新高考高中數(shù)學(xué)核心知識點全透視

專題13.3雙曲線（精講精析篇）

一、核心素養(yǎng)

1.考查雙曲線的定義，求軌跡方程及焦點三角形，凸顯數(shù)學(xué)運算、直觀想象的核心素養(yǎng).

2.考查雙曲線幾何性質(zhì)（范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線），結(jié)合幾何量的計算，凸顯邏輯推理、數(shù)

學(xué)運算的核心素養(yǎng).

二、考試要求

1.了解雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形及簡單幾何性質(zhì)，了解直線與雙曲線的位置關(guān)系.

2.了解方程與曲線的對應(yīng)關(guān)系和求曲線方程的基本方法.

3.理解數(shù)形結(jié)合、用代數(shù)方法處理幾何問題的思想.了解圓錐曲線的簡單應(yīng)用.

三、主干知識梳理

（-）雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程

1.雙曲線的定義

滿足以下三個條件的點的軌跡是雙曲線

（1）在平面內(nèi)；

（2）動點到兩定點的距離的差的絕對值為一定值;

（3）這一定值一定要小于兩定點的距離.

2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

2222

Xy_y-v_

標(biāo)準(zhǔn)方程尸產(chǎn)l(a〉O,b>0)廠產(chǎn)1(a>0,6>0)

圖形XK圣

7

（二）雙曲線的幾何性質(zhì)

雙曲線的幾何性質(zhì)

X2V229

標(biāo)準(zhǔn)方程U一笈=1(。>0，h>o)力一，=l(a>0,b>0)

圖形

范圍或y￡Rx￡R,yW—ci或

對稱性對稱軸：坐標(biāo)軸對稱中心：原點

頂點Ai(—<2,0),42(。,0)4(0,~a),A2(0,a)

bx

性漸近線產(chǎn)土孑y=4

質(zhì)

離心率+°°）,其中?二^/片+店

線段AA2叫作雙曲線的實軸,它的長|A/2l=2a：線段B1B2叫作雙曲線的虛軸，

實虛軸

它的長|8/2|=26；〃叫作雙曲線的實半軸長，〃叫作雙曲線的虛半軸長.

〃、b、c

222

c=a+b(c>a>0fc>b>0)

的關(guān)系

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一、命題規(guī)律

對雙曲線的考查，主要考查以下幾個方面：一是考查雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合雙曲線的定義及雙曲線基本

量之間的關(guān)系，利用待定系數(shù)法求解；二是考查雙曲線的幾何性質(zhì)，較多地考查離心率、漸近線問題；三

是考查雙曲線與圓、橢圓或拋物線相結(jié)合的問題，綜合性較強.總體要求不高，不再獨立考查雙曲線大題.

二、真題展示

1.（2021?全國高考真題（文））點（3,0）到雙曲線弓-4=1的一條漸近線的距離為（）

169

A9C8一6n4

A.-B.-C.-D.一

5555

【答案】A

【分析】

首先確定漸近線方程，然后利用點到直線距離公式求得點到一條漸近線的距離即可.

【詳解】

由題意可知，雙曲線的漸近線方程為：—-^-=0,即3x±4y=0,

169

9+09

結(jié)合對稱性，不妨考慮點（3,0）到直線3x+4y=0的距離：d=-^===-.

故選：A.

2.（2021.全國高考真題（理））已知耳,巴是雙曲線。的兩個焦點,尸為。上一點,且/6藝=6（）。,歸川=3歸圖,

則C的離心率為（)

A不B.叵

C.不D.岳

22

【答案】A

【分析】

根據(jù)雙曲線的定義及條件，表示出|產(chǎn)國尸鳥結(jié)合余弦定理可得答案.

