基礎課60二項分布、超幾何分布、正態分布考點考向課標要求真題印證考頻熱度核心素養二項分布掌握2023年新高考Ⅱ卷T★★★邏輯推理數學運算超幾何分布理解2023年全國甲卷（理）T★☆☆邏輯推理數學運算正態分布了解2022年新高考Ⅱ卷T132021年新高考Ⅱ卷★★☆邏輯推理數學運算命題分析預測從近幾年高考的情況來看，這三個分布主要出現在解答題中.命題熱點是以離散型隨機變量為載體，常常與離散型隨機變量的數字特征交匯，綜合性較強.預計2025年高考命題情況變化不大一、伯努利試驗與二項分布1.伯努利試驗只包含①兩個可能結果的試驗叫作伯努利試驗；將一個伯努利試驗獨立地重復進行n次所組成的隨機試驗稱為②n重伯努利試驗.2.二項分布一般地，在n重伯努利試驗中，設每次試驗中事件A發生的概率為p0<p<1，用X表示事件A發生的次數，則X的分布列為PX=如果隨機變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機變量X服從二項分布，記作④X～二、兩點分布與二項分布的均值、方差1.若隨機變量X服從兩點分布，則EX=p2.若X～Bn,p三、超幾何分布一般地，假設一批產品共有N件，其中有M件次品.從N件產品中隨機抽取n件（不放回），用X表示抽取的n件產品中的次品數，則X的分布列為PX=k=⑦CMkCN?Mn?kCNn，k=m，m+1，m+2，?，r四、正態分布1.定義若隨機變量X的概率分布密度函數為fx=12πσ?e?x?μ22.正態曲線的特點（1）曲線是單峰的，它關于直線⑨x=μ（2）曲線在⑩x=μ處達到峰值（3）當x無限增大時，曲線無限接近x軸.3.3σ原則（1）Pμ（2）Pμ（3）Pμ4.正態分布的均值與方差若X～Nμ,σ2，則EX=1.當n=2.若X服從正態分布，即X～Nμ,σ3.利用n重伯努利試驗概率公式可以簡化求概率的過程，但需要注意檢查該概率模型是否滿足應用公式PX=k=Cnkpk1?（1）在一次試驗中某事件A發生的概率是一個常數p；（2）n次試驗不但是在完全相同的情況下進行的重復試驗，而且各次試驗的結果是相互獨立的；（3）該公式表示n次試驗中事件A恰好發生了k次的概率.題組1走出誤區1.判一判.（對的打“√”,錯的打“×”）（1）X表示n次重復拋擲1枚骰子出現點數是3的倍數的次數，則X服從二項分布.(√)（2）從4名男演員和3名女演員中選出4人，其中女演員的人數X服從超幾何分布.(√)（3）n重伯努利試驗中各次試驗的結果相互獨立.(√)（4）正態分布是對連續型隨機變量而言的.(√)2.（易錯題）甲、乙兩名羽毛球運動員之間要進行三場比賽，且這三場比賽可看作三重伯努利試驗，若甲至少取勝一次的概率為6364，則甲恰好取勝一次的概率為(CA.14 B.34 C.964【易錯點】本題容易混淆概率模型.[解析]設“甲取勝”為事件A，每次甲勝的概率為p，由題意得，事件A發生的次數X～B3,p，則有1?1?p題組2走進教材3.（人教A版選修③P77?練習T3（2）改編）已知在100件產品中有5件次品，有放回地任意抽取20件，設XA.X～B100,0.05 B.X～[解析]有放回地抽取，每次取到次品的概率都是5100=0.05，相當于20次獨立重復的伯努利實驗，所以服從二項分布B4.（雙空題）（人教A版選修③P76?T1改編）若將一枚質地均勻的硬幣連續拋擲4次，X表示“正面朝上”出現的次數,則EX=[解析]一枚質地均勻的硬幣拋擲一次正面朝上的概率為12，且每次是否正面朝上相互獨立，所以X～B4,題組3走向高考5.[2022年新高考Ⅱ卷]已知隨機變量X服從正態分布N2,σ2，且P[解析]由題意可知，PX>2考點一n重伯努利試驗與二項分布［自主練透］1.根據調查可知，大學生創業成功與失敗的概率分別為a，b，且a=2b，則某高校四名大學生畢業后自主創業，其中至少有兩名大學生創業成功的概率為(A.881 B.89 C.724[解析]由題意a=2b,a+b=2.體育課上進行投籃測試，每人投籃3次，至少投中1次則通過測試.某同學每次投中的概率為0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為(D).A.0.064 B.0.600 C.0.784 D.0.936[解析]該同學通過測試的概率為1?0.433.[2024·武漢質檢]某省推出的高考新方案是“3+1+2”模型，“3”是語文、外語、數學三科必考，“1”是在物理與歷史兩科中選擇一科，“2”是在化學、生物、政治、地理四科中選擇兩科作為高考科目.某學校為做好選課走班教學，給出三種可供選擇的組合進行模擬選課，其中A組合：物理、化學、生物；B組合：歷史、政治、地理；C組合：物理、化學、地理.根據選課數據得到，選擇A組合的概率為35，選擇B組合的概率為1（1）求這三位同學恰好選擇互不相同的組合的概率；（2）記η表示這三人中選擇含地理的組合的人數，求η的分布列及數學期望.[解析]用Ai表示“第i位同學選擇A組合”，用Bi表示“第i位同學選擇B組合”，用Ci表示“第i位同學選擇C由題意可知，Ai，Bi，且PAi=35（1）三位同學恰好選擇不同的組合共有A33=（2）由題意知，η的所有可能取值為0，1，2，3，且η～所以PηPηPηPη所以η的分布列為η0123P2754368所以Eη1.n重伯努利試驗概率的解題策略（1）首先判斷問題中涉及的試驗是否為n重伯努利試驗，判斷時注意各次試驗之間是否相互獨立，并且每次試驗的結果是否只有兩種，在任何一次試驗中，某一事件發生的概率是否都相等，全部滿足才能用相關公式求解；（2）解此類題時常用互斥事件概率加法公式，相互獨立事件概率乘法公式及對立事件的概率公式.2.