樂山市2024年初中學業水平考試數學本試題卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題），共8頁．考生作答時，須將答案答在答題卡上，在本試題卷、草稿紙上答題無效．滿分150分．考試時間120分鐘．考試結束后，將本試題卷和答題卡一并交回．考生作答時，不能使用任何型號的計算器．第Ⅰ卷（選擇題共30分）注意事項：1．選擇題必須使用2B鉛筆將答案標號填涂在答題卡對應題目標號的位置上．2．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求．一、選擇題：本大題共10個小題，每小題3分，共30分．1．不等式的解集是（）A． B． C． D．2．下列文物中，俯視圖是四邊形的是（）A．帶蓋玉柱形器 B．白衣彩陶缽C．鏤空人面覆盆陶器 D．青銅大方鼎3．2023年，樂山市在餐飲、文旅、體育等服務消費表現亮眼，網絡零售額突破400億元，居全省地級市第一．將40000000000用科學記數法表示為（）A． B． C． D．4．下列多邊形中，內角和最小的是（）A． B． C． D．5．為了解學生上學的交通方式，劉老師在九年級800名學生中隨機抽取了60名進行問卷調查，并將調查結果制作成如下統計表，估計該年級學生乘坐公交車上學的人數為（）交通方式公交車自行車步行私家車其它人數（人）3051582A．100 B．200 C．300 D．4006．如圖1，下列條件中不能判定四邊形ABCD為平行四邊形的是（）圖1A．， B．，C．， D．，7．已知，化簡的結果為（）A． B．1 C． D．8．若關于x的一元二次方程兩根為、，且，則p的值為（）A． B． C． D．69．已知二次函數，當時，函數取得最大值；當時，函數取得最小值，則t的取值范圍是（）A． B． C． D．10．如圖2，在菱形ABCD中，，，點P是BC邊上一個動點，在BC延長線上找一點Q，使得點P和點Q關于點C對稱，連結DP、AQ交于點M．當點P從B點運動到C點時，點M的運動路徑長為（）A． B． C． D．第Ⅱ卷（非選擇題共120分）注意事項：1．考生使用0.5mm黑色墨汁簽字筆在答題卡上題目所指示的答題區域內作答，答在試題卷上無效．2．作圖時，可先用鉛筆畫線，確認后再用0.5mm黑色墨汁簽字筆描清楚．3．解答題應寫出文字說明、證明過程或推演步驟．4．本部分共16個小題，共120分．二、填空題：本大題共6個小題，每小題3分，共18分．11．計算：______．12．一名交警在路口隨機監測了5輛過往車輛的速度，分別是：66，57，71，69，58（單位：千米/時）．那么這5輛車的速度的中位數是______．13．如圖3，兩條平行線a、b被第三條直線c所截．若，那么______．圖314．已知，，則______．15．如圖4，在梯形ABCD中，，對角線AC和BD交于點O，若，則______．圖416．定義：函數圖象上到兩坐標軸的距離都小于或等于1的點叫做這個函數圖象的“近軸點”．例如，點是函數圖象的“近軸點”．（1）下列三個函數的圖象上存在“近軸點”的是______（填序號）；①；②；③．（2）若一次函數圖象上存在“近軸點”，則m的取值范圍為______．三、解答題：本大題共10個小題，共102分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．17．（本小題滿分9分）計算：．18．（本小題滿分9分）解方程組：19．（本小題滿分9分）如圖5，AB是的平分線，，求證：．圖520．（本小題滿分10分）先化簡，再求值：，其中．小樂同學的計算過程如下：解：…①…②…③…④…⑤當時，原式．（1）小樂同學的解答過程中，第______步開始出現了錯誤；（2）請幫助小樂同學寫出正確的解答過程．21．（本小題滿分10分）樂山作為聞名世界的文化旅游勝地，吸引了大量游客．為更好地提升服務質量，某旅行社隨機調查了部分游客對四種美食的喜好情況（每人限選一種），并將調查結果繪制成統計圖，如圖6所示．圖6根據以上信息，回答下列問題：（1）本次抽取的游客總人數為______人，扇形統計圖中m的值為______；（2）請補全條形統計圖；（3）旅行社推出每人可免費品嘗兩種美食的活動，某游客從上述4種美食中隨機選擇兩種，請用畫樹狀圖或列表的方法求選到“缽缽雞和蹺腳牛肉”的概率．22．（本小題滿分10分）如圖7，已知點、在反比例函數的圖象上，過點A的一次函數的圖象與y軸交于點．圖7（1）求m、n的值和一次函數的表達式；（2）連結AB，求點C到線段AB的距離．23．（本小題滿分10分）我國明朝數學家程大位寫過一本數學著作《直指算法統宗》，其中有一道與蕩秋千有關的數學問題是使用《西江月》詞牌寫的：平地秋千未起，踏板一尺離地．送行二步與人齊，五尺人高曾記．仕女佳人爭蹴，終朝笑語歡嬉．良工高士素好奇，算出索長有幾？詞寫得很優美，翻譯成現代漢語的大意是：有一架秋千，當它靜止時，踏板離地1尺，將它往前推進10尺（5尺為一步），秋千的踏板就和某人一樣高，這個人的身高為5尺．（假設秋千的繩索拉的很直）（1）如圖8．1，請你根據詞意計算秋千繩索OA的長度；（2）如圖8．2，將秋千從與豎直方向夾角為α的位置釋放，秋千擺動到另一側與豎直方向夾角為β的地方，兩次位置的高度差．根據上述條件能否求出秋千繩索OA的長度？如果能，請用含α、β和h的式子表示；如果不能，請說明理由．圖8.1圖8.224．（本小題滿分10分）如圖9，是的外接圓，AB為直徑，過點C作的切線CD交BA延長線于點D，點E為上一點，且．