2022—2023學(xué)年高一下學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位），則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限【答案】C【解析】【分析】先由求出復(fù)數(shù)，再求出其共軛復(fù)數(shù)，從而可判斷其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)所在的象限.【詳解】由，得，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第三象限．故選：C.2.已知向量與的夾角為，則（）A.12 B.16 C. D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量模的數(shù)量積公式，即可計(jì)算結(jié)果.【詳解】.故選：C3.在正方體中，，分別為，的中點(diǎn)，則平面截正方體所得的截面多邊形的形狀為（）A.三角形 B.四邊形 C.五邊形 D.六邊形【答案】B【解析】【分析】把截面補(bǔ)形可得利用四點(diǎn)共面可得．【詳解】解：如圖，把截面補(bǔ)形為四邊形，連接，，因?yàn)椋謩e為，的中點(diǎn)，則，又在正方體中，所以，則四點(diǎn)共面.則平面截正方體所得的截面多邊形的形狀為四邊形.故選：B.4.已知某工廠(chǎng)生產(chǎn)A，B，C三種型號(hào)的零件，這三種型號(hào)的零件周產(chǎn)量之比為2：3：5，現(xiàn)在用分層抽樣的方法從某周生產(chǎn)的零件中抽取若干個(gè)進(jìn)行質(zhì)量檢查，若抽取B型號(hào)零件15個(gè)，則這三種型號(hào)的零件共抽取的個(gè)數(shù)為（）A.50 B.55 C.60 D.65【答案】A【解析】【分析】直接利用分層抽樣的定義求解即可【詳解】設(shè)這三種型號(hào)的零件共抽取的個(gè)數(shù)為個(gè)，因?yàn)檫@三種型號(hào)的零件周產(chǎn)量之比為2：3：5，且抽取B型號(hào)零件15個(gè)，所以，解得.所以這三種型號(hào)的零件共抽取的個(gè)數(shù)為50個(gè).故選：A5.攢尖是我國(guó)古代建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)樣式，多見(jiàn)于亭閣式建筑?園林建筑.如圖所示的帶有攢尖的建筑屋頂可近似看作一個(gè)圓錐，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為120°?半徑為的扇形，則該屋頂?shù)捏w積約為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由側(cè)面展開(kāi)圖可求出圓錐底面半徑，再求出圓錐的高，從而可求出圓的體積【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，高為，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為120°，半徑為的扇形，所以，解得，所以圓錐的高，所以圓錐的體積為，故選：A6.在中，內(nèi)角對(duì)邊分別為，且，當(dāng)時(shí)，的面積是（）A. B. C. D.3【答案】B【解析】【分析】利用正弦定理的邊角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)求得角，從而利用三角形面積公式即可得解.【詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ淼茫郑瑒t，所以，又顯然，即，所以，又，所以，所以的面積為.故選：B.7.在中，滿(mǎn)足是的中點(diǎn)，若是線(xiàn)段上任意一點(diǎn)，且，則的最小值為（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得為等腰直角三角形，建立直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法可得向量的數(shù)量積，進(jìn)而可得最值.【詳解】由，，為等腰直角三角形，以為原點(diǎn)，，為軸和軸建立直角坐標(biāo)系，如圖所示，，，，是的中點(diǎn)，，由于是線(xiàn)段上任意一點(diǎn)，可設(shè)，，，，，，，故當(dāng)時(shí)，的最小值為.故選：D．8.已知是銳角三角形，若，則取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先利用正弦定理與余弦定理的邊角變換，結(jié)合三角函數(shù)的恒等變換求得，再求得角的范圍，結(jié)合正弦定理邊角變換與倍角公式即可得解.【詳解】因?yàn)椋杂烧叶ɡ淼茫茫捎嘞叶ɡ淼茫裕矗烧叶ɡ淼茫驗(yàn)椋瑒t所以，即.因?yàn)闉殇J角三角形，，又在上單調(diào)遞增，所以，則，因?yàn)闉殇J角三角形，.所以.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用正弦定理與余弦定理的邊角變換，推得，從而得解.