專題5.2平行線的判定【八大題型】【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1定義與命題】 1【題型2判斷命題真假】 2【題型3推理與論證】 2【題型4確定兩直線平行的條件】 4【題型5補(bǔ)充過程證明兩直線平行】 5【題型6利用平行線的判定進(jìn)行證明】 7【題型7旋轉(zhuǎn)使兩直線平行】 8【題型8平行線判定的實(shí)際應(yīng)用】 9【知識(shí)點(diǎn)1定義與命題】1、命題的概念敘述一件事情的句子（陳述句），要么是真的，要么是假的，那么稱這個(gè)陳述句是一個(gè)命題。備注：（1）命題必須是一個(gè)完整的句子。（2）這個(gè)句子必須對(duì)某事情作出肯定或者否定的判斷，二者缺一不可。2、命題的結(jié)構(gòu)每個(gè)命題都有題設(shè)和結(jié)論兩部分組成。題設(shè)是已知的事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推斷出的事項(xiàng)。一般地，命題都可以寫出“如果，那么”的形式。有的命題表面上看不具有“如果，那么”的形式，但可以寫成這種形式。如：“對(duì)頂角相等”，改寫成“如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等”。【題型1定義與命題】【例1】（2023下·河北滄州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）下列語句中：①若∠1=60°，則∠1=∠2；②同位角相等嗎？③畫線段AB=CD；④如果a>b，b>c，那么a>c；⑤直角都相等。是命題的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【變式1-1】（2013下·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列敘述錯(cuò)誤的是(

)A．所有的命題都有條件和結(jié)論 B．所有的命題都是定理C．所有的定理都是命題 D．所有的公理都是真命題【變式1-2】（2023下·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）把命題“對(duì)頂角相等”寫成“如果……那么……”的形式是：【變式1-3】（2023下·四川涼山·八年級(jí)校考階段練習(xí)）下列命題①兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；②相等的角是對(duì)頂角；③等角的補(bǔ)角相等；④垂線段最短可作為定理的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【知識(shí)點(diǎn)2真命題與假命題】如果一個(gè)命題敘述的事情是真的，那么稱它是真命題；如果一個(gè)命題敘述的事情是假的，那么稱它是假命題。備注：真、假命題的區(qū)別就在于其是否是正確的，在判斷命題的真假時(shí)，要注意把握這點(diǎn)。【題型2判斷命題真假】【例2】（2023上·安徽合肥·八年級(jí)校考期中）下列命題：①在同一平面內(nèi)，已知直線a、b，若a⊥b,b⊥c，則a⊥c；②在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有相交和平行兩種；③過直線上一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；④已知直線a，b，如果a∥b,b∥c，那么a∥c，其中真命題是（

）A．①②③ B．②④ C．②③④ D．③④【變式2-1】（2023上·浙江·八年級(jí)周測(cè)）下列可以作為命題“若x>y，則x2>yA．x=?2，y=?1 B．x=2，y=?1 C．x=?1，y=?2 D．【變式2-2】（2023上·山西晉城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）命題“若a>b，則a>b”是【變式2-3】（2023上·八年級(jí)單元測(cè)試）指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論，并判斷它們是真命題還是假命題，如果是假命題，舉出一個(gè)反例．（1）兩個(gè)角的和等于平角時(shí)，這兩個(gè)角互為補(bǔ)角；（2）內(nèi)錯(cuò)角相等；（3）兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．【題型3推理與論證】【例3】（2023·浙江·八年級(jí)期末）最近網(wǎng)上一個(gè)燒腦問題的關(guān)注度很高（如圖所示），通過仔細(xì)觀察、分析圖形，你認(rèn)為打開水龍頭，哪個(gè)標(biāo)號(hào)的杯子會(huì)先裝滿水（

）A．3號(hào)杯子 B．5號(hào)杯子 C．6號(hào)杯子 D．7號(hào)杯子【變式3-1】（2023·江西上饒·八年級(jí)期中）描金又稱泥金畫漆，是一種傳統(tǒng)工藝美術(shù)技藝．起源于戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，在漆器表面，用金色描繪花紋的裝飾方法，常以黑漆作底，也有少數(shù)以朱漆為底．描金工作分為兩道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描繪花紋．現(xiàn)甲、乙兩位工匠要完成A，B，C三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描繪花紋．每道工序所需的時(shí)間(單位：小時(shí))如下：原料時(shí)間工序原料A原料B原料C上漆101613描繪花紋15812則完成這三件原料的描金工作最少需要小時(shí)．【變式3-2】（2023上·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)長(zhǎng)沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語學(xué)校校考階段練習(xí)）A，B，C，D，E五名同學(xué)猜測(cè)自己的數(shù)學(xué)成績(jī).A說：“如果我得優(yōu)，那么B也得優(yōu).”B說：“如果我得優(yōu)，那么C也得優(yōu).”C說：“如果我得優(yōu)，那么D也得優(yōu).”D說：“如果我得優(yōu)，那么E也得優(yōu).”大家都沒說錯(cuò)，但只有三個(gè)人得優(yōu)，請(qǐng)問得優(yōu)的三個(gè)人是（填字母）.【變式3-3】（2023·江蘇·南京外國(guó)語學(xué)校八年級(jí)期中）字母a，b，c，d各代表正方形、線段、正三角形、圓四個(gè)圖形中的一種，將它們兩兩組合，并用字母連接表示，如表是三種組合與連接的對(duì)應(yīng)表，由此可推斷圖形的連接方式為.組合連接a⊕bb⊕dd⊕c【知識(shí)點(diǎn)3平行線的判定】①兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.（同位角相等，兩直線平行）.②兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行.（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.③兩直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則這兩條直線平行.（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.）【題型4確定兩直線平行的條件】【例4】（2023下·安徽六安·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，下列條件能判定AB∥CD的是（

