模型介紹模型介紹背景故事：“阿氏圓”又稱為“阿波羅尼斯圓”，如下圖，已知A、B兩點，點P滿足PA：PB=k（k≠1），則滿足條件的所有的點P的軌跡構(gòu)成的圖形為圓．這個軌跡最早由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，故稱“阿氏圓”.模型建立：當點P在一個以O為圓心，r為半徑的圓上運動時，如圖所示：易證：△BOP∽△POA，，∴對于圓上任意一點P都有.對于任意一個圓，任意一個k的值，我們可以在任意一條直徑所在直線上，在同側(cè)適當?shù)奈恢眠x取A、B點，則需R【技巧總結(jié)】計算的最小值時，利用兩邊成比例且夾角相等構(gòu)造母子型相似三角形問題：在圓上找一點P使得的值最小，解決步驟具體如下：①如圖，將系數(shù)不為1的線段兩端點與圓心相連即OP，OB②計算出這兩條線段的長度比③在OB上取一點C，使得，即構(gòu)造△POM∽△BOP，則，④則，當A、P、C三點共線時可得最小值例題精講例題精講【例1】．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半徑為2，P為圓上一動點，連接AP，BP，則AP+BP的最小值為________.解：如圖1，連接CP，在CB上取點D，使CD＝1，則有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．要使AP+BP最小，只要AP+PD最小，當點A，P，D在同一條直線時，AP+PD最小，即：AP+BP最小值為AD，在Rt△ACD中，CD＝1，AC＝6，∴AD＝＝，AP+BP的最小值為變式訓練【變式1-1】．如圖，正方形ABCD的邊長為4，⊙B的半徑為2，P為⊙B上的動點，則PD+PC的最小值等于5．解：如圖，在BC上截取BE＝1，連接BP，PE，∵正方形ABCD的邊長為4，⊙B的半徑為2，∴BC＝4＝CD，BP＝2，EC＝3∵，且∠PBE＝∠PBE∴△PBE∽△CBP∴∴PE＝PC∴PD+PC＝PD+PE∴當點D，點P，點E三點共線時，PD+PE有最小值，即PD+PC有最小值，∴PD+PC最小值為DE＝＝5故答案為：5【變式1-2】．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，點E、F分別是邊AB、AC的中點，點P是以A為圓心、以AE為半徑的圓弧上的動點，則的最小值為．解：如圖，在AB上截取AQ＝1，連接AP，PQ，CQ，∵點E、F分別是邊AB、AC的中點，點P是以A為圓心、以AE為半徑的圓弧上的動點，∴，∵AP＝2，AQ＝1，∴，∵∠PAQ＝∠BAP，∴△APQ∽△ABP，∴PQ＝PB，∴PB+PC＝PC+PQ≥CQ，在Rt△ACQ中，AC＝4，AQ＝1，∴QC＝＝＝．，∴PB+PC的最小值．，故答案為：．【變式1-3】．如圖，在直角坐標系中，以原點O為圓心作半徑為4的圓交x軸正半軸于點A，點M的坐標為（6，3），點N的坐標為（8，0），點P在圓上運動．則PM+PN的最小值是5．解：如圖，作MB⊥ON于B，則BM＝3，OB＝6，取OA的中點I，連接OP，PI，IM，∴OI＝2，OP＝4，∴＝＝，＝＝，∴，又∠POI是公共角，∴△POI∽△NOP，∴，∴PI＝PN，∴PM+PN＝PM+PI≥IM，∴當M、P（圖中Q點）、I在一條直線上時，PM+PI最小＝MI＝＝＝5，故答案是5．【例2】．如圖，在⊙O中，點A、點B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，點C在OA上，且OC＝2AC，點D是OB的中點，點M是劣弧AB上的動點，則CM+2DM的最小值為．解：延長OB到T，使得BT＝OB，連接MT，CT．∵OM＝6，OD＝DB＝3，OT＝12，∴OM2＝OD?OT，∴＝，∵∠MOD＝∠TOM，∴△MOD∽△TOM，∴＝＝，∴MT＝2DM，∵CM+2DM＝CM+MT≥CT，又∵在Rt△OCT中，∠COT＝90°，OC＝4，OT＝12，∴CT＝＝＝4，∴CM+2DM≥4，∴CM+2DM的最小值為4，∴答案為4．變式訓練【變式2-1】．⊙O半徑為2，AB，DE為兩條直線．作DC⊥AB于C，且C為AO中點，P為圓上一個動點．求2PC+PE的最小值．解：延長OA到K，使AK＝AO＝2．