判斷某隨機變量是否服從二項分布的關鍵點（1）在每一次試驗中，事件發生的概率相同.（2）各次試驗中的事件是相互獨立的.（3）在每一次試驗中，試驗的結果只有兩個，即發生與不發生.考點二超幾何分布［師生共研］典例1某公司為了提高服務質量，決定對使用A，B兩種套餐的集團用戶進行調查，準備從本市nn∈N（1）在取出的2個集團是同一類集團的情況下，求全為大集團的概率；（2）若一次抽取3個集團，假設取出小集團的個數為X，求X的分布列和期望.[解析]（1）由題意知共有n+4個集團，取出2個集團的方法總數是Cn+4整理得到n+3n+4若2個全是大集團，則共有C5若2個全是小集團，則共有C4故在取出的2個集團是同一類集團的情況下，全為大集團的概率為1010（2）由題意知，隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3，則PX=0PX=2故X的分布列為X0123P51051數學期望EX求超幾何分布的分布列的三個步驟[2024·鹽城模擬]端午節吃粽子是我國的傳統習俗.設一盤中有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同.從中任意選取3個.（1）求三種粽子各取到1個的概率；[解析]令A表示事件“三種粽子各取到1個”，則由古典概型的概率計算公式有PA（2）設X表示取到的豆沙粽個數，求X的分布列，并求EX[解析]X的所有可能值為0，1，2，且PX=0=C所以X的分布列為X012P771所以EX考點三正態分布［師生共研］典例2已知隨機變量X服從正態分布N10,σ2，若P[解析]由題可知，P8<X所以PX典例3某車間生產一批零件，現從中隨機抽取10個零件，測量其內徑（單位：cm）,數據如下：87，87，88，92，95，97，98，99,103,104.設這10個數據的平均值為μ，標準差為σ.（1）求μ與σ值.（2）假設這批零件的內徑Z（單位：cm）服從正態分布Nμ①從這批零件中隨機抽取10個，設這10個零件中內徑大于107cm的個數為X，求D②若該車間又新購了一臺設備，安裝調試后，試生產了5個零件，測得內徑（單位：cm）分別為76，85，93，99，108，以原設備生產性能為標準，試問這臺設備是否需要進一步調試?請說明你的理由.參考數據：若X～Nμ,σ2，則[解析]（1）μ=110×87（2）①∵Z服從正態分布N∴P則X～∴D∴D②∵Z服從正態分布N∴P∴5個零件的內徑中恰有一個不在[μ?∵76∴試生產的5個零件的內徑就出現了1個不在[μ∴根據3σ原則，需要進一步調試.解決正態分布問題的三個關鍵點1.對稱軸為直線x=2.標準差σ；3.分布區間.利用對稱性可求指定范圍內的概率值,由μ，σ，分布區間的特征進行轉化，使分布區間轉化為3σ特殊區間，從而求出所求概率.注意只有在標準正態分布下對稱軸才為直線x=1.（多選題）已知隨機變量X～N1,2A.m=2 C.函數y=xm?x的最大值為1 [解析]因為隨機變量X～所以X的正態曲線關于直線x=1對稱，故PX≥1所以PX又PX≤0+P1≤y=當x=1時，函數取得最大值1，故C正確.故選2.為了了解某地志愿者對志愿服務的認知和參與度，隨機調查了500名志愿者每月的志愿服務時長（單位：小時），并繪制如圖所示的頻率分布直方圖.（1）估計這500名志愿者每月志愿服務時長的樣本平均數x和樣本方差s2（2）由頻率分布直方圖可以認為，目前該地志愿者每月服務時長X服從正態分布Nμ,σ2，其中μ近似為樣本平均數x，σ2近似為樣本方差s2.一般正態分布的概率都可以轉化為標準正態分布的概率進行計算：若X～①利用由頻率分布直方圖得到的正態分布，求PX②從該地隨機抽取20名志愿者，記Z表示這20名志愿者中每月志愿服務時長超過10小時的人數，求PZ≥1（結果精確到0.001）以及Z參考數據：1.64≈1.28，16.4≈4.05，0.598720≈0.000035，0.729120≈0.0018，[解析]（1）x=s2（2）①由題意并結合（1）可知，μ=9，∴X∴P②由①可知，PX∴Z∴PZ≥二項分布與超幾何分布的區別與聯系二項分布和超幾何分布是兩類重要的概率模型，二者的區別與聯系：①超幾何分布需要知道總體的容量，而二項分布不需要；②超幾何分布是不放回地抽取，而二項分布是有放回地抽取（獨立重復）；③當總體的容量非常大時，超幾何分布近似于二項分布.典例設某產品總個數為N（無限大），且正品個數為M，則正品率P=limN→∞MN，求證：在n,[解析]CM因為n!k!且limNlimN→∞N深度訓練1在裝有4個黑球，6個白球的袋子中，任取2個球，試求：（1）不放回地抽取，取到黑球數X的分布列及數學期望；（2）有放回地抽取，取到黑球數Y的分布列及數學期望.[解析]（1）不放回地抽取，X服從超幾何分布.從10個球中任取2個的方法數為C102，從10個球中任取2個，其中恰有k個黑球的方法數為C4kC62得隨機變量X的分布列