的條件下，手機(jī)在宿舍中找到的概率.

解設(shè)“手機(jī)落在宿舍”為事件“手機(jī)落在教室”為事件&,“手機(jī)落在

路上”為事件“找到手機(jī)”為事件A,

則Q=8iU&U&,

(1)P(A)=P(AB)P(S)+P(A\Bi)P(Bi)+P(A|0)P(B3)

=98%X60%+50%X25%+20%X15%

=0.743.

P(BiA)P(A|8i)P(Bi)

(2)P(B,|A)=

P(A)P(A)

60%X98%

=-0.743-=0.791.

【訓(xùn)練2】采購員要購買10個(gè)一包的電器元件.他的采購方法是：從一包中

隨機(jī)抽查3個(gè)，如果這3個(gè)元件都是好的，他才買下這一包.假定含有4個(gè)次品

的包數(shù)占30%,而其余包中各含1個(gè)次品.求：

⑴采購員拒絕購買的概率；

（2）在采購員拒絕購買的條件下，抽中的一包中含有4個(gè)次品的概率.

解Bi=｛取到的是含4個(gè)次品的包｝,

&=（取到的是含1個(gè)次品的包｝,

A=｛采購員拒絕購買｝,

P(Bi)=0.3,P(52)=0.7.

C25eg3

P(A岡)=1一瓦=不P⑷歷)=1一比=而

⑴由全概率公式得到

P(A)=P(Bi)P(A|Bi)+P(&)P(A|&)

35,7323

-106^1010-50-

—X—

P出)P(A|B)10625

⑵P⑹⑷==

P(A)2346,

50

要點(diǎn)三離散型隨機(jī)變量的分布列、均值和方差

求離散型隨機(jī)變量的均值與方差，常見分布以相應(yīng)公式求解，綜合問題注意以下

幾個(gè)步驟:

理解x的實(shí)際意義,并寫出x的全部取用

斗~I求出X取每個(gè)值的概率）

寫出X的分布列（有時(shí)也可省略）］

利用E（X）=xIm+*M+…求出均值,

四〉一利用。（x）=3-E（x））2m+（*2-E（x））2p2+

M…+（-3-E（X））2p,求出方差

角度1兩點(diǎn)分布

x（＞__1_

【例3】設(shè)x服從兩點(diǎn)分布，分布列為EZE,其中pe（o,1）,則（）

A.E(X)=p,D(X)=p3

B.E(X)=p,D(X)=p2

C.E(X)=q,D(X)=q2

D.E(X)=l—p,D(X)=p—p-

解析X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)=q=l—p,D(X)=p(l—p)=p—p2.

答案D

角度2二項(xiàng)分布

【例4】已知隨機(jī)變量X?B(6,0，則。(2X+1)等于()

A.6B.4

C.3D.9

解析D(2X+1)=4D(X),

o(x)=6xgx(i-"

3

D(2X+1)=4X-=6.

答案A

角度3超幾何分布

【例5】某學(xué)院為了調(diào)查本校學(xué)生2020年4月“健康上網(wǎng)”(健康上網(wǎng)是指每

天上網(wǎng)不超過兩個(gè)小時(shí))的天數(shù)情況，隨機(jī)抽取了40名本校學(xué)生，統(tǒng)計(jì)他們?cè)谠?/p>

月30天內(nèi)健康上網(wǎng)的天數(shù)，并將所得的數(shù)據(jù)分成以下六組：[0,5],(5,10],

(10,15],…，(25,30],由此畫出樣本的頻率分布直方圖，如圖所示.

頻率

組距

().09

5101520253()天數(shù)

(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這40名學(xué)生中健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的人數(shù)；

(2)現(xiàn)從這40名學(xué)生中任取2名，設(shè)丫為取出的2名學(xué)生中健康上網(wǎng)天數(shù)超過20

天的人數(shù)，求丫的分布列及均值E(F).

解(1)由圖可知健康上網(wǎng)天數(shù)未超過20天的頻率為(0.01+0.02+0.03+0.09)X5

=0.15X5=0.75,所以健康上網(wǎng)天數(shù)超過20天的學(xué)生人數(shù)是40X(1-0.75)=

40X0.25=10.

(2)隨機(jī)變量丫的所有可能取值為0,1,2,

且丫服從超幾何分布.

所以「(丫=。)=圖C%=￡29,

?z__CloCio_A

P(yJ)n-Cio一⑶

…，C%__3

pg?一瓦一交.

[例6]一次同時(shí)投擲兩枚相同的正方體骰子（骰子質(zhì)地均勻，且各面分別刻有

1,2,2,3,3,3六個(gè)數(shù)字).

（1）設(shè)隨機(jī)變量X表示一次擲得的點(diǎn)數(shù)和，求X的分布列;

（2）若連續(xù)投擲10次，設(shè)隨機(jī)變量丫表示一次擲得的點(diǎn)數(shù)和大于5的次數(shù)，求E（y）,

D(Y).

解（1）由已知，隨機(jī)變量X的取值為2,3,4,5,6.設(shè)擲一個(gè)正方體骰子所得

點(diǎn)數(shù)為X（）,則Xo的分布列為:

111

P(Xo=l)=不P(Xo=2)=?P(Xo=3)=],

所以

P(X=2)=1x|=^,

P(X=3)=2x|x|=1,

P(X=4)=2x|x|+|x|=^)

P(X=5)=2X；xg=；,

P(X=6)=^x1=1.

故X的分布列為

X23456

11511

p

3691834

⑵由已知，滿足條件的一次投擲的點(diǎn)數(shù)和取值為6,設(shè)某次發(fā)生的概率為p,由

⑴知，p=\.

