3月大數據精選模擬卷02（江蘇專用）

數學

本卷滿分150分，考試時間120分鐘。

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符

合題目要求的.

(工+]]

1.設集合M={x|2*>1},N=<x\:--<0k則MCIN=()

A.[0,1)B.(0,1)C.(-1,+oo)D.(1,+8)

【答案】B

【詳解】

解：因為M={x|2>1|,N={x|<0>

x1

所以M={x|x>0},N={x[-l<x<l},A/nN={x[0<x<l},

故選：B

2.復數z滿足：zd——=2z,z=()

2-i

21212121.

A.-----iB.-----iC.-+—zD.一+-z

515155515155

【答案】A

【詳解】

解：設Z=Q+bi,則2=〃-。1，

由z+2一1「2-z得21rL(2-T)(2+2i+i)…2丁1(}?=2(a-Z?i)

-2c2

ClH--=2。Q=—

???■:,解得(5,

b+-^-2bb=」

[5I15

21.

..z=-----1.

515

4

3.“Vx>0,aWx+—的充要條件是()

x+2

1

A.a>2B.a>2C.a<2D.a<2

【答案】D

【詳解】

44I4~

因為x>0，可得x+——=x+2+------2>2J（x+2）x-------2=2,

x+2x+2Vx+2

4

當且僅當x+2+——，即尤=0時等號成立，

x+2

4

因為1>0，所以x+---->2,

x+2

4

所以“Vx>0,a4x+----”的充要條件是。42.

x+2

4.北京2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”一亮相，好評不斷，這是一次中國文化

與奧林匹克精神的完美結合，是一次現代設計理念的傳承與突破.為了宣傳2022年北京冬奧會和冬殘奧會，

某學校決定派小明和小李等5名志愿者將兩個吉祥物安裝在學校的體育廣場，若小明和小李必須安裝同一

個吉祥物，且每個吉祥物都至少由兩名志愿者安裝，則不同的安裝方案種數為（）

A.8B.10C.12D.14

【答案】A

【詳解】

由題意可知應將志愿者分為三人組和兩人組，

當三人組中包含小明和小李時，安裝方案有C；用=6種；

當三人組中不包含小明和小李時，安裝方案有用=2種，共計有6+2=8種，

故選：A.

5.“微信紅包”自2015年以來異常火爆，在某個微信群某次進行的搶紅包活動中，若所發紅包的金額為10

元，被隨機分配成1.36元，1.59元，2.31元，3.22元，1.52元，供甲乙丙丁戊5人搶，每人只能搶一次，

則甲乙二人搶到的金額之和不低于4.5元的概率是（）

1234

A.-B.-C.-D.一

2555

【答案】B

【詳解】

5個紅包供甲、乙等5人搶共有父種情況，

若甲乙二人搶到的金額之和不低于45元,只能是1.36元和3.22元,1.59元和3.22元,

2

2.31元和3.22元，1.52元和3.22元，四種情況，共有4月8種情況.

故甲乙二人搶到的金額之和不低于4.5元的概率為越a2

A5

故選：B

6.的展開式中常數項為()

A.-160B.160C.80D.-8()

【答案】A

【詳解】

展開式的通項公式為&=q-(2xp-(-l)r--=(-1/-26-r?C；?產”,

令6—2r=0,可得r=3,故(2n一工)展開式的常數項為—8C；=-160.

7.雙曲線的光學性質為①：如圖，從雙曲線右焦點尸2發出的光線經雙曲線鏡面反射，反射光線的反向延

長線經過左焦點耳.我國首先研制成功的“雙曲線新聞燈”，就是利用了雙曲線的這個光學性質.某“雙曲線燈”

的軸截面是雙曲線一部分，如圖②，其方程為二-二=1,耳,鳥為其左、右焦點，若從右焦點B發出的光

ab~

3

線經雙曲線上的點A和點5反射后，滿足4皿=9°。,540=-“則該雙曲線的離心率為()

3

【答案】c

【詳解】

易知K，A,r>共線，K，B,C共線，如圖，設==則加一〃=2?，

33

由tanZABC=-一得，tanZABF.=-,又N6AB=Nf；A0=9O。，

44

所以tan/A3G=j^=|,|鉆|=如明則忸與閆A8|_|AE|=,

所以忸娟=2fl+|BZ^|=2a+-m-n=4a+—mf

由|A用麻=|耳；「得加？+—根=（4tz+—m）2?因為m>0,故解得加=3a,

\3J3

則〃二3。-2a=。，

在△人￡居中，加2+〃2=（2C）2,即9a2+/=4,2,所以e=￡=?.

