湖南省三湘名校2025屆高一下數學期末經典試題注意事項：1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號填寫清楚，將條形碼準確粘貼在考生信息條形碼粘貼區。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區域內作答，超出答題區域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若，，，，則等于（）A． B． C． D．2．已知函數，下列結論不正確的是（

）A．函數的最小正周期為B．函數在區間內單調遞減C．函數的圖象關于軸對稱D．把函數的圖象向左平移個單位長度可得到的圖象3．已知三棱錐，若平面，，，，則三棱錐外接球的表面積為（）A． B． C． D．4．某小組共有5名學生，其中男生3名，女生2名，現選舉2名代表，則恰有1名女生當選的概率為（）A． B． C． D．5．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，，，，則等于（）A． B． C． D．16．若是等比數列，下列結論中不正確的是（）A．一定是等比數列； B．一定是等比數列；C．一定是等比數列； D．一定是等比數列7．某程序框圖如圖所示，則該程序運行后輸出的值是（）A． B． C． D．8．設，則下列不等式中正確的是()A． B．C． D．9．已知是兩條不同直線，是三個不同平面，下列命題中正確的是（）A．若則 B．若則C．若則 D．若則10．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A．6 B．4C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知，，則______．12．在平面直角坐標系中，為原點，，動點滿足，則的最大值是．13．已知數列為等差數列，，，若，則________.14．函數的定義域________．15．數列滿足，設為數列的前項和，則__________．16．函數的定義域為____________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在直三棱柱中，，，是棱的中點．（1）求證：；（2）求證：．18．如圖，在梯形中，，，，.（1）在中，求的長；（2）若的面積等于，求的長.19．已知向量，（1）若，求；（2）若，求.20．已知.（1）求的值；（2）若為第二象限角，且角終邊在上，求的值.21．已知直線的方程為，其中.(1)求證：直線恒過定點；(2)當變化時，求點到直線的距離的最大值；(3)若直線分別與軸、軸的負半軸交于兩點，求面積的最小值及此時直線的方程.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

利用同角三角函數的基本關系求出與，然后利用兩角差的余弦公式求出值．【詳解】，，則，，則，所以，，因此，，故選C．【點睛】本題考查利用兩角和的余弦公式求值，解決這類求值問題需要注意以下兩點：①利用同角三角平方關系求值時，要求對象角的范圍，確定所求值的正負；②利用已知角來配湊未知角，然后利用合適的公式求解．2、D【解析】

利用余弦函數的性質對A、B、C三個選項逐一判斷，再利用平移“左加右減”及誘導公式得出，進而得出答案．【詳解】由題意，函數其最小正周期為，故選項A正確；函數在上為減函數，故選項B正確；函數為偶函數，關于軸對稱，故選項C正確把函數的圖象向左平移個單位長度可得，所以選項D不正確．故答案為D【點睛】本題主要考查了余弦函數的性質，以及誘導公式的應用，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．3、B【解析】

根據題意畫出三棱錐的圖形，將其放入一個長方體中，容易知道三棱錐的外接球半徑，利用球的表面積公式求解即可.【詳解】根據題意畫出三棱錐如圖所示，把三棱錐放入一個長方體中，三棱錐的外接球即這個長方體的外接球，長方體的外接球半徑等于體對角線的一半，所以三棱錐的外接球半徑，三棱錐的外接球的表面積.故選：B【點睛】本題主要考查三棱錐的外接球問題，對于三棱錐三條棱有兩兩垂直的情況，可以考慮將其放入一個長方體中求解外接球半徑，屬于基礎題.4、B【解析】

記三名男生為，兩名女生為，分別列舉出基本事件，得出基本事件總數和恰有1名女生當選包含的基本事件個數，即可得解.【詳解】記三名男生為，兩名女生為，任選2名所有可能情況為，共10種，恰有一名女生的情況為，共6種，所以恰有1名女生當選的概率為.故選：B【點睛】此題考查根據古典概型求概率，關鍵在于準確計算出基本事件總數，和某一事件包含的基本事件個數.5、D【解析】

根據題意,由正弦定理得，再把，，代入求解.【詳解】由正弦定理，得，所以．故選:D【點睛】本題主要考查了正弦定理的應用,還考查了運算求解的能力，屬于基礎題.6、C【解析】

判斷等比數列,可根據為常數來判斷.【詳解】設等比數列的公比為,則對A：為常數,故一定是等比數列；對B：為常數,故一定是等比數列；對C：當時,,此時為每項均為0的常數列；對D：為常數,故一定是等比數列.故選：C.【點睛】本題主要考查等比數列的判定,若數列的后項除以前一項為常數,則該數列為等比數列.本題選項C容易忽略時這種情況.7、D【解析】

由題意首先確定流程圖的功能，然后結合三角函數的性質求解所要輸出的結果即開即可.【詳解】根據程序框圖知，該算法的目標是計算和式：.又因為，注意到，故：.故選：D.【點睛】識別、運行程序框圖和完善程序框圖的思路：(1)要明確程序框圖的順序結構、條件結構和循環結構．(2)要識別、運行程序框圖，理解框圖所解決的實際問題．(3)按照題目的要求完成解答并驗證．8、B【解析】