【詳解】

因為|P周=3歸閭，由雙曲線的定義可得|P耳|-|P閭=2忸閭=",

所以|P閭=a,|P娟=3”；

因為4"=60。屈余弦定理可得4c2=9〃2+〃-2x3aacos60。，

整理可得4c2=7后,所以/=￡=1，即6=立.

a242

故選：A

T國囊計！從容應(yīng)對有妙招！

考點01雙曲線的定義

【典例1】（2021?鶴山市第二中學(xué)高二月考）P是雙曲線/一）2=16左支上一點，R,B分別是左、右焦點,

則仍月|一『「2|=（）

A.4B.-4C.8D.-8

【答案】D

【分析】

根據(jù)雙曲線的定義即可求出.

【詳解】

因為雙曲線方程為小一^=16,化為標(biāo)準(zhǔn)方程得蘭-21=1,即a=4,

1616

所以歸用-|P磯=2a=8,而點尸在雙曲線左支上，于是|尸耳|＜?xì)w閭，

所以歸同-歸閭=-8.

故選：D.

【典例2】(2020?浙江省高考真題)已知點0(0,0),A(-2,0),B(2,0).設(shè)點P滿足|必|-I陽=2,

且于為函數(shù)*3,4一小圖像上的點，則|以|=()

4V10

C."D.回

5

【答案】D

【解析】

因為|P4|-|P3|=2<4,所以點尸在以A,5為焦點，實軸長為2,焦距為4的雙曲線的右支上，由

。=2,。=1可得，b2=c2-a2=4-l=3,即雙曲線的右支方程為/一］_=i(x>o),而點p還在函數(shù)

y=3,4一f的圖象上,所以,

y=3\j4-x2x=--I-------

由《丫2，解得，2即|OP|=J12+2Z=布.

一匕=l(x>0)3G11\44

故選：D.

【總結(jié)提升】

1.雙曲線定義的主要應(yīng)用

(1)判定平面內(nèi)動點與兩定點的軌跡是否為雙曲線，進(jìn)而根據(jù)要求可求出曲線方程.

(2)在“焦點三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合||⑶|一|%||=2a,運用平方的方法，建立

與|掰I?I陽|的聯(lián)系.

2.用定義法求雙曲線方程，應(yīng)依據(jù)條件辨清是哪一支，還是全部曲線.

3.與雙曲線兩焦點有關(guān)的問題常利用定義求解.

4.如果題設(shè)條件涉及動點到兩定點的距離，求軌跡方程時可考慮能否應(yīng)用定義求解.

考點02雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

22

【典例3】(2021.北京高考真題)雙曲線C:￡-}=1過點(0,6),且離心率為2,則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方

程為()

222

A.2f-y2=lB.x-^-=iC.5x-3y=lD.—-^-=1

326

【答案】B

【分析】

分析可得6=石。，再將點（女,代入雙曲線的方程，求出。的值，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】

22

■.■e=-=2,貝ijc=2a,b==則雙曲線的方程為鼻一當(dāng)=1，

aa3a

將點樣，用的坐標(biāo)代入雙曲線的方程可得家-喜吟=i,解得。=1,故匕=6

因此，雙曲線的方程為f-d=i.

3

故選：B

22

【典例4】（2017?天津高考真題（文））己知雙曲線[-[=13>0力>0）的左焦點為尸，點A在雙曲線

ab“

的漸近線上，△OAF是邊長為2的等邊三角形（。為原點），則雙曲線的方程為（）

22222D“一J

A.二上=1B±—JC.---丁=1

4121243-

【答案】D

【解析】

由題意結(jié)合雙曲線的漸近線方程可得:

c=2

c2=3a2+b2,解得：/=］萬=3,

—=tan60=yfi

a

2

雙曲線方程為：/—21=]

3

本題選擇D選項.

【總結(jié)提升】

1.求雙曲線方程的思路

（1）如果己知雙曲線的中心在原點，且確定了焦點在x軸上或），軸上，則設(shè)出相應(yīng)形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根

據(jù)條件確定關(guān)于a，b,c的方程組，解出。2,序，從而寫出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程（求得的方程可能是一個，也

有可能是兩個，注意合理取舍，但不要漏解）.