a2

8.“阿基米德多面體”也稱為半正多面體，是由邊數不全相同的正多邊形為面圍成的多面體，它體現了數學

的對稱美如圖.將正方體沿交于一頂點的三條棱的中點截去一個三棱錐，共可截去八個三棱錐，得到八個

面為正三角形，六個面為正方形的“阿基米德多面體”，則異面直線A3與C。所成角的大小是（）

A.30°B.45°C.60°D.120°

4

【答案】c

【詳解】

如圖所示：將多面體放置于正方體中，以點。為原點建立空間直角坐標系，設正方體的邊長為2

則A(l,0,2),3(0,1,2)4(021),。。2,0)

通=(—1,1,0),CD=(l,0,-l),設異面直線A8與cn所成角為e

11

所以COS0-.—=~~j=7=—~,故。=60°

|AB|-|CZ)|V2-V22

二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求,

全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分.

9.回文數是一類特殊的正整數，這類數從左到右的數字排列與從右到左的數字排列完全相同，如1221,

15351等都是回文數.若正整數，?與"滿足24i<〃且〃24,在［10,-1,10,-1］上任取一個正整數取得回文

數的概率記為6,在口0/0"-1］上任取一個正整數取得回文數的概率記為則()

1〃

A./><^+1(2</<?-1)B.a<-

1ni-2

C.Qn>—二月D.Z月<1

1i=2n

【答案】BD

【詳解】

對于選項A：在口01,10'-1］中的正整數都是i位的，一共有10,—1()1=9x101個，

若i=2Z,則回文數的個數是9xl()i個，

若i=2k+1,則回文數的個數是9x1(/個,

5

9xlOA-'_1_9x10"_1

所以與i=

9xIO?--歷」2*+L-9X102A-lO7

所以2*>21+2，故選項A不正確;

對于選項D：

當n=2k時;

9(n-l)(2-i0r_10r)<9(n-l)

<1,

當〃=22+1時;

而%[2-播-馬〈就J.故選項D正確;

由Q的定義:。,=尋行之(9xio-)pj,

1U—1U,=2

當〃二22時，由〃之4M得kN2,

1ni2ki111iw111

—y^=—y^>—10+1(?+1(7+"+10^J+lio+ior+ior

1金21金2k

Q*=F&[9(I+I°+…+10力+9(1°+…+iof]

（白阿小…+時力會力

又因為i-T（產210*-10-18%

>0(^>2),

1-

9kIO-9^-10*

6

12k

所以久<藥"

當，=2上+1時，由〃24可得222,

1

n-\

2"M=15H^[9(1+10+…+101)+9(10+…+"T)]

<fj——[1800+…+10A-')1=2(°T)<_2_,

1()27_ioL、〃102*+2-1010*

1___I-?1___—1___1_1__1_

由以上可知10"1>/，10"：1()1所以10&；2

9k)9k9k9k10"

]2k+\

所以。2"l?ZE，故選項B正確，選項C不正確,

2ki=2

故選：BD.

10.若a,b,ceR,則下列說法正確的是()

A.若>0,則3+2B.若則>宜

ba

c.若。>網，則/>力2D.若a>b,則!

ba

【答案】AC

【詳解】

對于A,若">(),則小。同正、同負

所以0+242、叵?=2,故A正確；

ba\ba

對于B,若a>b,當/=0時，則〃(?2=〃G2,故B不正確；

對于C,若。>回>0,則/>〃，故c正確；

對于D,若a>0>力，則故D不正確.

ba

故選：AC

11.設M、N是函數/(x)=2sin(s+°)(①>0,0<9<")的圖象與直線y=2的交點，若M、N兩

7

點距離的最小值為6,尸是該函數圖象上的一個點，則下列說法正確的是()

A.該函數圖象的一個對稱中心是(7,0)

B.該函數圖象的對稱軸方程是x=-1+3左，ZeZ

2

「71一

c./(x)在一5，一］上單調遞增

D./(x)=2cos—x+—|

I36)

