1/124.1.3弧、弦、圓心角（張江萍）一、教學目標（一）學習目標1.探索圓的中心對稱性2.了解圓心角的概念，探索并掌握在同圓或者等圓中，圓心角、弦、弧中有一個量的相等，就可以推出其他兩個量對應相等3.掌握圓心角、弧、弦之間關系定理并利用其解決相關問題（二）學習重點探索圓心角、弧、弦之間關系定理并利用其解決相關問題．（三）學習難點圓心角、弧、弦之間關系定理中的“在同圓或等圓”條件的理解及定理的證明．二、教學設計（一）課前設計1.預習任務(1)旋轉的三要素是旋轉中心，旋轉方向，旋轉角度(2)中心對稱的定義：如果把一個圖形繞某個點旋轉，它能夠與另一個圖形重合，那么這兩個圖形關于這個點成中心對稱.2.預習自測（1）圓是圖形，也是圖形【知識點】圓的中心對稱性與軸對稱性【答案】軸對稱中心對稱【解題過程】圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形【思路點撥】圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形（2）圓的對稱中心是．【知識點】圓的中心對稱性【答案】圓心【解題過程】圓是中心對稱圖形，由于它繞著圓心旋轉180°后和原圖形重合，所以圓的對稱中心是圓心【思路點撥】根據中心對稱圖形的定義找到圓的對稱中心（3）如圖，已知的半徑相等，若，則，（填“”、“”或“=”）【知識點】在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．【答案】==【解題過程】,,【思路點播】在同圓或者等圓中，圓心角，弧，弦有一個量相等，就聯想到其他的量也相等(4)已知與半徑相等，若，則，（填“”、“”或“=”）【知識點】在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等；在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的優（劣）弧相等．【答案】=【解題過程】，,,≌，【思路點撥】在同圓或者等圓中，圓心角，弧，弦有一個量相等，就聯想到其他的量也相等（二）課堂設計1.知識回顧（1）圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線（2）垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的弧（3）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧2.問題探究探究一圓的中心對稱性活動①以舊引新想一想：這些現象說明了什么？現象一：一塊圓形的蛋糕，糕點師只要過圓心點在互相垂直的兩個方向上切兩刀，不管糕點師站在哪里，分成的四塊一定是均等的.這個現象跟圓的哪個性質有關？學生搶答答案：現象一說明對折后能夠完全重合，只要是過圓心的直線，分成的兩部分均對稱，說明圓是軸對稱圖形，對稱軸是過圓心的任一條直線.【設計意圖】復習回顧圓的軸對稱性，為引發新知識鋪墊現象二：機械式鬧鐘上鐘時，每次只要轉動發條上的鐘鈕時，看上去跟沒轉動以前是一個樣的.這個現象跟圓的哪個性質有關？現象二說明鐘鈕左右兩端轉動后完全重合，而兩端均在以軸心為圓心的圓上運動，說明圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心.【設計意圖】整合舊知識，探索圓的中心對稱性活動②歸納概括想一想：由以上現象，概括圓的對稱性結論：1.圓是軸對稱圖形，其對稱軸是任意一條過圓心的直線.2.圓是中心對稱圖形，對稱中心為圓心.探究二圓心角、弧、弦之間的關系★▲活動①大膽操作探究新知識1.按下面的步驟做一做：(1)在兩張透明紙上，作兩個半徑相等的⊙O和⊙O′，沿圓周分別將兩圓剪下；(2)在⊙O和⊙O′上分別作相等的圓心角∠AOB和∠A′O′B′，如圖1所示，圓心固定．