取，則，，只有B符合．故選B．考點：基本不等式．9、D【解析】

A項，可能相交或異面,當時，存在，，故A項錯誤；B項，可能相交或垂直,當

時，存在，，故B項錯誤；C項，可能相交或垂直,當

時，存在，，故C項錯誤；D項，垂直于同一平面的兩條直線相互平行，故D項正確,故選D.本題主要考查的是對線，面關系的理解以及對空間的想象能力.考點：直線與平面、平面與平面平行的判定與性質；直線與平面、平面與平面垂直的判定與性質.10、A【解析】該立方體是正方體，切掉一個三棱柱，所以體積為，故選A。點睛：本題考查三視圖還原，并求體積。此類題關鍵就是三視圖的還原，還原過程中，本題采取切割法處理，有圖可知，該立方體應該是正方體進行切割產生的，所以我們在畫圖的過程在，對正方體進行切割比較即可。二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由，然后利用兩角差的正切公式可計算出的值.【詳解】.故答案為：.【點睛】本題考查利用兩角差的正切公式求值，解題的關鍵就是弄清所求角與已知角之間的關系，考查計算能力，屬于基礎題.12、【解析】

試題分析：設，表示以為圓心，r=1為半徑的圓，而，所以，，，故得最大值為考點：1．圓的標準方程；2．向量模的運算13、【解析】

設等差數列的公差為，根據已知條件列方程組解出和的值，可求出的表達式，再由可解出的值.【詳解】設等差數列的公差為，由，得，解得，，，因此，，故答案為：.【點睛】本題考查等差數列的求和，對于等差數列的問題，通常建立關于首項和公差的方程組求解，考查方程思想，屬于中等題.14、.【解析】

根據反正弦函數的定義得出，解出可得出所求函數的定義域.【詳解】由反正弦的定義可得，解得，因此，函數的定義域為，故答案為：.【點睛】本題考查反正弦函數的定義域，解題的關鍵就是正弦值域的應用，考查運算求解能力，屬于基礎題.15、【解析】

先利用裂項求和法將數列的通項化簡，并求出，由此可得出的值.【詳解】，.，因此，，故答案為：.【點睛】本題考查裂項法求和，要理解裂項求和法對數列通項結構的要求，并熟悉裂項法求和的基本步驟，考查計算能力，屬于中等題.16、【解析】

先將和分別解出來，然后求交集即可【詳解】要使，則有且由得由得因為所以原函數的定義域為故答案為：【點睛】解三角不等式的方法：1.在單位圓中利用三角函數線，2.利用三角函數的圖像三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)見詳解；（2）見詳解.【解析】

（1）連接AC1，設AC1∩A1C＝O，連接OD，可求O為AC1的中點，D是棱AB的中點，利用中位線的性質可證OD∥BC1，根據線面平行的判斷定理即可證明BC1∥平面A1CD．（2）由（1）可證平行四邊形ACC1A1是菱形，由其性質可得AC1⊥A1C，利用線面垂直的性質可證AB⊥AA1，根據AB⊥AC，利用線面垂直的判定定理可證AB⊥平面ACC1A1，利用線面垂直的性質可證AB⊥A1C，又AC1⊥A1C，根據線面垂直的判定定理可證A1C⊥平面ABC1，利用線面垂直的性質即可證明BC1⊥A1C．【詳解】（1）連接AC1，設AC1∩A1C＝O，連接OD，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側面ACC1A1是平行四邊形，所以：O為AC1的中點，又因為：D是棱AB的中點，所以：OD∥BC1，又因為：BC1?平面A1CD，OD?平面A1CD，所以：BC1∥平面A1CD．（2）由（1）可知：側面ACC1A1是平行四邊形，因為：AC＝AA1，所以：平行四邊形ACC1A1是菱形，所以：AC1⊥A1C，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，因為：AB?平面ABC，所以：AB⊥AA1，又因為：AB⊥AC，AC∩AA1＝A，AC?平面ACC1A1，AA1?平面ACC1A1，所以：AB⊥平面ACC1A1，因為：A1C?平面ACC1A1，所以：AB⊥A1C，又因為：AC1⊥A1C，AB∩AC1＝A，AB?平面ABC1，AC1?平面ABC1，所以：A1C⊥平面ABC1，因為：BC1?平面ABC1，所以：BC1⊥A1C．【點睛】本題主要考查了線面平行的判定，線面垂直的性質，線面垂直的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．18、（1）；（2）【解析】

（1）首先利用同角三角函數的基本關系求出，再利用正弦定理求解即可．（2）求出梯形的高，再利用三角形的面積求解即可．【詳解】解：（1）在梯形中，，，，．可得，由正弦定理可得：．（2）過作，交的延長線于則即梯形的高為，因為的面積等于，，，，【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理的應用，三角形面積公式的應用，屬于中檔題．19、（1）3；（2）或【解析】

（1）由，得，又由，即可得到本題答案；（2）由，得，即，由此即可得到本題答案.【詳解】解：（1）由，得，即，（2）由，得，即，又，解得或.【點睛】本題主要考查平面向量與三角函數求值的綜合問題，齊次式法求值是解決此類問題的常用方法.20、（1）；（2）【解析】

(1)先根據誘導公式將原式子化簡，再將已知條件中的表達式平方，可得到結果；（2）原式子可化簡為，由已知條件可得到，再由第一問中得到，結合第一問中的條件可得到結果.【詳解】（1）=已知,將式子兩邊平方可得到（2）為第二象限角，且角終邊在上，則根據三角函數的定義得到原式化簡等于由第一問得到將已知條件均代入可得到原式等于.【點睛】三角函數求值與化簡必會的三種方法(1)弦切互化法:主要利用公式tanα=;形如,asin2x+bsinxcosx+ccos2x等類型可進行弦化切.(2)“1”的靈活代換法:1=sin2θ+cos2θ=(sinθ+cosθ)2-2sinθcosθ=tan等.(3)和積轉換法:利用(sinθ±cosθ)2=1±2sinθcosθ,(sinθ+cosθ)2+(sinθ-