北京市西城區下學期高一年級期末考試數學試卷

試卷滿分：150分考試時間：120分鐘

A卷［必修模塊3］本卷滿分：50分

一、選擇題：本大題共8小題，每小題4分。共32分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合要求的。

1.對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本，當選取簡單隨機抽樣、系統抽樣和分層抽樣三種

不同方法抽取樣本時，總體中每個個體被抽中的概率依次為Pl，P2，P3，則（）

A.P1=P2Vp3B.P2=P.3<P|C.P1=P3Vp2D.Pl=P2=Pj

2.從1,2,3,4這四個數中一次隨機選取兩個數，所取兩個數之和為5的概率是（）

3.執行如圖所示的程序框圖，輸出的S值為（）

4.某校對高一年級學生的數學成績進行統計，全年級同學的成績全部介于60分與100分之間，

將他們的成績數據繪制成如圖所示的頻率分布直方圖。現從全體學生中，采用分層抽樣的方法抽取

60名同學的試卷進行分析，則從成績在［90,100］內的學生中抽取的人數為（）

A.24B.18C.15D.12

5.投擲一顆骰子，擲出的點數構成的基本事件空間是Q={1,2,3,4,5,6}。設事件A={l,3},

B={3,5,6},C={2,4,6},則下列結論中正確的是（）

A.A,C為對立事件

B.A,B為對立事件

C.A,C為互斥事件，但不是對立事件

D.A,B為互斥事件，但不是對立事件

6.下圖是1,2兩組各7名同學體重（單位：千克）數據的莖葉圖。設1,2兩組數據的平均數依

次為X1和X2,標準差依次為和S2,那么（）

1組2組

36785468

1601

02723

--2

（注：標準差S=J—[（X]—X）+（x2-X）+---1-（Xn—X）,其中X1為X”X2，…，Xn的平

均數）

A.x,<x2,S|<S2B.X1<X2,S1>S2

C.X1>x2,S|>S2D.X1>x2,S|<S2

7.下圖給出的是計算-+-+-+-+???+—的一個程序框圖，則判斷框內應填入關于/的不等

2468100

式為（）

A.z<50

B.>50

C.z<51

D.z>51

8.袋中裝有5個小球，顏色分別是紅色、黃色、白色、黑色和紫色，現從袋中隨機抽取3個小球。

設每個小球被抽到的機會均等，則抽到白球或黑球的概率為（)

,2

A.一BD

51

二、解答題：本大題共2小題，共18分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

9.（本小題滿分9分）

從某校高一年級隨機抽取n名學生，獲得了他們日平均睡眠時間（單位：小時）的數據，整理

得到數據分組及頻數分布表：

組號分組頻數頻率

1[5,6)20.04

2[6,7)0.20

317,8)a

418,9)b

5[9,10)0.16

（I）求n的值；

（II）若a=10,補全表中數據，并繪制頻率分布直方圖;

（川）假設同一組中的每個數據可用該組區間的中點值代替。若上述數據的平均值為7.84,求

a,b的值，并由此估計該校高一學生的日平均睡眠時間不少于8小時的概率。

10.（本小題滿分9分）

已知關于x的一元二次方程x?—2ax+t>2=0,其中a,beRo

（I）若a隨機選自集合｛0,1,2,3,4｝,b隨機選自集合｛0,1,2,3｝,求方程有實根的概率;

（II）若a隨機選自區間［0,4］,b隨機選自區間［0,3］,求方程有實根的概率。

B卷［學期綜合］本卷滿分：100分

一、選擇題：本大題共8小題，每小題4分，共32分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符

合要求的。

1.數列｛a。滿足a1=l,an+i=an_3(neN*),則二()

A.10B.8C.-8D.-10

2.設a,bwR,且a>b,則下列結論中正確的是（）

A.->1B.-<-C.a>bD.a3>b3

bab1111

3.在等比數列｛an｝中ai=2,a4=—o若am=2-%則m=()

4

A.17B.16C.14D.13

'X>y,

4.若實數X,y滿足■yNO,則z=x+3y的最大值是()