注意：在畫∠AOB與∠A′O′B′時，要使OB相對于OA的方向與O′B′相對于O′A′的方向一致，否則當OA與OA′重合時，OB與O′B′不能重合．圖1(3)將其中的一個圓旋轉一個角度．使得OA與O′A′重合．通過上面的做一做，你能發現哪些等量關系?同學們互相交流一下，說一說你的理由．教師敘述步驟，同學們一起動手操作．由已知條件可知∠AOB＝∠A′O′B′；由兩圓的半徑相等，可以得到∠OAB＝∠OBA＝∠O′A′B′=∠O′B′A′；由△AOB≌△A′O′B′，可得到AB＝A′B′；由旋轉法可知．在學生分析完畢后，教師指出在上述做一做的過程中發現，固定圓心，將其中一個圓旋轉一個角度，使半徑OA與O′A′重合時，由于∠AOB＝∠A′O′B′．這樣便得到半徑OB與O′B′重合．因為點A和點A′重合，點B和點B′重合，所以和重合，弦AB與弦A′B′重合，即，AB=A′B′．進一步引導學生語言歸納圓心角、弧、弦之間相等關系定理：在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等．【設計意圖】大膽猜想，大膽操作，激發學生興趣，探究新知識活動②集思廣益證明新知根據對上述定理的理解，你能證明下列命題是正確的嗎？（1）在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等；（2）在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的優（劣）弧相等．本問題由學生在思考的基礎上討論解決，可以證明上述命題是真命題．【設計意圖】創設問題情境，集思廣益，證明新知識活動③反思過程發現定理定理“在同圓和等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦也相等”中，可否把條件“在同圓或等圓中”去掉？為什么？小組討論，可以在教師的引導下，舉出反例說明條件“在同圓或等圓中”不能去掉，比如可以請同學們畫一個只能是圓心角相等的這個條件的圖．如圖，雖然∠AOB=∠A′O′B′，但AB≠A′B′，弧AB≠弧A′B′．教師進一步引導學生用同樣的思路考慮命題：（1）在同圓或等圓中，如果兩條弧相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的弦相等；（2）在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對的圓心角相等，所對的優（劣）弧相等中的條件“在同圓和等圓中”是否能夠去掉．小結：弦、圓心角、弧三量關系，在同圓或者等圓中，圓心角，弧，弦有一個量相等，那么其他的量也對應相等【設計意圖】反思過程，發現定理，重新認識，拓展創新探究三圓心角、弧、弦之間關系定理的應用活動①舊題新解例1.如圖，的直徑CD與弦AB交于點M，添加條件（寫出一個即可），就可得到M是AB的中點.【知識點】垂徑定理，圓心角、弧、弦之間關系定理【解答過程】補入的條件是：或.【思路點撥】對開放性逆向思維的題目，首先應依題意抓住問題適合的依據定理，再由定理和題設補充條件.【答案】或.練習：如圖，CD是的直徑，AB是弦，于M，則可得出，等多個結論，請你按現有圖形給出其他兩個結論.【知識點】垂徑定理，圓心角、弧、弦之間關系定理【解答過程】另兩個結論是：，.【思路點撥】對開放性思維的題目，首先應依題意抓住已知條件，再由定理和題設得到結論.【設計意圖】復習垂徑定理，同時利用新知識解決舊問題活動②集思廣益求解角度例2.如圖，在⊙O中，，∠ACB＝60°，求證∠AOB=∠AOC=∠BOC．【知識點】圓心角、弧、弦之間關系定理【解答過程】∵∴AB=AC，△ABC是等腰三角形．又∠ACB＝60°，∴△ABC是等邊三角形，AB=BC=CA．