專題10幾何圖形旋轉壓軸題的三種考法類型一、旋轉最值問題例．如圖，點E是邊長為4的正方形內部一點，，將按逆時針方向旋轉得到，連接，則的最小值為（

）

A． B． C． D．【變式訓練1】．如圖，在矩形中，，連接，將線段繞著點A順時針旋轉得到，則線段的最小值為．【變式訓練2】．如圖，是邊長為6的等邊三角形，點E為高上的動點．連接，將繞點順時針旋轉得到．連接，，，則周長的最小值是．【變式訓練3】．如圖，平行四邊形中，，E是邊上一點，且是邊上的一個動點，將線段繞點E逆時針旋轉，得到，連接，則的最小值是．

類型二、三角形中的旋轉問題例．如圖，在中，，將繞點C旋轉一定的角度得到，點D恰好落在邊上．

(1)求證：平分；(2)連接，若，，求的長．【變式訓練1】（1）如圖1，過等邊的頂點A作的垂線l，點P為l上點（不與點A重合），連接，將線段繞點C逆時針方向旋轉60°得到線段，連接．①求證：；②連接并延長交直線于點D．若，，求的長；（2）如圖2，在中，，將邊繞點A順時針旋轉得到線段，連接，若，，求長．【變式訓練2】．如圖1，有等邊和等邊，將繞點順時針旋轉，得到圖2所示的圖形．

(1)求證：；(2)如圖3，若，，且旋轉角為時，求的度數；(3)如圖4，連接，并延長交于點，若旋轉至某一位置時，恰有，，求的值．【變式訓練3】．旋轉是幾何圖形運動中的一種重要變換，通常與全等三角形等數學知識相結合來解決實際問題，某學校數學興趣小組在研究三角形旋轉的過程中，進行如下探究：如圖，和均為等腰直角三角形，，點D為中點，繞點D旋轉，連接、．

觀察猜想：（1）在旋轉過程中，與的數量關系為______；實踐發現：（2）當點M、N在內且C、M、N三點共線時，如圖，求證：；

解決問題：（3）若中，，在旋轉過程中，當且C、M、N三點共線時，直接寫出的長．

類型三、四邊形中的旋轉問題例．如圖，在矩形中，，，將矩形繞點A逆時針旋轉至矩形，旋轉角為，當點C，和三點共線時，的長為（

）．

A． B． C． D．【變式訓練1】．在平面內，旋轉變換指某一個圖形繞一個定點按順時針或逆時針旋轉一定的角度而得到新位置圖形的一種變換．

活動一，如圖①，在直角三角形中，為斜邊上的一點，，，且四邊形是正方形，在求陰影部分面積時，小明運用圖形旋轉的方法，將繞點逆時針旋轉，得到（如圖②所示），小明立刻就得到了答案，請你寫出陰影部分的面積．活動二：如圖③，在四邊形中，，，，，過點作于點，小明仍運用圖形旋轉的方法，將繞點逆時針旋轉，得到（如圖④所示），則：（1）四邊形是怎樣的特殊四邊形？答：______；（2）的長是______．活動三：如圖⑤，在四邊形中，，，為中點，連接、．若，，求的長．【變式訓練2】．通過類比聯想，引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的，下面是一個案例，請補充完整．原題：如圖1，點E、F分別在正方形的邊上，，連接，試猜想之間的數量關系

圖1

圖2

圖3(1)思路梳理：把繞點A逆時針旋轉至，可使與重合，由，得，，即點F、D、G共線，易證_________，故之間的數量關系為_________．(2)類比引申：如圖2，點E、F分別在正方形的邊的延長線上，．連接，試猜想之間的數量關系為_________，并給出證明．(3)聯想拓展：如圖3，在中，，點D、E均在邊上，且．若，直接寫出和的長．【變式訓練3】．綜合與實踐：問題情景：如圖1、正方形與正方形的邊，在一條直線上，正方形以點A為旋轉中心逆時針旋轉，設旋轉角為α，在旋轉過程中，兩個正方形只有點A重合，其它頂點均不重合，連接，．

(1)操作發現：當正方形旋轉至如圖2所示的位置時，求證：；(2)操作發現：如圖3，當點E在延長線上時，連接，求的度數；(3)問題解決：如圖4，如果，，，請直接寫出點G到的距離．課后訓練1．如圖，在中，點在上，連接，，點在上，連接，，若，的面積為，則的長為．