2x+y-3<0,

3

A.6B.4C.-D.0

2

5.在△ABC中，若asinA=bsinB,則AABC的形狀一定是（）

A.等邊三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.鈍角三角形

6.已知等差數列｛aj的前n項和為S”若S2k+i>0，則一定有（）

A.ak>0B.Sk>0C.ak+i>0D.Sk+i>0

7.已知數列｛an｝的前n項的乘積為Tn=2n-c,其中c為常數，nGN*。若a4=3,則c=（）

A.4B.3C.2D.I

2x-3y>0,

8.設不等式組（3x-4yN0,表示的平面區域是W,則W中的整點（橫、縱坐標均為整數的

5x-7y-20<0

點）個數是（）

A.231B.230C.219D.218

二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分。把答案填在題中橫線上。

9.不等式X2<2X的解集為。

10.在AABC中，若a=l,b=2>cosC=—,則c=。

4

11.已知等差數列｛a“｝的各項均為正整數，且a8=2015,則a1的最小值是。

12.函數/(X)=x+―—(x>l)的最小值是；止匕時x=o

x-1

13.設aGR,nGN*,求和：l+a+a2+a3+…+a0=。

14.設數列｛aj的通項公式為an=3n(nGN*)。數列｛bj定義如下：對任意mGN*,bm是數列｛aj

中不大于32m的項的個數，則b3=;數列｛bm｝的前m項和Sm=。

三、解答題：本大題共4小題，共44分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題滿分10分)

已知數列｛a,J是首項為1,公比為q的等比數列。

(I)證明：當0<4<1時，｛aj是遞減數列；

(II)若對任意kdN*,都有ak，ak+2,ak+i成等差數列，求q的值。

16.(本小題滿分10分)

已知AABC為銳角三角形，a,b,c分別為角A,B,C所對的邊，且Jia=2csinA。

(I)求角C；

(II)當c=2后時，求：ZXABC面積的最大值。

17.(本小題滿分12分)

設meR,不等式mx?—(3m+l)x+2(m+1)>0的解集記為集合P。

(I)若P=(x|—l<x<2),求m的值；

(II)當m>0時，求集合P；

(III)若｛x[-3<x<2｝=P,求m的取值范圍。

18.(本小題滿分12分)

己知數列｛a1的通項公式為a0=2n+(-1)田.(1+Xn),其中是常數，n@N*。

(I)當an=-1時，求九的值；

(II)數列｛an｝是否可能為等差數列?證明你的結論；

(HI)若對于任意neN*,都有an>0,求九的取值范圍。

參考答案

A卷［必修模塊3］本卷滿分；50分

一、選擇題：本大題共8小題，每小題4分，共32分。

1.D2.C3.C4.B5.C6.A7.B8.D

二、解答題：本大題共2小題，共18分。

9.（本小題滿分9分）

2

(I)解：n=-------501分

0.04

（II）解：補全數據見下表（3分）；

組號分組頻數頻率

1[5,6)20.04

2[6,7)100.20

3|7,8)100.20

4[8,9)200.40

5[9,10)80.16

頻率分布直方圖見下圖5分

頻率

得七(2x5.5+10x6.5+4x7.5+6x8.5+8x9.5)=7.84,

（III）解：依題意,

2+10+4+8+8=50,

7分

a-15,

解得《8分

b=15,

設“該校高一學生的日平均睡眠時間不少于8小時”為事件A,

,、15+823

則nlP(A)=-----=—=0.46o9分

5050

10.(本小題滿分9分)

(D解：設“關于x的一元二次方程x2-2ax+b2=0有實根”為事件A,由A=(—2a)2-4b2N0,

得a?>b\

因為a20,b》0,

所以a》b時事件A發生。

(I)的基本事件共20個：(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1)，

(1,2),(1,3),(2,0),(2,1)，(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),

(3,3),(4,0),(4,1)，(4,2),(4,3)

