2025屆福建省福州市倉(cāng)山區(qū)師范大學(xué)附中高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末檢測(cè)試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．如果直線與平面不垂直，那么在平面內(nèi)（）A．不存在與垂直的直線 B．存在一條與垂直的直線C．存在無(wú)數(shù)條與垂直的直線 D．任意一條都與垂直2．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象（）A．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度3．從裝有2個(gè)紅球和2個(gè)白球的口袋內(nèi)任取2個(gè)球，那么互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是（）A．“至少有1個(gè)白球”和“都是紅球”B．“至少有2個(gè)白球”和“至多有1個(gè)紅球”C．“恰有1個(gè)白球”和“恰有2個(gè)白球”D．“至多有1個(gè)白球”和“都是紅球”4．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為單位圓上一點(diǎn)，以軸為始邊，為終邊的角為，，若將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．5．在中，若，則（）A． B． C． D．6．已知，則()A．-3 B． C． D．37．用數(shù)學(xué)歸納法證明n+1n+2?n+n=-2A．2k+1 B．22k+1 C．2k+1k+18．某高級(jí)中學(xué)共有學(xué)生3000人,其中高二年級(jí)有學(xué)生800人,高三年級(jí)有學(xué)生1200人,為了調(diào)查學(xué)生的課外閱讀時(shí)長(zhǎng),現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有學(xué)生中抽取75人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，則高一年級(jí)被抽取的人數(shù)為（）A．20 B．25 C．30 D．359．若，且，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．10．設(shè)是周期為4的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知向量，且，則的值為_(kāi)_____12．在平行六面體中，為與的交點(diǎn)，若存在實(shí)數(shù)，使向量，則__________．13．函數(shù)的反函數(shù)為_(kāi)___________.14．給出下列四個(gè)命題：①正切函數(shù)在定義域內(nèi)是增函數(shù)；②若函數(shù)，則對(duì)任意的實(shí)數(shù)都有；③函數(shù)的最小正周期是；④與的圖象相同.以上四個(gè)命題中正確的有_________（填寫所有正確命題的序號(hào)）15．已知cosθ，θ∈（π，2π），則sinθ＝_____，tan_____.16．已知等差數(shù)列中，首項(xiàng)，公差，前項(xiàng)和，則使有最小值的_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．請(qǐng)你幫忙設(shè)計(jì)2010年玉樹(shù)地震災(zāi)區(qū)小學(xué)的新校舍，如圖，在學(xué)校的東北力有一塊地，其中兩面是不能動(dòng)的圍墻，在邊界內(nèi)是不能動(dòng)的一些體育設(shè)施．現(xiàn)準(zhǔn)備在此建一棟教學(xué)樓，使樓的底面為一矩形，且靠圍墻的方向須留有5米寬的空地，問(wèn)如何設(shè)計(jì)，才能使教學(xué)樓的面積最大？18．（1）設(shè)，直接用任意角的三角比定義證明：.（2）給出兩個(gè)公式：①；②.請(qǐng)僅以上述兩個(gè)公式為已知條件證明：.19．已知數(shù)列滿足：（1）設(shè)數(shù)列滿足，求的前項(xiàng)和：（2）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求其通項(xiàng)公式；20．已知函數(shù).（1）解關(guān)于的不等式；（2）若關(guān)于的不等式的解集為，求實(shí)數(shù)的值.21．高一某班以小組為單位在周末進(jìn)行了一次社會(huì)實(shí)踐活動(dòng)，且每小組有5名同學(xué)，活動(dòng)結(jié)束后，對(duì)所有參加活動(dòng)的同學(xué)進(jìn)行測(cè)評(píng)，其中A，B兩個(gè)小組所得分?jǐn)?shù)如下表：A組8677809488B組9183？7593其中B組一同學(xué)的分?jǐn)?shù)已被污損，看不清楚了，但知道B組學(xué)生的平均分比A組學(xué)生的平均分高出1分.（1）若從B組學(xué)生中隨機(jī)挑選1人，求其得分超過(guò)85分的概率；（2）從A組這5名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名同學(xué)，設(shè)其分?jǐn)?shù)分別為m，n，求的概率.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】

