課時規范練58空間直線、平面的垂直一、基礎鞏固練1.空間中直線l和△ABC所在的平面垂直,則這條直線和三角形的邊AB的位置關系是()A.平行 B.垂直 C.相交 D.不確定2.如圖,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,則C1在底面ABC上的射影H必在()A.直線AB上B.直線BC上C.直線AC上D.△ABC內部3.(多選題)已知m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不同的平面,下列說法中正確的有()A.若m∥n,n?α,則m∥αB.若m?α,m⊥β,則α⊥βC.若m⊥α,m⊥β,則α∥βD.若α⊥β,m?α,n?β,則m⊥n4.在正四面體P-ABC中,D,E,F分別是AB,BC,CA的中點,下面四個結論中不成立的是()A.BC∥平面PDFB.DF⊥平面PAEC.平面PDF⊥平面ABCD.平面PAE⊥平面ABC5.(2024·江西九江模擬)直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥BC,D為CC1的中點,BB1=2BC.(1)求證:平面AB1C⊥平面ABD;(2)若AB=BD=3,求三棱錐B1-ABD的體積.6.如圖,在四棱錐P-ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=AD=AP=2CD=2,M是棱PB上一點.(1)若BM=2MP,求證:PD∥平面MAC;(2)若平面PAB⊥平面ABCD,平面PAD⊥平面ABCD,求證:PA⊥平面ABCD.二、綜合提升練7.(2024·上海閔行模擬)如圖,對于直四棱柱ABCD-A1B1C1D1,要使A1C⊥B1D1,則在四邊形ABCD中,滿足的條件可以是.(只需寫出一個正確的條件)

8.(2024·內蒙古赤峰模擬)如圖1,在五邊形ABCDE中,四邊形ABCE為正方形,CD⊥DE,CD=DE,如圖2,將△ABE沿BE折起,使得點A至點A1處,且A1B⊥A1D.圖1圖2(1)證明:DE⊥平面A1BE;(2)若四棱錐A1-BCDE的體積為4,求CD的長.9.(2024·江西贛州模擬)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,側面AA1C1C是矩形,側面BB1C1C是菱形,∠B1BC=60°,D,E分別為棱AB,B1C1的中點,F為線段C1E的中點.(1)證明:AF∥平面A1DE.(2)在棱BB1上是否存在一點G,使平面ACG⊥平面BB1C1C?若存在,請指出點G的位置,并證明你的結論;若不存在,請說明理由.

課時規范練58空間直線、平面的垂直1.B解析因為l⊥平面ABC,AB?平面ABC,所以l⊥AB.2.A解析連接AC1(圖略),由AC⊥AB,AC⊥BC1,AB∩BC1=B,AB,BC1?平面ABC1,AC?平面ABC1,得AC⊥平面ABC1.∵AC?平面ABC,∴平面ABC1⊥平面ABC,∴C1在平面ABC上的射影H必在兩平面的交線AB上.3.BC解析若m∥n,n?α,則m∥α或m?α,故A錯誤;由面面垂直的判定定理可知,故B正確;垂直于同一條直線的兩個平面互相平行,故C正確;若α⊥β,m?α,n?β,則m,n可能相交,可能平行,可能異面,不一定互相垂直,故D錯誤.故選BC.4.C解析如圖所示,對于A,∵D,F分別為AB,AC的中點,∴BC∥DF.∵BC?平面PDF,DF?平面PDF,∴BC∥平面PDF,故A正確.對于B,∵△ABC是等邊三角形,E為BC的中點,∴AE⊥BC.同理,PE⊥BC.∵AE∩PE=E,AE,PE?平面PAE,∴BC⊥平面PAE.∵DF∥BC,∴DF⊥平面PAE,故B正確.對于C,設DF∩AE=G,連接PG.假設平面PDF⊥平面ABC成立,∵D,F分別為AB,AC的中點,∴DF∥BC,且DF∩AE=G,則G為AE的中點.