模塊十三:空間向量1、空間向量的有關概念1.與平面向量一樣,在空間中,我們把具有大小和方向的量叫做空間向量.2.空間向量的長度(模):空間向量的大小叫做向量的長度或模,如圖,其模記為a或AB3.空間向量的表示方法(1)即利用黑體a,手寫用a;(2)空間向量1)用有向線段表示.也可用有向線段表示,有向線段的長度2)用字母a,b1)長度為0的向量叫做零向量,記為0.2)模為1的向量稱為單位向量.3)方向相同且模相等的向量稱為相等向量.在空間中,同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量。4)與向量a長度相等而方向相反的向量,稱為a的相反向量,記為?a.類似實數a的相反數為?a2、空間向量的線性運算1.空間向量的加減法及數乘運算:空間任意兩個向量都可以平○向量加法模的性質a?b≤a當a,b同向時,右等號成立;當a,b反向時,左等號成立;當a,b移到同一平面內,成為同一平面內的向量.如圖1,已知空間向量a,b,我們可以把它們移到同一平面α內,以任意點O為起點,作向量O圖1圖2圖31)a+b3)當λ>0時,λa與向量a的方向相同;當λ<0時,λa與向量a的方向相反,長度是a的長度的λ○溫馨提示證明平面向量加法的結合律時三個向量在同一個平面內,證明空間向量加法的結合律時三個向量不在同一個平面內.2.空間向量線性運算滿足以下運算律與實數加法交換律類似.交換律:a+b結合律:a+b分配律:λ+μa=λa與實數乘法分配律類似.3、共線向量與共面向量○溫馨提示1.零向量和任一空間向量是共線向量.2.共線向量不具有傳遞性,如a//b,b//c,但a//c不一定成立,因為當b=0共線向量一定共面，共面向量不一定共線.4、空間向量數量積●易錯易混易將向量的夾角?a,b?與點的坐標圖(a)中,∠AO圖(b)中,∠AOB=1.共線向量1)定義:如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合,那么這些向量稱為共線向量(或平行向量).2)共線向量定理:對任意兩個空間向量a,bb≠0,a//b的充要條件是存在實數λ,使a=λb.若1)定義:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.2)共面向量定理:如果兩個向量a,b不共線,那么向量p與向量a,b共面的充要條件是存在唯一的有序實數對x,y1.空間向量的夾角兩個向量的夾角是唯一的,且?a,b?=?b,a?.1)夾角的定義:已知兩個非零向量a,b,在空間任取一點O,作OA=2)夾角的范圍:空間任意兩個向量的夾角的取值范圍是0≤?a,b?≤π.當?a,b?=0時,兩向量同向共線;當1)定義:已知兩個非零向量a,b,則abcos?a,b?叫做向量a,b的數量積,記作a?2)幾何意義:數量積a?b等于a的長度a與b在a的方向上的投影bcos?a,b?的乘積,或b的長度b與a在3.向量數量積的性質兩非零向量才有垂直關系。1)由a?a=a2可得向量自身的數量積就是其模的平方.2)a?b=03)兩個非零向量a,b的夾角可由a,b=4)對于任意向量a,b,總有a?b≤a4.向量數量積的運算律數乘結合律:λa?交換律:a?b分配律:a?b【拓展】由定義得a?bc=abcosζa,b>)c,即a1.由a?b=b?c2.向量數量積運算只適合交換律、加乘分配律及數乘結合律,但不適合乘法結合律,即a?bc不一定等于ab?c.這是因為a?bc表示一個與向量c3.空間向量沒有除法運算.對于兩個非零向量a,b及實數c,由a?b=c不能得到a5、空間向量基本定理(1)空間向量基本定理如果三個向量a,b,c不共面,那么對任意一個空間向量○歸納總結1.空間任何三個不共面的向量都可構成空間的一個基底,因此空間的基底有無窮多個.2.空間的基底是不共面向量,故都不是0.3.基底選定后,空間中的任何向量均可由基底唯一表示.存在唯一的有序實數組x,y,z,使得證明設向量a,bO作OA=a,OB=b,OC=c,OP=p,過點P作直線PP′平行于OC交平面OAB于點P′,在平面OAB內,過P′作直線P′A′如果p=xa+yb由此可知,如果三個向量a,b,c不共面,那么所有空間向量組成的集合就是{p∣p=xa+yb+zc,x,(2)正交分解如果空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直,且長度都為1,那么這個基底叫做單位正交基底,常用{i,且都是單位向量.由空間向量基本定理可知,對空間中的任意向量a,都可以分解為三個向量xi,yj,z6、空間向量及其運算的坐標表示（右手直角坐標系）(1)空間直角坐標系類似地,在空間選定一點O和一個單位正交基底{i,j,k}(圖1.3-2).