2．如圖，等腰直角中，，，點是邊上一點，將繞點順時針旋轉到點，則長的最小值是．3．如圖，是正方形邊的中點，是正方形內一點，連接，線段以為中心逆時針旋轉得到線段，連接．若，，則的最小值為．

4．如圖，在四邊形中，，，將邊繞點順時針旋轉后，點恰好落在邊上的點處，已知，則的長度為．

5．在中，，，點D，E是邊，的中點，連接，，點M，N分別是和的中點，連接．

(1)如圖1，與的數量關系是_________；(2)如圖2，將繞點A順時針旋轉，連接，請寫出和的數量關系，并就圖2的情形說明理由；(3)在的旋轉過程中，當B，D，E三點共線時，求線段的長．

專題10幾何圖形旋轉壓軸題的三種考法類型一、旋轉最值問題例．如圖，點E是邊長為4的正方形內部一點，，將按逆時針方向旋轉得到，連接，則的最小值為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根據得到，則點E在以為直徑的圓上，取中點G，當過點G時，有最小值，由旋轉的性質得到，則此時也取最小值，即可解答．【詳解】解：在正方形中，，∵，∴，∴，∴點E在以為直徑的圓上，取中點G，連接，當過點G時，有最小值，

又∵按逆時針方向旋轉得到，∴，∴此時也取最小值，∵，為的半徑，即，∴此時，∴，即的最小值為，故選：B．【點睛】本題考查了角度的轉化與判斷點的軌跡，解題的關鍵是運用數學結合思想處理題給條件，從而得到點的軌跡．【變式訓練1】．如圖，在矩形中，，連接，將線段繞著點A順時針旋轉得到，則線段的最小值為．【答案】/【分析】連接，過點A作，截取，連接，通過證明，得，再求出的長．最后在中，利用三邊關系即可得出答案．【詳解】如圖，連接，過點A作，截取，連接，∵將線段繞著點A順時針旋轉得到，∴，∴，∴．又∵，∴，∴．∵，∴．∴在中，．∵，∴．∵，且當點G，P，E三點共線時取等號，∴的最小值為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質，全等三角形的判定與性質，三角形的三邊關系等知識，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵．【變式訓練2】．如圖，是邊長為6的等邊三角形，點E為高上的動點．連接，將繞點順時針旋轉得到．連接，，，則周長的最小值是．【答案】【分析】根據題意，證明，進而得出點在射線上運動，作點關于的對稱點，連接，設交于點，則，則當三點共線時，取得最小值，即，進而求得，即可求解．【詳解】解：∵為高上的動點．∴，∵將繞點順時針旋轉得到．且是邊長為的等邊三角形，∴，∴，∴，∴點在射線上運動，如圖，作點關于的對稱點，連接，設交于點，

則，在中，，則，則當三點共線時，取得最小值，即，∵，，，∴，∴，在中，,∴周長的最小值為，故答案為：．【點睛】本題考查了軸對稱求線段和的最值問題，等邊三角形的性質，全等三角形的性質與判定，勾股定理等知識點，熟練掌握等邊三角形的性質以及軸對稱的性質是解題的關鍵．【變式訓練3】．如圖，平行四邊形中，，E是邊上一點，且是邊上的一個動點，將線段繞點E逆時針旋轉，得到，連接，則的最小值是．

【答案】【分析】取的中點N，連接作交的延長線于H，根據三角形全等的判定與性質可以得到，由三角形三邊關系可得，利用勾股定理求出的值即可得到解答．【詳解】解：如圖，取的中點N，連接，作交CD的延長線于H，

由題意可得：∵點N是的中點，∴∴∵∴是等邊三角形，∴∴∵∴∴∴∴點G的運動軌跡是射線，∵∴∴∴在中，∴，∴在中，==，∴≥，∴的最小值為；故答案為．【點睛】本題考查平行四邊形與旋轉的綜合應用，熟練作出輔助線并掌握旋轉的性質、三角形全等的判定與性質、三角形三邊關系及勾股定理的應用是解題關鍵．類型二、三角形中的旋轉問題例．如圖，在中，，將繞點C旋轉一定的角度得到，點D恰好落在邊上．

