高中數學《解析幾何》教學設計與反思

課題：3.2.1拋物線及其標準方程

科目數學教學對象：二年級1617班全體學生課時：1課時

提供者：羅宗輝單位：河南省唐河縣第一高級中學

-、教學內容分析

《拋物線及其標準方程》普通高中課程標準試驗教科書數學(選修2-1)

第三章《圓錐曲線與方程》第二節第一課時內容。本節在教材中的地位和作用：

在初中階段，拋物線為學生學習二次函數y=/+&x+c提供直觀的圖象感覺；在

高中階段，它在一元二次不等式的解法、求最大(小)值等方面有著重要的作

用。但學生并不清楚這種曲線的本質，隨著學生數學知識的逐漸完備，尤其是

學習了橢圓的第二定義之后，己具備了探討這個問題的能力。從本章來講，這

一節放在橢圓之后，一方面是三種圓錐曲線統一定義的需要，拋物線是離心率

e=l的特例；另一方面也是解析幾何“用方程研究曲線”這一基本思想的再次

強化。本節對拋物線定義的研究，與初中階段二次函數的圖象遙相呼應，體現

了數學的和諧之美。教材的這種安排，是為了分散難點，符合認知的漸進性原

則。

二、教學目標

1.知識與技能

(1)掌握拋物線的定義.

(2)會推導拋物線的標準方程.

(3)初步掌握確定拋物線的標準方程的方法.

2.過程與方法

通過拋物線的定義及標準方程的推導，進一步掌握求曲線方程的方法.

3.情感、態度與價值觀

營造親切、和諧的氛圍，以“趣”激學。引導學生用運動變化的觀點發現

問題、探索問題、解決問題，培養學生的創新意識，體會數學的簡捷美、和

諧美。培養合作學習的意識，體會成功帶來的喜悅。發展數學應用意識，認

識數學的應用價值。

三、學習者特征分析

我校是省示范性重點高中，有優越的多媒體設備，學生的數學基礎較好，

有強烈的求知欲，具備一定的分析、觀察等能力。在此之前，學生已經熟練握

二次函數圖象、橢圓、雙曲線的第二定義與求軌跡方程等內容，迫切想了解拋

物線的本質特征。但是在動手操作與合作學習等方面，發展不均衡，有待加強。

四、教學策略選擇與設計

為了培養不僅能“學會”知識，而且能“會學”知識的人才以及根據我校

提出的“創設情景、激發情感、主動發現、主動發展”的教學模式，在課堂設

計上，教師應學會如何創設情景，激發學生學習的興趣；圍繞教材的重難點，

比如本節的“拋物線的標準方程及其推導”和“拋物線概念的形成”，教師設

計不同的活動環節，設置由淺入深、環環相扣的問題，通過教師適時的引導，

通過生生間、師生間的交流互動，通過學生自己的發現、分析、探究、反思，

使學生真正成為學習的主人，不斷完善自己的知識體系，提高獲取知識的能力，

嘗試合作學習的快樂，體驗成功的喜悅。

五、教學重點及難點

教學重點：拋物線的定義及其標準方程的推導。通過學生自主建立直角坐標系

和對方程的討論選擇突出重點。

教學難點：拋物線概念的形成。通過條件e=l的畫法設計，標準方程與二次函

數的比較突破難點。

六、教學過程

知識一拋物線的定義

【問題導思】

如圖，我們在黑板上畫一條直線ER然后取一個三角板，將一條拉鏈

固定在三角板的一條直角邊上，并將拉鏈下邊一半的一端固定在C點，將三

角板的另一條直角邊貼在直線E尸上，在拉鎖。處放置一支粉筆，上下拖動三

角板，粉筆會畫出一條曲線.

(1)曲線上點D到直線EF的距離是什么？

(2)曲線上點。到定點C的距離是什么？

(3)曲線上的點到直線E尸和定點C之間的距離有何關系？

【提示】(1)線段D4的長；(2)線段DC的長；(3)相等.

拋物線的定義

平面內與一個定點F和一條定直線/(/不過F)的距離相等的點的集合叫作

拋物線,定點尸叫作拋物線的焦點,定直線/叫作拋物線的準線.

知識二拋物線的標準方程

【問題導思】

1.橢圓的標準方程是用什么方法推導的？

【提示】直接法.

2.求曲線方程時，要建立適當的坐標系，你是怎樣理解“適當”的？

【提示】使所求的曲線方程簡潔.

3.求曲線方程時，需要考察動點的幾何性質，拋物線上的點所滿足的幾何條

件是什么？

【提示】到焦點的距離與到準線的距離相等.