因?yàn)殡S機(jī)變量丫?8(io,

所以￡,(y)=/ip=iox|=|,

o(y)=〃p(i—p)=iox[x[=/

【訓(xùn)練3】某城市有甲、乙、丙3個(gè)旅游景點(diǎn)，一位客人游覽這三個(gè)景點(diǎn)的概

率分別為0.4,0.5,0.6,且客人是否游覽哪個(gè)景點(diǎn)互不影響，設(shè)X表示客人離

開該城市時(shí)游覽的景點(diǎn)數(shù)與沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值.

(1)求X的分布列；

(2)記"函數(shù)式x)=f—3Xx+l在區(qū)間[2,+8)上單調(diào)遞增”為事件A,求事件A

發(fā)生的概率.

解(1)分別記“客人游覽甲景點(diǎn)"、“客人游覽乙景點(diǎn)”、“客人游覽丙景點(diǎn)”

為事件Ai,A2,A3.

則Ai,A2,A3相互獨(dú)立，且P(4)=0.4,

/3(A2)=0.5,P(A3)=0.6.

客人游覽的景點(diǎn)數(shù)的可能取值為0,1,2,3.相應(yīng)地，客人沒有游覽的景點(diǎn)數(shù)的

可能取值為3,2,1,0,所以X的可能取值為1,3.

P(X=3)=P(AIAM3)+P(AIA2A3)

=P(A1)P(A2)P(A3)+P(At)P(A2)P(A3)

=0.4X0.5X0.6+0.6X0.5X0.4=0.24.

P(X=1)=1-0.24=0.76.

所以X的分布列為：

X13

P0.760.24

(2)因?yàn)?U)=Q—|x[+1-1%2,

所以函數(shù)次x)=f-3Xr+l在區(qū)間|x,+8)上單調(diào)遞增，要使加)在區(qū)間⑵+

8)上單調(diào)遞增，

當(dāng)且僅當(dāng)|xW2,

即xq

從而P(A)=F[X^=P[X=l)=0.76.

要點(diǎn)四正態(tài)分布

解答正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用題，關(guān)鍵是如何轉(zhuǎn)化，同時(shí)注意以下兩點(diǎn)：

⑴注意“3a”原則，記住正態(tài)總體在三個(gè)區(qū)間內(nèi)取值的概率.

(2)注意數(shù)形結(jié)合.由于正態(tài)分布密度曲線具有完美的對(duì)稱性，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合

的重要思想，因此運(yùn)用對(duì)稱性和結(jié)合圖象解決某一區(qū)間內(nèi)的概率問題成為熱點(diǎn)問

題.

[例7]某學(xué)校高三2500名學(xué)生第二次模擬考試總成績(jī)服從正態(tài)分布M500,

5。2),請(qǐng)你判斷考生成績(jī)X在550?600分的人數(shù).

解???考生成績(jī)X?N(500,5()2),

.*.//=500,<7=50,

/.P(550<XW600)=1[P(500-2X50VxW500+2X50)-P(500-50VXW500+

50)]

(0.9545-0.6827)=0.1359,

,考生成績(jī)?cè)?50?600分的人數(shù)為2500X0.1359-340(人).

【訓(xùn)練4】某地?cái)?shù)學(xué)考試的成績(jī)X服從正態(tài)分布，某密度函數(shù)曲線如右圖所示,

成績(jī)X位于區(qū)間[52,68]的概率為多少？

解設(shè)成績(jī)X?『)，

則正態(tài)分布的密度函數(shù)

(\____!_(X—〃)2

02急尸通―2『

由圖可知，〃=60,cr=8.

.?.P(52WXW68)=P(60—8WXW60+8)=P〃一cWXW〃+a)Q0.6827.

要點(diǎn)五方程思想

方程思想是高中數(shù)學(xué)中最基本、最重要的數(shù)學(xué)思想之一，這種思想方法就是從分

析問題的數(shù)量關(guān)系入手，把變量之間的關(guān)系用方程的關(guān)系反映出來，然后通過解

方程或?qū)Ψ匠踢M(jìn)行討論，使問題得以解決，利用方程思想解題的關(guān)鍵是列出方程.

【例8】一個(gè)袋子內(nèi)裝有若干個(gè)黑球、3個(gè)白球、2個(gè)紅球(所有的球除顏色外

其他均相同)，從中一次性任取2個(gè)球，每取得一個(gè)黑球得。分，每取得一個(gè)白

球得1分，每取得一個(gè)紅球得2分，用隨機(jī)變量X表示取2個(gè)球的總得分，已

知得0分的概率為今

(1)求袋子中黑球的個(gè)數(shù)；

(2)求X的分布列與均值.

解(1)設(shè)袋中黑球的個(gè)數(shù)為〃(〃巳2),由條件知，當(dāng)取得2個(gè)黑球時(shí)得0分，概

「21

率為P(X=O)=虐=不

化簡(jiǎn)得"2—3〃-4=0,

解得〃=4或〃=一1(舍去)，

即袋子中有4個(gè)黑球.

(2)X的所有可能取值為0,1,2,3,4,

.,.P(X=0)=|,

c\c\1

P(X=1)=

y

cHciclii

P(X=2)=365

c￡31

P(X=3)=65

P(X=4)號(hào)表,

.?.x的分布列為

X01234

111111

p

6336636

.?.E(X)=OX1+1X|+2X||+3X1+4X^=^.

【訓(xùn)練5】甲、乙兩人為了響應(yīng)政府“節(jié)能減排”的號(hào)召，決定各購置一輛純

電動(dòng)汽車.經(jīng)了解目前市場(chǎng)上銷售的主流純電動(dòng)汽車，按續(xù)航里程數(shù)R(單位：

千米)可分為三類車型，A：80WR<150,B：150^7?<250,C：RN250.甲從A,B,

。三類車型中挑選一款，乙