（2）當(dāng)焦點位置不確定時，有兩種方法來解決：

一是分類討論，注意考慮要全面；二是注意巧設(shè)雙曲線：①雙曲線過兩點可設(shè)為加/—〃y2=]（/〃〃>0）,

2222

②與「—5=1共漸近線的雙曲線可設(shè)為二—二=4(470),(3)等軸雙曲線可設(shè)為一一y2=4(4/0)

a'b~a~b~

等，均為待定系數(shù)法求標(biāo)準(zhǔn)方程.

2.利用待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟如下：

(1)定位置：根據(jù)條件判定雙曲線的焦點在x軸上還是在y軸上，不能確定時應(yīng)分類討論.

⑵設(shè)方程：根據(jù)焦點位置，設(shè)方程為'—￡=1或A冊1(。>°，入°)，焦點不定時，亦可設(shè)為，江+爐=

1(/77/?<0)；

(3)尋關(guān)系：根據(jù)已知條件列出關(guān)于。、以或，小力的方程組；

(4)得方程：解方程組，將“、氏c?(或相、〃)的值代入所設(shè)方程即為所求.

3.雙曲線方程的幾種形式：

⑴雙曲線的一般方程：當(dāng)ABC/)時，方程合+而3可以變形為1+蕓=1,由此可以看出方程M+ByZ

AB

=C表示雙曲線的充要條件是ABC#),且4B異號.此時稱方程4好+8)，2=(7為雙曲線的一般方程.利用

一般方程求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，可以將其設(shè)為將其化為標(biāo)準(zhǔn)方程，即牛+9=1.因此,

當(dāng)A>0時，表示焦點在x軸上的雙曲線；當(dāng)A0時，表示焦點在y軸上的雙曲線.

?22

(2)共焦點的雙曲線系方程：與雙曲線%—白=13>0,6>0)有公共焦點的雙曲線的方程為/V

a2+A~b2-X^

l(a>0,比>0)；與雙曲線方一條=1(。>0,比>0)有公共焦點的雙曲線的方程為念^一訪工=l(a>0,b>0).

考點03雙曲線的實際應(yīng)用

【典例5】(2021?長豐北城衡安學(xué)校高二月考(理))如圖為陜西博物館收藏的國寶——唐?金筐寶鈿團(tuán)花紋

金杯，杯身曲線內(nèi)收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐代金銀細(xì)作的典范之作.該杯的主體部分可以近似看作

是雙曲線C：f=l(e0,入0)的右支與y軸及平行于x軸的兩條直線圍成的曲邊四邊形繞)，軸旋

轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，若該金杯主體部分的上口外直徑為"立，下底座外直徑為亞，且杯身最細(xì)之處

33

到上杯口的距離是到下底座距離的2倍，則杯身最細(xì)之處的周長為()

A.2及兀B.37rC.2下＞幾D.47r

【答案】C

【分析】

利用該金杯主體部分的上口外直徑為蛇，下底座外直徑為觀,

33

且杯身最細(xì)之處到上杯口的距離是到下底座距離的2倍，

可設(shè)M(色叵,2w),N(避&，

33

代入方程，即可解得a?=3,a=6，

即杯身最細(xì)處圓的半徑為6，從而得解.

【詳解】

該金杯主體部分的上口外立徑為U由，下底座外直徑為2叵，

33

且杯身最細(xì)之處到上杯口的距離是到下底座距離的2倍，

可設(shè)”(手,2M,N(g,〃?)代入雙曲線方程可得

2513

T_4w^=l=?，

crb~ab~

2513

BP12rn2_13?

/一再1'/一至

27

作差可得邁=』，解得/=3,。=6，

a24

所以杯身最細(xì)處的周長為2后.

故選：C

【規(guī)律總結(jié)】

解答實際應(yīng)用問題時，要注意先將實際問題數(shù)學(xué)化，條件中有兩定點，某點與這兩定點的距離存在某種聯(lián)

系，解題時先畫出圖形，分析其關(guān)系，看是否與橢圓、雙曲線的定義有關(guān)，再確定解題思路、步驟.