以點O為原點,分別以i,j,k的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數軸:x軸、y圖1.3-2原點,i,j,k都叫做坐標向量,通過每兩條坐標軸的平面叫做坐標平面,分別稱為Oxy平面,O畫空間直角坐標系Oxyz時,一般使∠xOy=135°(2)空間向量的坐標表示一般地,如果空間向量的基底e1,e2,e3中,e1,e2,e3都是單位向量,而且這三個向量兩兩垂直,就稱這組基底為單位正交基底;在單位正交基底下向量的分解稱為向量的單位正交分解,而且,如果p其中x,y,z都稱為(3)空間向量的坐標運算設a與平面向量運算的坐標表示一樣,我們有:aaλa當b≠0時,aaacos(4)空間向量的夾角與距離公式1.夾角公式設非零向量a=x1,=2.距離公式在空間直角坐標系中,已知Ax1,y1,B兩點間的距離dAB7、空間向量的應用(1)空間中點、直線、平面的向量表示如圖1.4-1,在空間中,我們取一定點O作為基點,那么空間中任意一點P就可以用向量OP來表示.我們把向量OP稱為點P一般地,如果l是空間中的一條直線,v是空間中的一個非零向量,且表示v的有向線段所在的直線與l平行或重合,則稱v為直線l的一個方向向量.此時,也稱向量v與直線l平行,記作v//用向量表示直線l,就是要利用點A和直線l的方向向圖1.4-2量表示直線上的任意一點.如圖1.4-2,a是直線l的方向向量,在直線l上取AB=a,設P是直線l上的任意一點,由向量共線的條件可知,點P在直線l上的充要條件是存在實數tA進一步地,如圖1.4-3,取定空間中的任意一點O,可圖1.4-3以得到點P在直線l上的充要條件是存在實數t,使O(1)將AB=O(2)(1)式和(2)式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知,空間任意直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定.你能證明這個結論嗎?我們知道,平面α可以由α內兩條相交直線確定.如圖1.4-4,設兩條直線相交于點O,它們的方向向量分別為a和b,P為平面α內任意一點,由平面向量基本定理可知,存在唯一的有序實數對xO這樣,點O與向量a,b不僅可以確定平面α,還可以具體表示出α圖1.4-4圖1.4-5進一步地,如圖1.4-5,取定空間任意一點O,可以得到,空間一點P位于平面ABC內的充要條件是存在實數x,yO(3)你能證明這個結論嗎?我們把(3)式稱為空間平面ABC(2)平面的法向量如圖1.4-6,直線l⊥α.取直線l的方向向量a,我們稱向量a為平面α的法向量(normalvector).給定一個點A和一個向量a,那么過點A,且以向量a為法向量的平面完全確定,可以表示為集合{圖1.4-6如果另有一條直線m⊥α,在直線m上任取向量b,b與(3)空間直線、平面位置關系判定如圖1.4-8,設u1,u2分別是直線l圖1.4-8圖1.4-9圖1.4-10類似地,如圖1.4-9,設u是直線l的方向向量,n是平面α的法向量,l?αl如圖1.4-10,設n1,n2分別是平面α一般地,直線與直線垂直,就是兩直線的方向向量垂直;直線與平面垂直,就是直線的方向向量與平面的法向量平行;平面與平面垂直,就是兩平面的法向量垂直.如圖1.4-13(1),設直線l1,l2的方向向量分別為l圖1.4-13如圖1.4-13(2),設直線l的方向向量為u,平面α的法向量為n,則l⊥α?u//如圖1.4-13(3),設平面α,β的法向量分別為nn2α(4)利用空間向量研究空間距離與夾角(1)空間中的距離如圖1.4-16,向量AP在直線l上的投影向量為AQ圖1.4-16△APQ是直角三角形.因為A,P都是定點,所以AP,AP與u的夾角∠PAQ都是確定的.于是可求AQ設AP=a,則向量AP在直線l上的投影向量在Rt△APP如圖1.4-17,已知平面α的法向量為n,A是平面α內的定點,P是平面α外一點.過點P作平面α的垂線l,交平面α于點Q,則n是直線l的方向向量,且點P到平面α的距離就是AP在直線l上的投影向量P類似地,請同學們研究如何求兩個平行平面的距離.(2)空間中的夾角一般地,兩條異面直線所成的角,可以轉化為兩條異面直線的方向向量的夾角來求得.也就是說,若異面直線l1,l2所成的角為θ,其方向向量分別是cos類似地,直線與平面所成的角,可以轉化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角.如圖1.4-20,直線AB與平面α相交于點B,設直線AB與平面α所成的角為θ,直線AB的方向向量為u,平面α的法向量為sin圖1.4-20圖1.4-21如圖1.4-21,平面α與平面β相交,形成四個二面角,我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β類似于兩條異面直線所成的角,若平面α,β的法向量分別是n1和n2,則平面α與平面β的夾角即向量n1和n2的夾角或其補角.設平面α與平面βcos三垂線定理如果平面內的一條直線與平面的一條斜線在該平面內的射影垂直,則它也和這條斜線垂直.三垂線定理的逆定理如果平面內的一條直線和這個平面的一條斜線垂直，則它也和這條斜線在該平面內的射影垂直.【課本優質習題匯總】新人教A版選擇性必修一P93.如圖,在平行六面體ABCD?A′B′(1)AA′?AB;(2)AB(第2題)(第3題)(第4題)4.