∠1=∠3 B．∠4＝∠5 C．∠B=∠D D．∠B+∠2+∠4=180°【變式4-1】（2023下·河北廊坊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，下列說法錯(cuò)誤的是（）

A．若∠1=∠2，則AB∥CD B．若∠1+∠3=180°C．若∠3=∠5，則AB∥CD D．若∠4=∠5【變式4-2】（2023下·山東日照·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在下列給出的條件中，不能判定DE∥BC的是（A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠5=∠C D．∠B+∠BDE=180°【變式4-3】（2023上·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知條件：①∠1=∠2；②∠2=∠3；③∠3=∠5；④∠3+∠4=180°；⑤∠5+∠6=180°；⑥∠7=∠2+∠3．其中不能夠判定直線【題型5補(bǔ)充過程證明兩直線平行】【例5】（2023下·福建寧德·八年級(jí)統(tǒng)考期中）請(qǐng)把以下說理過程補(bǔ)充完整：如圖，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，說明BE與DF平行的理由．解：理由是：因?yàn)锳B⊥BC

，所以∠ABC=__________°，即：∠3+∠4=__________°．因?yàn)椤?+∠2=90°，且∠2=∠3，所以___________=___________（___________）．所以BE∥DF（_____________________）．【變式5-1】（2023下·北京延慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，∠B+∠BAD=180°，∠1=∠2．求證：AB∥CD．請(qǐng)將下面的證明過程補(bǔ)充完整．證明：∵∠B+∠BAD=180°（已知），∠1+∠BAD=180°（），∴∠1=∠B（）．∵∠1=∠2（已知），∴∠2＝（）．∴AB∥CD（）．【變式5-2】（2023下·四川達(dá)州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）推理填空：已知：如圖AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1=∠2，求證：BE∥

證明：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C（已知）∴∠1+∠3=90°∴∠1與∠3互余，∠2與∠4互余又∵∠1=∠2（），∴＝（）∴BE∥CF（【變式5-3】（2023下·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）完成下面的證明：已知：如圖，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2=90°．求證：AB∥CD．證明：∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC=2∠1（）．∵BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD=（角的平分線的定義）．∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2∠1+∠2（∵∠1+∠2=90°（已知），∴∠ABD+∠BDC=（）．∴AB∥CD（）．【題型6利用平行線的判定進(jìn)行證明】【例6】（2023下·廣西南寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC，點(diǎn)B，C，E在同一直線上．

(1)∠DAB+∠B等于多少度？(2)若∠B=∠D，AB與CD平行嗎？證明你的結(jié)論．【變式6-1】（2023下·廣東東莞·八年級(jí)校考期中）在四邊形ABCD中，BE平分∠ABC，∠1=∠3．證明：AD∥

【變式6-2】（2023下·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，將△ABD沿AD翻折得到△AED，設(shè)BC與AE交于點(diǎn)F．(1)若△ABF的周長(zhǎng)為12，△DEF的周長(zhǎng)4，求AF的長(zhǎng)；(2)若∠ADC=∠DAC，證明：DE∥【變式6-3】（2023下·陜西西安·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，直線AB和CD被直線MN所截．

(1)如圖1，EG平分∠BEF，F(xiàn)H平分∠DFE（平分的是一對(duì)同旁內(nèi)角），則∠1與∠2滿足______時(shí)，AB∥(2)如圖2，EG平分∠MEB，F(xiàn)H平分∠DFE（平分的是一對(duì)同位角），則∠1與∠2滿足______時(shí)，AB∥(3)如圖3，EG平分∠AEF，F(xiàn)H平分∠DFE（平分的是一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角），則∠1與∠2滿足______時(shí)，AB∥【題型7旋轉(zhuǎn)使兩直線平行】【例7】（2023下·新疆烏魯木齊·八年級(jí)校考期末）如圖，若將木條a繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)后使其與木條b平行，則旋轉(zhuǎn)的最小角度為()A．65° B．85° C．95° D．115°【變式7-1】（2023下·河北秦皇島·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，直線EF上有兩點(diǎn)A，C，分別引兩條射線AB，CD，∠BAF=110°，∠DCF=60°，射線AB，CD別繞A點(diǎn)，C點(diǎn)以1度/秒和3度/秒的速度同時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為t，在射線CD轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，使得CD與AB

【變式7-2】（2023下·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖（1），在△ABC中，∠A=42°，BC邊繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周回到原來的位置．在旋轉(zhuǎn)的過程中（圖（2）），當(dāng)∠ACB′=（

A．42° B．138° C．42°或138° D．42°或128°【變式7-3】（2023下·重慶·八年級(jí)重慶八中校考階段練習(xí)）如圖，PQ//MN，A、B分別為直線MN、PQ上兩點(diǎn)，且∠BAN=45°，若射線AM繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN后立即回轉(zhuǎn)，射線BQ繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BP后立即回轉(zhuǎn)，兩射線分別繞點(diǎn)A、點(diǎn)B不停地旋轉(zhuǎn)，若射線AM轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是a°/秒，射線BQ轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是b°/秒，且a、b滿足a?5+b?12=0．若射線AM繞點(diǎn)A順時(shí)針先轉(zhuǎn)動(dòng)18秒，射線BQ才開始繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在射線BQ到達(dá)BA之前，問射線【題型8平行線判定的實(shí)際應(yīng)用】【例8】（2023下·浙江臺(tái)州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）在鋪設(shè)鐵軌時(shí)，兩條直軌必須是互相平行的，如圖，已經(jīng)知道∠2是直角，那么再度量圖中已標(biāo)出的哪個(gè)角，不能判斷兩條直軌是否平行(