考點04焦點三角形問題

【典例6](2020?全國高考真題(理))設(shè)雙曲線G三一馬=1(a>0,b>0)的左、右焦點分別為E,

a2h2

后離心率為價.，是C上一點，且尸若△心￡的面積為4,則a=()

A.1B.2C.4D.8

【答案】A

【解析】

?：?=舊，：.c=馬，根據(jù)雙曲線的定義可得歸耳卜|「鳥||=2〃，

Sg"2=?P不忖用=4,即|3|療用=8,

■.■FXPLF2P,:\PFS+\PF^（2c^,

.?.（歸用—歸國『+2|/￥；卜「周=4,2,即。2一5/+4=0,解得0=1,

故選：A.

【典例7】（2021?湖北高三開學(xué)考試）己知雙曲線5=1（。>（">0）的左右焦點為0死，過尸2的直線交雙

ab“

曲線右支于A,B,若明?麗'=（）,且cos/￡AE=1，則雙曲線的離心率為（）

A.72B.-C.&D.叵

222

【答案】D

【分析】

設(shè)|46卜機根據(jù)西.所=0,且cosZF；A丹=：,結(jié)合雙曲線的定義求得m=5a,再在△5的人中，利用

勾股定理求解.

【詳解】

設(shè)|裕|=能,因為防.質(zhì)'=0，且cos/F；AE=g,

所以忸用=[北恒用=[〃?，

由雙曲線的定義得：\BF2\=-m-2a,\AF2\^m-2a,

因為|明|+怛月|=|明，

34

所以g加一2。+a一2〃=g"，

解得m=5a,

所以在486鳥中，BF^BF^=F]F^t

即9/+/=府,

解得e=孚，

2

故選：D

【規(guī)律總結(jié)】雙曲線中的焦點三角形

雙曲線上的點P與其兩個焦點Q,&連接而成的三角形尸Q&稱為焦點三角形.

令|PFi|=ri，|尸尸2|=相，ZFlPF2=S,因尸|3|=2。，所以有

⑴定義:比一詞=2/

（2）余弦公式：4c2=r?+d—2n^cos^

（3）面積公式：SAPFiF2=|rir2sin^.

一般地，在△PQB中，通過以上三個等式，所以求問題就會順利解決.

考點05已知雙曲線的方程，研究其幾何性質(zhì)

【典例8】（2021.全國高考真題（文））雙曲線上-t=1的右焦點到直線x+2y-8=0的距離為.

45

【答案】6

【分析】

先求出右焦點坐標(biāo)，再利用點到直線的距離公式求解.

【詳解】

由己知，c=J/+，2=,5+4=3,所以雙曲線的右焦點為（3,0）,

_|3+2x0-8|5rz

所以右焦點（3,0）到直線x+2y-8=0的距離為為薜尸=存=石.

故答案為：下

22

【典例9】（2020?北京高考真題）已知雙曲線C：土一匕=1,則C的右焦點的坐標(biāo)為；，的焦

63

點到其漸近線的距離是.

【答案】（3,0）百

【解析】

在雙曲線。中，a"，b=#），則c=萬=3,則雙曲線。的右焦點坐標(biāo)為（3,（）），

雙曲線C的漸近線方程為）/=土三X，即X土拒y=0.

3

所以，雙曲線C的焦點到其漸近線的距離為出.

Vl2+2

故答案為：（3,0）；73.

【總結(jié)提升】

1.已知雙曲線方程討論其幾何性質(zhì)，應(yīng)先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，找出對應(yīng)的a、b,利用1=3+爐求出c,

再按定義找出其焦點、焦距、實軸長、虛軸長、離心率、漸近線方程.

2.畫雙曲線圖形，要先畫雙曲線的兩條漸近線（即以2a、2b為兩鄰邊的矩形對角線）和兩個頂點，然后根

據(jù)雙曲線的變化趨勢，就可畫出雙曲線的草圖.

3.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程中對“、6的要求只是“＞0,易誤認(rèn)為與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程中“，。的要求相同.

