小題核心考點(diǎn)精練04計數(shù)原理與概率統(tǒng)計沖刺2024年高考(原卷)

題型大全

目錄

【題型一】排列組合綜合

【題型二】二項式定理

【題型三】統(tǒng)計

【題型四】統(tǒng)計案例

【題型五】概率、概率的性質(zhì)、事件的關(guān)系

【題型六】條件概率、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式

【題型七】隨機(jī)變量及其分布列

知識溫習(xí)(底)

各個擊破

【題型一】排列組合綜合

【知識回顧】

1.分類加法計數(shù)原理：N=mi+ni2+…+叫.

2.分步乘法計數(shù)原理：N二叫X叫義…Xnin

3.排列數(shù)公式:=n(nl)(n2)???(nm+1)(m,n￡N*,且niWn).

*階乘的相關(guān)結(jié)論

(1)規(guī)定：0!=L(2)A/n!(n￡N*).

(3)A『二n(nl)(n2)…(nm+l)=--—(n,m￡N*,且mWn).

11(n-m)!

*排列數(shù)及其運(yùn)算

I.Ajp=n(n1)...(nm+1)=⑺)(m,nGN*,且mWn)；

A;=nA￡=mA*A2「

4.組合數(shù)公式與組合數(shù)性質(zhì)

1.組合數(shù)公式：C臚魯MT"2)…(n—m+^meN*；且慮11).

nm!m!(n-m)!

2.規(guī)定：C?=l.

3.組合數(shù)的性質(zhì)：C;=C：m；c,i=C:+C『T.

【跟蹤訓(xùn)練】

一、單選題

1.（2023?四川雅安?一模）甲、乙、丙、丁4個學(xué)校將分別組織部分學(xué)生開展研學(xué)活動，現(xiàn)

有五個研學(xué)基地供選擇，每個學(xué)校只選擇一個基地，則4個學(xué)校中至少有3個

學(xué)校所選研學(xué)基地不相同的選擇種數(shù)共有（）

A.420B.460C.480D.520

2.（2024?浙江嘉興?二模）6位學(xué)生在游樂場游玩48,C三個項目，每個人都只游玩一個項

目，每個項目都有人游玩，若A項目必須有偶數(shù)人游玩，則不同的游玩方式有（）

A.180種B.210種C.240種D.360種

3.（2324高三上?河北?期末）第19屆亞運(yùn)會在杭州舉行，為了弘揚(yáng)“奉獻(xiàn)，友愛，互助，進(jìn)

步”的志愿服務(wù)精神，5名大學(xué)生將前往3個場館43,C開展志愿服務(wù)工作.若要求每個場

館都要有志愿者，則當(dāng)甲不去場館A時，場館8僅有2名志愿者的概率為（）

【題型二】二項式定理

【知識回顧】二項式定理

1.概念：公式（a+b）占C°an+Cjanlb>+...+C^ankbk+...+C*,n〉N*叫做二項式定理

2.（a+b廠的二項展開式：C°an+4anTp+…+C^ankbk+-+C?"

3.二項式系數(shù)：展開式中各項的系數(shù)0（k=0,1,2,…，n）

kk

4.通項：展開式的第k+1項：Tk+1=Cj；a"b

5.備注：在二項式定理中，若設(shè)a=l,b=x,則得到公式：

（l+x）°=C°+C,x+鬣x，…+C%xk+…+C：x"

【跟蹤訓(xùn)練】

4.（2024?陜西西安?一模）的展開式中V的系數(shù)為（）

A.-80B.-40C.40D.80

（2024?全國?模擬預(yù)測）V項的系數(shù)為（)

A.-60B.-15C.15D.60

6.（2024?全國?模擬預(yù)測）二項式卜五―展開式的常數(shù)項為（）

A.—35B.-21C.21D.35

【題型三】統(tǒng)計

【知識回顧】

1.分層隨機(jī)抽樣

一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子

總體，在每個子總體中獨(dú)立地進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作

為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機(jī)抽樣，每一個子總體稱為層.在分層隨機(jī)抽樣中，

如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配.

2.計算一組n個數(shù)據(jù)的第p百分位數(shù)的步驟

第1步，按從小到大排列原始數(shù)據(jù).