∵C是AO的中點，∴OC＝OA＝1，∴＝．又∵∠COP＝∠POK，∴△COP∽△POK，∴，即PK＝2PC．∴2PC+PE＝PE+PK≥EK．作EH⊥BC于點H．∵在直角△COD中，cos∠DOC＝，∴∠DOC＝60°，∴∠EOH＝∠DOC＝60°，∴HE＝OE?sin60°＝2×，∴EK＝．即最小值是2．故答案是：2．【變式2-2】．如圖，在扇形OCD中，∠COD＝90°，OC＝3，點A在OD上，AD＝1，點B為OC的中點，點E是弧CD上的動點，則AE+2EB的最小值是2．解：如圖，延長OC至F，使得CF＝OC＝3．連接EF，OE，∵∠EOB為公共角∴△OBE∽△OEF∴∴2BE＝EF∴AE+2BE＝AE+EF即A、E、F三點共線時取得最小值即由勾股定理得AF＝＝故答案為【變式2-3】．如圖，等邊△ABC的邊長6，內(nèi)切圓記為⊙O，P是⊙O上一動點，則2PB+PC的最小值為3．解：如圖，連接OC交⊙O于點D，取OD的中點F，作OE⊥BC于E，F(xiàn)G⊥BC于G，∴＝＝，∵∠FOP＝∠POC，∴△OPF∽△OCP，∴CP＝2PF，∴2PB+PC＝2（PC+PB）＝2（PB+PF），∵PB+PF≥BF，∴PB+PF的最小值為BF，∵BC＝6，∠OCE＝30°，∴CE＝3，OE＝，OC＝2，∴CF＝，∴GF＝，CG＝，∴BG＝BC﹣CG＝，由勾股定理得，BF＝，∴2PB+PC的最小值為2BF＝3．故答案為：3．1．如圖，邊長為4的正方形，內(nèi)切圓記為圓O，P為圓O上一動點，則PA+PB的最小值為2．解：設⊙O半徑為r，OP＝r＝BC＝2，OB＝r＝2，取OB的中點I，連接PI，∴OI＝IB＝，∵，，∴，∠O是公共角，∴△BOP∽△POI，∴，∴PI＝PB，∴AP+PB＝AP+PI，∴當A、P、I在一條直線上時，AP+PB最小，作IE⊥AB于E，∵∠ABO＝45°，∴IE＝BE＝BI＝1，∴AE＝AB﹣BE＝3，∴AI＝＝，∴AP+PB最小值＝AI＝，∵PA+PB＝（PA+PB），∴PA+PB的最小值是AI＝＝2．故答案是2．2．如圖，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中點，D是OB上一點，OD＝5，P是上一動點，則PC+PD的最小值為．解：如圖，延長OA使AE＝OB，連接EC，EP，OP，∵AO＝OB＝6，C分別是OA的中點，∴OE＝12，OP＝6，OC＝AC＝3，∴＝＝，且∠COP＝∠EOP∴△OPE∽△OCP∴＝＝，∴EP＝2PC，∴PC+PD＝（2PC+PD）＝（PD+PE），∴當點E，點P，點D三點共線時，PC+PD的值最小，∵DE＝＝＝13，∴PD+PE≥DE＝13，∴PD+PE的最小值為13，∴PC+PD的值最小值為．故答案為：．3．如圖，半圓的半徑為1，AB為直徑，AC、BD為切線，AC＝1，BD＝2，P為弧AB上一動點，則PC+PD的最小值為．解：∵AC是⊙O的切線，∴∠OAC＝90°，∴OC＝＝，取OC的中點I，連接PI，DI，∵，，∴，又∠O是公共角，∴△POI∽△COP，∴＝＝，∴PI＝PC，∴PC+PD＝PI+PD，∴當D、P、I在一條直線上時，PC+PD最小＝DI，作IF⊥AB于F，IE⊥BD于E，∵BE＝IF＝AC＝，∴DE＝BD﹣BE＝，IE＝BF＝OB+OF＝，∴DI＝＝，∴PC+PD最小＝DI＝．故答案是：．4．在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝8，OB＝10，以O為圓心，4為半徑作圓O，交兩邊于點C，D，P為劣弧CD上一動點，則PA+PB最小值為2．解：如圖，連接OP，取OC的中點E，∵，∠POE＝∠AOP，∴△POE∽△AOP，∴＝，∴PA+PB＝PE+PB，∵PE+PB≥BE，∴當B、P、E共線時，PE+PB最小，∵OE＝OC＝2，OB＝10，∴BE＝＝＝2，∴PA+PB的最小值是2．