若〃＞方＞0,則雙曲線的離心率ed（l,也）；

若a=b＞0,則雙曲線的離心率e=也；

若0＜&＜江則雙曲線的離心率e＞&.

4.注意區(qū)分雙曲線中的a,b,。大小關(guān)系與橢圓4、6、C關(guān)系，在橢圓中層=從+，，而在雙曲線中c?=

5.等軸雙曲線的離心率與漸近線關(guān)系

雙曲線為等軸雙曲線0雙曲線的離心率6=啦㈡雙曲線的兩條漸近線互相垂直（位置關(guān)系）.

6.雙曲線的焦點到漸近線的距離等于虛半軸長b

7.漸近線與離心率

.一營=1（。＞0,/,＞0）的一條漸近線的斜率為-=g=/上±="2-1.可以看出,雙曲線的

漸近線和離心率的實質(zhì)都表示雙曲線張口的大小.

8.與雙曲線有關(guān)的范圍問題的解題思路

（1）若條件中存在不等關(guān)系，則借助此關(guān)系直接轉(zhuǎn)化求解.

（2）若條件中沒有不等關(guān)系，要善于發(fā)現(xiàn)隱含的不等關(guān)系，如借助雙曲線上點的坐標(biāo)范圍，方程中420等

來解決.

考點06由雙曲線的性質(zhì)求雙曲線的方程

22

【典例10】（2018?天津高考真題（文））已知雙曲線二-4=1（。＞0力＞0）的離心率為2,過右焦點且垂

ab~

直于x軸的直線與雙曲線交于A8兩點.設(shè)A5到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為&和人，且

4+4=6,則雙曲線的方程為（)

9922

A.上上=1B.上上=1

3993

L.----------------=1U.----------------二

412124

【答案】A

【解析】

設(shè)雙曲線的右焦點坐標(biāo)為尸（C,O）（<?>0）,則

r2v2h2

由f—7=1可得：y=±——，

a2b2a

b2b2

不妨設(shè)：AC,—,Bc,一一，雙曲線的一條漸近線方程為取-做=0,

cl)a

\bc-b2\_bc-b2|^+^2|_bc+h2

據(jù)此可得：4,d2

耳+從ca2+b2

則4+&=*=28=6,則b=3,〃=9,

14=l+:=2,

雙曲線的離心率：e=-

aa

據(jù)此可得：“2=3,則雙曲線的方程為三—二=1.

39

本題選擇A選項.

【規(guī)律總結(jié)】

1.由雙曲線的幾何性質(zhì)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，一般用待定系數(shù)法，同樣需要經(jīng)歷“定位T定式T定量”三個步

驟.當(dāng)雙曲線的焦點不明確時，方程可能有兩種形式，此時應(yīng)注意分類討論，為了避免討論，也可設(shè)雙曲

線方程為〃/一〃y2=］（77m>0）,從而直接求得.

2.根據(jù)雙曲線的漸近線方程可設(shè)出雙曲線方程.漸近線為丫=務(wù)的雙曲線方程可設(shè)為：4-4=wo）；

如果兩條漸近線的方程為皿8y=0,那么雙曲線的方程可設(shè)為品2—碎產(chǎn)砥垃翔）；與雙曲線方―苴=1共

漸近線的雙曲線方程可設(shè)為，一5=2（%翔）.

考點07求雙曲線的離心率（或范圍）

22

【典例11］（2019?全國高考真題（文））雙曲線，:二-3=1（4>0/>0）的一條漸近線的傾斜角為130。，

a'b"

則C的離心率為（)

A.2sin40°B.2cos40°--------D.

sin50°-------------------cos50°

【答案】D

【解析】

bb

由已知可得--=tan130°=tan50°，

aa

...e，=、用f二標(biāo)/=J]+口=尸5。。；5。。=',故選D.

a'UVcos~50°vcos50°cos50°

22

【典例12】(2021?湖北恩施土家族苗族自治州?高三開學(xué)考試)雙曲線C:二-與=1(a>0,b>0)的左

ab

頂點為A,右焦點為F,過點A的直線交雙曲線C于另一點8,當(dāng)班_!_時時滿足|A可>2忸用，則雙曲線

離心率e的取值范圍是()

A.\<e<2B.\<e<-C.-<e<2D.