第2步，計算i=nXp%.

第3步，若i不是整數(shù)，而大于i的比鄰整數(shù)為j,則第p百分位數(shù)為第j項數(shù)據(jù)；若

i是整數(shù)，則第p百分位數(shù)為第i項與第(i+1)項數(shù)據(jù)的平均數(shù).

3.頻率分布表、頻率分布直方圖及其相關(guān)的計算

1.繪制頻率分布直方圖的注意點(diǎn)

(1)各組頻率的和等于1.

(2)在Oxy坐標(biāo)平面內(nèi)畫頻率分布直方圖時，x=樣本數(shù)據(jù)，y=f|,這樣每一組的頻率可以用

組距

該組的小矩形的面積來表示，其中矩形的底=組距，高—黑丁脂頻上，.

組距組距X樣本堇

(3)同一組數(shù)據(jù)，組距不同，橫軸、縱軸單位不同，得到的頻率分布直方圖的形狀也會不同.

2.由頻率分布表或頻率分布直方圖進(jìn)行有關(guān)計算時，要掌握下列結(jié)論

(1)小長方形的面積=組距X得頻率；

組距

(2)各小長方形的面積之和等于1；

(3)黑=頻率，此關(guān)系式的變形為患樣本量，樣本量X頻率=頻數(shù).

樣本重頻率

4.數(shù)據(jù)集中趨勢的估計

1.眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)的定義

(1)眾數(shù)：一組數(shù)據(jù)中重復(fù)出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù).

(2)中位數(shù)：把一組數(shù)據(jù)按從小到大(或從大到小)的順序排列，處在最中間位置的數(shù)(或最中

間兩個數(shù)的平均數(shù))叫做這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

(3)平均數(shù)：如果有n個數(shù)X”x2,???,xn,那么又」(Xi+x?+…+xj叫做這n個數(shù)的平均數(shù).

__________________________________________________________________n_________________________________________________________

2.總體集中趨勢的估計

(1)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)等都是刻畫“中心位置”的量，它們從不同角度刻畫了一組數(shù)據(jù)

的集中趨勢.

(2)一般地，對數(shù)值型數(shù)據(jù)(如用水量、身高、收入、產(chǎn)量等)集中趨勢的描述，可以用平均

數(shù)、中位數(shù)；而對分類型數(shù)據(jù)(如校服規(guī)格、性別、產(chǎn)品質(zhì)量等級等)集中趨勢的描述，可以

用眾數(shù).

5.數(shù)據(jù)離散程度的估計

1.極差

極差在一定程度上刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度.但因為極差只使用了數(shù)據(jù)中最大、最小兩個值的

信息，對其他數(shù)據(jù)的取值情況沒有涉及，所以極差所含的信息量很少.

2.方差和標(biāo)準(zhǔn)差

(1)方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義：

已知一組數(shù)據(jù)X”X2,…，xn,用友表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，則這組數(shù)據(jù)的方差為

S21%(X㈤三%1率2,標(biāo)準(zhǔn)差為$=］；￡二區(qū)-到2.

(2)總體方差和標(biāo)準(zhǔn)差

如果總體中所有個體的變量值分別為匕，Y”…，兒,總體平均數(shù)為丫，則稱

(Y，)?為總體方差，S=府為總體標(biāo)準(zhǔn)差?如果總體的N個變量值中，不同的值共

有k(kWN)個，不妨記為匕，Y”Yk,其中Yi出現(xiàn)的頻數(shù)為f;(i=l,2,…,k),則總體方

差為S胃f,(Y?)2

(3)樣本方差和標(biāo)準(zhǔn)差

如果一個樣本中個體的變量值分別為X，樣本平均數(shù)為歹，則稱

S24S^I(y而,為樣本方差，s=?為樣本標(biāo)準(zhǔn)差.

(4)標(biāo)準(zhǔn)差的意義

標(biāo)準(zhǔn)差刻畫了數(shù)據(jù)的離散程度或波動幅度，標(biāo)準(zhǔn)差越大，數(shù)據(jù)的離散程度越大；標(biāo)準(zhǔn)差

越小，數(shù)據(jù)的離散程度越小.

