2025屆上海市協和雙語學校九年級數學第一學期期末學業水平測試試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題（每題4分，共48分）1．如圖，若二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）圖象的對稱軸為x=1，與y軸交于點C，與x軸交于點A、點B（﹣1，0），則①二次函數的最大值為a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④當y＞0時，﹣1＜x＜3，其中正確的個數是（）A．1 B．2 C．3 D．42．如圖，一只箱子沿著斜面向上運動，箱高AB＝1.3cm，當BC＝2.6m時，點B離地面的距離BE＝1m，則此時點A離地面的距離是（）A．2.2m B．2m C．1.8m D．1.6m3．如圖，等腰直角三角形位于第一象限，，直角頂點在直線上，其中點的橫坐標為，且兩條直角邊，分別平行于軸、軸，若反比例函數的圖象與有交點，則的取值范圍是（）．A． B． C． D．4．如圖，BD是⊙O的直徑，點A、C在⊙O上，，∠AOB＝60°，則∠BDC的度數是（）A．60° B．45° C．35° D．30°5．如圖，在平面直角坐標系中，已知⊙D經過原點O，與x軸、y軸分別交于A、B兩點，B點坐標為（0，2），OC與⊙D相交于點C，∠OCA＝30°，則圖中陰影部分的面積為（）A．2π﹣2 B．4π﹣ C．4π﹣2 D．2π﹣6．如果關于的方程沒有實數根，那么的最大整數值是（）A．-3 B．-2 C．-1 D．07．拋物線y=-2（x+3）2-4的頂點坐標是：A．（3，-4） B．（-3，4） C．（-3，-4） D．（-4，3）8．如圖，正方形的面積為16，是等邊三角形，點在正方形內，在對角線上有一點，使的和最小，則這個最小值為（）A．2 B．4 C．6 D．89．關于二次函數y=﹣（x+1）2+2的圖象，下列判斷正確的是（）A．圖象開口向上B．圖象的對稱軸是直線x=1C．圖象有最低點D．圖象的頂點坐標為（﹣1，2）10．二次函數y=x2-2x+3的最小值是（）A．-2B．2C．-1D．111．下列事件是必然事件的是（）A．若是的黃金分割點，則B．若有意義，則C．若，則D．拋擲一枚骰子，奇數點向上的概率是12．如圖，正三角形ABC的邊長為4cm，D，E，F分別為BC，AC，AB的中點，以A，B，C三點為圓心，2cm為半徑作圓．則圖中陰影部分面積為（）A．（2-π）cm2 B．（π-）cm2 C．（4-2π）cm2 D．（2π-2）cm2二、填空題（每題4分，共24分）13．在一個不透明的袋中有2個紅球，若干個白球，它們除顏色外其它都相同，若隨機從袋中摸出一個球，摸到紅球的概率是，則袋中有白球_________個.14．如圖，某海防響所發現在它的西北方向，距離哨所400米的處有一般船向正東方向航行，航行一段時間后到達哨所北偏東方向的處，則此時這般船與哨所的距離約為________米．（精確到1米，參考數據：，）15．若點、在同一個反比例函數的圖象上，則的值為________．16．關于的一元二次方程有實數根，則實數的取值范圍是________．17．在直角坐標平面內，拋物線在對稱軸的左側部分是______的.18．如圖，矩形ABCD中，AB=4，BC=5，AF平分∠DAE，EF⊥AE，則CF=______．三、解答題（共78分）19．（8分）有紅、黃兩個盒子，紅盒子中藏有三張分別標有數字，，1的卡片，黃盒子中藏有三張分別標有數字1，3，2的卡片，卡片外形相同．現甲從紅盒子中取出一張卡片，乙從黃盒子中取出一張卡片，并將它們的數字分別記為a，b．(1)請你用樹形圖或列表法列出所有可能的結果．(2)現制定這樣一個游戲規則：若所選出的a，b能使得二次函數y=ax2+bx+1的圖像與x軸有兩個不同的交點，則稱甲獲勝；否則稱乙獲勝．