∴∠AOB=∠AOC=∠BOC．【思路點撥】由，有，可得△ABC是等邊三角形，AB=AC=BC，所以得到∠AOB=∠AOC=∠BOC．練習．如圖，AB是⊙O的直徑，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC＝CD＝DA，求∠BOD的度數．【知識點】圓心角、弧、弦之間關系定理【解答過程】由BC＝CD＝DA可以得到這三條弦所對的圓心角相等，連接OC，得到∠AOD=∠DOC=∠BOC，而AB是直徑，于是∠BOD＝×180°＝120°【思路點撥】求圓心角度數，可先求出該圓心角度數所對弧的度數【答案】120°【設計意圖】利用圓心角、弧、弦之間關系定理解決圓中簡單的角度問題活動③大膽探索證明線段相等與弧度相等例3.如圖，AB，CD是的弦，M、N分別為AB、CD的中點且，求證：AB=CD.【知識點】垂徑定理，圓心角、弧、弦之間關系定理，全等三角形的判定定理【解答過程】證明：為AB，CD中點，，。，，.連接OB、OD，則OB=OD，≌。，.【思路點撥】由中點想到垂徑定理，由等角對等邊定理可以得到線段與角度的相等關系，可以為證明全等三角形創造條件練習：如圖，AB是⊙O的直徑，P，Q是AB上兩點，且AP=BQ，C、D是⊙O上兩點，且，分別延長CP、DQ，交⊙O于M、N，求證：CP=DQ.【知識點】圓心角、弧、弦之間關系定理，全等三角形的判定定理【解答過程】連接AC，BD，CO，DO，∵，∴=BD，∠COA=∠DOB∵AP=BQ,≌,∴CP=DQ.【思路點撥】由圓心角、弧、弦之間關系定理可以得到線段與角度的相等關系，可以為證明全等三角形創造條件.【設計意圖】利用圓心角、弧、弦之間關系定理證明圓中的線段相等或者弧相等3.課堂總結知識梳理（1）圓心角概念：頂點在圓心的角叫圓心角（2）圓是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形（3）在同圓或者等圓中，圓心角、弦、弧中有一個量的相等，就可以推出其他兩個量對應相等重難點歸納（1）在同圓或者等圓中，圓心角、弦、弧中有一個量的相等，就可以推出其他兩個量對應相等（2）圓心角、弧、弦之間關系定理中的“在同圓或等圓”條件不可忽略（3）由圓心角、弧、弦之間關系定理可以求得圓中的角度，證明圓中的線段和弧相等.（三）課后作業基礎型自主突破1．交通工具上的輪子都是圓做的，這是運用了圓的性質中的____.【知識點】圓的旋轉不變性【解答過程】因為圓繞著圓心旋轉任意角度，新圖形與原圖形重合，這樣保證了交通工具運動中的平穩性，所以輪子會做成圓形【思路點撥】根據圓的旋轉不變性可以為我們生活帶來便利【答案】圓的旋轉不變性2．如圖，AB和DE是的直徑，弦AC∥DE，若弦BE=3，則弦CE=【知識點】圓心角、弧、弦之間關系定理，平行線的性質【解答過程】連接OC，∥DE，，，，,,.【思路點撥】由平行線可以得到角的關系，再由角的關系可以得到弦的關系【答案】33.如圖，AB是直徑，C、D在上，AD∥OC，，連接AC，則等于（）A.15 B.30 C.45 D.60【知識點】平行線的性質，等腰三角形性質，圓心角、弧、弦之間關系定理【解答過程】AD∥OC，【思路點撥】由平行線可以得到角的關系，此題注意隱藏條件是圓的半徑處處相等【答案】B4.如圖，AB是⊙O的直徑，，∠COD=34°，則∠AEO的度數是（）A.51° B.56° C.68° D.78°【知識點】圓心角、弧、弦的關系【數學思想】數形結合【解答過程】解：如圖，∵，∠COD=34°，∴∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，∴∠AOE=180°﹣∠EOD﹣∠COD﹣∠BOC=78°．又∵OA=OE，∴∠AEO=∠EAO，∴∠AEO=×（180°﹣78°）=51°．故選：A．