(1)求證：平分；(2)連接，若，，求的長．【答案】(1)見詳解；(2)【分析】（1）根據旋轉的性質可得，再由“等邊對等角”可得，因此可得，即可得出平分．（2）連接，根據全等三角形的性質可得，由此可得．再根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”可得，又由即可證是等邊三角形，可得，再證，由此可得，根據SAS證明，則可知，在中，根據勾股定理求出的長，再在中根據勾股定理即可求出的長．【詳解】（1）∵繞點C旋轉一定的角度得到，∴，，

，∴平分．（2）

如圖，連接，，．又，，．又，，是等邊三角形，，．又，，，．在和中，

，，,，，，．∴的長為．【點睛】本題主要考查了旋轉的性質、等邊三角形的判定和性質、全等三角形的判定和性質，以及勾股定理，綜合性較強．正確的作出輔助線，且證明出是解題的關鍵．【變式訓練1】（1）如圖1，過等邊的頂點A作的垂線l，點P為l上點（不與點A重合），連接，將線段繞點C逆時針方向旋轉60°得到線段，連接．①求證：；②連接并延長交直線于點D．若，，求的長；（2）如圖2，在中，，將邊繞點A順時針旋轉得到線段，連接，若，，求長．【答案】（1）①見解析；②；（2）【分析】（1）①證明，即可得出；②連接，由旋轉可得是等邊三角形，根據，可知是的垂直平分線，，再由，得出，然后由勾股定理求出和的長，根據求出結果；（2）將繞點A逆時針旋轉得到線段，連接，，構建等腰直角三角形，求出的長，再證明，即可得出答案．【詳解】（1）①證明：在等邊中，，，由旋轉可得，，∴，∴，即，∴，∴；②連接，如圖：由旋轉，得，，∴是等邊三角形，∵，∴，∴是的垂直平分線，∴，在等邊中，，，∴，∴，即，∵，∴，∴，，∴，∵，∴，在中，，∴，，∵，，∴，∵，∴，∴，∴；（2）將繞點A逆時針旋轉得到線段，連接，，如圖：則是等腰直角三角形，∵，∴，，∵，∴，在中，，∵，∴，即，∵，，

∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查幾何變換的綜合應用，涉及等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，直角三角形的判斷與性質等知識，解題的關鍵是作出輔助線，構造全等三角形解決問題．【變式訓練2】．如圖1，有等邊和等邊，將繞點順時針旋轉，得到圖2所示的圖形．

(1)求證：；(2)如圖3，若，，且旋轉角為時，求的度數；(3)如圖4，連接，并延長交于點，若旋轉至某一位置時，恰有，，求的值．【答案】(1)見詳解；(2)；(3)【分析】（1）由旋轉可得，可證，，即可求證；（2）過點作于點，取的中點，連接，可求，從而可求，可證是等邊三角形，即可求解；（3）可求，，，從而可求，可證，，即可求解．【詳解】（1）證明：由旋轉得：，、是等邊三角形，，，在與中，，（）．（2）解：如圖，過點作于點，取的中點，連接，

旋轉角為，，由（1）得：，，在中，，，，，是等邊三角形，，．（3）解：同理可證，，，，是等邊三角形，，，，，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查旋轉的性質，等邊三角形的判定及性質，等腰三角形行的性質，三角形全等的性質與判定、直角三角形的性質，掌握相關的判定方法及性質是解題的關鍵．【變式訓練3】．旋轉是幾何圖形運動中的一種重要變換，通常與全等三角形等數學知識相結合來解決實際問題，某學校數學興趣小組在研究三角形旋轉的過程中，進行如下探究：如圖，和均為等腰直角三角形，，點D為中點，繞點D旋轉，連接、．

觀察猜想：（1）在旋轉過程中，與的數量關系為______；實踐發現：（2）當點M、N在內且C、M、N三點共線時，如圖，求證：；

解決問題：（3）若中，，在旋轉過程中，當且C、M、N三點共線時，直接寫出的長．

【答案】（1）；（2）見解析；（3）或【分析】（1）如圖所示，連接，根據等腰三角形的性質可證，由此即可求解；（2）由（1）中，再根據為等腰直角三角形，由此即可求解；（3）點C、M、N三點共線，分類討論，根據（2）中的結論即可求解．【詳解】（1）解：，理由如下，如圖所示，連接，