請問這樣的游戲規則公平嗎?請你用概率知識解釋．20．（8分）如圖，直線經過⊙上的點，直線與⊙交于點和點，與⊙交于點，連接，.已知，，，.（1）求證：直線是⊙的切線；（2）求的長.21．（8分）在中，，，以點為圓心、為半徑作圓，設點為⊙上一點，線段繞著點順時針旋轉，得到線段，連接、．（1）在圖中，補全圖形，并證明.（2）連接，若與⊙相切，則的度數為.（3）連接，則的最小值為；的最大值為.22．（10分）如圖，四邊形ABCD是⊙O的內接四邊形，，AC為直徑，DE⊥BC，垂足為E．（1）求證：CD平分∠ACE；（2）若AC=9，CE=3，求CD的長．23．（10分）如圖，已知在正方形ABCD中，M是BC邊上一定點，連接AM，請用尺規作圖法，在AM上求作一點P，使得△DPA∽△ABM（不寫做法保留作圖痕跡）24．（10分）定義：在平面直角坐標系中，對于任意兩點，，若點滿足，，那么稱點是點，的融合點.例如：，，當點滿是，時，則點是點，的融合點，（1）已知點，，，請說明其中一個點是另外兩個點的融合點.（2）如圖，點，點是直線上任意一點，點是點，的融合點.①試確定與的關系式.②若直線交軸于點，當為直角三角形時，求點的坐標.25．（12分）如圖，在△ABC中，點D是邊AB上的一點，∠ADC＝∠ACB．（1）證明：△ADC∽△ACB；（2）若AD＝2，BD＝6，求邊AC的長．26．（操作發現）如圖①，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網格中，△ABC的三個頂點均在格點上．（1）請按要求畫圖：將△ABC繞點A按順時針方向旋轉90°，點B的對應點為B′，點C的對應點為C′，連接BB′；（2）在（1）所畫圖形中，∠AB′B=____．（問題解決）（3）如圖②，在等邊三角形ABC中，AC=7，點P在△ABC內，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面積．小明同學通過觀察、分析、思考，對上述問題形成了如下想法：想法一：將△APC繞點A按順時針方向旋轉60°，得到△AP′B，連接PP′，尋找PA，PB，PC三條線段之間的數量關系；想法二：將△APB繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到△AP′C′，連接PP′，尋找PA，PB，PC三條線段之間的數量關系．…請參考小明同學的想法，完成該問題的解答過程．（一種方法即可）

參考答案一、選擇題（每題4分，共48分）1、B【解析】分析：直接利用二次函數圖象的開口方向以及圖象與x軸的交點，進而分別分析得出答案．詳解：①∵二次函數y=ax2+bx+c（a≠0）圖象的對稱軸為x=1，且開口向下，∴x=1時，y=a+b+c，即二次函數的最大值為a+b+c，故①正確；②當x=﹣1時，a﹣b+c=0，故②錯誤；③圖象與x軸有2個交點，故b2﹣4ac＞0，故③錯誤；④∵圖象的對稱軸為x=1，與x軸交于點A、點B（﹣1，0），∴A（3，0），故當y＞0時，﹣1＜x＜3，故④正確．故選B．點睛：此題主要考查了二次函數的性質以及二次函數最值等知識，正確得出A點坐標是解題關鍵．2、A【分析】先根據勾股定理求出CE，再利用相似三角形的判定與性質進而求出DF、AF的長即可得出AD的長．【詳解】解：由題意可得：AD∥EB，則∠CFD＝∠AFB＝∠CBE，△CDF∽△CEB，∵∠ABF＝∠CEB＝90°，∠AFB＝∠CBE，∴△CBE∽△AFB，∴＝＝，∵BC＝2.6m，BE＝1m，∴EC＝2.4（m），即＝＝，解得：FB＝，AF＝，∵△CDF∽△CEB，∴＝，即解得：DF＝，故AD＝AF+DF＝+＝2.2（m），答：此時點A離地面的距離為2.2m．故選：A．【點睛】本題考查了勾股定理、相似三角形的判定和性質，利用勾股定理，正確利用相似三角形的性質得出FD的長是解題的關鍵．