)A．∠1 B．∠3 C．∠4 D．∠5【變式8-1】（2023下·江西贛州·八年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖所示的四種沿AB進(jìn)行折疊的方法中，不一定能判斷紙帶兩條邊a，b互相平行的是（）A．如圖1，展開后測(cè)得∠1=∠2 B．如圖2，展開后測(cè)得∠1=∠2且∠3=∠4C．如圖3，測(cè)得∠1=∠2 D．在圖4中，展開后測(cè)得∠1+∠2=180°【變式8-2】（2023下·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）光線從空氣中射入水中會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象，同時(shí)光線從水中射入空氣中也會(huì)產(chǎn)生折射現(xiàn)象，如圖，光線a從空氣中射入水中，再?gòu)乃猩淙肟諝庵校纬晒饩€b，根據(jù)光學(xué)知識(shí)有∠1=∠2，∠3=∠4，請(qǐng)判斷光線a與光線b是否平行，并說明理由．【變式8-3】（2023下·陜西延安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一條公路繞湖而過，測(cè)得三個(gè)拐彎的角度分別為∠A＝120°，∠B＝150°，∠C＝150°，試判斷公路AE與CF是否平行，并說明理由．

專題5.2平行線的判定【八大題型】【華東師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1定義與命題】 1【題型2判斷命題真假】 3【題型3推理與論證】 5【題型4確定兩直線平行的條件】 7【題型5補(bǔ)充過程證明兩直線平行】 11【題型6利用平行線的判定進(jìn)行證明】 15【題型7旋轉(zhuǎn)使兩直線平行】 19【題型8平行線判定的實(shí)際應(yīng)用】 24【知識(shí)點(diǎn)1定義與命題】1、命題的概念敘述一件事情的句子（陳述句），要么是真的，要么是假的，那么稱這個(gè)陳述句是一個(gè)命題。備注：（1）命題必須是一個(gè)完整的句子。（2）這個(gè)句子必須對(duì)某事情作出肯定或者否定的判斷，二者缺一不可。2、命題的結(jié)構(gòu)每個(gè)命題都有題設(shè)和結(jié)論兩部分組成。題設(shè)是已知的事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推斷出的事項(xiàng)。一般地，命題都可以寫出“如果，那么”的形式。有的命題表面上看不具有“如果，那么”的形式，但可以寫成這種形式。如：“對(duì)頂角相等”，改寫成“如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等”。【題型1定義與命題】【例1】（2023下·河北滄州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）下列語句中：①若∠1=60°，則∠1=∠2；②同位角相等嗎？③畫線段AB=CD；④如果a>b，b>c，那么a>c；⑤直角都相等。是命題的有（

）A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)命題的定義逐項(xiàng)判斷即可．【詳解】②③都不是判斷一件事情的語句，不是命題；①④⑤為判斷一件事情的語句，是命題．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查命題的識(shí)別，牢記命題的定義（判斷一件事情的語句叫做命題）是解題的關(guān)鍵．【變式1-1】（2013下·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）下列敘述錯(cuò)誤的是(

)A．所有的命題都有條件和結(jié)論 B．所有的命題都是定理C．所有的定理都是命題 D．所有的公理都是真命題【答案】B【詳解】A.所有的命題都有條件和結(jié)論，C.所有的定理都是命題，D.所有的公理都是真命題，均正確，不符合題意；B.只有真命題才是定理，故錯(cuò)誤，本選項(xiàng)符合題意故選：B【點(diǎn)睛】概念問題是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，很重要，但此類問題往往知識(shí)點(diǎn)比較獨(dú)立，故在中考中不太常見，常以填空題、選擇題形式出現(xiàn)，屬于基礎(chǔ)題，難度一般.【變式1-2】（2023下·甘肅平?jīng)觥ぐ四昙?jí)統(tǒng)考期末）把命題“對(duì)頂角相等”寫成“如果……那么……”的形式是：【答案】如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等【分析】先找到命題的題設(shè)和結(jié)論，再寫成“如果…那么…”的形式．【詳解】解：把命題“對(duì)頂角相等”寫成“如果……那么……”的形式是“如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等”；故答案為：如果兩個(gè)角是對(duì)頂角，那么這兩個(gè)角相等【點(diǎn)睛】本題主要考查了將原命題寫成條件與結(jié)論的形式，“如果”后面是命題的條件，“那么”后面是條件的結(jié)論，解決本題的關(guān)鍵是找到相應(yīng)的條件和結(jié)論，比較簡(jiǎn)單．【變式1-3】（2023下·四川涼山·八年級(jí)校考階段練習(xí)）下列命題①兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；②相等的角是對(duì)頂角；③等角的補(bǔ)角相等；④垂線段最短可作為定理的有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)平行線的判定定理對(duì)①進(jìn)行判斷；根據(jù)對(duì)頂角的定義對(duì)②進(jìn)行判斷；根據(jù)補(bǔ)角的定義對(duì)③進(jìn)行判斷；根據(jù)直線外一點(diǎn)與直線上所有點(diǎn)的連線中，垂線段最短可對(duì)④進(jìn)行判斷．【詳解】解∶兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，所以①可作為定理；相等的角是對(duì)頂角是假命題，所以②不能作為定理；等角的補(bǔ)角相等，所以③可作為定理；垂線段最短，所以④可作為定理．故選∶C．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理∶判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯(cuò)誤的命題稱為假命題；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理．【知識(shí)點(diǎn)2真命題與假命題】如果一個(gè)命題敘述的事情是真的，那么稱它是真命題；如果一個(gè)命題敘述的事情是假的，那么稱它是假命題。備注：真、假命題的區(qū)別就在于其是否是正確的，在判斷命題的真假時(shí)，要注意把握這點(diǎn)。【題型2判斷命題真假】【例2】（2023上·安徽合肥·八年級(jí)校考期中）下列命題：①在同一平面內(nèi)，已知直線a、b，若a⊥b,b⊥c，則a⊥c；②在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有相交和平行兩種；③過直線上一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；④已知直線a，b，如果a∥b,b∥c，那么a∥c，其中真命題是（