5．如圖，在邊長為6的正方形ABCD中，M為AB上一點，且BM＝2，N為邊BC上一動點，連接MN，點B關(guān)于MN對稱，對應點為P，連接PA，PC，則PA+2PC的最小值為6．解：∵B、P關(guān)于MN對稱，BM＝2，∴PM＝2，如圖所示，則點P在以M為圓心，BM為半徑的圓上，在線段MA上取一個點E，使得ME＝1，又∵MA＝6﹣2＝4，MP＝2，∴，，∴，又∵∠EMP＝∠PMA，∴△EMP∽△PMA，∴，∴，∴PA+2PC＝2（）＝2（PC+PE）≥2CE，如圖所示，當且僅當P、C、E三點共線時取得最小值2CE，∵CE＝，∴PA+2PC的最小值為6．6．如圖，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝4，M點是BC的中點，A為圓心，AB為半徑的圓交AD于點E．點P在上運動，則PM+DP的最小值為．解：取AE的中點K，連接PK，KM，作KH⊥BC于H，則四邊形ABHK是矩形．可得AK＝BH＝1，HK＝AB＝2．∵AP＝2，AK＝1，AD＝4，∴PA2＝AK?AD，∴＝，∵∠KAP＝∠PAD，∴△PAK∽△DAP，∴＝＝，∴PK＝PD，∴PM+PD＝PM+PK，∵PM+PK≥KM，KM＝＝，∴PM+PK≥，∴PM+DP的最小值為，故答案為．7．如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，AC＝4，D為AC的中點，以A為圓心，AD為半徑作OA交AB于點E，P為劣弧DE上一動點，連接PB、PC，則PC+PB的最小值為．解：在AB上取F，使AF＝，連接CF與⊙A的交點即是滿足條件的點P，連接AP，如圖：∵AD＝AC＝2，∴AP＝AD＝2，∵AB＝3，AF＝，∴AP2＝AF?AB，∵∠PAB＝∠FAP，∴△PAB∽△FAP，∴＝＝，∴PF＝PB，∴PC+PB＝PC+PF＝CF，根據(jù)兩點之間線段最短，此時PC+PB＝CF最小，∴PC+PB最小值為CF＝＝＝，故答案為：．8．如圖，在平面直角坐標系中，A（2，0）、B（0，2）、C（4，0）、D（3，2），P是△AOB外部的第一象限內(nèi)一動點，且∠BPA＝135°，則2PD+PC的最小值是4．解：如圖，取一點T（1，0），連接OP，PT，TD，∵A（2，0）、B（0，2）、C（4，0），∴OA＝OB＝2，OC＝4，以O為圓心OA為半徑作⊙O，在優(yōu)弧AB上取一點Q，連接QB，QA，∵∠Q＝AOB＝45°，∠APB＝135°，∴∠Q+∠APB＝180°，∴A、P、B、Q四點共圓，∴OP＝OA＝2，∵OP＝2，OT＝1，OC＝4，∴OP2＝OC?OT，∴，∵∠POT＝∠POC，∴△POT∽△POC，∴，∴PT＝，∴2PD+PC＝2（PD+PC）＝2（PD+PT），∵PD+PT≥DT，DT＝＝2，∴2PD+PC，∴2PD+PC的最小值是4．故答案為：4．9．如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，⊙O的半徑為1，M為⊙O上一動點，求AM+BM的最小值．解：如圖，連接OM，在OB上取點C，使OC＝，連接MC，AC，∵OB＝2，⊙O的半徑為1，∴，∵∠MOC＝∠COM，∴△OMC∽△OBM，∴，∴MC＝，∴AM+BM＝AM+MC，∴AM+BM的最小值即為AM+MC的最小值，∴A、M、C三點共線時，AM+MC最小，在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC＝．∴AM+BM的最小值為．10．問題提出：如圖1，在等邊△ABC中，AB＝12，⊙C半徑為6，P為圓上一動點，連接AP，BP，求AP+BP的最小值．（1）嘗試解決：為了解決這個問題，下面給出一種解題思路：如圖2，連接CP，在CB上取點D，使CD＝3，則有＝＝，又∵∠PCD＝∠BCP，∴△PCD∽△BCP，∴＝，∴PD＝BP，∴AP+BP＝AP+PD．請你完成余下的思考，并直接寫出答案：AP+BP的最小值為3．（2）自主探索：如圖3，矩形ABCD中，BC＝7，AB＝9，P為矩形內(nèi)部一點，且PB＝3，AP+PC的最小值為5．（3）拓展延伸：如圖4，扇形COD中，O為圓心，∠COD＝120°，OC＝4，OA＝2，OB＝3，點P是上一點，求2PA+PB的最小值，畫出示意圖并寫出求解過程．