河北省邯鄲市永年區第二中學高三下學期第一次質量檢測試題新高考數學試題試卷注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知，若對任意，關于x的不等式（e為自然對數的底數）至少有2個正整數解，則實數a的取值范圍是（）A． B． C． D．2．已知集合，則()A． B．C． D．3．設，是非零向量，若對于任意的，都有成立，則A． B． C． D．4．已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于，兩點（設點位于第一象限），過點，分別作拋物線的準線的垂線，垂足分別為點，，拋物線的準線交軸于點，若，則直線的斜率為A．1 B． C． D．5．已知集合，，則的真子集個數為（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個6．若復數z滿足,則復數z在復平面內對應的點在()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．在區間上隨機取一個數，使得成立的概率為等差數列的公差，且，若，則的最小值為（）A．8 B．9 C．10 D．118．已知是雙曲線的左右焦點，過的直線與雙曲線的兩支分別交于兩點（A在右支，B在左支）若為等邊三角形，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．9．在菱形中，，，，分別為，的中點，則（）A． B． C．5 D．10．已知集合的所有三個元素的子集記為．記為集合中的最大元素，則（）A． B． C． D．11．執行如圖所示的程序框圖，輸出的結果為（）A． B．4 C． D．12．函數的圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數，對于任意都有，則的值為______________.14．四邊形中，，，，，則的最小值是______.15．如圖，四面體的一條棱長為，其余棱長均為1，記四面體的體積為，則函數的單調增區間是____；最大值為____.16．已知集合，則_______．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）己知等差數列的公差，，且，，成等比數列.（1）求使不等式成立的最大自然數n；（2）記數列的前n項和為，求證：.18．（12分）如圖1，在邊長為4的正方形中，是的中點，是的中點，現將三角形沿翻折成如圖2所示的五棱錐.（1）求證：平面；（2）若平面平面，求直線與平面所成角的正弦值.19．（12分）已知函數.（1）求函數的單調區間；（2）當時，如果方程有兩個不等實根，求實數t的取值范圍，并證明.20．（12分）設橢圓：的左、右焦點分別為，，下頂點為，橢圓的離心率是，的面積是.（1）求橢圓的標準方程.（2）直線與橢圓交于，兩點（異于點），若直線與直線的斜率之和為1，證明：直線恒過定點，并求出該定點的坐標.21．（12分）已知橢圓C：（）的左、右焦點分別為，，離心率為，且過點.（1）求橢圓C的方程；（2）過左焦點的直線l與橢圓C交于不同的A，B兩點，若，求直線l的斜率k.22．（10分）隨著科技的發展，網絡已逐漸融入了人們的生活．網購是非常方便的購物方式，為了了解網購在我市的普及情況，某調查機構進行了有關網購的調查問卷，并從參與調查的市民中隨機抽取了男女各100人進行分析，從而得到表（單位：人）經常網購偶爾或不用網購合計男性50100女性70100合計（1）完成上表，并根據以上數據判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為我市市民網購與性別有關？（2）①現從所抽取的女市民中利用分層抽樣的方法抽取10人，再從這10人中隨機選取3人贈送優惠券，求選取的3人中至少有2人經常網購的概率；②將頻率視為概率，從我市所有參與調查的市民中隨機抽取10人贈送禮品，記其中經常網購的人數為，求隨機變量的數學期望和方差．參考公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】

構造函數（），求導可得在上單調遞增,則,問題轉化為,即至少有2個正整數解,構造函數,,通過導數研究單調性,由可知，要使得至少有2個正整數解,只需即可,代入可求得結果.【詳解】構造函數（），則（），所以在上單調遞增，所以，故問題轉化為至少存在兩個正整數x，使得成立，設，，則，當時，單調遞增；當時，單調遞增.，整理得.故選:B.【點睛】本題考查導數在判斷函數單調性中的應用,考查不等式成立問題中求解參數問題,考查學生分析問題的能力和邏輯推理能力,難度較難.2、B【解析】