因?yàn)橹本€l與平面不垂直，必然會(huì)有一條直線與其垂直，而所有與該直線平行直線也與其垂直，因此選C2、A【解析】

先將轉(zhuǎn)化為,再判斷的符號(hào)即可得出結(jié)論.【詳解】解：因?yàn)?所以只需把向右平移個(gè)單位.故選：A【點(diǎn)睛】函數(shù)左右平移變換時(shí),一是要注意平移方向：按“左加右減",如由的圖象變?yōu)榈膱D象,是由變?yōu)?所以是向左平移個(gè)單位；二是要注意前面的系數(shù)是不是,如果不是,左右平移時(shí),要先提系數(shù),再來(lái)計(jì)算.3、C【解析】

結(jié)合互斥事件與對(duì)立事件的概念,對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)分析可選出答案.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A,“至少有1個(gè)白球”和“都是紅球”是對(duì)立事件,不符合題意;對(duì)于選項(xiàng)B,“至少有2個(gè)白球”表示取出2個(gè)球都是白色的,而“至多有1個(gè)紅球”表示取出的球1個(gè)紅球1個(gè)白球,或者2個(gè)都是白球,二者不是互斥事件,不符合題意;對(duì)于選項(xiàng)C,“恰有1個(gè)白球”表示取出2個(gè)球1個(gè)紅球1個(gè)白球,與“恰有2個(gè)白球”是互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件,符合題意;對(duì)于選項(xiàng)D,“至多有1個(gè)白球”表示取出的2個(gè)球1個(gè)紅球1個(gè)白球,或者2個(gè)都是紅球,與“都是紅球”不是互斥事件,不符合題意.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了互斥事件和對(duì)立事件的定義的運(yùn)用,考查了學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解和掌握,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】

由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，求得點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】為單位圓上一點(diǎn)，以軸為始邊，為終邊的角為，，若將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，故點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，誘導(dǎo)公式，考查基本的運(yùn)算求解能力．5、A【解析】

由已知利用余弦定理即可解得的值．【詳解】解：，，，由余弦定理可得：，解得：，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．6、C【解析】

由同角三角函數(shù)關(guān)系得到余弦、正切，再由兩角差的正切公式得到結(jié)果.【詳解】已知，則,,則故答案為C.【點(diǎn)睛】這個(gè)題目考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值，1.利用sin2α＋cos2α＝1可以實(shí)現(xiàn)角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以實(shí)現(xiàn)角α的弦切互化；2.注意公式逆用及變形應(yīng)用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.7、B【解析】

要分清起止項(xiàng)，以及相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系，由此即可分清增加的代數(shù)式。【詳解】當(dāng)n=k時(shí)，左邊=k+1當(dāng)n=k+1時(shí)，左邊====k+1∴從k到k+1，左邊需要增乘的代數(shù)式為22k+1【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生如何理解數(shù)學(xué)歸納法中的遞推關(guān)系。8、B【解析】

通過(guò)計(jì)算三個(gè)年級(jí)的人數(shù)比例，于是可得答案.【詳解】抽取比例為753000=140，高一年級(jí)有【點(diǎn)睛】本題主要考查分層抽樣的相關(guān)計(jì)算，難度很小.9、A【解析】

將代數(shù)式與相乘，展開(kāi)式利用基本不等式求出的最小值，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式，解出即可.【詳解】由基本不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以，的最小值為.由題意可得，即，解得.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式的應(yīng)用，考查不等式恒成立問(wèn)題以及一元二次不等式的解法，對(duì)于不等式恒成立問(wèn)題，常轉(zhuǎn)化為最值來(lái)處理，考查計(jì)算能力，屬于中等題．10、A【解析】

.故選A.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、-7【解析】

，利用列方程求解即可.【詳解】，且，，解得：.【點(diǎn)睛】考查向量加法、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算.12、【解析】

在平行六面體中把向量用用表示，再利用待定系數(shù)法，求得.再求解。【詳解】如圖所示：因?yàn)椋忠驗(yàn)椋裕?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了空間向量的基本定理，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】

首先求出在區(qū)間的值域，再由表示的含義，得到所求函數(shù)的反函數(shù).【詳解】因?yàn)椋裕?所以的反函數(shù)是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查反函數(shù)定義，同時(shí)考查了三角函數(shù)的值域問(wèn)題，屬于簡(jiǎn)單題.14、②③④【解析】

