綜合拔高練五年高考練考點1用空間向量解決立體幾何中的證明、求值問題1.(2023北京,16)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥平面ABC,PA=AB=BC=1,PC=3.(1)求證:BC⊥平面PAB;(2)求二面角A-PC-B的大小.2.(2023天津,17)三棱臺ABC-A1B1C1中,已知A1A⊥平面ABC,AB⊥AC,AB=AC=AA1=2,A1C1=1,N為線段AB的中點,M為線段BC的中點.(1)求證:A1N∥平面C1MA;(2)求平面C1MA與平面ACC1A1所成角的余弦值;(3)求點C到平面C1MA的距離.3.(2023新課標Ⅱ,20)如圖,三棱錐A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E為BC的中點.(1)證明:BC⊥DA;(2)點F滿足EF=4.(2023全國甲理,18)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,A1C⊥平面ABC,∠ACB=90°,AA1=2,A1到平面BCC1B1的距離為1.(1)證明:A1C=AC;(2)已知AA1與BB1的距離為2,求AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值.5.(2023全國乙理,19)如圖,在三棱錐P-ABC中,AB⊥BC,AB=2,BC=22,PB=PC=6,BP,AP,BC的中點分別為D,E,O,AD=(1)證明:EF∥平面ADO;(2)證明:平面ADO⊥平面BEF;(3)求二面角D-AO-C的正弦值.考點2用空間向量解決立體幾何中的最值問題6.(2021全國甲理,19)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1B1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC和CC1的中點,D為棱A1B1上的點,BF⊥A1B1.(1)證明:BF⊥DE;(2)當B1D為何值時,面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最小?7.(2020新高考Ⅰ,20)如圖,四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PD⊥底面ABCD.設平面PAD與平面PBC的交線為l.(1)證明:l⊥平面PDC;(2)已知PD=AD=1,Q為l上的點,求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值.考點3已知空間角解決立體幾何問題8.(2023新課標Ⅰ,18)如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.點A2,B2,C2,D2分別在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.(1)證明:B2C2∥A2D2;(2)點P在棱BB1上,當二面角P-A2C2-D2為150°時,求B2P.9.(2021北京,17)如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E為A1D1的中點,B1C1與平面CDE交于點F.(1)求證:F為B1C1的中點;(2)若M為棱A1B1上一點,且二面角M-FC-E的余弦值為53,求A10.(2021新高考Ⅰ,20)如圖,在三棱錐A-BCD中,平面ABD⊥平面BCD,AB=AD,O為BD的中點.(1)證明:OA⊥CD;(2)若△OCD是邊長為1的等邊三角形,點E在棱AD上,DE=2EA,且二面角E-BC-D的大小為45°,求三棱錐A-BCD的體積.考點4用空間向量解決探索性問題11.(2019北京,16)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD⊥CD,AD∥BC,PA=AD=CD=2,BC=3.E為PD的中點,點F在PC上,且PFPC(1)求證:CD⊥平面PAD;(2)求二面角F-AE-P的余弦值;(3)設點G在PB上,且PGPB三年模擬練應用實踐1.(2023北京廣渠門中學月考)在四面體A-BCD中,P在平面ABC內(nèi),Q在平面BCD內(nèi),且滿足AP=xAB+yA.AQ與DP所在直線是異面直線B.AQ與DP所在直線平行C.線段AQ與DP必相交D.線段AQ與DP延長后相交2.