）A．①②③ B．②④ C．②③④ D．③④【答案】B【分析】本題考查判斷命題的真假，根據(jù)平行線的判定，垂線的性質(zhì)，平面內(nèi)直線的位置關(guān)系，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：①在同一平面內(nèi)，已知直線a、b，若a⊥b,b⊥c，則a∥c；故①錯(cuò)誤；②在同一平面內(nèi)，兩條直線的位置關(guān)系只有相交和平行兩種；故②正確；③同一平面內(nèi)，過直線上一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直；故③錯(cuò)誤；④已知直線a，b，如果a∥b,b∥c，那么a∥c，故④正確；故真命題有②④；故選B．【變式2-1】（2023上·浙江·八年級(jí)周測(cè)）下列可以作為命題“若x>y，則x2>yA．x=?2，y=?1 B．x=2，y=?1 C．x=?1，y=?2 D．【答案】C【分析】此題主要考查了利用舉反例說明一個(gè)命題錯(cuò)誤，要證明一個(gè)例題不成立，可以通過舉反例：即符合命題條件，但不符合命題結(jié)論．【詳解】解：∵當(dāng)x=?1，y=?2時(shí)，?22>?1∴x>y，但是x2∴x=?1，y=其他選項(xiàng)不能說明；故選：C．【變式2-2】（2023上·山西晉城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）命題“若a>b，則a>b”是【答案】假【分析】本題考查了命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯(cuò)誤的命題叫做假命題．根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)判斷真假即可．【詳解】解：∵?5>2，但∴命題“若a>b，則故答案為：假【變式2-3】（2023上·八年級(jí)單元測(cè)試）指出下列命題的題設(shè)和結(jié)論，并判斷它們是真命題還是假命題，如果是假命題，舉出一個(gè)反例．（1）兩個(gè)角的和等于平角時(shí)，這兩個(gè)角互為補(bǔ)角；（2）內(nèi)錯(cuò)角相等；（3）兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．【答案】（1）題設(shè)：如果兩個(gè)角的和等于平角時(shí)，結(jié)論：那么這兩個(gè)角互為補(bǔ)角；是真命題；（2）題設(shè)：如果兩個(gè)角是內(nèi)錯(cuò)角，那么這兩個(gè)角相等；是假命題，反例見解析；（3）題設(shè)：如果兩條平行線被第三條直線所截，結(jié)論：那么內(nèi)錯(cuò)角相等．是真命題．【分析】（1）根據(jù)將命題寫成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面寫題設(shè)，“那么”后面寫結(jié)論可得題設(shè)和結(jié)論，根據(jù)平角的定義可得該命題是真命題；（2）根據(jù)將命題寫成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面寫題設(shè)，“那么”后面寫結(jié)論可得題設(shè)和結(jié)論，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得該命題是假命題；利用相交直線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角不相等可舉反例；（3）根據(jù)將命題寫成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面寫題設(shè)，“那么”后面寫結(jié)論可得題設(shè)和結(jié)論，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得該命題是真命題；．【詳解】（1）題設(shè)：如果兩個(gè)角的和等于平角，結(jié)論：那么這兩個(gè)角互為補(bǔ)角；是真命題；（2）題設(shè)：如果兩個(gè)角是內(nèi)錯(cuò)角，那么這兩個(gè)角相等；是假命題，如圖∠1與∠2是內(nèi)錯(cuò)角，∠2＞∠1；（3）題設(shè)：如果兩條平行線被第三條直線所截，結(jié)論：那么內(nèi)錯(cuò)角相等．是真命題．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的相關(guān)知識(shí)．將命題寫成“如果…，那么…”的形式，就是要明確命題的題設(shè)和結(jié)論，“如果”后面寫題設(shè)，“那么”后面寫結(jié)論．關(guān)鍵是明確命題與定理的組成部分，會(huì)判斷命題的題設(shè)與結(jié)論．【題型3推理與論證】【例3】（2023·浙江·八年級(jí)期末）最近網(wǎng)上一個(gè)燒腦問題的關(guān)注度很高（如圖所示），通過仔細(xì)觀察、分析圖形，你認(rèn)為打開水龍頭，哪個(gè)標(biāo)號(hào)的杯子會(huì)先裝滿水（