3、D【解析】設直線y=x與BC交于E點，分別過A、E兩點作x軸的垂線，垂足為D、F，則A（1，1），而AB=AC=2，則B（3，1），△ABC為等腰直角三角形，E為BC的中點，由中點坐標公式求E點坐標，當雙曲線與△ABC有唯一交點時，這個交點分別為A、E，由此可求出k的取值范圍.解：∵，．．又∵過點，交于點，∴，∴，∴．故選D.4、D【解析】試題分析：直接根據圓周角定理求解．連結OC，如圖，∵=，∴∠BDC=∠BOC=∠AOB=×60°=30°．故選D．考點：圓周角定理．5、A【分析】從圖中明確S陰=S半-S△，然后依公式計算即可．【詳解】∵∠AOB=90°，∴AB是直徑，連接AB，根據同弧對的圓周角相等得∠OBA=∠C=30°，由題意知OB=2，∴OA=OBtan∠ABO=OBtan30°=2，AB=AO÷sin30°=4即圓的半徑為2，∴陰影部分的面積等于半圓的面積減去△ABO的面積，故選A.【點睛】輔助線問題是初中數學的難點，能否根據題意準確作出適當的輔助線很能反映一個學生的對圖形的理解能力，因而是中考的熱點，尤其在壓軸題中比較常見，需特別注意.6、B【分析】先根據根的判別式求出k的取值范圍，再從中找到最大整數即可．【詳解】解得∴k的最大整數值是-2故選：B．【點睛】本題主要考查根的判別式，掌握根的判別式與根的個數的關系是解題的關鍵．7、C【解析】試題分析：拋物線的頂點坐標是（-3，-4）．故選C．考點：二次函數的性質．8、B【分析】由于點B與點D關于AC對稱，所以連接BE，與AC的交點即為F，此時，FD+FE=BE最小，而BE是等邊三角形ABE的邊，BE=AB，由正方形面積可得AB的長，從而得出結果．【詳解】解：由題意可知當點P位于BE與AC的交點時，有最小值．設BE與AC的交點為F，連接BD，∵點B與點D關于AC對稱∴FD=FB∴FD+FE=FB+FE=BE最小又∵正方形ABCD的面積為16∴AB=1∵△ABE是等邊三角形∴BE=AB=1．故選：B．【點睛】本題考查的知識點是軸對稱中的最短路線問題，解題的關鍵是弄清題意，找出相對應的相等線段．9、D【解析】二次函數的頂點式是：y=a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常數），它的對稱軸是x=h，頂點坐標是（h，k），據此進行判斷即可.【詳解】∵﹣1＜0，∴函數的開口向下，圖象有最高點，這個函數的頂點是（﹣1，2），對稱軸是x=﹣1，∴選項A、B、C錯誤，選項D正確，故選D．【點睛】本題考查了二次函數的性質，熟練掌握拋物線的開口方向，對稱軸，頂點坐標是解題的關鍵．10、B【解析】試題解析：因為原式=x1-1x+1+1=（x-1）11，所以原式有最小值，最小值是1．故選B．11、D【分析】根據必然事件是肯定會發生的事件，對每個選項進行判斷，即可得到答案.【詳解】解：A、若是的黃金分割點，則；則A為不可能事件；B、若有意義，則；則B為隨機事件；C、若，則，則C為不可能事件；D、拋擲一枚骰子，奇數點向上的概率是；則D為必然事件；故選：D.【點睛】本題考查了必然事件的定義，解題的關鍵是熟練掌握定義.12、C【分析】連接AD，由等邊三角形的性質可知AD⊥BC，∠A=∠B=∠C=60°，根據S陰影=S△ABC-3S扇形AEF即可得出結論．【詳解】連接AD，∵△ABC是正三角形，∴AB=BC=AC=4，∠BAC=∠B=∠C=60°，∵BD=CD，∴AD⊥BC，∴AD==，∴S陰影=S△ABC-3S扇形AEF=×4×2﹣=(4﹣2π)cm2，故選C．【點睛】本題考查了有關扇形面積的計算，熟記扇形的面積公式是解答此題的關鍵．二、填空題（每題4分，共24分）13、6【分析】根據概率公式結合取出紅球的概率即可求出袋中球的總個數.【詳解】解：設袋中有x個球.根據題意得，解得x=8（個），8-2=6個，∴袋中有8個白球.故答案為：6.