拋物線的標準方程

圖像\&L

4ynL謁%

標準y2=2〃x>2=-f=2〃y-2〃y

方程(。>0)(〃>0)S>0)(〃>0)

焦點

(歲°)(-冬0)(0,2)(0,一§

坐標

準線

尸入一”

2x=2y=~2y=2

方程

課堂互動探究

類型一拋物線的標準方程

例1分別根據下列條件求拋物線的標準方程：

(1)已知拋物線的焦點坐標是F(0,-2)；

(2)準線方程為尸東

(3)焦點在x軸負半軸上，焦點到準線的距離是5.

【思路探究】(1)(2)(3)焦點或準線位置確定，方程的形式就確定，求出參數

P即可.

【自主解答】(1)因為拋物線的焦點在y軸的負半軸上，且一§=-2,則〃=

4,所以，

所求拋物線的標準方程為r=-8y.

(2)因為拋物線的準線在y軸正半軸上，且§=￡，則

Q

所以，所求拋物線的標準方程為％2=-gy.

(3)由焦點到準線的距離為5,知p=5,又焦點在X軸負半軸上，

所以，所求拋物線的標準方程為產=-10工

規律方法

1.確定拋物線的類型是解決本題的關鍵.

2.拋物線的標準方程只有一個待定系數p,故求拋物線的標準方程時，

應設法建立參數p的關系式.

變式訓練分別寫出適合下列條件的拋物線的標準方程：

(1)準線方程為＞=一1；

(2)焦點在x軸的正半軸上，焦點到準線的距離是2.

【解】(1)設拋物線的標準方程為*=20伊防＞0),且準線方程為)=一呈

則一號=-1,p=2,故拋物線的標準方程為f=4y.

(2)設焦點在x軸的正半軸上的拋物線的標準方程為y2=2pxS＞0),

則焦點坐標為(^,0)，準線方程為x=一冬則焦點到準線的距離是一§一5

=p=2,因此，所求拋物線的標準方程是y2=4x.

類型二拋物線定義的運用

例2已知產是拋物線產=尤的焦點，A,8是該拋物線上的兩點，依用+

|BF|=3,則線段A3的中點到y軸的距離為()

357

A.4B.1C，4D.4

【思路探究】

如圖，過A、8分別作準線/的垂線AO,BC,垂足分別為。，C,M是線

段AB的中點，MN垂直準線/于M由于MN是梯形ABC。的中位線，所以|MN|

\AD\+\BC\

=2,

【自主解答】由拋物線的定義知|AD|+|BC|=HW+|BE=3,所以|MN|

3I31

=2,又由于準線/的方程為x=一不所以線段A3中點到y軸的距離為]一

點故選C.

規律方法

1.解答本題的關鍵是利用拋物線的定義把到焦點的距離轉化為到準線的

距離.

2.與拋物線有關的問題中，涉及到焦點的距離或到準線的距離時，一般

是利用定義對兩個距離進行相互轉化.

變式訓練

設拋物線V=8x的焦點為R準線為/,尸為拋物線上一點，PALI,A為

垂足.如果直線AR的斜率為一,，那么|Pf]=()

A.4小B.8C.8小D.16

【解析】如圖，由直線AF的斜率為一小，得NAFH=60。，ZM/7=3O°,

二Z/MF=60°.

又由拋物線的定義知解|=|P~,...△R1F為等邊三角形，

由|"目=4得|AF|=8,；.|P同=8.

【答案】B

類型三拋物線的實際應用

例3一輛卡車高3m,寬1.6m,欲通過斷面為拋物線型的隧道，已知拱

口寬恰好是拱高的4倍，若拱口寬為am,求使卡車通過的a的最小整數值.

【思路探究】本題主要考查拋物線知識的實際應用.解答本題首先建系,

轉化成拋物線的問題，再利用解拋物線的方法解決問題.

【自主解答】以隧道頂點為原點，拱高所在直線為y軸建立直角坐標系，

則點8的坐標為《，一，如圖所示.

4-

設隧道所在拋物線方程為x2=my,

則留=，然?(一/，.\m=-a.,即拋物線方程為爐=-ay.

將(0.8,y)代入拋物線方程，得0.82=-ay,即〉=一十一.

欲使卡車通過隧道，應有y—(―*)>3,即皆一吟'>3.

V(7>0,.">12.21.二。應取13.

規律方法

1.解答本題的關鍵是把實際問題轉化為數學問題，利用數學模型，通過

數學語言(文字、符號、圖形、字母等)表達、分析、解決問題.

2.在建立拋物線的標準方程時，以拋物線的頂點為坐標原點，對稱軸為

一條坐標軸建立坐標系.這樣可使得標準方程不僅具有對稱性，而且曲線過原

點，方程不含常數項，形式更為簡單，便于應用.