平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差一起能反映數(shù)據(jù)取值的信息.一般情況下，大部分?jǐn)?shù)據(jù)落在區(qū)間底s,

又+s］內(nèi)，絕大部分?jǐn)?shù)據(jù)落在區(qū)間反2s,又+2s］內(nèi).

【跟蹤訓(xùn)練】

7.(2024?四川南充?二模)某工廠生產(chǎn)力,B,C三種不同型號的產(chǎn)品，它們的產(chǎn)量之比為

2：3：5,用分層抽樣的方法抽取一個容量為n的樣本.若樣本中A型號的產(chǎn)品有30件，則

樣本容量〃為()

A.150B.180C.200D.250

8.（2024?上海徐匯?二模）為了研究y關(guān)于x的線性相關(guān)關(guān)系，收集了5組樣本數(shù)據(jù)（見下

表）：

X12345

y0.50.911.11.5

若已求得一元線性回歸方程為了=晟+0,34,則下列選項中正確的是（）

A.a=0.21

B.當(dāng)x=8時，y的預(yù)測值為2.2

C.樣本數(shù)據(jù)y的第40百分位數(shù)為1

D.去掉樣本點(diǎn)（3,1）后，x與y的樣本相關(guān)系數(shù)廠不會改變

9.（2024?遼寧?二模）已知一組數(shù)據(jù)為50,40,39,45,32,34,42,37,則這組數(shù)據(jù)第

40百分位數(shù)為（）

A.39B.40C.45D.32

10.（2024?陜西西安?模擬預(yù)測）某校為了解在校學(xué)生對中國傳統(tǒng)文化的傳承認(rèn)知情況，隨機(jī)

抽取了100名學(xué)生進(jìn)行中國傳統(tǒng)文化知識考試,并將這100名學(xué)生成績整理得到如下頻率分

布直方圖.根據(jù)此頻率分布直方圖（分成[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,

[90,100]六組），下列結(jié)論中不正確的是（）

頻率

B.若從成績在[70,80）,[80,90）,[90,100]內(nèi)的學(xué)生中采用分層抽樣抽取10名學(xué)生,

則成績在[80,90）內(nèi)的有3人

C.這100名學(xué)生成績的中位數(shù)約為65

D.若同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，則這100名學(xué)生的平均成績約為68.2

【題型四】統(tǒng)計案例

【知識回顧】

L樣本相關(guān)系數(shù)

1),樣本相關(guān)系數(shù)：r=?%(XL?8-刃，工為變量x和變量y的樣本相關(guān)系數(shù)，有

出.(XL.2揮1(yi-y)2

時也稱樣本線性相關(guān)系數(shù).

2).樣本相關(guān)系數(shù)r的特征

(l)re[l,1].

(2)當(dāng)r>0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)；當(dāng)r<0時，稱成對樣本數(shù)據(jù)負(fù)相關(guān).

⑶當(dāng)|r1越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)；當(dāng)|r1越接近0時，成對樣本

數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越弱.

2.樣本相關(guān)系數(shù)r是一個描述成對樣本數(shù)據(jù)的數(shù)字特征，它的正負(fù)性可以反映成對樣本數(shù)

據(jù)的變化特征.

2.一元線性回歸模型

Y—P)YCJ-I-p

一，稱為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型.其中，Y稱為因變量或

(E(e)=0,D(e)=o2

響應(yīng)變量，x稱為自變量或解釋變量；a和b為模型的未知參數(shù)，a稱為截距參數(shù)，b稱為

斜率參數(shù)；e是Y與bx+a之間的隨機(jī)誤差.如果e=0,那么Y與x之間的關(guān)系就可用一元線

性函數(shù)模型來描述.

3.經(jīng)驗回歸方程與最小二乘法

1.設(shè)滿足一元線性回歸模型的兩個變量的n對樣本數(shù)據(jù)為(xc%)(i=l,2,…，n),通

常用各散點(diǎn)到直線y=bx+a的豎直距離的平方之和、=(%-bxj-a)2來刻畫各樣本觀測

數(shù)據(jù)與該直線的“整體接近程度”.