【答案】ABD

【詳解】

因為M、"是函數/(》)=25皿5+°)(8>0,0<9<乃)的圖象與直線丁=2的交點，

若“、N兩點距離的最小值為6,則函數/(%)的最小正周期為7=6,.-.3=^=(,

所以，/(x)=2sin+。)，

將點P的坐標代入函數/(x)的解析式，可得/-；)=2sin°—2)=2,則$吊(0-曰=1.

c717T57r_.71712乃

?[2<（p<兀、/.---<（p----<——,則9-----=—,:.（p=——,

666623

r（\~.（加2乃）C.（乃乃）（7C乃）

f\x]=2sin—x+——=2sin—x+——i■—=2cos-x-\——，D選項正確;

v7（33）（362）（36）

對于A選項，/(7)=2cos(q-+力■)=2cos5-=0,A選項正確；

jr丫jr1

對于B選項，由空+二=bz■(女eZ),解得x=——+3左伏eZ),

362

所以，函數/(力的圖象的對稱軸方程是x=-g+3左，keZ,B選項正確;

7171717t

對于C選項，當—時，—冗￡—x-\—<一,

233618

“\71

所以，函數/(%)在區間一5，一§上不單調，c選項錯誤.

12.如圖所示，在棱長為1的正方體ABC。一ABCR中，M,N分別為棱42，。。的中點，則以下

8

四個結論正確的是（)

A.B\C”MN

B.平面MNG

C.A到直線MN的距離為史1

4

3

D.過作該正方體外接球的截面，所得截面的面積的最小值為-乃

8

【答案】ACD

【詳解】

正方體中，AQ//BC，而M,N分別為棱42，的中點，則MN//4。，所以4C〃MN,A正

確，B錯誤；

設A%與AD,MN分別交于點E,F,則A，_LA。，ADt1MN,

山M,N分別為棱AA，的中點，知F是中點，AF^-AD.,C正確；

44

正方體外接球球心是正方體對角線交點0，由對稱性知過MN作該正方體外接球的截面，所得截面的面積

最小的圓是以MN所在的弦為直徑的截面圓，即截面圓圓心為尸，

0D]=—.D,F=—.cosZOD,F=^=^=—,

'214BD1乖）3

222

OF=D,F+D,O-2D.F-D.OcosZFD,O=2_+2_2x—x—x—=-,

1644238

截面圓半徑為r,則，=0￡）2—。/2=-3----3-=23，面積為5=〃，=巳3），口正確.

14888

故選：ACD.

9

Dy

Ci

AB

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知單位向量q,e2滿足|2q-02l=G,設+023=2^+e2，則向量的夾角的余弦值為

一上.3面

【答案】——

14

【詳解】

解：二,|ex|=|e21=1,|2et-e2\=y/3，

一________1

(2q-1)2=4+1—4q?4=3,***CJG=—

??一-■,?.>—?2—?..2

「?a?b=4-e)*(2e,+e)=2^,+3e+e=2+：I+3/=2,

2122222

|d|=J(q+4)2=Jq+2e0?ei+e2=J1+1+1=Ji，

1b[={(2%+e2)=弋4%+4/《+?2=v4+1+2==拒,

9

???_rci.b23721

cos<a,b>=-------=「「=--------'

\a\\h\百x"14

14.若函數/(x)滿足：(1)對于任意實數%,當,當。(玉時，都有/(%)</(9)；(2)

f—=/(內)一/(工2)，則/(%)=___________.(答案不唯一，寫出滿足這些條件的一個函數即可)

【答案】log“x(a>l)型的都對

【詳解】

解：對于任意實數%,%,當0<當<々時，都有/(%)</(/),說明該函數在(0,+8)上單調遞增,

又對數函數滿足運算性質：f=—/(%)，

10

故可選一個遞增的對數函數：y=Iog(,x(tz>l).

15.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點/且斜率大于0的直線/交拋物線于點A,8(點A于第一象限)，交其

準線于點C,若忸q=3忸尸則直線A3的斜率為.

【答案】2&

【詳解】

如圖,作班)JJ于。(/是準線)，則忸。=忸耳，由題意忸C|=3忸。；.|8|=2代忸。|,

CD

tanZCB￡>=-=2V2r,由知8D//x軸，NCB。與直線AB傾斜角相等，

/.A8的斜率為2VL

故答案為：2a.