222

【答案】B

【分析】

設(shè)雙曲線半焦距c,再根據(jù)給定條件求出|8月長，列出不等式即可得解.

【詳解】

X=c

設(shè)雙曲線半焦距為c,因3FLAF，則由[/2得|8"=|田=2,^\AF\=a+c,

[a—27——b2r=]a

h-r2_a~2C3

于是得a+c>2?L,即a+整理得a>；c,從而有e=—<=,又e>l,

aa3a2

3

所以雙曲線離心率e的取值范圍是l<e<].

故選：B

【典例13](2020?全國高二課時練習(xí))己知雙曲線C：三—卷=l(a>b>0)右支上非頂點的一點A關(guān)于

原點0的對稱點為B,F為其右焦點，若AFLFB，設(shè)NABF=0,且五q，則雙曲線C離心率的

取值范圍是.

【答案】(&,+e)

【解析】

設(shè)雙曲線的左焦點為F,連接A尸，BF,

AF±FB，可得四邊形為矩形,

設(shè)|M=m,|BF|=n,即有.獷尸BF=〃，

Jim2+n2=4c2.n-m=2a.

cm

tanO=—,

n

2222

2_c_4c_m+n_1_1

a24a2m2-2mn+n2]2mn12

m2+n2

nm

1

tanO+

tanO

由北后封’可得卜=tanO￡（2-6』）,

丁加

則t+,e（2,4）,可得

t\/t

t

即有:+工

t

______1_

?2,+司

2

貝也--------

1，

tan。+

tanO

即有ee（0,+<x>].

故答案為：卜區(qū)+8）.

FF，1

Ar

【規(guī)律提升】

1.在解析幾何中，求“范圍”問題，一般可從以下幾個方面考慮：①與已知范圍聯(lián)系，通過求值域或解不等式

來完成；②通過判別式/求解；③利用點在雙曲線內(nèi)部形成的不等關(guān)系求解；④利用解析式的結(jié)構(gòu)特點，

如4,同等非負(fù)性求解.

2.求雙曲線離心率的取值范圍，關(guān)鍵是根據(jù)題目條件得到不等關(guān)系，并想辦法轉(zhuǎn)化為關(guān)于a,b,c的不等關(guān)

系，結(jié)合,2=〃2+從和。=0得到關(guān)于e的不等式，然后求解.在建立不等式求e時，經(jīng)常用到的結(jié)論：雙

曲線上一點到相應(yīng)焦點距離的最小值為c—雙曲線的離心率常以雙曲線的漸近線為載體進(jìn)行命題，注意二

者參數(shù)之間的轉(zhuǎn)化.

3.與雙曲線離心率、漸近線有關(guān)問題的解題策略

(1)雙曲線的離心率e=￡是一個比值，故只需根據(jù)條件得到關(guān)于a,b,。的一個關(guān)系式，利用方2=—一才消

a

去b,然后變形成關(guān)于e的關(guān)系式，并且需注意e>l.

J2r2V2xy

(2)雙曲線*v=1(。>0,人〉0)的漸近線是令與一方二°，即得兩漸近線方程[±％=0-

(3)漸近線的斜率也是一個比值，可類比離心率的求法解答.注意應(yīng)P]e=5=+.

考點08與雙曲線有關(guān)的綜合問題

【典例14](2020?全國高考真題(理))設(shè)。為坐標(biāo)原點，直線%=a與雙曲線C：捺-&=l(a>0,b>0)的

兩條漸近線分別交于D,E兩點，若△ODE的面積為8,則C的焦距的最小值為()

A.4B.8C.16D.32

【答案】B

【解析】

%-C：^-g=l(a>0,b>0)

二雙曲線的漸近線方程是y=±；x

???直線x=a與雙曲線=l(a>0,b>0)的兩條漸近線分別交于0,E兩點

不妨設(shè)D為在第一象限，E在第四象限

聯(lián)立卜:「。，解得Ef

故D(a,b)

聯(lián)立解得

故E(a,一句

??.\ED\=2b

△ODE面積為：S^ODE="x2b=ab=8

???雙曲線。：《一二=l（a>0b>0）

a2b2t

.?.其焦距為2c=2Va2+b2>2y[2ab=2、屏=8

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2V2取等號

C的焦距的最小值：8

故選：B.