∵為等腰直角三角形，，∴，∵點D為中點，∴，∴，∴，∵為等腰直角三角形，，∴，，∴，在和中，，∴，∴，故答案為：；（2）證明：如圖所示，連接，

由（1）可知，，∴，，∴，∴，∵是等腰直角三角形，即，∴，∴，∴；（3）解：，，C、M、N三點共線，①由（2）可知，，

由（1）可知，，∵，，∴，∴，在中，，，∴，∴，∴；②如圖所示，由（1）可知，，，，

∴，∴是直角三角形，∴，∴（不符合題意舍去）；③如圖，

∵是等腰直角三角形，∴，同法可證，∴，∴，即是直角三角形，在中，，，∴，∴，∵，∴；綜上所述，的長為或．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查等腰直角三角形，旋轉，全等三角形的綜合，掌握旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質是解題的關鍵．類型三、四邊形中的旋轉問題例．如圖，在矩形中，，，將矩形繞點A逆時針旋轉至矩形，旋轉角為，當點C，和三點共線時，的長為（

）．

A． B． C． D．【答案】A【分析】當點C，和三點共線，，先根據勾股定理求出，再根據勾股定理求出，通過證明，得出，設，則，在中，根據勾股定理列出方程求解即可．【詳解】解：∵點C，和三點共線，∴，∵矩形繞點A逆時針旋轉至矩形，∴，，在中，根據勾股定理可得：，在中，根據勾股定理可得：，在和中，，∴，設，則，在中，根據勾股定理可得：，即，解得：，故選：A．

【點睛】本題主要考查了矩形的性質，旋轉的性質，三角形全等的判定和性質，勾股定理，解題的關鍵是正確畫出圖形，根據勾股定理列出方程求解．【變式訓練1】．在平面內，旋轉變換指某一個圖形繞一個定點按順時針或逆時針旋轉一定的角度而得到新位置圖形的一種變換．

活動一，如圖①，在直角三角形中，為斜邊上的一點，，，且四邊形是正方形，在求陰影部分面積時，小明運用圖形旋轉的方法，將繞點逆時針旋轉，得到（如圖②所示），小明立刻就得到了答案，請你寫出陰影部分的面積．活動二：如圖③，在四邊形中，，，，，過點作于點，小明仍運用圖形旋轉的方法，將繞點逆時針旋轉，得到（如圖④所示），則：（1）四邊形是怎樣的特殊四邊形？答：______；（2）的長是______．活動三：如圖⑤，在四邊形中，，，為中點，連接、．若，，求的長．【答案】活動一：3；活動二：（1）正方形；（2）4；活動三：5．【分析】活動一：由旋轉的性質可得，，從而得到，即可求解；活動二：（1）利用旋轉的性質可得，，從而得到，再根據正方形的判定方法即可求解；（2）根據正方形的性質可得，求得的長度，即可求解；活動三：將繞點順時針旋轉得到，通過證明為等邊三角形，即可求解．【詳解】活動一：由旋轉的性質可得，，∵四邊形是正方形，∴，即∴，即為直角三角形∴；活動二：（1）由旋轉的性質可得，，∵∴，又∵，∴，又∵∴四邊形為矩形，又∵∴矩形為正方形；（2）由（1）可得由題意可得：又∵∴，解得∴；故答案為：正方形，4；活動三：將繞點順時針旋轉得到，如下圖：

∵∴由旋轉的性質可得：，，∴，即∵為中點，∴∴∴為等邊三角形，∴【點睛】此題考查了旋轉的性質，正方形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，解題的關鍵是熟練掌握相關基本性質，利用旋轉的性質進行求解．【變式訓練2】．通過類比聯想，引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的，下面是一個案例，請補充完整．原題：如圖1，點E、F分別在正方形的邊上，，連接，試猜想之間的數量關系

圖1

圖2

圖3(1)思路梳理：把繞點A逆時針旋轉至，可使與重合，由，得，，即點F、D、G共線，易證_________，故之間的數量關系為_________．(2)類比引申：如圖2，點E、F分別在正方形的邊的延長線上，．連接，試猜想之間的數量關系為_________，并給出證明．(3)聯想拓展：如圖3，在中，，點D、E均在邊上，且．若，直接寫出和的長．【答案】(1)，(2)，證明見解析(3)，【分析】（1）先根據旋轉得：，計算，即點、、共線，再根據證明，得，可得結論；（2）作輔助線：把繞點逆時針旋轉至，證明，得，所以；（3）同理作輔助線：把繞點逆時針旋轉至，證明，得，先由勾股定理求的長，證明，求出，，繼而得到，過A作，垂足為，根據等腰直角三角形的性質求出，可得，利用勾股定理可得．【詳解】（1）解：如圖1，把繞點逆時針旋轉至，可使與重合，即，由旋轉得：，，，，，即點、、共線，四邊形為矩形，，，，，，在和中，，，，；故答案為：，；（2）如圖2，，理由是：把繞點逆時針旋轉至，可使與重合，則在上，