16.如圖，在四棱錐P—A5CD中，底面ABCD為菱形，PD_L底面ABCD,。為對角線AC與BO的

71

交點，若PD=2,ZAPD=ZBAD=-則三棱錐?一AOD的外接球表面積為.

3f

B

11

【答案】16乃.

【詳解】

取PA中點”，D4中點E，連接則ME〃PD,

因為PD_L底面ABC。，所以平面ABC。，ABCD是菱形，則AOLOD,所以E是△AOD的

外心，

又RD_L底面ABC。，ADu平面ABC。，所以PDJ.AD，所以M到P，A。,。四點距離相等，即為

三棱錐尸-A8的外接球球心.

7t_PA=-----=4

人PD=2,NAPD=—,所以7t,所以Ai4=A/P=2，

3cos-

所以三棱錐P-AOD的外接球表面積為S=4〃x2?=16%.

故答案為：16萬.

四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在①萬2+J^ac=/+。2,②acos8=Z?sinA,@sinB+cosB=>/2>這三個條件中任選一個，補

充在下面的問題中，并解決該問題.

7Tl

已知△ABC的內角A,B,C的對邊分別為。，h,c,A=H，b=6，求AABC的

面積.

【詳解】

解：（1）若選擇①，b2+>/2ac=a2+c2

c°sB=y^=?空=顯

由余弦定理,

2ac2ac2

12

因為3?（）,"），所以3=7；

,..V2-sin

bOsmAQnr

由正弦定理一J=，得",n=------>—=G

sinAsinBsinB，2

T

因為A=5,B=g所以C=5%

17

、

57r7171.717171、71V6+V2

所以sinC=sin——=sin一十一=sm—cos——bcos—sin—=

1246J46464

所以S^ABC=；a"sinC=；x百x血x"：血=",

(2)若選擇②acos5=》sinA,則sinAcos3=sin8sinA，

因為sinAwO，所以sin5=cos5,

因為Be（O,乃），所以3=（；

,..V2-sin—

〃sm

由正弦定H一處二,得”=

sinAsinBsinBV2

T

717c71TV_57V

因為A=—,B=—,所以C二;r一一

343m

uc、］.廠.5%.(兀兀、.717171.71V6+V2

朋以sinC=sin——=sin--1--=sin—cos——Feos—sin—=----------

12U6)46464

所以S4A8c=；40sinC=；x>/5x>/^x

(3)若選擇③sin3+cos5=&，

則sin(3+,所以sinB+—=1,

因為5￡((),"),所以3+^￡

JTTT7T

所以8+—=一，所以B=一；

424

13

V2-sin—

bZ?sinA

由正弦定理一2，得叫》

sinAsinB

2

7CTC萬

因為A=生，B=—,所以C=乃一上一一5

3434TI

.57T.(Jr.7171兀.兀a+6

所以sinC=sm——=sin--1--=sin—cos——FCOS—sin—=----------

12U6)46464

所以SA4BC=—<z&sinC=-^xV3xV2x.

18.設正項數列｛凡｝的前〃項和為S“，2Sn=a^+an

(1)求數列｛%｝的通項公式;

S11

(2)求證：-------；<--

+<,-12

【詳解】

(1)當〃=1時，由2s“=a：+a“，得4(4-1)=0

因為正項數列，所以弓>0,所以弓=1

2

因為當1時，2Sn=an+an

所以當〃N2時:2S,i=a?_,2+a?_]

2

兩式相減得2s“—2S._]=an—an_^+an—an_t

即2%=a;一4_:+4—a—

所以a”+=(a?+??_!)(??-%)

因為數歹iJ｛a,,｝的各項均正，所以a?+>0

所以當〃22時，氏一4-=1

故數列｛4｝是公差為1的等差數列

故數列｛??)的通項公式為a0=n

14

1______1_______1_1]

(2)因為F——~-

4+噥T/+0+1)2-12z(z+l)2cz+lj

故4A

19.如圖，在五面體ABCOEf■中，四邊形A3EF為正方形，平面A跳戶_L平面CZ)莊，CD!IEF,

DF人EF，EF=2CD=2.

⑴若DF=2,求二面角A—CE—E的正弦值；

(2)若平面ACFJ_平面BCE,求DE的長.