(2024廣東廣州華南師范大學附屬中學期中)如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD、側(cè)面A1ADD1都是正方形,且二面角A1-AD-B的大小為120°,AB=2,若P是C1D與CD1的交點,則AP=()A.3B.3.(2024全國模擬預測)如圖,已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2,E,F分別是棱A1D1,CC1的中點,點G是底面ABCD內(nèi)任意一點(包括邊界),則三棱錐G-B1EF的體積的取值范圍是()A.43C.24.(多選題)(2024浙江名校聯(lián)盟模擬)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2,點E,F滿足AF=A.直線BE與D1F一定為異面直線B.直線AE與平面ACB1所成角的正弦值為15C.四面體A-DEF的體積恒為2D.當λ=μ時,AF+A1F的最小值為12+45.(2024江西五校聯(lián)考)如圖,四棱錐P-ABCD中,PA=PB=AB=AD=2,BC=4,AD∥BC,AD⊥AB,AC與BD交于點O,過點O作平行于平面PAB的平面α.(1)若平面α分別交PC,BC于點E,F,求△OEF的周長;(2)當PD=22時,求平面α與平面PCD夾角的正弦值.6.(2024浙江臺州教學質(zhì)量評估)如圖1,四邊形ABCD為平行四邊形,E為CD的中點,AB=4,AD=AE=2,將△ADE沿AE折起,使點D到達點P的位置,如圖2.(1)若平面APE⊥平面ABCE,求證:AP⊥BE;(2)若點A到直線PC的距離為3337.(2024山東濰坊北約聯(lián)盟期中)已知邊長為4的正方形ABCD所在平面與半圓弧CD所在平面垂直,四邊形EFCD是半圓弧CD的內(nèi)接梯形,且CD∥EF.(1)證明:平面ADE⊥平面BCE;(2)設EF=2,且二面角E-AD-C與二面角D-BC-F的大小都是60°,當點P在棱AD(包含端點)上運動時,求直線PB和平面ACE所成角的正弦值的取值范圍.答案與分層梯度式解析綜合拔高練五年高考練1.解析(1)證明:因為PA⊥平面ABC,BC,AB?平面ABC,所以PA⊥BC,PA⊥AB.所以PB=PA又因為BC=1,PC=3,所以PB2+BC2=PC2,所以PB⊥BC.因為PA∩PB=P,PA,PB?平面PAB,所以BC⊥平面PAB.（2）以B為坐標原點,BC所在直線為x軸,BA所在直線為y軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(0,1,0),B(0,0,0),C(1,0,0),P(0,1,1),所以APBC=(1,0,0).設平面PAC的一個法向量為m=(x1,y1,z1),則m·AP=z1設平面PBC的一個法向量為n=(x2,y2,z2),則n·PC=x2所以cos<m,n>=m·由圖知,二面角A-PC-B為銳二面角,所以二面角A-PC-B的大小為π32.解析(1)證明:連接MN.因為M,N分別為線段BC,AB的中點,所以MN是△ABC的中位線,所以MN∥AC,MN=12又因為A1C1∥AC,A1C1=12AC,所以MNA1C1所以四邊形MC1A1N是平行四邊形,所以MC1∥A1N.因為MC1?平面C1MA,A1N?平面C1MA,所以A1N∥平面C1MA.(2)因為A1A⊥平面ABC,AB,AC?平面ABC,所以A1A⊥AB,A1A⊥AC,又AB⊥AC,所以AB,AC,AA1兩兩互相垂直.以A為坐標原點,建立空間直角坐標系,如圖所示,則A(0,0,0),C1(0,1,2),M(1,1,0),C(0,2,0),B(2,0,0),所以AM=(1,1,0),設平面C1MA的一個法向量為n=(x,y,z),則n令x=2,則y=-2,z=1,所以n=(2,-2,1).易知平面ACC1A1的一個法向量為AB=(2,0,0).設平面C1MA與平面ACC1A1所成的角為θ,則cosθ=|cos<n,AB>所以平面C1MA與平面ACC1A1所成角的余弦值為23(3)由(2)知,平面C1MA的一個法向量為n=(2,-2,1),AC=(0,2,0).所以點C到平面C1MA的距離為|n3.解析(1)證明:連接AE,DE.∵DB=DC,E為BC的中點,∴DE⊥BC.∵DB=DC,∠ADB=∠ADC=60°,DA=DA,∴△ADB≌△ADC,∴AB=AC,∴AE⊥BC.又AE∩DE=E,AE,DE?平面ADE,∴BC⊥平面ADE,又DA?平面ADE,∴BC⊥DA.(2)設DA=DB=DC=2,則AB=AC=2,BC=22,DE=∴AE2+DE2=AD2,∴AE⊥DE.