由B知,DF⊥平面PAE.∵PG?平面PAE,∴PG⊥DF.若平面PDF⊥平面ABC,平面PDF∩平面ABC=DF,PG?平面PDF,∴PG⊥平面ABC.過點P作PO⊥平面ABC,垂足為點O,則O為等邊△ABC的重心,則AO=23AE≠AG,矛盾,所以平面PDF⊥平面ABC不成立,故C錯誤對于D,由B知,BC⊥平面PAE,∵BC?平面ABC,∴平面PAE⊥平面ABC,故D正確.5.(1)證明∵ABC-A1B1C1為直三棱柱,∴AB⊥BB1.∵AB⊥BC,BC∩BB1=B,BC,BB1?平面BB1C1C,∴AB⊥平面BB1C1C.∵B1C?平面BB1C1C,∴B1C⊥AB.設BC=t,則BB1=2t,故tan∠BB1C=22,CD=12CC1=2t2,則tan∠CBD=CDBC=22,∵∠BB1C+∠B1CB=90°,∴∠CBD+∠B1CB=90°,故B1C⊥BD.∵AB?平面ABD,BD?平面ABD,且AB∩BD=B,∴B1C⊥平面ABD.又B1C?平面AB1C,∴平面AB1C⊥平面ABD.(2)解由BC2+CD2=BD2,得t2+t22=3,解得t=∴△BB1D的面積S△BB1D由(1)知,AB⊥平面BB1C1C,∴三棱錐A-BB1D的體積VA-BB1D=13S6.證明(1)連接BD交AC于點O,連接OM.因為AB∥CD,AB=2CD,所以BODO=AB因為BM=2MP,所以BMPM=2,所以BMPM=BODO,因為OM?平面MAC,PD?平面MAC,所以PD∥平面MAC.(2)因為平面PAD⊥平面ABCD,AD⊥AB,平面PAD∩平面ABCD=AD,AB?平面ABCD,所以AB⊥平面PAD.因為PA?平面PAD,所以AB⊥PA.同理可證,AD⊥PA.因為AD?平面ABCD,AB?平面ABCD,AD∩AB=A,所以PA⊥平面ABCD.7.A1C1⊥B1D1(答案不唯一)解析連接A1C1,如圖所示.因為CC1⊥平面A1B1C1D1,B1D1?平面A1B1C1D1,則B1D1⊥CC1.若A1C1⊥B1D1,A1C1∩CC1=C1,CC1,A1C1?平面A1CC1,所以B1D1⊥平面A1CC1.因為A1C?平面A1CC1,所以A1C⊥B1D1.8.(1)證明由題意得,∠BEC=∠CED=π4,則∠BED=π2,即DE⊥因為AB⊥AE,則A1B⊥A1E.又A1B⊥A1D,A1E∩A1D=A1,A1E,A1D?平面A1ED,所以A1B⊥平面A1ED.因為DE?平面A1ED,則DE⊥A1B.因為DE⊥BE,A1B∩BE=B,A1B?平面A1BE,BE?平面A1BE,所以DE⊥平面A1BE.(2)解取BE中點O,連接A1O.由正方形性質,可得A1O⊥BE.由(1)可得,DE⊥A1O.因為DE∩BE=E,DE,BE?平面BCDE,則A1O⊥平面BCDE,即A1O為四棱錐A1-BCDE的高.設CD=DE=a,則EC=2a,BE=2a,A1O=a.由(1)可得,底面BCDE為直角梯形,故VA1-BCDE=13×12×(a+2a)×9.(1)證明取A1C1的中點M,連接AM,EM,FM.因為AA1∥BB1,且AA1=BB1,故四邊形AA1B1B為平行四邊形,所以AB∥A1B1,且AB=A1B1.因為D為AB的中點,則AD∥A1B1,且AD=12A1B1因為M,E分別為A1C1,B1C1的中點,所以EM∥A1B1,且EM=12A1B1所以AD∥EM,且AD=EM,故四邊形ADEM為平行四邊形,所以AM∥DE.因為AM?平面A1DE,DE?平面A1DE,所以AM∥平面A1DE.因為M,F分別為A1C1,C1E的中點,所以FM∥A1E.因為FM?平面A1DE,A1E?平面A1DE,所以FM∥平面A1DE.因為AM∩FM=M,AM,FM?平面AFM,所以平面AFM∥平面A1DE.因為AF?平面AFM,故AF∥平面A1DE.(2)解存在.當點G為BB1的中點時,平面ACG⊥平面BB1C1C.因為四邊形AA1C1C為矩形,則AC⊥CC1.因為BB1∥CC