）A．3號(hào)杯子 B．5號(hào)杯子 C．6號(hào)杯子 D．7號(hào)杯子【答案】A【分析】根據(jù)水先從位置低的出口可判斷先灌滿1號(hào)杯子左側(cè)幾個(gè)杯子，再觀察3號(hào)杯子的兩個(gè)出口即可得出答案．【詳解】解：∵1號(hào)杯子左側(cè)出口比右側(cè)高，∴水先從左側(cè)流出，進(jìn)入3號(hào)杯子，∵3杯子左側(cè)封閉，只有右側(cè)流出，而右側(cè)流入5號(hào)杯子，但5號(hào)杯子的出口端封閉∴水最終會(huì)先灌滿3號(hào)杯子，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查推理與論證，解題的關(guān)鍵是掌握水先從位置低的出口流出，并仔細(xì)觀察各出口閉合狀態(tài)即可．【變式3-1】（2023·江西上饒·八年級(jí)期中）描金又稱泥金畫漆，是一種傳統(tǒng)工藝美術(shù)技藝．起源于戰(zhàn)國(guó)時(shí)期，在漆器表面，用金色描繪花紋的裝飾方法，常以黑漆作底，也有少數(shù)以朱漆為底．描金工作分為兩道工序，第一道工序是上漆，第二道工序是描繪花紋．現(xiàn)甲、乙兩位工匠要完成A，B，C三件原料的描金工作，每件原料先由甲上漆，再由乙描繪花紋．每道工序所需的時(shí)間(單位：小時(shí))如下：原料時(shí)間工序原料A原料B原料C上漆101613描繪花紋15812則完成這三件原料的描金工作最少需要小時(shí)．【答案】47【分析】根據(jù)分析，甲按A、C、B的順序，乙中途不會(huì)出現(xiàn)停頓進(jìn)行解答即可．【詳解】甲按A、C、B的順序，完成這三件原料的描金工作最少需要10+13+16+8=47（小時(shí)），故答案為：47．【點(diǎn)睛】此題考查推理與論證，關(guān)鍵是得出工作順序．【變式3-2】（2023上·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)長(zhǎng)沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語學(xué)校校考階段練習(xí)）A，B，C，D，E五名同學(xué)猜測(cè)自己的數(shù)學(xué)成績(jī).A說：“如果我得優(yōu)，那么B也得優(yōu).”B說：“如果我得優(yōu)，那么C也得優(yōu).”C說：“如果我得優(yōu)，那么D也得優(yōu).”D說：“如果我得優(yōu)，那么E也得優(yōu).”大家都沒說錯(cuò)，但只有三個(gè)人得優(yōu)，請(qǐng)問得優(yōu)的三個(gè)人是（填字母）.【答案】C,D,E【分析】本題考查邏輯推理，根據(jù)題意結(jié)合反證法的思想作相應(yīng)推理得出結(jié)論．【詳解】解：由題意，若A得優(yōu)，則A，B，C，D，E均為優(yōu)，不合題意，則A非優(yōu)；若B得優(yōu)，則B，C，D，E均為優(yōu)，不合題意，故B非優(yōu)；因只有三個(gè)得優(yōu)，故C,D,E得優(yōu)．故答案為：C,D,E【點(diǎn)睛】本題考查邏輯推理,根據(jù)題意由條件，得出相應(yīng)結(jié)論，運(yùn)用反證法的思想是解題問題的關(guān)鍵．【變式3-3】（2023·江蘇·南京外國(guó)語學(xué)校八年級(jí)期中）字母a，b，c，d各代表正方形、線段、正三角形、圓四個(gè)圖形中的一種，將它們兩兩組合，并用字母連接表示，如表是三種組合與連接的對(duì)應(yīng)表，由此可推斷圖形的連接方式為.組合連接a⊕bb⊕dd⊕c【答案】a⊕c【分析】首先根據(jù)已知圖形中兩個(gè)圖形中共同含有的圖形，就可以判斷每個(gè)符號(hào)所代表的圖形，即可得出結(jié)論．【詳解】解：結(jié)合題表中前兩個(gè)圖可以看出：b代表正方形；結(jié)合后兩個(gè)圖可以看出：d代表圓；因此a代表線段，c代表三角形，所以圖形的連接方式為：a⊕c.故答案為a⊕c.【點(diǎn)睛】本題主要考查推理與論證，觀察、分析識(shí)別圖形的能力；解決此題的關(guān)鍵是通過觀察圖形確定a，b，c，d各代表什么圖形．【知識(shí)點(diǎn)3平行線的判定】①兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行.（同位角相等，兩直線平行）.②兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么這兩條直線平行.（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.③兩直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，則這兩條直線平行.（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.）【題型4確定兩直線平行的條件】【例4】（2023下·安徽六安·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，下列條件能判定AB∥CD的是（

∠1=∠3 B．∠4＝∠5 C．∠B=∠D D．∠B+∠2+∠4=180°【答案】D【分析】根據(jù)平行線的判定定理求解判斷即可．【詳解】解：A．∠1=∠3，不能判定AB∥CD，不符合題意；B．∠4=∠5，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行可判定AD∥BC，不能判定AB∥CD，不符合題意；C．∠B=∠D，不能判定AB∥CD，不符合題意；D．∠B+∠4+∠2=180°，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行可判定AB∥CD，符合題意．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了平行線的判定，熟記“同位角相等，兩直線平行”、“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”及“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”是解題的關(guān)鍵．【變式4-1】（2023下·河北廊坊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，下列說法錯(cuò)誤的是（）

A．若∠1=∠2，則AB∥CD B．若∠1+∠3=180°C．若∠3=∠5，則AB∥CD D．若∠4=∠5【答案】C【分析】根據(jù)平行線的判定，同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，對(duì)各項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、∠1=∠2，根據(jù)同位角相等，兩直線平行，可判定AB∥B、如圖，