圖9（1）求證：；（2）若EF垂直平分OB，，求陰影部分的面積．25．（本小題滿分12分）在平面直角坐標系xOy中，我們稱橫坐標、縱坐標都為整數的點為“完美點”．拋物線（a為常數且）與y軸交于點A．（1）若，求拋物線的頂點坐標；（2）若線段OA（含端點）上的“完美點”個數大于3個且小于6個，求a的取值范圍；（3）若拋物線與直線交于M、N兩點，線段MN與拋物線圍成的區域（含邊界）內恰有4個“完美點”，求a的取值范圍．備用圖1備用圖226．（本小題滿分13分）在一堂平面幾何專題復習課上，劉老師先引導學生解決了以下問題：【問題情境】如圖10.1，在中，，，點D、E在邊BC上，且，，，求DE的長．解：如圖10.2，將繞點A逆時針旋轉90°得到，連結．圖10.1由旋轉的特征得，，，．∵，，∴．∵，∴，即．∴．在和中，，，，∴___①___．∴．又∵，∴在中，___②___．∵，，圖10.2∴___③___．【問題解決】上述問題情境中，“①”處應填：______；“②”處應填：______；“③”處應填：______．劉老師進一步談到：圖形的變化強調從運動變化的觀點來研究，只要我們抓住了變化中的不變量，就能以不變應萬變．【知識遷移】如圖10.3，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，滿足的周長等于正方形ABCD的周長的一半，連結AE、AF，分別與對角線BD交于M、N兩點．探究BM、MN、DN的數量關系并證明．圖10.3【拓展應用】如圖10.4，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，且．探究BE、EF、DF的數量關系：______（直接寫出結論，不必證明）．圖10.4【問題再探】如圖10.5，在中，，，，點D、E在邊AC上，且．設，，求y與x的函數關系式．圖10.5樂山市2024年初中學業水平考試數學參考答案及評分標準第Ⅰ卷（選擇題共30分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分．題號12345678910答案ADCADDBACB第Ⅱ卷（非選擇題共120分）二、填空題：本大題共6小題，每小題3分，共18分．11．3a；12．66；13．120°；14．29；15．，16．（1）③；（2）或．注：16題第（1）空1分，第（2）空2分．三、解答題：本大題共10個小題，共102分．解答應寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟．17．解：原式…6分．…9分注：第一步含有三個式子的計算，答對一個得2分．18．解：解法一：①+②，得，解得．…3分將代入①，得．…6分∴．…9分解法二：由①，得③．將③代入②，得，解得．…3分將代入③，得．…6分∴…9分19．證明：∵AB是的平分線，∴．…3分∴在和中，，，，∴（SAS）…7分∴…9分20．解：（1）第③步開始出現了錯誤．…3分（2）…4分…5分…6分…7分．…8分當時，原式．…10分21．解：（1）總人數為240人，m的值為35．……2分（2）如下圖所示．（3）記A：麻辣燙，B：蹺腳牛肉，C：缽缽雞，D：甜皮鴨．解法一：由題可得樹狀圖：P（選到“缽缽雞和蹺腳牛肉”）．…10分解法二：由題可列表：第一次第二次ABCDA（B，A）（C，A）（D，A）B（A，B）（C，B）（D，B）C（A，C）（B，C）（D，C）D（A，D）（B，D）（C，D）…8分P（選到“缽缽雞和蹺腳牛肉”）=．…10分22．解：（1）∵點、在反比例函數圖象上，∴，．…2分又∵一次函數過點，，∴解得…4分∴一次函數表達式為．……5分（2）如圖，連結BC．過點A作，垂足為點D，過點C作，垂足為點E．∵，，∴軸，．…6分∵點，，，∴點，，．在中，．7分又∵，8分即，∴，即點C到線段AB的距離為．…10分23．解：（1）如圖，過點作，垂足為點B．設秋千繩索的長度為x尺．由題可知，，，，∴．在中，由勾股定理得：∴．…3分解得．答：秋千繩索的長度為14.5尺…5分（2）能．…6分由題可知，，．在中，…7分同理，．…8分∵，∴．…9分∴．…10分24．證明：（1）如圖，連結OC．∵CD為的切線，點C在上，∴，即．…1分又∵AB為直徑，∴，即．∴．…2分∵，∴．…3分∵，∴．…4分∴．∴．…5分（2）連結OE、BE．∵EF垂直平分OB，∴．又∵，∴為等邊三角形．∴，．…6分∵，∴．∵，∴．又∵，∴．∵，∴為等邊三角形．∴，．∴．∴．∴．…8分∴．∴．又∵，…10分∴．25．解：（1）當時，拋物線．…2分∴頂點坐標．…3分（2）由題可知．∵線段OA上的“完美點”的個數大于3個且小于6個，∴“完美點”的個數為4個或5個．…4分∴當“完美點”個數為4個時，分別為，，，；當“完美點”個數為5個時，分別為，，，，．∴．…6分∴a的取值范圍是．…7分（3）易知拋物線的頂點坐標為，過點，，．顯然，“完美點”，，符合題意．下面討論拋物線經過，的兩種情況：①當拋物線經過時，解得此時，，，．如圖所示，滿足題意的“完美點”有，，，，共4個．…9分②當拋物線經過時，解得此時，，，．如圖所示，滿足題意的“完美點”有，，，，，，共6個．…11分∴a的取值范圍是．……12分26．解：（1）①；②；③5．…3分（2）．…4分證明：如圖，將繞點A逆時針旋轉90°，得到．過點D作交邊于點H，連結NH．由旋轉的特征得，，．由題意得，∴．在和中，，，，∴（SSS）．…5分∴．又∵BD為正方形ABCD的