【典例15]（2021.重慶北修區(qū).西南大學(xué)附中高三開學(xué)考試）已知雙曲線4/-片=1的左右焦點分別為

3

同，點M是雙曲線右支上一點，滿足初。兒園=0,點N是尸1尸2線段上一點，滿足耳燈=幾萬月.現(xiàn)將△MF\F2

沿MN折成直二面角4-MN-6，若使折疊后點依，尺距離最小，則2為（）

「3一4八9

A.2B.-C.—D.—

351313

【答案】B

【分析】

由已知條件及雙曲線的定義可得W"l=3,\F2M\=2,將△MF1F2沿MN折成直二面角6-MN-鳥后，過

寫作耳HLMN,應(yīng)用直角-:角形邊角關(guān)系、余弦定理及勾股定理求耳耳最小時4的大小，進(jìn)而求；I值.

【詳解】

■；\FlM\-\F2M\=2a=l,|耳M『+|瑪M『=|耳罵『=13,

???|耳聞|=3,\F2M|=2,

過耳作耳”_LMN,易知4""L面"Mg,

設(shè)ZHMF、=a,在〃/耳中有//6=3sina,M//=3coscr,

?,?在△/"巴中，ZHMF2=^-a,有HF；=MF；+MH?-2MF2MHeosZHMF?,

冗

/.HF；=4+9cos2a-\2cosacos（~-?）=4+9cos2a-6sin2<z,

22

FtF^=HF^+HF^=4+9cosa-6sin2a+9sina=13-6sin2a>7,當(dāng)且僅當(dāng)sin2a=1,a=工時等號成

4

立.

F.NEM3A3

"，死距離最小時,MN為角平分線,故祐=黃=5=匚7'可得行寸

故選：B

22

【典例161（2021?邵陽市第二中學(xué)高三月考）已知雙曲線￡-3=1（a>0力>0）的左、右焦點分別為乙,

過心且斜率為-1的直線與其左支交于點尸，若存在4（0<4<1）,使月@=2及聲，匝.哥=0,且

FF?F—PPF而P『F=同I__衛(wèi).||2,則雙曲線的離心率為（）

A.G+IB.也C.上D.V2+1

【答案】D

【分析】

根據(jù)向量共線和向量垂直的數(shù)量積為零，結(jié)合直線的傾斜角得到46Qg為等腰直角三角形，所以。在y軸

上，根據(jù)向量的投影的概念，結(jié)合已知向量等式節(jié)尹?令竽=|而『得到「。=|耳。|,進(jìn)而判定仆P耳心

為等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和雙曲線的定義得到關(guān)于&c的關(guān)系，進(jìn)而求得斜率.

【詳解】

存在使質(zhì)=4/，說明。為線段「用上的點，延?￡>=()說明耳QLFzP，即/耳。鳥為直

角，過瑪且斜率為T的直線與其左支交于點P,說明NQE耳=45。，所以△耳?，敒榈妊苯侨切?，所

以。在y軸上,

是鈦在6萬上的投影，爺牛是所在班上的投影,

F述

分別是線段PQ和QP2的長度，爺茨-P%芾=|而『，

說明|PQ||Q用=|耳?！?，；?儼。=|耳。|,；2月。工一△耳。尸,

.?.△PK8為等腰直角三角形，

2a=|P周一閥|=閨明一|尸制=(0-1)|*=(五-1明周=2(下一巾,

雙曲線的離心率為e=￡=Y—=夜+1,

aV2-1

故選：D.