①利用反例證明命題錯(cuò)誤；②先判斷為其中一條對(duì)稱軸；③通過(guò)恒等變換化成；④對(duì)兩個(gè)解析式進(jìn)行變形，得到定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系均一樣.【詳解】對(duì)①，當(dāng)，顯然，但，所以，不符合增函數(shù)的定義，故①錯(cuò)；對(duì)②，當(dāng)時(shí)，，所以為的一條對(duì)稱軸，當(dāng)取，取時(shí)，顯然兩個(gè)數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即成立，故②對(duì)；對(duì)③，，，故③對(duì)；對(duì)④，因?yàn)椋瑑蓚€(gè)函數(shù)的定義域都是，解析式均為，所以函數(shù)圖象相同，故④對(duì).綜上所述，故填：②③④.【點(diǎn)睛】本題對(duì)三角函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、對(duì)稱性、周期性等知識(shí)進(jìn)行綜合考查，求解過(guò)程中要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.15、﹣2.【解析】

由題意利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式，求得式子的值.【詳解】由，，知，則，.故答案為：，.【點(diǎn)睛】本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，二倍角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.16、或【解析】

求出，然后利用，求出的取值范圍，即可得出使得有最小值的的值.【詳解】，令，解得.因此，當(dāng)或時(shí)，取得最小值.故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列前項(xiàng)和的最小值求解，可以利用二次函數(shù)性質(zhì)求前項(xiàng)和的最小值，也可以轉(zhuǎn)化為數(shù)列所有非正數(shù)項(xiàng)相加，考查計(jì)算能力，屬于中等題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、在線段上取點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作墻的平行線，建一個(gè)長(zhǎng)、寬都為17米的正方形，教學(xué)樓的面積最大【解析】

可建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)截距式寫出AB所在直線方程，然后可設(shè)G點(diǎn)的坐標(biāo)為，再根據(jù)題目中的要求可列出教學(xué)樓的面積的表達(dá)式,,然后利用一元二次函數(shù)求最值即可．【詳解】解：如圖建立坐標(biāo)系，可知所在直線方程為，即.設(shè)，由可知．∴.由此可知，當(dāng)時(shí)，有最大值289平方米．故在線段上取點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)分別作墻的平行線，建一個(gè)長(zhǎng)、寬都為17米的正方形，教學(xué)樓的面積最大．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次函數(shù)求最值解決實(shí)際問(wèn)題，屬于中檔題18、（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】

（1）直接利用任意角的三角函數(shù)的定義證得．（2）由已知條件利用誘導(dǎo)公式，證明．【詳解】解：（1）將角的頂點(diǎn)置于平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，始邊與軸的正半軸重合，設(shè)角終邊一點(diǎn)（非原點(diǎn)），其坐標(biāo)為.∵，∴，.（2）由于，將換成后，就有即，.【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題．19、（1）（2）證明見(jiàn)解析,【解析】

（1）令n=1，即可求出，計(jì)算出，利用錯(cuò)位相減求出。（2）利用公式化簡(jiǎn)即可得證。再利用，求出公差，即可寫出通項(xiàng)公式。【詳解】解：在中，令，得，所以，①，②①②得化簡(jiǎn)得由得：，兩式相減整理得：從而有，相減得：即故數(shù)列為等差數(shù)列，又，故公差【點(diǎn)睛】本題主要考查利用錯(cuò)位相減法求等差乘等比數(shù)列的前n項(xiàng)的和，屬于基礎(chǔ)題。20、（1）①當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；②當(dāng)時(shí)，由，則不等式的解集為；③當(dāng)時(shí)，由，則不等式的解集為；（2）【解析】

（1）不等式，可化為，分三種情況討論，分別利用一元二次不等式的解法求解即可；（2）不等可化為，根據(jù)1和4是方程的兩根，利用韋達(dá)定理列方程求解即可.【詳解】（1）不等式，可化為：.①當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；②當(dāng)時(shí)，由，則不等式的解集為；③當(dāng)時(shí)，由，則不等式的解集為；（2）不等可化為：.由不等式的解集為可知，1和4是方程的兩根.故有，解得.由時(shí)方程為的根為1或4，則實(shí)數(shù)的值為1.【點(diǎn)睛】本題主要考查一元二次不等式的解法以及分類討論思想的應(yīng)用，屬于中檔題..分類討論思想的常見(jiàn)類型

,⑴問(wèn)題中的變量或含有需討論的參數(shù)的，要進(jìn)行分類討論的；

⑵問(wèn)題中的條件是分類給出的；

⑶解題過(guò)程不能統(tǒng)一敘述，必須分類討論的；

⑷涉及幾何問(wèn)題時(shí)，由幾何元素的形狀、位置的變化需要分類討論的.21、（1）（2）【解析】

（1）先設(shè)在B組中看不清的