又AE⊥BC,DE∩BC=E,BC,DE?平面BCD,∴AE⊥平面BCD.如圖,以E為坐標原點,直線ED,EB,EA分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,則E(0,0,0),A(0,0,2),D(2,0,0),B(0,由EF=DA,得F(-2,0,設平面DAB的一個法向量為n=(x,y,z),則n·DB=設平面ABF的一個法向量為m=(x',y',z'),則m令y'=1,得m=(0,1,1).設二面角D-AB-F的平面角為θ,θ∈[0,π],則|cosθ|=|m∴sinθ=33,故二面角D-AB-F的正弦值為34.解析(1)證明:∵A1C⊥平面ABC,BC?平面ABC,∴A1C⊥BC.∵∠ACB=90°,∴AC⊥BC.又AC∩A1C=C,AC,A1C?平面AA1C1C,∴BC⊥平面AA1C1C.∵BC?平面BCC1B1,∴平面BCC1B1⊥平面AA1C1C.過A1作A1H⊥CC1,垂足為H,又平面BCC1B1⊥平面AA1C1C,平面BCC1B1∩平面AA1C1C=CC1,A1H?平面AA1C1C,∴A1H⊥平面BCC1B1,∴A1H=1.易知∠CA1C1=90°,在Rt△A1CC1中,CC1=2=2A1H,∴H為CC1的中點,∴△A1CC1為等腰直角三角形,∴A1C=A1C1.易知ACA1C1,∴A1C=AC.(2)以C為坐標原點,CA,CB,CA1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系.在平面BCC1B1內(nèi),過H作HQ∥BC,交BB1于點Q,連接A1Q,如圖.易知CC1⊥A1H,CC1⊥HQ,CC1BB1,又A1H∩HQ=H,A1H,HQ?平面A1HQ,∴CC1⊥平面A1HQ,BB1⊥平面A1HQ,又A1Q?平面A1HQ,∴BB1⊥A1Q,∴A1Q=2,∴在Rt△A1HQ中,HQ=3.易知A1C=AC=2,則A(2B(0,0,2設平面BCC1B1的一個法向量為n=(x,y,z),則n·CB=設直線AB1與平面BCC1B1所成的角為θ,則sinθ=|cos<AB1,n>|=|A∴AB1與平面BCC1B1所成角的正弦值為13135.解析以點B為坐標原點,BA,BC所在直線分別為x軸,y軸,垂直于平面ABC的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則B(0,0,0),A(2,0,0),O(0,2,0),C(0,2(1)證明:設AF=λAC,0<λ<1,則F(2-2λ,2∴BF=(2?2λ,22λ,0),又∴BF·AO=0,即-2(2-2λ)+4λ=0,解得λ=又D,E,O分別為PB,PA,BC的中點,∴DO∥PC,EF∥PC,∴DO∥EF.又EF?平面ADO,DO?平面ADO,∴EF∥平面ADO.(2)證明:∵D,O分別是PB,BC的中點,且PC=6,∴DO=12PC=6由cos∠ABD=AB2+B設P(x,y,z),z>0,則由PB=PC=6,PA=14故P(-1,2,∵D,E分別是PB,PA的中點,∴D-1∴BE=12∴AO·∴AO⊥又AO⊥BF,BE∩BF=B,BE,BF?平面BEF,∴AO⊥平面BEF.又AO?平面ADO,∴平面ADO⊥平面BEF.(3)易知平面AOC的一個法向量為m1=(0,0,1).由(2)知OD=設平面AOD的一個法向量為m2=(x1,y1,z1),則m取x1=1,則y1=2,z1=3,所以m設二面角D-AO-C的平面角的大小為θ,則|cosθ|=|cos<m1,m2>|=|m∴sinθ=22,即二面角D-AO-C的正弦值為26.解析(1)證明:∵BF⊥A1B1,B1B⊥A1B1,BF∩B1B=B,∴A1B1⊥平面B1C1CB.∵AB∥A1B1,∴AB⊥平面B1C1CB.又∵BC?平面B1C1CB,∴AB⊥BC.以B為坐標原點,BA,BC,BB1所在直線分別為x軸,y軸,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則B(0,0,0),F(0,2,1),E(1,1,0),∴BF=(0,2,1).設B1D=a(0≤a≤2),則D(a,0,2),則DE=(1-a,1,-2).∵BF·(2)由(1)知EF=(?1,1,1),設平面DFE的一個法向量為n=(x,y,z),則EF·n=-x+y易知m=(1,0,0)是平面BB1C1C的一個法向量.設平面BB1C1C與平面DFE所成的銳二面角的大小為θ,則cosθ=|cos<m,n>|=|m·n故當a=12,即B1D=12時,面BB1C1C與面DFE所成的二面角的正弦值最小,為7.