【點睛】此題考查了概率的計算方法，如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現m種結果，那么事件A的概率P（A）=．14、566【分析】通過解直角△OAC求得OC的長度，然后通過解直角△OBC求得OB的長度即可．【詳解】設與正北方向線相交于點，根據題意，所以，在中，因為，所以，中，因為，所以（米）．故答案為566.【點睛】考查了解直角三角形的應用-方向角的問題．此題是一道方向角問題，結合航海中的實際問題，將解直角三角形的相關知識有機結合，體現了數學應用于實際生活的思想．15、【分析】設反比例函數的解析式為（k為常數，k≠0），把A（3，8）代入函數解析式求出k，得出函數解析式，把B點的坐標代入，即可求出答案．【詳解】解：設反比例函數的解析式為(k為常數,k≠0)，把A(3,8)代入函數解析式得：k=24，即，把B點的坐標代入得：故答案為?6.【點睛】考查待定系數法求反比例函數解析式，熟練掌握待定系數法是解題的關鍵.16、且【解析】根據根的判別式△≥0且二次項系數求解即可.【詳解】由題意得，16-4≥0，且，解之得且.故答案為：且.【點睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的判別式?=b2﹣4ac與根的關系，熟練掌握根的判別式與根的關系式解答本題的關鍵.當?>0時，一元二次方程有兩個不相等的實數根；當?=0時，一元二次方程有兩個相等的實數根；當?<0時，一元二次方程沒有實數根.17、下降【分析】由拋物線解析式可求得其開口方向，再結合二次函數的增減性則可求得答案．【詳解】解：∵在y=(x-1)2-3中，a=1＞0，

∴拋物線開口向上，

∴在對稱軸左側部分y隨x的增大而減小，即圖象是下降的，

故答案為：下降．【點睛】本題主要考查二次函數的性質，利用二次函數的解析式求得拋物線的開口方向是解題的關鍵．18、【解析】試題分析：證△AEF≌△ADF，推出AE=AD=5，EF=DF，在△ABE中，由勾股定理求出BE=3，求出CE=2，設CF=x，則EF=DF=4-x，在Rt△CFE中，由勾股定理得出方程（4-x）2=x2+22，求出x即可．試題解析：∵AF平分∠DAE，∴∠DAF=∠EAF，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠D=∠C=90°，AD=BC=5，AB=CD=4，∵EF⊥AE，∴∠AEF=∠D=90°，在△AEF和△ADF中，，∴△AEF≌△ADF（AAS），∴AE=AD=5，EF=DF，在△ABE中，∠B=90°，AE=5，AB=4，由勾股定理得：BE=3，∴CE=5-3=2，設CF=x，則EF=DF=4-x，在Rt△CFE中，由勾股定理得：EF2=CE2+CF2，∴（4-x）2=x2+22，x=，CF=．考點：矩形的性質．三、解答題（共78分）19、（1）見解析；（2）不公平，理由見解析【分析】（1）首先根據題意畫出樹狀圖，然后根據樹狀圖即可求得所有等可能的結果；

（2）二次函數的圖像與x軸有兩個不同的交點，利用一元二次方程根的判別式，即可判定各種情況下根的情況，然后利用概率公式求解即可求得甲、乙獲勝的概率，比較概率大小，即可確定這樣的游戲規是否公平．【詳解】解：（1）畫樹狀圖得：的可能結果有，、，、，、，、，、，、、及，取值結果共有9種；（2）當，時，△，此時無實數根，當，時，△，此時有兩個不相等的實數根，當，時，△，此時有兩個不相等的實數根，當，時，△，此時有兩個相等的實數根，當，時，△，此時有兩個不相等的實數根，當，時，△，此時有兩個不相等的實數根，當，時，△，此時無實數根，當，時，△，此時有兩個不相等的實數根，當，時，△，此時有兩個相等的實數根，（甲獲勝）△（乙獲勝），這樣的游戲規則對甲有利，不公平．【點睛】本題考查的是游戲公平性的判斷．判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平．20、（1）見解析；（2）【解析】（1）欲證明直線AB是O的切線，只要證明OC⊥AB即可．