解：（1）解：（1）如圖1，連接AD，過點A作AF⊥CB于點F，∵AP+BP＝AP+PD，要使AP+BP最小，∴AP+AD最小，當點A，P，D在同一條直線時，AP+AD最小，即：AP+BP最小值為AD，∵AC＝12，AF⊥BC，∠ACB＝60°，∴CF＝6，AF＝6，∴DF＝CF﹣CD＝6﹣3＝3，∴AD＝＝3，∴AP+BP的最小值為3；（2）如圖，在AB上截取BF＝1，連接PF，PC，∵AB＝9，PB＝3，BF＝1，∴，且∠ABP＝∠ABP，∴△ABP∽△PBF，∴，∴PF＝AP，∴AP+PC＝PF+PC，∴當點F，點P，點C三點共線時，AP+PC的值最小，∴CF＝＝＝5，∴AP+PC的值最小值為5；（3）如圖，延長OC，使CF＝4，連接BF，OP，PF，過點F作FM⊥OD于點M，∵OC＝4，F(xiàn)C＝4，∴FO＝8，且OP＝4，OA＝2，∴，且∠AOP＝∠AOP，∴△AOP∽△POF，∴，∴PF＝2AP，∴2PA+PB＝PF+PB，∴當點F，點P，點B三點共線時，2AP+PB的值最小，∵∠COD＝120°，∴∠FOM＝60°，且FO＝8，F(xiàn)M⊥OM，∴OM＝4，F(xiàn)M＝4，∴MB＝OM+OB＝4+3＝7，∴FB＝＝，∴2PA+PB的最小值為．11．（1）如圖1，已知正方形ABCD的邊長為6，圓B的半徑為3，點P是圓B上的一個動點，則PD+PC的最小值為，PD﹣PC的最大值為．（2）如圖2，已知菱形ABCD的邊長為4，∠B＝60°，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，求PD+PC的最小值，以及PD﹣PC的最大值．解：（1）如圖1，在BC上截取BE＝，∴，∵∠PBE＝∠PBC，∴△PBE∽△CBP，∴，∴PE＝PC，∴PD+PC＝PD+PE≥DE，PD﹣PC＝PD﹣PE≤DE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∴DE＝＝＝，∴PD+PC的最小值為：，此時點P在P′處，PD﹣PC的最大值為：，此時點P在P″處，故答案為：，；（2）如圖2，在BC上截取BE＝1，作DF⊥BC交BC的延長線于F，∴，∵∠PBE＝∠PBC，∴△PBE∽△CBP，∴，∴PE＝PC，∴PD+PC＝PD+PE≥DE，PD﹣PC＝PD﹣PE≤DE，在Rt△DCF中，∠DCF＝∠ABC＝60°，CD＝4，∴CF＝4?cos60°＝2，DF＝4?sin60°＝2，在Rt△DEF中，DF＝2，EF＝CE+CF＝3+2＝5，∴DE＝＝，∴PD+PC的最小值為：，此時點P在P′處PD﹣PC的最大值為：，此時點P在P″處

12．閱讀以下材料，并按要求完成相應的任務．已知平面上兩點A、B，則所有符合＝k（k＞0且k≠1）的點P會組成一個圓．這個結(jié)論最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓．阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似．【問題】如圖1，在平面直角坐標系中，在x軸，y軸上分別有點C（m，0），D（0，n），點P是平面內(nèi)一動點，且OP＝r，設＝k，求PC+kPD的最小值．阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：第一步：如圖1，在OD上取點M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：證明kPD＝PM；第三步：連接CM，此時CM即為所求的最小值．下面是該題的解答過程（部分）：解：在OD上取點M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．任務：（1）將以上解答過程補充完整．（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D為△ABC內(nèi)一動點，滿足CD＝2，利用（1）中的結(jié)論，請直接寫出AD+BD的最小值．解（1）在OD上取點M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．∴MP：PD＝k，∴MP＝kPD，∴PC+kPD＝PC+MP，當PC+kPD取最小值時，PC+MP有最小值，即C，P，M三點共線時有最小值，利用勾股定理得．（2）∵AC＝m＝4，＝，在CB上取一點M，使得CM＝CD＝，∴的最小值為．13．（1）如圖1，已知正方形ABCD的邊長為4，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；（2）如圖2，已知正方形ABCD的邊長為9，圓B的半徑為6，點P是圓B上的一個動點，那么PD+的最小值為，PD﹣的最大值為．