∵∠1+∠3=180°，∠1+∠6=180°，∴∠3=∠6，∴AB∥C、∠3，∠5不是內(nèi)錯(cuò)角，故∠3=∠5不能判定AB∥D、∠4，∠5是內(nèi)錯(cuò)角，可以判定出AB∥故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解答本題的關(guān)鍵．【變式4-2】（2023下·山東日照·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在下列給出的條件中，不能判定DE∥BC的是（A．∠1=∠2 B．∠3=∠4 C．∠5=∠C D．∠B+∠BDE=180°【答案】B【分析】根據(jù)平行線的判定定理逐一判斷即可．【詳解】因?yàn)椤?=∠2，所以DE∥故A不符合題意；因?yàn)椤?=∠4，不能判斷DE∥故B符合題意；因?yàn)椤?=∠C，所以DE∥故C不符合題意；因?yàn)椤螧+∠BDE=180°，所以DE∥故D不符合題意；故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定，熟練掌握平行線的判定定理是解題的關(guān)鍵．【變式4-3】（2023上·河南南陽·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知條件：①∠1=∠2；②∠2=∠3；③∠3=∠5；④∠3+∠4=180°；⑤∠5+∠6=180°；⑥∠7=∠2+∠3．其中不能夠判定直線【答案】①③④⑤⑥【分析】根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，即可判斷①；根據(jù)同位角相等，兩直線平行，即可判斷③；根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，即可判斷④；根據(jù)同角的補(bǔ)交相等可得∠4=∠6，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行，即可判斷⑤；過點(diǎn)B作BD∥b，則∠3=∠ABD，從而得出∠2=∠CBD，進(jìn)而得出【詳解】解：①∵∠1=∠2，∴a∥故①能夠判定直線a∥②∠2=∠3不能判定a∥③∵∠3=∠5，∴a∥故③能夠判定直線a∥④∵∠3+∠4=180∴a∥故④能夠判定直線a∥⑤∵∠5+∠6=180°，∴∠4=∠6，∴∴a∥故⑤能夠判定直線a∥⑥過點(diǎn)B作BD∥∵BD∥∴∠3=∠ABD，∵∠7=∠2+∠3，∠7=∠ABD+∠CBD，∴∠2=∠CBD，∴BD∥∴a∥故⑥能夠判定直線a∥綜上：能夠判定直線a∥故答案為：①③④⑤⑥．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的判定定理，解題的關(guān)鍵是掌握：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；平行于同一直線的兩直線互相平行．【題型5補(bǔ)充過程證明兩直線平行】【例5】（2023下·福建寧德·八年級(jí)統(tǒng)考期中）請(qǐng)把以下說理過程補(bǔ)充完整：如圖，AB⊥BC，∠1+∠2=90°，∠2=∠3，說明BE與DF平行的理由．解：理由是：因?yàn)锳B⊥BC

，所以∠ABC=__________°，即：∠3+∠4=__________°．因?yàn)椤?+∠2=90°，且∠2=∠3，所以___________=___________（___________）．所以BE∥DF（_____________________）．【答案】90，90；∠1，∠4，等角的余角相等；同位角相等兩直線平行【分析】由AB垂直于BC，利用垂直的定義得到∠ABC為直角，進(jìn)而得到∠3與∠4互余，再由∠1與∠2互余，根據(jù)∠2＝∠3，利用等角的余角相等得到∠1＝∠4，利用同位角相等兩直線平行即可得證．【詳解】解：理由是：∵AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，即∠3＋∠4＝90°．又∵∠1＋∠2＝90°，且∠2＝∠3，∴∠1＝∠4，理由是：等角的余角相等，∴BE//理由是：同位角相等，兩直線平行．故答案為：90；90；∠1，∠4；等角的余角相等；同位角相等，兩直線平行．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定以及余角和補(bǔ)角，利用等角的余角相等找出∠1＝∠4是解題的關(guān)鍵．【變式5-1】（2023下·北京延慶·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，∠B+∠BAD=180°，∠1=∠2．求證：AB∥CD．請(qǐng)將下面的證明過程補(bǔ)充完整．證明：∵∠B+∠BAD=180°（已知），∠1+∠BAD=180°（），∴∠1=∠B（）．∵∠1=∠2（已知），∴∠2＝（）．∴AB∥CD（）．【答案】見解析【分析】根據(jù)平行的判定定理證明即可．【詳解】∵∠B+∠BAD=180°（已知），∠1+∠BAD=180°（平角定義），∴∠1=∠B（同角的補(bǔ)角相等）．∵∠1=∠2（已知），∴∠2=∠B（等量代換）．∴AB∥CD（同位角相等，兩條直線平行）．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的判定定理，解題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定定理：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．【變式5-2】（2023下·四川達(dá)州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）推理填空：已知：如圖AB⊥BC于B，CD⊥BC于C，∠1=∠2，求證：BE∥