雙曲線的綜合問題常常涉及雙曲線的離心率、漸近線、范圍與性質(zhì)，與圓、桶圓、拋物線、向量、三角函

數(shù)、不等式等知識交匯考查綜合運用數(shù)學(xué)知識的能力.

(1)當(dāng)與向量知識結(jié)合時，注意運用向量的坐標(biāo)運算，將向量間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為點的坐標(biāo)問題，再根據(jù)根與

系數(shù)的關(guān)系，將所求問題與條件建立聯(lián)系求解.

(2)當(dāng)與直線有關(guān)時，常常聯(lián)立直線與雙曲線的方程，消元后利用一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系

構(gòu)造相關(guān)數(shù)量關(guān)系求解.

眄最能行！及時鞏固求提升！

2

1.(2019?北京高考真題(文))已知雙曲線「―y2=i%>0)的離心率是百則2=()

a

A.V6B.4C.2D.；

【答案】D

【解析】

?.?雙曲線的離心率e=g=石，c=m,

a'

a

解得。，

2

故選1).

22

2.(全國高考真題(文))雙曲線。:3-當(dāng)=1(4>0力>())的離心率為2,焦點到漸近線的距離為G，則C

ab

的焦距等于().

A.2B.2>/2C.4D.472

【答案】C

【解析】

設(shè)雙曲線的焦距為2c,雙曲線的漸進(jìn)線方程為解=韭色裒，由條件可知土=投,

—?=演*4&巴解得題■=［御=^^":=翦,故答案選C.

22

3.（2021?江蘇高考真題）已知雙曲線專■=1（〃>0力>0）的一條漸近線與直線2x-y+3=0平行，則該雙

曲線的離心率是（）

A.V2B.y/3C.2D.75

【答案】D

【分析】

寫出漸近線，再利用斜率相等，進(jìn)而得到離心率

【詳解】

雙曲線的漸近線為y=±&,易知y=%與直線2x-y+3=o平行，

aa

所以2=2ne=Jl+（"）=逐,

故選：D.

4.（2021?全國高二課時練習(xí)）“0必〈3”是“方程工+工=1表示雙曲線”的（）

&+1k-5

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分又不必要條件

【答案】A

【分析】

根據(jù)方程W-+上=1表示雙曲線求出左的范圍，再根據(jù)充分性和必要性的定義即可得出結(jié)論.

k+\k-5

【詳解】

k+\>022

解：-：0<k<3,：....方程/二+工=1表示雙曲線;

k-5<04+1k-5

22

反之，：方程工+工=1表示雙曲線，.'.（hH）/-5）＜0,解得一1＜上5.

k+\k-5

故“0女＜3”是“方程上+上=1表示雙曲線”的充分不必要條件.

Z+1k-5

故選：A.

5.（2021.廣東佛山市.高三開學(xué)考試）已知雙曲線C：爐-1=1的一個焦點為（-2,0）,則雙曲線C的一條

漸近線方程為（）

A.x+-0B.\/3x+y=0

C.x+2y=0D.2x+y=0

【答案】B

【分析】

由題知“2=1,C=2,雙曲線的焦點在x軸上，進(jìn)而計算b,再求漸近線方程即可得答案.

【詳解】

解:由題知a?=l,c=2,雙曲線的焦點在x軸匕

所以b=\lc2-a2=＞/3，

所以雙曲線的漸近線為丫=±6》

故選:B

6.（2021?全國高二課時練習(xí)）已知Q,B為雙曲線C：/一產(chǎn)=1的左、右焦點，點尸在C上，ZFIPF2=

60°,則IPBHPBI等于（）

A.2B.4C.6D.8

【答案】B

【分析】

不妨設(shè)P是雙曲線右支上一點，則則伊川一|尸危|=2,|BB|=2夜，再利用余弦定理得解.

【詳解】

不妨設(shè)尸是雙曲線右支上一點，

在雙曲線y2=l中，4=1,b=l,C=V2＞

則伊人|一|「危|=2°=2,|Fi尸2|=2板,

22

V|F1F2|=|PF11+伊尸產(chǎn)一2|尸尸1尸冏90