課時規范練87二項分布與超幾何分布1.(2024·江蘇鹽城模擬)某班級準備進行抽獎活動,福袋中裝有標號分別為1,2,3,4,5的五個相同小球,從袋中一次性摸出三個小球,若號碼之和是3的倍數,則獲獎,其余情況不獲獎.若有5名同學參與此次活動,則恰好3人獲獎的概率是()A.72625 B.108625 C.144625 2.從一批含有13件正品,2件次品的產品中不放回地抽3次,每次抽取1件,設抽取的次品數為ξ,則E(5ξ+1)=()A.2 B.1 C.3 D.43.(2024·云南紅河模擬)某市教育行政部門在全市中小學生范圍內,組織了一次法律常識知識競賽,現從所有參賽學生的競賽成績中隨機抽取200份,經統計,這200份成績全部介于[30,100]之間,將數據按照[30,40),[40,50),…,[90,100]分成七組,得到如下頻數分布表:競賽成績/分[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人數6143074422311(1)試估計該市競賽成績的平均分(同一組中的數據用該組區間的中點值作代表)和第80百分位數(結果保留一位小數);(2)以樣本頻率值作為概率的估計值,若從該市所有參與競賽的學生中,隨機抽取3名學生進行座談,設抽到60分及以上的學生人數為X,求X的分布列和期望.4.近年來,某市為促進生活垃圾分類處理,將生活垃圾分為廚余垃圾、可回收物和其他垃圾三類,并分別設置了相應的垃圾桶.為調查居民生活垃圾分類投放情況,現隨機抽取了該市三類垃圾桶中的生活垃圾,總計400噸,數據統計如下表(單位:噸).類別廚余垃圾桶可回收物桶其他垃圾桶廚余垃圾602020可回收物104010其他垃圾3040170(1)試估計廚余垃圾投放正確的概率p;(2)若處理1噸廚余垃圾需要5元,處理1噸非廚余垃圾需要8元,請估計處理這400噸垃圾所需要的費用;(3)某社區成立了垃圾分類宣傳志愿者小組,有7名女性志愿者,3名男性志愿者,現從這10名志愿者中隨機選取3名,利用節假日到街道進行垃圾分類宣傳活動(每名志愿者被選到的可能性相同).設X為選出的3名志愿者中男性志愿者的人數,求隨機變量X的分布列及數學期望.5.某從事智能教育技術研發的科技公司開發了一個“AI作業”項目,并且在甲、乙兩個學校的高一學生中做用戶測試.經過一個階段的試用,為了解“AI作業”對學生學習的促進情況,該公司隨機抽取了200名學生,對他們的“向量數量積”知識點掌握的情況進行調查,樣本調查結果如下表:掌握情況甲校乙校使用AI作業不使用AI作業使用AI作業不使用AI作業基本掌握32285030沒有掌握8141226假設每位學生是否掌握“向量數量積”知識點相互獨立.(1)從樣本中沒有掌握“向量數量積”知識點的學生中隨機抽取2名學生,用ξ表示抽取的2名學生中使用“AI作業”的人數,求ξ的分布列和數學期望;(2)用樣本頻率估計概率,從甲校高一學生中抽取一名使用“AI作業”的學生和一名不使用“AI作業”的學生,用“X=1”表示該名使用“AI作業”的學生基本掌握了“向量數量積”知識點,用“X=0”表示該名使用“AI作業”的學生沒有掌握“向量數量積”知識點,用“Y=1”表示該名不使用“AI作業”的學生基本掌握了“向量數量積”知識點,用“Y=0”表示該名不使用“AI作業”的學生沒有掌握“向量數量積”知識點.比較方差D(X)和D(Y)的大小關系.6.(2024·四川宜賓模擬)電視傳媒公司為了解某地區電視觀眾對某類體育節目的收視情況,隨機抽取了100名觀眾進行調查.如圖是根據調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節目時間的頻率分布直方圖,將日均收看該體育節目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”.將上述調查所得到的頻率視為概率.(1)現在從該地區大量電視觀眾中,采用隨機抽樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數為X.若每次抽取的結果是相互獨立的,求X的分布列及期望;(2)用分層抽樣的方法從這100名觀眾中抽取8名作為樣本A,則樣本A中“體育迷”和“非體育迷”分別有幾人?從樣本A的這8名觀眾中隨機抽取3名,記Y表示抽取的是“體育迷”的人數,求Y的分布列及方差.

課時規范練87二項分布與超幾何分布1.C解析每次抽獎中,共有C53=10種情況,獲獎的情況有(1,2,3),(1,3,5),(2,3,4),(3,4,5)4種,所以獲獎的概率P=25.設則X~B5,25,所以P(X=2.C解析ξ的可能取值為0,1,2.P(ξ=0)=C133C153=2235,P(ξ=1)=C則ξ的分布列為ξ012P22121于是E(ξ)=0×2235+1×1235+2×135=25,故E(5ξ+1)=5E(ξ)+3.解(1)平均分x=1200×(35×6+45×14+55×30+65×74+75×42+85×23+95×11)前4組頻率之和為6+14+30+74200=0.62,前5組頻率之和為6+14+30+74+42200=0故第80百分位數位于[70,80).設第80百分位數為x,則x=70+10×0.8-則該市競賽成績的平均分約為67.3,第80百分位數約為78.6.(2)抽到60分及以上的學生的概率為74+42+23+11200由題意,X的可能取值為0,1,2,3,且服從X~B3,則P(X=0)=C3P(X=1)=C3P(X=2)=C3P(X=3)=C3所以X的分布列為X0123P192727所以E(X)=0×164+1×964+24.解(1)由題表可得廚余垃圾共有60+20+20=100噸,其中投入廚余垃圾桶的有60噸,所以可估計廚余垃圾投放正確的概率p=60(2)由題表可得這400噸垃圾有100噸廚余垃圾,300噸非廚余垃圾,則處理費用為5×100+8×300=2900(元).所以估計處理這400噸垃圾需要2900元.(3)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3,P(X=0)=C3P(X=1)=C3P(X=2)=C3P(X=3)=C所以X的分布列為X0123P72171所以E(X)=0×724+1×2140+2×740+5.解(1)依題意,ξ=0,1,2,且P(ξ=0)=C20P(ξ=1)=C20P(ξ=2)=C20所以ξ的分布列為ξ012P268019故E(ξ)=0×2659+1×80(2)由題意,易知X服從二項分布X~B(1,45),D(X)=45×15=425,Y服從二項分布Y~B(1,2故D(X)<D(Y).6.解(1)“體育迷”對應的頻率為(0.02+0.005)×10=0.25=1用頻率估計概率,可知從該地區大量電視觀眾中,隨機抽取1名觀眾,該觀眾是“體育迷”的概率為14則X所有可能的取值為0,1,2,3.∴P(X=0)=C3P(X=1)=C3P(X=2)=C3P(X=3)=C3∴X的分布列為X0123P272791則E(X)=