先由得或，再計算即可.【詳解】由得或，，,又，.故選：B【點睛】本題主要考查了集合的交集，補集的運算，考查學生的運算求解能力.3、D【解析】

畫出，，根據向量的加減法，分別畫出的幾種情況，由數形結合可得結果.【詳解】由題意，得向量是所有向量中模長最小的向量，如圖，當，即時，最小，滿足，對于任意的，所以本題答案為D.【點睛】本題主要考查了空間向量的加減法，以及點到直線的距離最短問題，解題的關鍵在于用有向線段正確表示向量，屬于基礎題.4、C【解析】

根據拋物線定義，可得，，又，所以，所以，設，則，則，所以，所以直線的斜率．故選C．5、C【解析】

求出的元素，再確定其真子集個數．【詳解】由，解得或，∴中有兩個元素，因此它的真子集有3個．故選：C.【點睛】本題考查集合的子集個數問題，解題時可先確定交集中集合的元素個數，解題關鍵是對集合元素的認識，本題中集合都是曲線上的點集．6、A【解析】

化簡復數，求得，得到復數在復平面對應點的坐標，即可求解.【詳解】由題意，復數z滿足，可得，所以復數在復平面內對應點的坐標為位于第一象限故選：A.【點睛】本題主要考查了復數的運算，以及復數的幾何表示方法，其中解答中熟記復數的運算法則，結合復數的表示方法求解是解答的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.7、D【解析】

由題意，本題符合幾何概型，只要求出區間的長度以及使不等式成立的的范圍區間長度，利用幾何概型公式可得概率，即等差數列的公差，利用條件，求得，從而求得，解不等式求得結果.【詳解】由題意，本題符合幾何概型，區間長度為6，使得成立的的范圍為，區間長度為2，故使得成立的概率為，又，，，令，則有，故的最小值為11，故選：D.【點睛】該題考查的是有關幾何概型與等差數列的綜合題，涉及到的知識點有長度型幾何概型概率公式，等差數列的通項公式，屬于基礎題目.8、D【解析】

根據雙曲線的定義可得的邊長為，然后在中應用余弦定理得的等式，從而求得離心率．【詳解】由題意，，又，∴，∴，在中，即，∴．故選：D．【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，解題關鍵是應用雙曲線的定義把到兩焦點距離用表示，然后用余弦定理建立關系式．9、B【解析】

據題意以菱形對角線交點為坐標原點建立平面直角坐標系，用坐標表示出，再根據坐標形式下向量的數量積運算計算出結果.【詳解】設與交于點，以為原點，的方向為軸，的方向為軸，建立直角坐標系，則，，，，，所以.故選：B.【點睛】本題考查建立平面直角坐標系解決向量的數量積問題，難度一般.長方形、正方形、菱形中的向量數量積問題，如果直接計算較麻煩可考慮用建系的方法求解.10、B【解析】

分類討論，分別求出最大元素為3,4,5,6的三個元素子集的個數，即可得解.【詳解】集合含有個元素的子集共有，所以．在集合中：最大元素為的集合有個；最大元素為的集合有；最大元素為的集合有；最大元素為的集合有；所以．故選：．【點睛】此題考查集合相關的新定義問題，其本質在于弄清計數原理，分類討論，分別求解.11、A【解析】

模擬執行程序框圖，依次寫出每次循環得到的的值，當，，退出循環，輸出結果.【詳解】程序運行過程如下：，；，；，；，；，；，；，，退出循環，輸出結果為，故選：A.【點睛】該題考查的是有關程序框圖的問題，涉及到的知識點有判斷程序框圖輸出結果，屬于基礎題目.12、B【解析】

根據函數奇偶性，可排除D；求得及，由導函數符號可判斷在上單調遞增，即可排除AC選項.【詳解】函數易知為奇函數，故排除D.又，易知當時，；又當時，，故在上單調遞增，所以，綜上，時，，即單調遞增.又為奇函數，所以在上單調遞增，故排除A，C.故選：B【點睛】本題考查了根據函數解析式判斷函數圖象，導函數性質與函數圖象關系，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

由條件得到函數的對稱性，從而得到結果【詳解】∵f＝f，∴x＝是函數f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一條對稱軸．∴f＝±2.【點睛】本題考查了正弦型三角函數的對稱性，注意對稱軸必過最高點或最低點，屬于基礎題.14、【解析】