【思路點撥】由，可求得∠BOC=∠EOD=∠COD=34°，繼而可求得∠AOE的度數；然后再根據等腰三角形的性質和三角形內角和定理來求∠AEO的度數．【答案】A5．在⊙O中，圓心角，則兩條弧AB與弧CD關系是（）A. B. C. D.不能確定【知識點】圓心角、弧、弦的關系【解答過程】作的角平分線OE，，，，.【思路點撥】當題目中出現二倍關系時，要善于把二倍關系分解一下【答案】A6．如圖，以的頂點A為圓心，AB為半徑作圓，分別交BC、AD于E、F，若，求弧BE的度數和弧EF的度數.【知識點】平行四邊形的性質，弧的度數【解答過程】連接AE，，ABCD為平行四邊形，，，，，的度數為，，，，的度數為.【思路點撥】圓心角有角度，弧有角度也有長度，弦有長度，圓可以和以前學過的知識結合起來考線段長和角度【答案】的度數為，的度數為.能力型師生共研7.如圖，，，，，求度數.【知識點】圓心角、弧、弦的關系，全等三角形判定，等腰三角形性質【解答過程】連接OB、OD，，，，，，又OB=OD≌.【思路點撥】利用圓的半徑相等常常可以建立全等三角形【答案】25°8．如圖，AB是⊙O的直徑，BC是弦，點E是的中點，OE交BC于點D．連接AC，若BC=6，DE=1，則AC的長為．【知識點】垂徑定理，勾股定理【數學思想】數形結合【解答過程】連接OC，如圖．∵點E是的中點，∴∠BOE=∠COE．∵OB=OC，∴OD⊥BC，BD=DC．∵BC=6，∴BD=3．設⊙O的半徑為r，則OB=OE=r．∵DE=1，∴OD=r﹣1．∵OD⊥BC即∠BDO=90°，∴OB2=BD2+OD2．∵OB=r，OD=r﹣1，BD=3，∴r2=32+（r﹣1）2．解得：r=5．∴OD=4．∵AO=BO，BD=CD，∴OD=AC．∴AC=8．【思路點撥】由垂徑定理有OD⊥BC，得BD=3．由勾股定理列方程可求得⊙O的半徑，從而求得AC長。【答案】89.如圖，P為直徑AB上一點，EF、CD為過P點的兩條弦，且∠DPB=∠EPB

求證：CD=EF，弧CE=弧DF。【知識點】等弦心距對等弦定理全等三角形等式的性質【數學思想】數形結合【解答過程】證明：過圓心O作OM⊥CD于M，ON⊥EF于N，∴∠OMP＝∠ONP＝90°∠DPB＝∠EPB，OP＝OP∴△OMP≌△ONP（AAS）

∴OM＝ON

∴CD＝EF

∴劣弧CD＝劣弧EF

∴劣弧CD－劣弧CF＝劣弧EF－劣弧CF

∴弧CE＝弧DF【思路點撥】由角等構造全等三角形，根據弦心距相等推得弦等【答案】弧CE＝弧DFCD＝EF。10.如圖，圓中有兩條相等的弦AC與BD相交與點P，∠ADB=∠BCA，求證：PO⊥AB.【知識點】等對等定理全等三角形的判定等腰三角形的性質【數學思想】數形結合【解答過程】∵AC=BD,∴弧AC=弧BD，∴弧AC－弧DC=弧BD－弧CD，即弧AD=弧BC，∴AD=CB又∠ADB=∠BCA∠DPA=∠CPB∴△ADP≌△BCP∴AP=BP∵O是AB中點∴PO⊥AB【思路點撥】由等對等定理可以實現弦等和弧等之間的相互轉化。【答案】PO⊥AB自助餐1．如果兩個圓心角相等，那么（）A.這兩個圓心角所對的弦相等B.這兩個圓心角所對的弧相等C.這兩個圓心角所對的弦的弦心距相等D.以上說法都不對【知識點】圓心角、弧、弦的關系【解答過程】由圓心角與弧的關系知，在同圓或等圓中，圓心角等，其所對的弧相等，故選D【思路點撥】在圓心角、弧、弦的關系定理中，“在同圓或等圓中”這個前提不能忽略【答案】D 2.如圖，中，如果弧，那么（）A.AB=AC B.AB=2AC C. D.【知識點】圓心角、弧、弦的關系定理，三角形三邊關系【解答過程】取中點D，連接AD，BD，，，，，.【思路點撥】題目中若出現二倍關系，常常要把二倍轉化為一倍【答案】C3.如圖，已知AB是O的直徑，C、D是的三等分點，，則是（ ）A. B. C. D.【知識點】弧的度數，圓心角定義【解答過程】C，D是的三等分