（3）如圖3，已知菱形ABCD的邊長為4，∠B＝60°，圓B的半徑為2，點P是圓B上的一個動點，那么PD+的最小值為，PD﹣的最大值為．解：（1）如圖1中，在BC上取一點G，使得BG＝1．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴當D、G、P共線時，PD+PC的值最小，最小值為DG＝＝5．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，當點P在DG的延長線上時，PD﹣PC的值最大（如圖2中），最大值為DG＝5．

（2）如圖3中，在BC上取一點G，使得BG＝4．∵＝＝，＝＝，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴當D、G、P共線時，PD+PC的值最小，最小值為DG＝＝．∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，當點P在DG的延長線上時，PD﹣PC的值最大，最大值為DG＝．故答案為，（3）如圖4中，在BC上取一點G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．∵＝＝2，＝＝2，∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，∴△PBG∽△CBP，∴＝＝，∴PG＝PC，∴PD+PC＝DP+PG，∵DP+PG≥DG，∴當D、G、P共線時，PD+PC的值最小，最小值為DG，在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，∴DF＝CD?sin60°＝2，CF＝2，在Rt△GDF中，DG＝＝∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，當點P在DG的延長線上時，PD﹣PC的值最大（如圖2中），最大值為DG＝．故答案為，．14．如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c與直線AB交于A（﹣4，﹣4），B（0，4）兩點，直線AC：y＝﹣x﹣6交y軸于點C．點E是直線AB上的動點，過點E作EF⊥x軸交AC于點F，交拋物線于點G．（1）求拋物線y＝﹣x2+bx+c的表達式；（2）連接GB，EO，當四邊形GEOB是平行四邊形時，求點G的坐標；（3）①在y軸上存在一點H，連接EH，HF，當點E運動到什么位置時，以A，E，F(xiàn)，H為頂點的四邊形是矩形？求出此時點E，H的坐標；②在①的前提下，以點E為圓心，EH長為半徑作圓，點M為⊙E上一動點，求AM+CM它的最小值．解：（1）∵點A（﹣4，﹣4），B（0，4）在拋物線y＝﹣x2+bx+c上，∴，∴，∴拋物線的解析式為y＝﹣x2﹣2x+4；（2）設直線AB的解析式為y＝kx+n過點A，B，∴，∴，∴直線AB的解析式為y＝2x+4，設E（m，2m+4），∴G（m，﹣m2﹣2m+4），∵四邊形GEOB是平行四邊形，∴EG＝OB＝4，∴﹣m2﹣2m+4﹣2m﹣4＝4，∴m＝﹣2∴G（﹣2，4）．（3）①如圖1，由（2）知，直線AB的解析式為y＝2x+4，∴設E（a，2a+4），∵直線AC：y＝﹣x﹣6，∴F（a，﹣a﹣6），設H（0，p），∵以點A，E，F(xiàn)，H為頂點的四邊形是矩形，∵直線AB的解析式為y＝2x+4，直線AC：y＝﹣x﹣6，∴AB⊥AC，∴EF為對角線，∴EF與AH互相平分，∴（﹣4+0）＝（a+a），（﹣4+p）＝（2a+4﹣a﹣6），∴a＝﹣2，P＝﹣1，∴E（﹣2，0）．H（0，﹣1）；②如圖2，由①知，E（﹣2，0），H（0，﹣1），A（﹣4，﹣4），∴EH＝，AE＝2，設AE交⊙E于G，取EG的中點P，∴PE＝，連接PC交⊙E于M，連接EM，∴EM＝EH＝，∴＝，∵＝，∴＝，∵∠PEM＝∠MEA，∴△PEM∽△MEA，∴，∴PM＝AM，∴AM+CM的最小值＝PC，設點P（p，2p+4），∵E（﹣2，0），∴PE2＝（p+2）2+（2p+4）2＝5（p+2）2，∵PE＝，∴5（p+2）2＝，∴p＝﹣或p＝﹣（由于E（﹣2，0），所以舍去），∴P（﹣，﹣1），∵C（0