在中利用正弦定理得出，進而可知，當時，取最小值，進而計算出結果.【詳解】，如圖，在中，由正弦定理可得，即，故當時，取到最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查解三角形，同時也考查了常見的三角函數值，考查邏輯推理能力與計算能力，屬于中檔題．15、(或寫成)【解析】試題分析：設，取中點則,因此,所以，因為在單調遞增，最大值為所以單調增區間是，最大值為考點：函數最值，函數單調區間16、【解析】

由可得集合是奇數集，由此可以得出結果.【詳解】解：因為所以集合中的元素為奇數，所以.【點睛】本題考查了集合的交集，解析出集合B中元素的性質是本題解題的關鍵.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析【解析】

（1）根據，，成等比數列，有，結合公差，，求得通項，再解不等式.（2）根據（1），用裂項相消法求和，然后研究其單調性即可.【詳解】（1）由題意，可知，即，∴.又，，∴，∴.∴，∴，故滿足題意的最大自然數為.（2），∴...從而當時，單調遞增，且，當時，單調遞增，且，所以，由，知不等式成立.【點睛】本題主要考查等差數列的基本運算和裂項相消法求和，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.18、（1）證明見解析；（2）.【解析】

（1）利用線面平行的定義證明即可（2）取的中點，并分別連接，，然后，證明相應的線面垂直關系，分別以，，為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，利用坐標運算進行求解即可【詳解】證明：（1）在圖1中，連接.又，分別為，中點，所以.即圖2中有.又平面，平面，所以平面.解：（2）在圖2中，取的中點，并分別連接，.分析知，，.又平面平面，平面平面，平面，所以平面.又，所以，，.分別以，，為軸，軸，軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，所以，，.設平面的一個法向量，則，取，則，，所以.又，所以.分析知，直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查線面平行的證明以及利用空間向量求解線面角問題，屬于基礎題19、（1）當時，的單調遞增區間是，單調遞減區間是；當時，的單調遞增區間是，單調遞減區間是；（2），證明見解析.【解析】

（1）求出，對分類討論，分別求出的解，即可得出結論；（2）由（1）得出有兩解時的范圍，以及關系，將，等價轉化為證明，不妨設，令，則，即證，構造函數，只要證明對于任意恒成立即可.【詳解】（1）的定義域為R，且.由，得；由，得.故當時，函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是；當時，函數的單調遞增區間是，單調遞減區間是.（2）由（1）知當時，，且.當時，；當時，.當時，直線與的圖像有兩個交點，實數t的取值范圍是.方程有兩個不等實根，，，，，，即.要證，只需證，即證，不妨設.令，則，則要證，即證.令，則.令，則，在上單調遞增，.，在上單調遞增，，即成立，即成立..【點睛】本題考查函數與導數的綜合應用，涉及到函數單調性、極值、零點、不等式證明，構造函數函數是解題的關鍵，意在考查直觀想象、邏輯推理、數學計算能力，屬于較難題.20、（1）；（2）證明見解析，.【解析】

（1）根據離心率和的面積是得到方程組，計算得到答案.（2）先排除斜率為0時的情況，設，，聯立方程組利用韋達定理得到，，根據化簡得到，代入直線方程得到答案.【詳解】（1）由題意可得，解得，，則橢圓的標準方程是.（2）當直線的斜率為0時，直線與直線關于軸對稱，則直線與直線的斜率之和為零，與題設條件矛盾，故直線的斜率不為0.設，，直線的方程為聯立，整理得則，.因為直線與直線的斜率之和為1，所以，所以，將，代入上式，整理得.所以，即，則直線的方程為.故直線恒過定點.【點睛】本題考查了橢圓的標準方程，直線過定點問題，計算出是解題的關鍵，意在考查學生的計算能力和轉化能力.21、（1）（2）直線l的斜率為或【解析】

(1)根據已知列出方程組即可解得橢圓方程;(2)設直線方程,與橢圓方程聯立,轉化為,借助向量的數量積的坐標表示,及韋達定理即可求得結果.【詳解】（1）由題意得解得故橢圓C的方程為.（2）直線l的