解析(1)證明:因為PD⊥底面ABCD,所以PD⊥AD.因為底面ABCD為正方形,所以AD⊥DC.所以AD⊥平面PDC.因為AD∥BC,AD?平面PBC,所以AD∥平面PBC.由已知得l∥AD.因此l⊥平面PDC.(2)以D為坐標原點,DA的方向為x軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz,則D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1),所以DC=(0,1,0),由(1)可設Q(a,0,1),則DQ=(a,0,1).設n=(x,y,z)是平面QCD的一個法向量,則n·DQ=ax+z=0所以cos<n,PB>設PB與平面QCD所成的角為θ,則sinθ=33因為33所以PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為638.解析(1)證明:證法一:以C為坐標原點,CD,CB,CC1的方向分別為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系,連接A2B2,則A2(2,2,1),B∴A2易知點A2,B2,C2,D2不在同一直線上,∴B2C2∥A2D2.證法二:分別取DD2,CC1的中點N,M,連接B2M,MN,A2N,A2B2.在正四棱柱中,BB2=2,BB1=AA1=4,∴B2為BB1的中點.易知AA2=1,DN=1,幾何體ABB2A2-DCMN為四棱柱,∴四邊形A2B2MN為平行四邊形,∴MNA2B2.∵D2N=1,MC2=1,且D2N∥C2M,∴四邊形MND2C2為平行四邊形,∴D2C2MN,∴A2B2D2C2,∴四邊形A2B2C2D2為平行四邊形,∴B2C2∥A2D2.(2)同(1)中證法一建系,設BP=t(0≤t≤4),則P(0,2,t).∵A2(2,2,1),C2(0,0,3),D2(2,0,2),∴PA(-2,0,1).設平面PA2C2的一個法向量為u1=(x1,y1,z1),則P令z1=1,則x1=t-12,y1=設平面A2C2D2的一個法向量為u2=(x2,y2,z2),則D2A2·u2=2∴u2=(1,1,2).設二面角P-A2C2-D2的平面角為θ,則θ=150°.∴cosθ=cos150°=-|u當t=1時,BP=1,∴B2P=BB2-BP=1;當t=3時,BP=3,∴B2P=BP-BB2=1.綜上,B2P=1.9.解析(1)證明:在正方體ABCD-A1B1C1D1中,因為CD∥C1D1,且CD?平面A1B1C1D1,C1D1?平面A1B1C1D1,所以CD∥平面A1B1C1D1.因為平面CDE∩平面A1B1C1D1=EF,所以CD∥EF.所以C1D1∥EF.因為E為A1D1的中點,所以F為B1C1的中點.(2)不妨設正方體的棱長為2.如圖,建立空間直角坐標系Dxyz,則D(0,0,0),C(0,2,0),F(1,2,2),所以DC=(0,2,0),設平面CDE的一個法向量為m=(x1,y1,z1),則m令z1=1,則x1=-2,y1=0,于是m=(-2,0,1).設A1所以FM=(1,2λ-2,0).設平面MFC的一個法向量為n=(x2,y2,z2),則n令x2=2,則z2=-1,y2=11-λ,于是n由題意得|cos<m,n>|=|m·n||10.解析(1)證明:在△ABD中,∵AB=AD,O為BD的中點,∴AO⊥BD,又∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,AO?平面ABD,∴AO⊥平面BCD,又CD?平面BCD,∴OA⊥CD.(2)由OC=OD=OB得BC⊥CD,由(1)知AO⊥平面BCD,以C為坐標原點,CD,CB,設AO=a,則E23設平面EBC的一個法向量為n=(x,y,z),則n令x=a,則z=-1,∴n=(a,0,-1).易知平面BCD的一個法向量為m=(0,0,1).由題可知|cos<m,n>|=m·∴V三棱錐A-BCD=13S△BCD·AO=111.解析(1)證明:因為PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD,所以PA⊥CD.又因為AD⊥CD,且AD∩PA=A,所以CD⊥平面PAD.(2)過A作AD的垂線交BC于點M.因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥AM,PA⊥AD.如圖,建立空間直角坐標系Axyz,則A(0,0,0),B(2,-1,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(0,1,1).