二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.2023年“三月三”期間，某省交通部門(mén)統(tǒng)計(jì)了2023年4月19日至4月25日的高速公路車(chē)流量（單位：萬(wàn)車(chē)次），并與2022年比較，得到同比增長(zhǎng)率（同比增長(zhǎng)率=（今年車(chē)流量-去年同期車(chē)流量）÷去年同期車(chē)流量×100%）數(shù)據(jù)，繪制了如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，則（）A.2023年4月19日至4月25日的高速公路車(chē)流量的極差為25B.2023年4月19日至4月25日的高速公路車(chē)流量的中位數(shù)為17C.2023年4月19日至4月21日的高速公路車(chē)流量的方差小于2023年4月23日至4月25日的高速公路車(chē)流量的方差D.2022年4月23日的高速公路車(chē)流量約為20萬(wàn)車(chē)次【答案】BD【解析】【分析】通過(guò)計(jì)算得到選項(xiàng)A錯(cuò)誤B正確；觀(guān)察數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況，得到選項(xiàng)C錯(cuò)誤；設(shè)2022年4月23日的高速公路車(chē)流量為x萬(wàn)車(chē)次，求得，故D正確.【詳解】對(duì)于A：由題圖知，2023年4月19日至4月25日的高速公路車(chē)流量的極差為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：易知2023年4月19日至4月25日的高速公路車(chē)流量的中位數(shù)為17，故B正確；對(duì)于C：2023年4月19日至4月21日的高速公路車(chē)流量波動(dòng)更大，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：2023年4月23日的高速公路車(chē)流量為22萬(wàn)車(chē)次，同比增長(zhǎng)率為10%，設(shè)2022年4月23日的高速公路車(chē)流量為x萬(wàn)車(chē)次，則，解得，故D正確.故選：BD．10.已知為復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則（）A.若為純虛數(shù)，則B.若，則C.若，則的最大值為3D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算，復(fù)數(shù)的定義，復(fù)數(shù)模的三角不等式及共軛復(fù)數(shù)的定義，計(jì)算求解后判斷即得．【詳解】對(duì)于A，為純虛數(shù)，所以，即，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，因?yàn)椋裕瑥亩哉_；對(duì)于C，由復(fù)數(shù)模的三角不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以C正確；對(duì)于D，，所以D正確.故選：BCD．11.設(shè)為兩個(gè)隨機(jī)事件，則（）A.若是互斥事件，，則B.若對(duì)立事件，且，則C.若是獨(dú)立事件，，則D.若，且，則是獨(dú)立事件【答案】ACD【解析】【分析】利用互斥事件與相互獨(dú)立事件的性質(zhì)逐一判斷即可【詳解】對(duì)于A：若是互斥事件，，則，故A正確；對(duì)于B：若是對(duì)立事件，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若是獨(dú)立事件，，則也是獨(dú)立事件，，則，故C正確；對(duì)于D：若，且，則，，故，則是獨(dú)立事件，故也是獨(dú)立事件，故D正確.故選：ACD.12.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為分別為線(xiàn)段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則（）A.當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，存在點(diǎn)使直線(xiàn)與平面平行B.當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，存在點(diǎn)，使點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等C.當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，平面截正方體所得的截面面積為D.的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，取的中點(diǎn)，連接，，，，可證平面平面，從而可判斷；對(duì)于B，假設(shè)與到平面的距離相等,則平面必過(guò)的中點(diǎn),連接交于，則只有為的中點(diǎn)時(shí)，才滿(mǎn)足條件，推出矛盾可判斷；對(duì)于C，可得截面為梯形，求解即可判斷；對(duì)于D，把平面與平面沿展開(kāi)成一個(gè)平面，利用兩點(diǎn)之間線(xiàn)段最短結(jié)合余弦定理即可判斷.