=斃1(XL--L刃

(1)當(dāng)a,b的取值為｛一人91區(qū)一72'時，Q達(dá)到最小.

(a=y—bx

(2)將，=￡+；稱為Y關(guān)于X的經(jīng)驗回歸方程，也稱經(jīng)驗回歸函數(shù)或經(jīng)驗回歸公式，其圖形

稱為經(jīng)驗回歸直線.這種求經(jīng)驗回歸方程的方法叫做最小二乘法，求得的:，；叫做b,a

的最小二乘估計.

4.殘差分析

1.對于響應(yīng)變量Y,通過觀測得到的數(shù)據(jù)稱為觀測值，通過經(jīng)驗回歸方程得到的，稱為預(yù)測

值，觀測值減去預(yù)測值稱為殘差.殘差是隨機(jī)誤差的估計結(jié)果，通過對殘差的分析可以判斷

模型刻畫數(shù)據(jù)的效果，以及判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)等,這方面工作稱為殘差分析.

殘差=觀測值預(yù)測值

5.回歸模型擬合效果的檢驗

1.刻畫回歸效果的方式

(1)殘差圖法

以殘差為縱坐標(biāo)，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計值等，這樣作出的圖

形稱為殘差圖.在殘差圖中，殘差點(diǎn)比較均勻地落在以橫軸為對稱軸的水平的帶狀區(qū)域中,

說明選用的模型比較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高.

(2)殘差平方和法：殘差平方和為(%工)2,殘差平方和越小，模型擬合效果越好.

(3)決定系數(shù)N法：

Ei=i(yi-y)

K越大，殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好；K越小，殘差平方和越大，即模型的擬

合效果越差.

6.獨(dú)立性檢驗

1.假定通過簡單隨機(jī)抽樣得到了X和Y的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表，如表所示.

XY合計

Y=0Y=1

x二oaba+b

X=1cdc+d

合計a+cb+dn=a+b+c+d

則券信而

2.利用x2的取值推斷分類變量X和Y是否獨(dú)立的方法稱為x2獨(dú)立性檢驗，讀作“卡方獨(dú)

立性檢驗”，簡稱獨(dú)立性檢驗.

3.x2獨(dú)立性檢驗中5個常用的小概率值和相應(yīng)的臨界值如下表所示.

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

獨(dú)立性檢驗的實質(zhì)是檢驗兩個分類變量是否相關(guān)及相關(guān)的程度有多大，其應(yīng)用過程如下：

根據(jù)觀測數(shù)據(jù)計算出X2的值，其值越大，說明“X與Y有關(guān)系”成立的可能性越大，

在假設(shè)X與Y沒有關(guān)系的前提下，可以通過查閱臨界值表得到P(x2'x?),從而得到兩變量

相關(guān)的程度.

7.由xz進(jìn)行獨(dú)立性檢驗

1.應(yīng)用獨(dú)立性檢驗解決實際問題大致應(yīng)包括以下幾個主要環(huán)節(jié)：

(1)提出零假設(shè)H。：分類變量X和Y相互獨(dú)立，并給出在問題中的解釋；

(2)根據(jù)抽樣數(shù)據(jù)整理出2X2列聯(lián)表，計算x2的值，并與臨界值xj匕較；

(3)根據(jù)檢驗規(guī)則得出推斷結(jié)論；

(4)在X和Y不獨(dú)立的情況下，根據(jù)需要，通過比較相應(yīng)的頻率，分析X和Y間的影響規(guī)律.

【注】上述幾個環(huán)節(jié)的內(nèi)容可以根據(jù)不同情況進(jìn)行調(diào)整.例如，在有些時候，分類變

量的抽樣數(shù)據(jù)列聯(lián)表是問題中給定的.