由旋轉得：，，，，，，，，在和中，，，，；（3）如圖3，把繞點逆時針旋轉至，可使與重合，連接，，

由旋轉得：，，，，，，，，，，由勾股定理得：，，，，，，，，，，，．，，，，過A作，垂足為，∵，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了正方形的性質、等腰直角三角形的性質、旋轉的性質，通過類比聯想，引申拓展，可達到解一題知一類的目的，本題通過旋轉一三角形的輔助線作法，構建另一三角形全等，得出結論，從而解決問題．【變式訓練3】．綜合與實踐：問題情景：如圖1、正方形與正方形的邊，在一條直線上，正方形以點A為旋轉中心逆時針旋轉，設旋轉角為α，在旋轉過程中，兩個正方形只有點A重合，其它頂點均不重合，連接，．

(1)操作發現：當正方形旋轉至如圖2所示的位置時，求證：；(2)操作發現：如圖3，當點E在延長線上時，連接，求的度數；(3)問題解決：如圖4，如果，，，請直接寫出點G到的距離．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據正方形的性質可得，，，，從而證明，即可得出結論；（2）過F作，垂足為H，證明，可得，，從而可得，再由，即可求解；（3）連接，，過點B作于點H，根據正方形的性質可得，從而可得，再利用勾股定理求得，再由，即可求解．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，，又∵四邊形是正方形，∴，，∴．在與中，，∴，∴；（2）解；過F作，垂足為H，

∵，∴，，∴，∵四邊形AEFG是正方形，∴，在與中，，∴，∴，，∴，∴，∴，又∵，∴，（3）解：如圖，連接，，過點B作于點H，∵是正方形的對角線，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，在中，，設點G到的距離為h，∵，∴，解得：，∴點G到的距離為．

【點睛】本題考查正方形的性質、平行線性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質，熟練掌握正方形的性質是解題的關鍵．課后訓練1．如圖，在中，點在上，連接，，點在上，連接，，若，的面積為，則的長為．

【答案】【分析】先進行把繞點逆時針旋轉，，繞點逆時針旋轉，根據性質可以得出，繼而利用勾股定理可得，利用面積即可求解．【詳解】如圖，繞點逆時針旋轉，點與對應，點與對應，繞點逆時針旋轉，點與對應，點與對應

∵，，，∴旋轉后與重合，與重合，∴，，∵，，∴，∴點，，三點共線，，∴，∴，，，∴∴，，在，由勾股定理得：，∴，，∴，故答案為：．【點睛】此題考查了旋轉及勾股定理，解題的關鍵是熟練掌握旋轉的性質與勾股定理得應用．2．如圖，等腰直角中，，，點是邊上一點，將繞點順時針旋轉到點，則長的最小值是．【答案】/【分析】將繞點順時針旋轉得到，則此時、、在同一直線上，得出點的運動軌跡為線段，當時，的長度最小，由直角三角形的性質及三角形中位線定理即可得出答案．【詳解】解：將繞點順時針旋轉得到，則此時、、在同一直線上，即有，∴，，，，，隨著點的運動，總有，，，∴，同理可證明：，∴，∴，∴、、三點在同一直線上，點的運動軌跡為線段，當時，的長度最小，如圖，在等腰中，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉的性質，等腰直角三角形的性質，全等三角形的判定和性質，垂線段最短，熟練掌握旋轉的性質是解題的關鍵．3．如圖，是正方形邊的中點，是正方形內一點，連接，線段以為中心逆時針旋轉得到線段，連接．若，，則的最小值為．

【答案】【分析】連接，將以中心，逆時針旋轉，點的對應點為，由的運動軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，可得：的運動軌跡是以為圓心，為半徑的半圓，再根據“圓外一定點到圓上任一點的距離，在圓心、定點、動點，三點共線時定點與動點之間的距離最短”，所以當、、三點共線時，的值最小，可求，從而可求解．【詳解】解，如圖，連接，將以中心，逆時針旋轉，點的對應點為，

的運動軌