【詳解】

(1)因為平面A5E/J_平面CDEE，平面ABEFf)平面CDEE=E尸，DF入EF，DFu平面CDFE,

所以。尸_1平面A3EF,

所以。E_LAF，DF±FE，

/UU'uuriitni｝

又四邊形MEE為正方形，則A尸，所，所以，以｛FARE,尸。｝為正交基底，建立如圖所示空間直角坐

標系E一孫z.

則尸(0,0,0),4(2,0,0),E(0,2,0),C(0,l,2),

UUULW

則￡4=(2,—2,0)，既？=(0,—1,2)，

設平面ACE的一個法向量為陽二(x,y,z)，

15

UUliuuuu

則〃2_L￡4，m工EC，

m-EA=O2x-2y=0

所以《即《

m?EC=0-y+2z=0

不妨取z=l，則X=y=2,所以而=(2,2,1)；

-----------uuu

又FA=(2,0,0),FE=(0,2,0),FC=((),1,2)

uuuuiuciumi

所以必?JFE=0，FAFC=0'

所以E4J.EE，E4±fT>又FEcFC=F,FEu平面C斯，FCu平面CEF,

所以包=(2,0,0)為平面CE廠的一個法向量,

m-FA2

所以cos<m,FA>=

i^TWi3

A/5

所以二面角A—CE—尸的正弦值為

3

(2)設。/=［，>()),則C(0,l"),

___UUU__UL1U

所以麗=(2,0,0),EC=(0,-l,r)>M=(2,0,0),FC=(0,l,r)>

設平面BCE的一個法向量為E=(a,。,c)，則)_L麗，?±EC，

n-EB-02a=0

所以《

n-EC=Q—b+ct-0

不妨令c=l,則b=f,所以“=(0,r,l).

設平面ACF的一個法向量為s=(p,4,r),

1uu1uuus-FA=0'2p=0

則由s_LFA，51FC-得

S反=0’夕+片=0

不妨取r=l，則4=一入得］=(O,T,l),

因為平面ACF±平面BCE,

所以〃?s=()，即一廠+1=0，得f=1，

即DF=1.

20.近年來，我國的電子商務行業發展迅速，與此同時，相關管理部門建立了針對電商的商品和服務評價

16

3

系統.現從評價系統中選出200次成功的交易，并對其評價進行統計，對商品的好評率為一，對服務的好評

7

率為歷；其中對商品和服務均為好評的有80次

(1)是否可以在犯錯誤概率不超過0.1的前提下，認為商品好評與服務好評有關？

(2)若將頻率視為概率，某人在該購物平臺上進行的4次購物中，設對商品和服務全好評的次數為隨機變

量X：求對商品和服務全好評的次數X的分布列及其期望.

產(“自)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

2n(ad-bcY

K=(其中〃—a+/?+c+d)

(a+/>)(<;+d)(a+c)(b+d)

【詳解】

(1)由題意可得關于商品和服務評價的2x2列聯表如下：

對服務好評對服務不滿意總計

對商品好評8040120

對商品不滿意602080

總計14060200

K-=200a600-2400‘2=11$87<2.706，

140x60x120x80

所以，不可以在犯錯誤概率不超過0.1的前提下，認為商品好評與服務好評有關.

Q02

(2)每次購物時，對商品和服務都好評的概率為荻=g,且X的取值可以是0』,2,3,4.

3216

其中P(X=0)=和X=1)=C：創|)

96

p(X=2)=C：

16

尸(X=4)=

X的分布列為:

17

X01234

812162169616

P丁丁

由于X~8(4，w),EX=1.

21.已知離心率為逅的橢圓C:+衛=1（。>b>0）經過點P（3,l）.

3?b2

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）設點p關于x軸的對稱點為。，過點p斜率為匕，網的兩條動直線與橢圓C的另一交點分別為M、

N（M、N皆異于點。）.若3=；,求AQMN的面積S最大值.

【詳解】

（1）由條件可知￡=邁，則耳?=竺曰=1一2=,，即儲=3片,

a3a2a233

橢圓方程為方■十乒=1,代入點P（3,l）,得從=4，/=12,

22

所以橢圓方程是二+匕=1;

124

（2）設過點P（3,l）的直線尸加的方程：y=4（x-3）+l,與橢圓方程聯立,

得(1+3婷+(6左一184.+27蠟—184—9=0,

27父-1防-9-%-6仁-3

3%二1+3婷"％-[+3好

9抬2-6公一3,,,I一9r一6匕+3

同理與1+3后’因為陜=晨所以“