8.獨(dú)立性檢驗的一般方法

獨(dú)立性檢驗的一般方法

(1)根據(jù)題目信息，完善列聯(lián)表；

(2)提出零假設(shè):假設(shè)兩個變量相互獨(dú)立，并給出在問題中的解釋。

(3)根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)及計算公式/2=-一卜”)一二求出X2的值；

[a+0)(c+a)(a+c)(b+a)

(4)當(dāng)xu時,我們就推斷H.不成立,即兩個變量不獨(dú)立,該推斷犯錯誤的概率不超過a；

當(dāng)z2<g時，我們沒有充分證據(jù)推斷五o不成立，可以認(rèn)為兩個變量相互獨(dú)立。

分割線

【跟蹤訓(xùn)練】

11.(2024?上海虹口?二模)給出下列4個命題：

①若事件A和事件B互斥，則P(AcB)=；

②數(shù)據(jù)2,3,6,7,8,10,11,13的第70百分位數(shù)為10；

③已知了關(guān)于x的回歸方程為V=-0.5%+0.7,則樣本點(diǎn)(2,-1)的離差為-0.7；

(o123)

④隨機(jī)變量X的分布為，則其數(shù)學(xué)期望E[X]=L6.

其中正確命題的序號為()

A.①②B.①③C.②③D.②④

12.(2023?福建寧德?二模)5G技術(shù)在我國已經(jīng)進(jìn)入高速發(fā)展的階段，5G的銷量也逐漸

上升，某商城統(tǒng)計了最近5個月的實際銷量，如下表所示：

時間X12345

銷售量y(千只)0.50.81.01.21.5

若y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為j>=0.24x+￡,則下列說法不正確的是()

A.由題中數(shù)據(jù)可知，變量y與x正相關(guān)

B.線性回歸方程3=0.24x+<5中&=0.28

C.可以預(yù)測x=6時該商場5G銷量約為1.72(千只)

D.x=5時，殘差為-0.02

13.(2023?黑龍江哈爾濱?模擬預(yù)測)下列說法不正確的是()

A.甲、乙、丙三種個體按3:1:2的比例分層抽樣調(diào)查，若抽取的甲種個體數(shù)為9,則樣

本容量為18

B.設(shè)一組樣本數(shù)據(jù)引，々，…，毛的方差為2,則數(shù)據(jù)4占，4X2,4x“的方差為

32

C.在一個2x2列聯(lián)表中，計算得到/的值，則/的值越接近1,可以判斷兩個變量相

關(guān)的把握性越大

D.已知隨機(jī)變量g~N(202),且PC<4)=0.8,則P(0<g<4)=0.6

【題型五】概率、概率的性質(zhì)、事件的關(guān)系

1.古典概率：P(A)=其中，n(A)和n(Q)分別表示事件A和樣本空間

nn(H)

Q包含的樣本點(diǎn)個數(shù).

2.概率的基本性質(zhì)

性質(zhì)1：對任意的事件A,都有P(A)20.

性質(zhì)2：必然事件的概率為1,不可能事件的概率為0,即P(Q)=1,P(0)=O.

性質(zhì)3：如果事件A與事件B互斥，那么P(AUB)=P(A)+P(B),此性質(zhì)可以推廣到

多個事件的情況，即如果事件&,…，A.兩兩互斥，那么P(A|UAN…UAJ=P(AJ+

P(A2)+-+P(Am).

性質(zhì)4：如果事件A與事件B互為對立事件，那么P(B)=1P(A),P(A)=1P(B).

性質(zhì)5：如果AGB,那么P(A)WP(B).

性質(zhì)6：設(shè)A,B是一個隨機(jī)試驗中的兩個事件,我們有P(AUB)=P(A)+P(B)P(AAB).

3.互斥事件和對立事件

1)互斥事件：一般地，如果事件A與事件B不能同時發(fā)生，也就是說AnB是一個不可能事

件，則稱事件A與事件B互斥(或互不相容)

2)對立事件：一般地，如果事件A和事件B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生，那么稱

事件A與事件B互為對立.事件A的對立事件記為A.

4.事件相互獨(dú)立的定義

對任意兩個事件A與B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡稱為

獨(dú)立.相互獨(dú)立事件的性質(zhì)：

1).如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與瓦A與B,A與巨也都相互獨(dú)立.

2)必然事件不可能事件。都與任意事件相互獨(dú)立.