（2）作ON⊥DF于N，延長DF交AB于M，在RT△CDM中，求出DM、CM即可解決問題．【詳解】（1）證明：連結OC，∵OA=OB，AC=CB∴，∵點C在⊙O上，∴AB是⊙O的切線，（2）作于N，延長DF交AB于M．∵，∴DN=NF=3，在中，∵，OD=5，DN=3，∴又∵，，∴∴FM//OC∵，∴，∴四邊形OCMN是矩形，∴CM=ON=4，MN=OC=5在中，∵，∴.【點睛】本題考查了切線的判定，矩形的判定及性質，結合圖形作合適的輔助線，想法證明OC⊥AB時解題的關鍵.21、（1）證明見解析；（2）或；（3）【分析】（1）根據題意，作出圖像，然后利用SAS證明，即可得到結論；（2）根據題意，由與⊙相切，得到∠BMN=90°，結合點M的位置，即可求出的度數；（3）根據題意，當點N恰好落在線段AB上時，BN的值最小；當點N落在BA延長線上時，BN的值最大，分別求出BN的值，即可得到答案.【詳解】解：（1）如圖，補全圖形，證明：，∵，，；（2）根據題意，連接MN，∵與⊙相切，∴∠BMN=90°，∵△MNC是等腰直角三角形，∴∠CMN=45°，如上圖所示，∠BMC=；如上圖所示，∠BMC=；綜合上述，的度數為：或；故答案為：或；（3）根據題意，當點N恰好落在線段AB上時，BN的值最小；如圖所示，∵AN=BM=1，∵，∴；當點N落在BA延長線上時，BN的值最大，如圖所示，由AN=BN=1，∴BN=BA+AN=2+1=3；∴的最小值為1；的最大值為3；故答案為：1，3.【點睛】本題考查了圓的性質，全等三角形的旋轉模型，等腰直角三角形的判定和性質，以及勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握圓的動點問題，注意利用數形結合和分類討論的思想進行解題.22、（1）證明見解析；（2）【解析】分析:（1）根據圓內接四邊形的性質得到∠DCE=∠BAD，根據圓周角定理得到∠DCE=∠BAD，證明即可；（2）證明△DCE∽△ACD，根據相似三角形的性質列出比例式，計算即可．詳解:（1）證明：∵四邊形ABCD是⊙O內接四邊形，∴∠BAD+∠BCD=180°，∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠DCE=∠BAD，∵=，∴∠BAD=∠ACD，∴∠DCE=∠ACD，∴CD平分∠ACE；（2）解：∵AC為直徑，∴∠ADC=90°，∵DE⊥BC，∴∠DEC=90°，∴∠DEC=∠ADC，∵∠DCE=∠ACD，∴△DCE∽△ACD，∴=，即=，∴CD=3．點睛:本題考查的是圓內接四邊形的性質、圓周角定理，掌握圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角是解題的關鍵．23、作圖見解析.【解析】根據尺規作圖的方法過點D作AM的垂線即可得【詳解】如圖所示，點P即為所求作的點.【點睛】本題考查了尺規作圖——作垂線，熟練掌握作圖的方法是解題的關鍵.24、（1）點是點，的融合點；（2）①，②符合題意的點為，.【解析】（1）由題中融合點的定義即可求得答案.（2）①由題中融合點的定義可得，.②結合題意分三種情況討論：（ⅰ）時，畫出圖形，由融合點的定義求得點坐標；（ⅱ）時，畫出圖形，由融合點的定義求得點坐標；（ⅲ）時，由題意知此種情況不存在.【詳解】（1）解：，∴點是點，的融合點（2）解：①由融合點定義知，得．又∵，得∴，化簡得．②要使為直角三角形，可分三種情況討論：（i）當時，如圖1所示，設，則點為．由點是點，的融合點，可得或，解得，∴點．（ii）當時，如圖2所示，則點為．由點是點，的融合點，可得點．（iii）當時，該情況不