證明：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C（已知）∴∠1+∠3=90°∴∠1與∠3互余，∠2與∠4互余又∵∠1=∠2（），∴＝（）∴BE∥CF（【答案】已知；∠3；∠4；等角的余角相等；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行【分析】注意觀察圖中角之間的位置關(guān)系，主要依據(jù)為同角或等角的余角相等，平行線的判定定理．【詳解】解：∵AB⊥BC于B，CO⊥BC于C（已知）∴∠1+∠3=90°∴∠1與∠3互余，∠2與∠4互余又∵∠1=∠2（已知），∴∠3=∠4（等角的余角相等）∴BE∥CF（【點(diǎn)睛】本題主要考查同角或等角的余角相等，內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；熟練相關(guān)定理的運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【變式5-3】（2023下·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）完成下面的證明：已知：如圖，BE平分∠ABD，DE平分∠BDC，且∠1+∠2=90°．求證：AB∥CD．證明：∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC=2∠1（）．∵BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD=（角的平分線的定義）．∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2∠1+∠2（∵∠1+∠2=90°（已知），∴∠ABD+∠BDC=（）．∴AB∥CD（）．【答案】角平分線的定義；2∠2；等式的性質(zhì)；180°；等量代換；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行【分析】首先根據(jù)角平分線的定義可得∠BDC=2∠1，∠ABD=2∠2，根據(jù)等量代換可得∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2∠1+∠2，進(jìn)而得到∠ABD+∠BDC=180°【詳解】證明：∵DE平分∠BDC（已知），∴∠BDC=2∠1（角平分線的定義）．∵BE平分∠ABD（已知），∴∠ABD=2∠2（角的平分線的定義）．∴∠BDC+∠ABD=2∠1+2∠2=2∠1+∠2∵∠1+∠2=90°（已知），∴∠ABD+∠BDC=180°（等量代換）．∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行）．【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的判定，關(guān)鍵是掌握角平分線定義和平行線的判定方法．【題型6利用平行線的判定進(jìn)行證明】【例6】（2023下·廣西南寧·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖∠1=30°，∠B=60°，AB⊥AC，點(diǎn)B，C，E在同一直線上．

(1)∠DAB+∠B等于多少度？(2)若∠B=∠D，AB與CD平行嗎？證明你的結(jié)論．【答案】(1)180(2)平行，理由見解析【分析】（1）由AB⊥AC得∠BAC=90°，已知∠1=30°，∠B=60°，根據(jù)∠DAB+∠B=∠1+∠BAC+∠B計(jì)算即可；（2）由（1）得：∠DAB+∠B=180°，結(jié)合∠B=∠D，得∠DAB+∠D=180°，根據(jù)“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”，即可證明AB與CD平行．【詳解】（1）∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，又∵∠1=30°，∠B=60°，∴∠DAB+∠B=∠1+∠BAC+∠B=30°+90°+60°=180°，故∠DAB+∠B等于180度．（2）∵∠B=∠D，由（1）得：∠DAB+∠B=180°，∴∠DAB+∠D=180°，∴AB與CD平行．（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）【點(diǎn)睛】本題考查了角度計(jì)算、平行線的判定，熟練計(jì)算、掌握平行線的判定定理“同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行”，是解題的關(guān)鍵．【變式6-1】（2023下·廣東東莞·八年級(jí)校考期中）在四邊形ABCD中，BE平分∠ABC，∠1=∠3．證明：AD∥

【答案】見解析【分析】根據(jù)角平分線的定義可得∠1=∠2，再由∠1=∠3，可得∠2=∠3，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，即可得證．【詳解】證明：∵BE平分∠ABC，∴∠1=∠2，又∵∠1=∠3，∴∠2=∠3，∴AD∥【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，平行線的判定，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．【變式6-2】（2023下·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，將△ABD沿AD翻折得到△AED，設(shè)BC與AE交于點(diǎn)F．(1)若△ABF的周長(zhǎng)為12，△DEF的周長(zhǎng)4，求AF的長(zhǎng)；(2)若∠ADC=∠DAC，證明：DE∥【答案】(1)AF的長(zhǎng)為4；(2)見解析【分析】（1）設(shè)BD=a，DF=b，AF=x，由折疊的性質(zhì)得DE=BD=a，AB=AE=x+EF，再根據(jù)周長(zhǎng)公式列式計(jì)算即可求解；（2）由折疊的性質(zhì)得∠ADB=∠ADE，由鄰補(bǔ)角的性質(zhì)結(jié)合已知，推出∠DAC+∠ADE=180°，根據(jù)平行線的判定定理即可得到結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)BD=a，DF=b，AF=x，∵將△ABD沿AD翻折得到△AED，∴DE=BD=a，AB=AE=x+EF，∵△DEF的周長(zhǎng)4，∴EF=4?a+b∴AB=x+4?a+b∵△ABF的周長(zhǎng)為12，，∴x+4?a+b解得x=4，即AF的長(zhǎng)為4；（2）證明：由折疊的性質(zhì)得∠ADB=∠ADE，∵∠ADC+∠ADB=180°，∴∠ADC+∠ADE=180°，∵∠ADC=∠DAC，∴∠DAC+∠ADE=180°，∴DE∥【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，平行線的判定，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式6-3】（2023下·陜西西安·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，直線AB和CD被直線MN所截．

(1)如圖1，EG平分∠BEF，F(xiàn)H平分∠DFE（平分的是一對(duì)同旁內(nèi)角），則∠1與∠2滿足______時(shí)，AB∥(2)如圖2，EG平分∠MEB，F(xiàn)H平分∠DFE（平分的是一對(duì)同位角），則∠1與∠2滿足______時(shí)，AB∥(3)如圖3，EG平分∠AEF，F(xiàn)H平分∠DFE（平分的是一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角），則∠1與∠2滿足______時(shí)，AB∥【答案】(1)∠1+∠2=90°，見解析(2)∠1=∠2，見解析(3)∠1=∠2，見解析【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠BEF=2∠1，∠EFD=2∠2，故∠1與∠2滿足∠1+∠2=90°，即可得出∠BEF+∠EFD=2∠1+∠2=180°，即可判斷（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠BEM=2∠1，∠EFD=2∠2，故∠1與∠2滿足∠1=∠2，即可得∠BEM=∠DFE，即可判斷AB∥（3）同（2）的分析即得結(jié)論．【詳解】（1）當(dāng)∠1與∠2滿足∠1+∠2=90°時(shí)，AB∥∵EG平分∠BEF，F(xiàn)H平分∠DFE，∴∠BEF=2∠1，∠EFD=2∠2，∵∠1+∠2=90°，∴∠BEF+∠EFD=2∠1+∠2∴AB∥（2）當(dāng)∠1與∠2滿足∠1=∠2時(shí)，AB∥∵EG平分∠MEB，F(xiàn)H平分∠DFE，∴∠BEM=2∠1，∠EFD=2∠2，∵∠1=∠2，∴∠BEM=∠DFE，∴AB∥