5.概率關(guān)系

概率A、B互斥A、B相互獨(dú)立

P(AUB)P(A)+P(B)1P(A)P(B)

P(AB)0P(A)P(B)

P(AB)1[P(A)+P(B)]P(A)P(B)

P(ABUAB)P(A)+P(B)(A、B互斥時，AB=A,AB=B)P(A)P(B)+P(A)P(B)

P(ABUABUAB)?1P(A)P(B)

6.頻率的隨機(jī)性與穩(wěn)定性

1.頻率的隨機(jī)性：大量試驗表明，在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗中，一個隨機(jī)事件A發(fā)生的

頻率具有隨機(jī)性.

2.頻率的穩(wěn)定性：一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件

A發(fā)生的頻率0(A)會逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A),我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的

穩(wěn)定性.因此，我們可以用頻率￡(A)估計概率P(A).

分割線

【跟蹤訓(xùn)練】

14.(2024?四川瀘州?三模)從3,4,5,6,7這5個數(shù)中任取兩個數(shù)，則所取兩個數(shù)之積

能被3整除的概率是()

3473

A.—B.-C.—D.—

551010

15.(2223高三?江西撫州?階段練習(xí))一袋中有大小相同的3個白球和4個紅球，現(xiàn)從中任意

取出3個球，記事件/:“3個球中至少有一個白球"，事件8:"3個球中至少有一個紅球"，事

件C:"3個球中有紅球也有白球“，下列結(jié)論不正確的是()

A.事件A與事件3不為互斥事件B.事件A與事件C不是相互獨(dú)立事件

c.尸(平)中D.P(AC)>P(AB)

16.(2022?廣東?模擬預(yù)測)在一個質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個面上分別標(biāo)有數(shù)字1,2,

3,4.連續(xù)拋擲這個正四面體木塊兩次，并記錄每次正四面體木塊朝下的面上的數(shù)字，記事

件A為"兩次記錄的數(shù)字之和為奇數(shù)"，事件B為"第一次記錄的數(shù)字為奇數(shù)"，事件C為“第二

次記錄的數(shù)字為偶數(shù)"，則下列結(jié)論正確的是()

A.事件B與事件C是對立事件B.事件A與事件3不是相互獨(dú)立事件

c.P(^)-P(S).P(C)=1D.

O

1

17.(.2024?福建莆田?二模)若尸(28)，尸⑷=|，P(B)=；，則()

10

A.事件A與B互斥B.事件A與8相互獨(dú)立

11-1

C.P(A+B}=一D.P(AB)=-

')20

【題型六】條件概率、乘法公式、全概率公式、貝葉斯公式

【知識回顧】

1.條件概率

1.定義：一般地，設(shè)A,B為兩個隨機(jī)事件，且P(A)〉0,我們稱P(B|A)=?為在

事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.

2.性質(zhì)：設(shè)P(A)>0,則

(1)P(B|A)e[0,1],P(Q|A)=1；

⑵如果B和C是兩個互斥事件，則P(BUC|A)=P(B|A)+P(C|A)；

(3)設(shè)百和B互為對立事件，則P(B|A)=1P(B|A).

2.概率的乘法公式

1.由條件概率的定義，對任意兩個事件A與B,若P(A)>0,則P(AB)=P(A)P(B|A).

我們稱上式為概率的乘法公式.

2.推廣：

(1)若P(AB)>0,則P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).

(2)若Ai(i=l,2,3,n)為隨機(jī)事件,且P(A1A2…An)>0,則P(A1A2…An)=P(Al)?

P(A21Al)P(A31A1A2)....P(An|A1A2-Anl).

3.全概率公式

1.一般地，設(shè)Al,A2,An是一組兩兩互斥的事件，AlUA2U-UAn=Q,且P(Ai)>0,

i=l,2,…，n,則對任意的事件BUQ,有P(B)=￡[P(Ai)P(B|Ai).我們稱此公式為全

概率公式.

4.貝葉斯公式*

1.設(shè)Al,A2,An是一組兩兩互斥的事件，AlUA2U…UAn=Q,且P（Ai）〉O,i=l,2,n,

則對任意的事件BUQ,P（B）〉0,有P（Ai|B）=P（A：%A）p（黑（:累）

i=l,2,,,,,n.