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，存在分別是線(xiàn)段的中點(diǎn),使與平面平行，理由：如圖所示，取的中點(diǎn)，連接，，，，根據(jù)中位線(xiàn)定理可得，所以平面，平面，平面，因?yàn)椋运倪呅问瞧叫兴倪呅危云矫嫫矫妫矫嫫矫嫫矫妫矫嫫矫妫蔄正確；對(duì)于B，假設(shè)與到平面距離相等,即平面將平分，則平面必過(guò)的中點(diǎn),連接交于，則只有為的中點(diǎn)時(shí)，才滿(mǎn)足條件.當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)只有與重合時(shí)，才有為的中點(diǎn)，但不與端點(diǎn)重合，所以不存在，使點(diǎn)與點(diǎn)到平面的距離相等，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)椋运倪呅问瞧叫兴倪呅危裕?dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，四點(diǎn)共面,截面為梯形，由題意得等腰梯形的上底,下底,腰長(zhǎng)為，高為，所以面積為，故C正確；對(duì)于D，把平面與平面沿展開(kāi)成一個(gè)平面，如圖所示，連接交于點(diǎn)，此時(shí)的最小值為,且，根據(jù)余弦定理可得，即的最小值為，D正確.故選：ACD三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.拋擲兩個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，則“拋擲的兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和是7”的概率為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】先求出總的基本事件，再列舉出點(diǎn)數(shù)之和是7的基本事件，從而利用古典概型求解即可.【詳解】拋擲兩個(gè)質(zhì)地均勻的骰子，總的基本事件有件，其中點(diǎn)數(shù)之和是7的基本事件有，共6件，則“拋擲的兩個(gè)骰子的點(diǎn)數(shù)之和是7”的概率為.故答案：.14.將一組正數(shù)的平均值和方差分別記為與，若，則__________.【答案】10【解析】【分析】列出方差公式，代入數(shù)據(jù)即可求解.【詳解】根據(jù)題意得,則,即，解得;故答案為：10.15.在中，點(diǎn)是線(xiàn)段上的點(diǎn)，且滿(mǎn)足，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)分別交直線(xiàn)于點(diǎn)，且，，其中且，若的最小值為_(kāi)_________.【答案】【解析】【分析】先利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算得到關(guān)于與的表達(dá)式，再根據(jù)三點(diǎn)共線(xiàn)可得，從而利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【詳解】依題意，作出圖形如下，因?yàn)椋瑒t，所以，因?yàn)槿c(diǎn)共線(xiàn)，所以，因?yàn)椋裕?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為.故答案為：.16.點(diǎn)是棱長(zhǎng)為1的正四面體表面上的動(dòng)點(diǎn)，若是該四面體外接球的一條直徑，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)正四面體S-ABC的外接球球心為O，外接球半徑為R，內(nèi)切球半徑為r，且SH⊥平面ABC于H，利用AH，SH與外接球及內(nèi)切球半徑的關(guān)系，轉(zhuǎn)化即可求解外接球、內(nèi)切球的半徑，然后利用向量的數(shù)量積，再根據(jù)即可求解.【詳解】設(shè)正四面體的外接球球心為，外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，且平面于，則，,由得所以，因?yàn)椋裕矗缘娜≈捣秶?故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：這道題的關(guān)鍵是求得正四面體的外接球半徑和內(nèi)切球半徑，從而把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)即可求解.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知復(fù)數(shù).（1）若是實(shí)數(shù)，求的值；（2）若是純虛數(shù)，求的值；（3）若在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，求的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)是實(shí)數(shù)可得，求解即可；（2）根據(jù)z是純虛數(shù)可得，求解即可；（3）根據(jù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限可得，求解即可.