3分

事件A包含14個基本事件,4分

147

所以P(A)=—=—5分

2010

(II)解：因為ae[0,4],be[0,3],

則試驗的全部結果構成區域Q={(a,b)|0WaW4,0WaW4,0WbW3},Q的面積為

Nc=3x4=126分

事件A所構成的區域A={(a,b)|0Wa<4,0WbW3,a'b},A的面積為

…1cc15

ii.=3x4——x3x3=—8分

22

15

所以P(A)=9=2=2

9分

-128

B卷［學期綜合］滿分100分

一、選擇題：本大題共8小題，每小題4分，共32分。

I.C2.D3.A4.B5.B6.C7.A8.A

二、填空題：本大題共6小題，每小題4分，共24分。

n+1,a=1,

9.{x|0<x<2}；10.211.612.3,213.<l-an+,,

-------,ah1.

.1-a

3

14.243,-(9m-1)o

8

注：12、14題，每空2分；13題少解給2分，有錯解不得分。

三、解答題：本大題共4小題，共44分。

15.(本小題滿分10分)

(I)證明：因為數列｛a。｝是首項為1,公比為q的等比數列，

所以a,尸qLi,neN\1分

所以an+1-a產q11—qLi=q「i(q—1)3分

當0<q<l時，有qnr>0,q-l<0,

所以加+i—an<0,neN*o5分

所以｛a”｝是遞減數列。

(II)解:因為ak，ak+2,ak+i成等差數列，

所以2ak+2—(ak+ak+i)=0,其中keN*。6分

即2qk+l-(qk-|+qk)=0,

整理得qi?(2q2_q_l)=0。7分

因為qWO,

所以2q?-q—1=0,8分

解得q=lHq=-;。10分

16.(本小題滿分10分)

(I)解：由正弦定理得「一=」一，1分

sinAsinC

V3

將己知代入得sinC=2。2分

2

TT

因為aABC為銳角三角形，所以0<C<一,3分

2

TT

所以C二一。4分

3

(II)證明：由余弦定理得c2=a?+b2-2abcosC,5分

BfJ12=a2+b2—ab,6分

又a2+b2—ab2ab—ab=ab

所以abW12。8分

i/T

所以AABC的面積S=-absinC=—abW3百，9分

24

當且僅當2=1),即aABC為等邊三角形時，^ABC的面積取到36。

所以4ABC面積的最大值為3百。10分

17.(本小題滿分12分)

(I)解：因為P={x|-l<x<2},

所以方程mx2—(3m+l)x+2(m+1)=0的兩根為一1和2。1分

將x=-1代入上述方程，得m(—1)2—(3m+l)(—1)+2(m+1)=0,2分

解得m=-L。3分

2

(II)解：不等式mx?—(3x+l)x+2(2m+l)>0可化為(x—2)[mx—(m+1)]>0o4分

2-

當m>0時，方程m(-1)(3m+l)(—1)+2(m+1)=0的兩根為十1和2

2

①當_r±l=2,即m=l時，解得xW2。5分

m

②當2±1>2,即0<m<l時，解得x<2或x>色里。6分

mm

③當立11<2,即m>l時，解得x<巴士!?或x>2。7分

mm

綜上，當0Vm<1時，P={x|x<2或x>m+1}；當m=l時,P={xlxeR,且xW2}；當m>l時,

m

Im+1?

P={xx<----或x>2}o

m

(III)解：依題意，當x￡(—3,2)時，不等式mx?—(3m+l)x+2(m+1)>0恒成立。

當m=0時，原不等式化為一x+2>0,即P={x|x<2},適合題意。8分

當m>0時，由(II)可得OvmWl時，適合題意。9分

當m>0時，因為巴里=1+-!-<2,所以P={X|上里<X<2}。10分

mmm

此時必有吧」W—3成立，解得—，4m<0。11分

m4

綜上，若{x|-3Vx<2}=P,則m的取值范圍是［―；［］。12分

18.(本小題滿分12分)

(I)解：因為an=2n+(―1)n+,-(l+Xn)(neN*),

所以n=2時，az=3—2九。1分

由3—2X=-1,

解得入二2。2分

(II)解：數列｛an｝不