2.貝葉斯公式是在條件概率的基礎(chǔ)上尋找事件發(fā)生的原因，在運(yùn)用貝葉斯公式時，一般已

知條件和未知條件如下：

（DA的多種情況中到底哪種情況發(fā)生是未知的，但是每種情況發(fā)生的概率已知，即P（Ai）

己知；

（2）事件B是已經(jīng)發(fā)生的確定事實，且A的每種情況發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率已知，即

P（B|Ai）已知；

（3）P（B）未知，需要使用全概率公式計算得到；

（4）求解的目標(biāo)是用A的某種情況Ai的無條件概率求其在B發(fā)生的條件下的有條件概率

P（A」B）.

【足艮蹤訓(xùn)練】

18.（2024?全國?二模）某單位選派一支代表隊參加市里的辯論比賽，現(xiàn)有"初心""使命"兩支

預(yù)備隊.選哪支隊是隨機(jī)的，其中選"初心"隊獲勝的概率為0.8,選"使命”隊獲勝的概率為0.7,

單位在比賽中獲勝的條件下，選"使命"隊參加比賽的概率為（）

2287

A.-B.-C.—D.—

951515

19.（2024?甘肅武威?模擬預(yù)測）某校高三（1）班和（2）班各有40名同學(xué)，其中參加數(shù)學(xué)

興趣社團(tuán)的學(xué)生分別有10人和8人.現(xiàn)從這兩個班中隨機(jī)抽取一名同學(xué)，若抽到的是參加

數(shù)學(xué)興趣社團(tuán)的學(xué)生，則他來自高三（1）班的概率是（）

9151

A.—B.-C.—D.一

40894

20.（2024?海南省直轄縣級單位?一模）英國數(shù)學(xué)家貝葉斯在概率論研究方面成就顯著，根據(jù)

貝葉斯統(tǒng)計理論，隨機(jī)事件A,B存在如下關(guān)系：尸（/忸）=⑷.若某地區(qū)一種疾

P叫

病的患病率是0.05,現(xiàn)有一種試劑可以檢驗被檢者是否患病.已知該試劑的準(zhǔn)確率為95%,

即在被檢驗者患病的前提下用該試劑檢測，有95%的可能呈現(xiàn)陽性;該試劑的誤報率為0.5%,

即在被檢驗者未患病的情況下用該試劑檢測，有0.5%的可能會誤報陽性.現(xiàn)隨機(jī)抽取該地區(qū)

的一個被檢驗者，已知檢驗結(jié)果呈現(xiàn)陽性，則此人患病的概率為（）

4959951021

A.------B.-------C.—D.

100010001122

【題型七】隨機(jī)變量及其分布列

1.離散型隨機(jī)變量X的分布列

1).定義：一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為X|,x2,…，X",我們稱X取每一個

值％的概率PlXnxJup-i=l,2,…，n為X的概率分布列，簡稱分布列.

2).分布列的表格表示

???

XX1X2Xn

???

PP1P2Pn

3).離散型隨力機(jī)變量分布列具有的兩個性質(zhì)

(l)Pi^O,i=l,2,-??,n；⑵P1+P2+…+Pn=l.

2.離散型隨機(jī)變量的均值

1).定義：一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示.

XXiX2???Xn

PPiP2???Pn

貝IJ稱E(X)=XR+XR+…+x,pi2LXR為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡

稱期望.

2).性質(zhì):若X是一個離散型隨機(jī)變量,則有E(aX+b)=aE(是+b.

3.離散型隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差

1.設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如表所示.

???

XXn

XiX2

???

PPlP2Pn

22

則稱D(X)=(X1E(X))P1+(X2E(X))2P#…+(x?E(X))泣=￡￡(x,E(X))Pi為隨機(jī)變量X的方差，

并稱J歐為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為。(X).

隨機(jī)變量的方差和標(biāo)準(zhǔn)差都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度，反映了隨機(jī)變量取

值的離散程度.方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，隨機(jī)變量的取值越集中；方差或標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量

的取值越分散.

*離散型隨機(jī)變量的方差的性質(zhì)

1.設(shè)a,b為常數(shù)，貝l]D(aX+b)=a2D(X).

2.均值與方差的性質(zhì)公式：D(X)=E(X2)(E(X))2.