如圖,線段AB,BD在平面α內,BD⊥AB,A新人教A版選擇性必修一P94.如圖,已知四面體ABCD的所有棱長都等于(第4題)棱AB,(1)AB?AC;(2)AD?(4)EF?BC;(5)FG?新人教A版選擇性必修一P106.如圖,已知E,F,G,H分別為四面體ABCD的棱AB(第6題)新人教A版選擇性必修一P109.如圖,在四面體OABC中,OA⊥B(第9題)(第10題)10.如圖,在四面體OABC中,OA=OB,CA=CB,新人教A版選擇性必修一P141.已知四面體OABC,OB新人教A版選擇性必修一P156.如圖,平行六面體ABCD?A1B1C1D1的底面ABCD(第6題)新人教A版選擇性必修一P157.如圖,在棱長為1的正方體ABCD?A1(第7題)DD1,BD的中點,點G在CD(1)求證:EF⊥(2)求EF與C18.已知四面體中三組相對棱的中點間的距離都相等,求證:這個四面體相對的棱兩兩垂直.新人教A版選擇性必修一P352.如圖,在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1D1中,E為線段(1)求點A1到直線B1(2)求直線FC1到直線A(3)求點A1到平面AB(4)求直線FC1到平面A(第2題)新人教A版選擇性必修一P384.如圖,△ABC和△D(第4題)=∠D(1)直線AD與直線BC(2)直線AD與平面BC(3)平面ABD和平面B新人教A版選擇性必修一P411.如圖,二面角α?l?β的棱上有兩個點A,B,線段BD與AC分別在這個二面角的兩個面內,并且都垂直于棱l.若AB=(第1題)(第2題)2.如圖,在三棱雉A?BCD中,AB=AC=B新人教A版選擇性必修一P4413.如圖,已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1,E(第13題)(第14題)(第15題)14.如圖,正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1,M是棱AA1的中點,O是15.如圖,已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長為1,Q為B1C1的中點,點P新人教A版選擇性必修一P4417.在空間直角坐標系中,已知向量u=a,b(1)若直線l經過點P0,且以u為方向向量,P是直線l上的任意一點,求證:x?(2)若平面α經過點P0,且以u為法向量,P是平面α內的任意一點,求證:ax18.在如圖所示的試驗裝置中,兩個正方形框架ABC(第18題)都是1,且它們所在的平面互相垂直.活動彈子M,N分別在正方形對角線AC和BF上移動,且CM和(1)求MN(2)a為何值時,MN(3)當MN的長最小時,求平面MNA與平面8.如圖,在棱長為1的正方體ABCD?A1B1C1(1)求證:EF⊥(2)求EF與CG(3)求CE(第8題)(第9題)9.如圖,在直三棱柱ABC?A1B1C1(1)求BN(2)求cosBA(3)求證:A1B新人教A版選擇性必修一P4810.如圖,在平行六面體ABCD?A′B′C′D′中,底面ABCD是邊長為a的正方形,側棱AA′的長為b(第10題)(第11題)(第12題)11.如圖,在長方體ABCD?A1B1C1D1中,點E,F(1)求證:A1C⊥平面(2)當AB=4,AD=3,A12.如圖,在四棱雉S?ABCD中,底面ABCD滿足AB⊥(1)求四棱雉S?A(2)求平面SCD與平面S13.如圖,把正方形紙片ABCD沿對角線AC折成直二面角,(第13題)F分別為AD,BC的中點,O是原正方形ABC14.在正四棱雉S?ABCD中,O為頂點S在底面內的射影,P為側棱SD的中點,且SO=OD新人教A版選擇性必修一P4916.如圖,在棱長為a的正方體OABC?O′A′B′C′中,(1)求證:A′F(2)當三棱雉B′?BEF的體積取得最大值時,求平面B′(第16題)(第17題)17.如圖,兩條異面直線a,b所成的角為θ,在直線a,b上分別取點A′,E和點A,F,使AA′⊥a如果a,ba是否成立,并說明等號何時成立.(6)已知a=4,向量e為單位向量,?a,e?=2π3(4)已知平行六面體ABCD-A′B′C′D′中,點E(1)AC′=xAB(5)已知直三棱柱ABC?A1B1C1新人教B版選擇性必修一P28(3)已知空間直角坐標系中,平行六面體ABCD?A1B1C1D1滿足:A?2新人教B版選擇性必修一P29(2)已知A,B,C是空間中不共線的三點,O是空間中任意一點,求證:P在平面ABC內的充要條件是,存在滿足xO新人教B版選擇性必修一P54(第3題)(2)已知正三棱雉S-ABC(3)如圖,已知AB是圓的直徑,且AB=4,PA垂直于圓所在的平面,且PA=2新人教B版選擇性必修一P60(第5題)(5)如圖所示,已知Rt△ACB在平面α內,D是斜邊AB的中點,OC⊥α,且O到平面α的距離為12?cm新人教B版選擇性必修一P60(4)已知正四面體ABCD的棱長都為1,點M,N分別是AB,CD(5)如