所以AE=(0,1,1),所以PF=設平面AEF的一個法向量為n=(x,y,z),則n令z=1,則y=-1,x=-1,所以n=(-1,-1,1).易知平面PAD的一個法向量為p=(1,0,0).所以cos<n,p>=n·由圖知,二面角F-AE-P為銳二面角,所以其余弦值為33(3)直線AG在平面AEF內(nèi).理由如下:因為點G在PB上,且PGPB所以PG=由(2)知,平面AEF的一個法向量為n=(-1,-1,1).因為AG·n=-43所以直線AG在平面AEF內(nèi).三年模擬練1.C2.B3.C4.ABD1.C若x=s=0,則AP=yAC,AQ=tAC+uAD,所以AQ=2.B因為四邊形DD1C1C是平行四邊形,P是C1D,CD1的交點,所以P是C1D的中點,所以AP=因為底面ABCD、側(cè)面A1ADD1都是正方形,所以AA1=AD=AB=2,AB⊥AD,AA1⊥AD,所以∠A1AB即為二面角A1-AD-B的平面角,即∠A1AB=120°,所以AB·所以AP+AD·AA13.C以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,如圖所示,則B1(2,2,2),E(1,0,2),F(0,2,1),所以EF=(?1,2,?1),取EF的中點M,連接B1M,則M12,1因為B1E=B1F,M為EF的中點,所以B1M⊥EF,所以S△B1EF=設平面B1EF的一個法向量為n=(x,y,z),則n取x=2,得y=-1,z=-4,所以n=(2,-1,-4).設G(m,n,0)(0≤m≤2,0≤n≤2),則GB1=(2-m,2-n,2),所以點G到平面B1EF的距離為所以V三棱錐易得-2≤2m-n≤4,所以23即23≤V4.ABD以D為坐標原點,DA,DC,DD1所在直線分別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標系,則A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),E(0,0,1),所以AB=(0,2,0),由AF=AB+λ由于0<λ<1,0<μ<1,所以0<2-2μ<2,0<2λ<2,所以點F在平面BCC1B1內(nèi)(不包括邊界),連接BD,B1D1,又D1在平面BB1D1D內(nèi),所以D1F和平面BB1D1D相交,又BE?平面BB1D1D,D1?直線BE,所以直線BE與D1F一定為異面直線,A正確.易得AC=(?2,2,0),設平面ACB1的一個法向量為m=(x,y,z),則m·AC=所以cos<AE,m>=AE·設直線AE與平面ACB1所成的角為θ,θ∈0,則sinθ=|cos<AE,m>|=155,B因為點F在平面BCC1B1內(nèi)(不包括邊界),所以點F到平面ADE的距離為2,所以V四面體A-DEF=V四面體F-ADE=13當λ=μ時,F(2-2λ,2,2λ),連接BC1,則點F在BC1上(不含端點).連接A1B,A1C1,將平面A1BC1繞BC1翻折到與平面ABC1D1在同一平面內(nèi),如圖,連接AA1,此時AA1與BC1的交點即為滿足題意的點F.由題意可知AB=2,A1B=22,∠ABA1=5π6∴AA12=AB2+A1B2-2AB·A1Bcos∠ABA1=22+(2cos5π6∴AF+A1F的最小值為12+46,D故選ABD.5.解析(1)由AD∥BC,可得△AOD∽△COB,∴ADBC由題意得,平面OEF∥平面PAB,又平面OEF∩平面PBC=EF,平面PBC∩平面PAB=PB,∴EF∥PB.同理可得,OE∥PA,OF∥AB,∴△PAB∽△EOF,∴ABOF易得△PAB的周長為6,∴△OEF的周長為4.(2)∵平面α∥平面PAB,∴平面α與平面PCD的夾角與平面PAB與平面PCD的夾角相等.∵AD=2,PA=2,PD=22,∴PD2=AD2+PA2,∴AD⊥PA.又AD⊥AB,AB∩PA=A,AB,PA?平面PAB,∴AD⊥平面PAB.又AD?平面ABCD,∴平面PAB⊥平面ABCD.取AB的中點G,連接PG,則PG⊥AB.又平面PAB∩平面ABCD=AB,PG?平面PAB,∴PG⊥平面ABCD.以點A為坐標原點,AB所在直線為x軸,AD所在直線為y軸,過點A且與PG平行的直線為z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,則A(0,0,0),D(0,2,0),P(1,0,3),C(2,4,0),∴設平面PCD的一個法向量為n=(x,y,z),則DC·n=2x+2易知AD=(0,2,0)是平面PAB的一個法向量