4.二項分布

1.一般地，在n重伯努利試驗中，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(O〈p〈l),用X表示

事件A發(fā)生的次數(shù)，則X的分布列為P(X=k)=cy(lp)"\k=0,1,2,…,n.如果隨機(jī)

變量X的分布列具有上式的形式，則稱隨機(jī)變量X服從二項分布，記作X~B(n,p).

2.二項分布的期望與方差：一般地，如果X~B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(lp).

5.超幾何分布

1.一般地，假設(shè)一批產(chǎn)品共有N件，其中有M件次品.從N件產(chǎn)品中隨機(jī)抽取n件

(不放回)，用X表示抽取的n件產(chǎn)品中的次品數(shù)，則X的分布列為p(X=k)=與用，k=m,

LN

m+1,m+2,?,,,r.其中n,N,MFN*,MWN,nWN,m=max{0,nN+M},r=min{n,M}.如

果隨機(jī)變量X的分布列具有上式的形式，那么稱隨機(jī)變量X服從超幾何分布.

若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則其均值E(X)=詈.

2.若X服從參數(shù)為N,n,M的超幾何分布，即)CH(N,n,M),則D(X)=^黑粵

NZ(N-1)

6.正態(tài)分布

1(x-n)2

1).正態(tài)曲線：函數(shù)f(x)=—7尸e2#,eR.其中u￡R,o>0為參數(shù).我們稱f(x)為

G72Tlx

正態(tài)密度函數(shù)，稱它的圖象為正態(tài)密度曲線，簡稱正態(tài)曲線.

2).正態(tài)分布：若隨機(jī)變量X的概率分布密度函數(shù)為f(x),則稱隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布,

記為X~N(u,o2).特別地，當(dāng)B=0,。=1時，稱隨機(jī)變量X服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.

3).正態(tài)變量在三個特殊區(qū)間內(nèi)取值的概率

P(|ia<X<|i+o)=0.6827；P(|i2a<X<n+2o)=0.9545；P(|i3o<X<|i+3o)=0.9973.

4)3。原則

1.在實際應(yīng)用中，通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布N(u,o')的隨機(jī)變量X只取［口3。，口+3。］

中的值，這在統(tǒng)計學(xué)中稱為3。原則.

分割線

【跟蹤訓(xùn)練】

二、多選題

21.(2023?新疆?一模)已知任一隨機(jī)變量X,若其數(shù)學(xué)期望￡(X),方差。(X)均存在，則

對任意的正實數(shù)。，<P(|X-^(X)|<a\>1,即表示事件的概率下

限估計值為1-2畀.現(xiàn)有隨機(jī)變量X~則下列說法正確的有（）

A.若〃=6,則尸（XVl）=\

B.E（X）+2Z）（X）="

C.若〃=11,則尸（X=左）取最大值時4=5或左=6

D.若有不低于96%的把握使工則〃的最小值為625

n155J

22.（2024?湖南常德?三模）下列說法正確的是（）

A.數(shù)據(jù)6,5,3,4,2,7,8,9的上四分位數(shù)（75%分位數(shù)）為7

B.樣本數(shù)據(jù)答與樣本數(shù)據(jù)乂滿足％=x,+l（i=l,2,則兩組樣本數(shù)據(jù)的方差相同

C.若隨機(jī)事件A,8滿足：P（A\B）+P（A）=l,則A,8相互獨(dú)立

D.若J?且函數(shù)〃X）=P（XWJ4X+2）為偶函數(shù)，貝”=0

23.（2022?全國?模擬預(yù)測）某工廠進(jìn)行產(chǎn)品質(zhì)量抽測，兩位員工隨機(jī)從生產(chǎn)線上各抽取數(shù)量

相同的一批產(chǎn)品，已知在兩人抽取的一批產(chǎn)品中均有5件次品，員工/從這一批產(chǎn)品中有

放回地隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品，員工3從這一批產(chǎn)品中無放回地隨機(jī)抽取3件產(chǎn)品.設(shè)員工N

抽取到的3件產(chǎn)品中次品數(shù)量為X,員工2抽取到的3件產(chǎn)品中次品數(shù)量為匕k=Q,1,

2,3.則下列判斷正確的是（）

A.隨機(jī)變量X服從二項