變式訓練

.II.I_I_I_I,

I1III-

IIII

11/o'\II

行之三三三含三匹

<~~~4m*-

圖2—2—1

(2012?陜西高考)如圖2—2—1是拋物線形拱橋，當水面在/時，拱頂離水

面2米，水面寬4米.水位下降1米后，水面寬米.

【解析】設水面與橋的一個交點為A,如圖建立直角坐標系則,

23x

%(2-2)

A的坐標為(2,-2).設拋物線方程為x2=-2py,帶入點A得p=l,設

水位下降1米后水面與橋的交點坐標為(xo,-3),則而=—2X(—3),xo=±\R,

所以水面寬度為24米.

易錯易誤辨析

對拋物線的定義認識不清致誤

典例若動點P到定點尸(1,0)和直線/：y=0的距離相等，則動點P的軌

跡是()

A.線段B.直線C.橢圓D.拋物線

【錯解】由拋物線的定義，可知選D

【錯因分析】忽略對拋物線定義中定點不在定直線上的條件，導致判斷

錯誤.

【防范措施】拋物線的定義既給出了拋物線的判定，又給出了拋物線的

性質，理解拋物線定義的實質|PW=d及限制條件點/不在直線/上，是應用

定義解題的前提.

【正解】設動點P(x,y),則.(X—])2+.-])2=飆.化簡得x=[

故動點P的軌跡是直線x=L

【答案】B

課堂小結

1.頂點在原點，對稱軸為坐標軸的拋物線可設為y2=2"或A2=2ay(aW0),

此時。不具有p的幾何意義.

2.拋物線的定義體現了拋物線上的點到焦點的距離與該點到準線距離的

關系，因此涉及拋物線上的點與焦點之間的距離可轉化為點到準線之間的距

離，這樣可使問題簡單化.

3.對于拋物線的四種形式的標準方程，應準確把握、熟練應用，能做出

圖形，會利用圖形分析性質，學習時應能根據一種類型歸納出另外三種的相關

性質，注意數形結合思想的應用.

當堂雙基達標

1.拋物線f=-8y的準線方程是()

A.y=~2B.y=~4C.y=2D.y=4

【解析】由已知得，p=4,

又?.?該拋物線開口向下，，其準線方程為y=2.

【答案】C

2.已知動點P(x,y)滿足N(x—1)2+3-2)213'+1—1川,則P點的軌跡是

()

A.直線B.圓C.橢圓D.拋物線

【解析】由題意知，動點P到定點(1,2)和定直線3x+4y—10=0的距離

相等，

又點(1,2)不在直線3x+4y-10=0上，所以點P的軌跡是拋物線.

【答案】D

3.拋物線V=4x的焦點到準線的距離是.

【解析】由已知得〃=2,...該拋物線的焦點到準線的距離為2

【答案】2

4.平面上動點P到定點/(1,0)的距離比點P到y軸的距離大1,求動點尸的

軌跡方程.

【解】設點P的坐標為(x,y),

則有yj(x—l)2+y2=|x|+1,

兩邊平方并化簡，得y2=2x+2|x|,

即點P的軌跡方程為>2=4x(x20)或)，=0(x<0).

七、教學評價設計

學生課堂表現評價量表

個人同學教師

項目A級B級C級

評價評價評價

認真聽課，沒有走聽課比較認真，偶聽課不認真，走神、

聽課

神，講閑話等現象爾有走神，講閑話講閑話現象比較嚴

情況

等現象重

積極舉手發言，并能舉手發言，答案很少發言，不表達

發言

有自己的見解中自己的思維較少自己的觀點

情況

合作善于與人合作，虛能與人合作，能接缺乏與人合作的精

學習心聽取別人的意見受別人的意見神，難以聽進別人

情況的意見

課堂認真迅速地完成作能完成作業，速度不能完成作業

作業業，作業質量高比較慢或質量一般

情況

我這樣評價自己：

伙伴眼里的我：

老師的話：

學生學習效果評價設計

評價內容

評價方式評價等級

評價項目

ABC1)

對本節課知識的興趣濃厚較濃厚一般弱

自評

本節課獨立思考的習慣強較強中弱

自信心體驗到學習成功的愉悅多較多一般少

理解別人的思路,與同伴交流的意識好較好一般弱

在知識、方法等方面獲得收獲的程度高較高-一般低

本節課發言的次數多較多一般少

同伴互評本節課發言的質量好較好一般差

本節課課堂練習的正確性高牧局一般低

上課聽講的專心程度專注教好一般有時分心

參—活動的;程度高一般低

師評課堂發言反映出的思維深度強較強一般弱

課堂發現問題的角度