（3）當(dāng)∠1與∠2滿足∠1=∠2時(shí)，AB∥∵EG平分∠AEF，F(xiàn)H平分∠DFE，∴∠AEF=2∠1，∠EFD=2∠2，∵∠1=∠2，∴∠AEF=∠DFE，∴AB∥【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義和平行線的判定，熟練掌握平行線的判定方法是解題的關(guān)鍵，常見的判定兩直線平行的方法有：同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行．【題型7旋轉(zhuǎn)使兩直線平行】【例7】（2023下·新疆烏魯木齊·八年級(jí)校考期末）如圖，若將木條a繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)后使其與木條b平行，則旋轉(zhuǎn)的最小角度為()A．65° B．85° C．95° D．115°【答案】B【分析】根據(jù)同位角相等兩直線平行可得當(dāng)∠AOB=65°時(shí)，a∥【詳解】解：∵當(dāng)∠AOB=65°時(shí)，a∴旋轉(zhuǎn)的最小角度為150°﹣65°=85°，故選：B【點(diǎn)睛】此題主要考查了平行線的判定，關(guān)鍵是掌握同位角相等兩直線平行．【變式7-1】（2023下·河北秦皇島·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖所示，直線EF上有兩點(diǎn)A，C，分別引兩條射線AB，CD，∠BAF=110°，∠DCF=60°，射線AB，CD別繞A點(diǎn)，C點(diǎn)以1度/秒和3度/秒的速度同時(shí)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)時(shí)間為t，在射線CD轉(zhuǎn)動(dòng)一周的時(shí)間內(nèi)，使得CD與AB

【答案】5或95【分析】分①AB與CD在EF的兩側(cè)時(shí)，分別表示出∠ACD與∠BAC，然后根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，列式計(jì)算即可得解；②CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據(jù)同位角相等兩直線平行，列式計(jì)算即可得解；③CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)，分別表示出∠DCF與∠BAC，然后根據(jù)同位角相等兩直線平行，列式計(jì)算即可得解．【詳解】∵∠DCF=60°，∴∠ACD=180°?∠DCF=180°?60°=120°，分三種情況：如圖①，AB與CD在EF的兩側(cè)時(shí)，∠ACD=120°?3t°，

要使AB∥CD，則即120°?3t解得t=5；如圖②，CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的右側(cè)時(shí)，

∠DCF=360°?3t°?60°=300°?3t要使AB∥CD，則即300°?3t解得t=95；如圖③，CD旋轉(zhuǎn)到與AB都在EF的左側(cè)時(shí)，

∠DCF=3t°?(180°?60°+180°)=3t要使AB∥CD，則即3t°?300°=t°?110°解得t=95，此時(shí)∠BAC=t°?110°<0°，∴此情況不存在．綜上所述，當(dāng)時(shí)間t的值為5秒或95秒時(shí)，CD與AB平行．故答案為：5或95．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定、一元一次方程的應(yīng)用，讀懂題意并熟練掌握根據(jù)平行線的判定方法列方程是解題的關(guān)鍵，要注意分情況討論．【變式7-2】（2023下·河北石家莊·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖（1），在△ABC中，∠A=42°，BC邊繞點(diǎn)C按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周回到原來的位置．在旋轉(zhuǎn)的過程中（圖（2）），當(dāng)∠ACB′=（

A．42° B．138° C．42°或138° D．42°或128°【答案】C【分析】結(jié)合旋轉(zhuǎn)的過程可知，因?yàn)镃B'位置的改變，∠ACB【詳解】解：如圖（2）①，當(dāng)∠ACB'=42°時(shí)，∵∠A=42∴∠ACB'=∠A．∴CB'∥AB．如圖（2）②，當(dāng)∠ACB'=138°時(shí)，∵∠A=42°，∴∠AC∴CB'∥AB．綜上可得，當(dāng)∠ACB'=42°或∠AC故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定、分類討論的數(shù)學(xué)思想等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)CB'在旋轉(zhuǎn)過程中的不同位置，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．【變式7-3】（2023下·重慶·八年級(jí)重慶八中校考階段練習(xí)）如圖，PQ//MN，A、B分別為直線MN、PQ上兩點(diǎn)，且∠BAN=45°，若射線AM繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AN后立即回轉(zhuǎn)，射線BQ繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至BP后立即回轉(zhuǎn)，兩射線分別繞點(diǎn)A、點(diǎn)B不停地旋轉(zhuǎn)，若射線AM轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是a°/秒，射線BQ轉(zhuǎn)動(dòng)的速度是b°/秒，且a、b滿足a?5+b?12=0．若射線AM繞點(diǎn)A順時(shí)針先轉(zhuǎn)動(dòng)18秒，射線BQ才開始繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，在射線BQ到達(dá)BA之前，問射線【答案】15或22.5【分析】先由題意得出a，b的值，再推出射線AM繞點(diǎn)A順時(shí)針先轉(zhuǎn)動(dòng)18秒后，AM轉(zhuǎn)動(dòng)至AM'的位置，∠MAM'=18°×5=90°，然后分情況討論即可．【詳解】∵a?5+∴a=5，b=1，設(shè)射線AM再轉(zhuǎn)動(dòng)t秒時(shí)，射線AM、射線BQ互相平行，如圖