【小問(wèn)1詳解】，且z是實(shí)數(shù)，，解得，故的值是；【小問(wèn)2詳解】z是純虛數(shù)，，即，解得，故的值是；【小問(wèn)3詳解】z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，，即，解得，故的取值范圍為.18.某城市醫(yī)保局為了對(duì)該城市多層次醫(yī)療保障體系建設(shè)加強(qiáng)監(jiān)管，隨機(jī)選取了100名參保群眾，就該城市多層次醫(yī)療保障體系建設(shè)的推行情況進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，并將這100人的問(wèn)卷根據(jù)其滿(mǎn)意度評(píng)分值（百分制）按照分成5組，制成如圖所示頻率分布直方圖.（1）求圖中的值；（2）求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；（3）已知滿(mǎn)意度評(píng)分值在內(nèi)的男生數(shù)與女生數(shù)的比為，若在滿(mǎn)意度評(píng)分值為的人中按照性別采用分層抽樣的方法抽取5人，并分別依次進(jìn)行座談，求前2人均為男生的概率.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用頻率之和為求解即可；（2）先判斷中位數(shù)所在區(qū)間，再利用中位數(shù)的定義列式求解即可；（3）先利用分層抽樣確定男女生人數(shù)，再利用列舉法與古典概型的概率公式求解即可.【小問(wèn)1詳解】依題意，得，解得；【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋灾形粩?shù)在間，設(shè)為，則，解得.【小問(wèn)3詳解】依題意，因?yàn)闈M(mǎn)意度評(píng)分值在的男生數(shù)與女生數(shù)的比為，按照分層抽樣的方法在其中隨機(jī)抽取5人，則抽中男生3人，女生2人，依次分別記為，對(duì)這5人依次進(jìn)行座談，前2人的基本事件有：，，，，，，，，，，共10件，設(shè)“前2人均為男生”為事件A，其包含的基本事件有：，，，共3個(gè)，所以．19.如圖，為圓錐底面圓的直徑，點(diǎn)是圓上異于的動(dòng)點(diǎn)，等腰直角三角形的面積為.（1）求圓錐的表面積；（2）若點(diǎn)是的一個(gè)三等分點(diǎn)，求三棱錐的體積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的面積為求得圓錐底面半徑，再求得圓錐母線(xiàn)長(zhǎng)，從而可求解表面積；（2）在底面圓中為直角三角形，不妨設(shè)點(diǎn)B靠近點(diǎn)C，可得從而求得，，進(jìn)而可求得，再利用等體積法即可求解.【小問(wèn)1詳解】等腰直角三角形中，又因?yàn)槠涿娣e為，所以，即圓錐底面半徑，圓錐母線(xiàn)長(zhǎng)為：，所以圓錐SO的表面積為：．【小問(wèn)2詳解】在底面圓中為直角三角形，不妨設(shè)點(diǎn)B靠近點(diǎn)C，可得．由此可得的面積，所以．20.記中，角所對(duì)邊分別為，且.（1）求的最大值；（2）若，求及的面積.【答案】（1）（2）.【解析】【分析】（1）由，根據(jù)兩角和的余弦公式求出，再將化為，根據(jù)基本不等式可求出結(jié)果；（2）根據(jù)，，求出，，，和的面積.【小問(wèn)1詳解】因，所以，所以，所以，所以，所以，因?yàn)椋瑸槿切蔚膬?nèi)角，所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以，即的最大值為.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋裕钟桑?）知，，所以，，，，代入，得，，，由正弦定理得，得，得.所以.21.通過(guò)簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，得到20戶(hù)居民的月用水量數(shù)據(jù)（單位：），這20戶(hù)居民平均用水量是，方差是6.其中用水量最少的5戶(hù)用水量為.用水量最多的5戶(hù)用水量為.（1）求20個(gè)樣本數(shù)據(jù)的和分位數(shù)；（2）估計(jì)其它10戶(hù)居民的月用水量的平均數(shù)和方差.【答案】（1）；（2）；【解析】【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)的定義即可求解；（2）設(shè)其它10個(gè)樣本為x1，x2，x3，x4，…，x10，平均數(shù)記為，根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式即可求得，進(jìn)而可求解其它10戶(hù)居民的月用水量的平均數(shù)；根據(jù)方差公式即可求解，進(jìn)而可求解其它10戶(hù)居民的月用水量數(shù)據(jù)的方差.【小問(wèn)1詳解】，則17.5%分位數(shù)是第4項(xiàng)數(shù)據(jù)，為，，則90%分位數(shù)是第18項(xiàng)和19項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，為．【小問(wèn)2詳解】設(shè)其它10個(gè)樣本為x1，x2，x3，x4，…，x10，平均數(shù)記為，，所以