北京市19中2025屆數學高一下期末達標檢測模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．設△ABC的內角A、B、C所對邊分別為a、b、c，若a＝3，b＝，A＝，則B＝（）A． B．或 C． D．或2．下列說法正確的是（）A．若，則 B．若，，則C．若，則 D．若，，則3．在等差數列{an}中，已知a1=2A．50 B．52 C．54 D．564．下列結論中錯誤的是（）A．若，則 B．函數的最小值為2C．函數的最小值為2 D．若，則函數5．設甲、乙兩地的距離為a(a>0)，小王騎自行車以勻速從甲地到乙地用了20分鐘，在乙地休息10分鐘后，他又以勻速從乙地返回到甲地用了30分鐘，則小王從出發到返回原地所經過的路程y和其所用的時間x的函數圖象為()A． B．C． D．6．已知某數列的前項和（為非零實數），則此數列為（）A．等比數列 B．從第二項起成等比數列C．當時為等比數列 D．從第二項起的等比數列或等差數列7．已知點，則向量在方向上的投影為（）A． B． C． D．8．函數（且）的圖像是下列圖像中的（）A． B．C． D．9．在△ABC中，sinA:sinB:sinC=4:3:2，則cosA的值是（）A． B． C． D．10．已知函數，其中為整數，若在上有兩個不相等的零點，則的最大值為()A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．某貨船在處看燈塔在北偏東方向，它以每小時18海里的速度向正北方向航行，經過40分鐘到達處，看到燈塔在北偏東方向，此時貨船到燈塔的距離為______海里.12．下列五個正方體圖形中，是正方體的一條對角線，點M，N，P分別為其所在棱的中點，求能得出⊥面MNP的圖形的序號(寫出所有符合要求的圖形序號)______13．數列中，，以后各項由公式給出，則等于_____.14．若，則=_________15．若函數的圖象過點，則___________.16．若不等式的解集為空集，則實數的能為___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數，且，.（1）求該函數的最小正周期及對稱中心坐標；（2）若方程的根為，且，求的值.18．（1）若對任意的，總有成立，求常數的值；（2）在數列中，，求通項；（3）在（2）的條件下，設，從數列中依次取出第項，第項，第項，按原來的順序組成新數列，其中試問是否存在正整數，使得且成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.19．已知函數f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω>0）的最小正周期為π.（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）的單調遞增區間.20．已知直線截圓所得的弦長為．直線的方程為．（1）求圓的方程；（2）若直線過定點，點在圓上，且，為線段的中點，求點的軌跡方程.21．在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司推廣線下分店，計劃在S市的A區開設分店，為了確定在該區開設分店的個數，該公司對該市已開設分店的其他區的數據作了初步處理后得到下列表格.記x表示在各區開設分店的個數，y表示這個x個分店的年收入之和.(1)該公司已經過初步判斷，可用線性回歸模型擬合y與x的關系，求y關于x的線性回歸方程(2)假設該公司在A區獲得的總年利潤z(單位:百萬元)與x，y之間的關系為，請結合(1)中的線性回歸方程，估算該公司應在A區開設多少個分店時，才能使A區平均每個分店的年利潤最大?(參考公式:，其中，)

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】

由已知利用正弦定理可求的值，利用大邊對大角可求為銳角，利用特殊角的三角函數值，即可得解．【詳解】由題意知，由正弦定理，可得＝＝，又因為，可得B為銳角，所以．故選A．【點睛】本題主要考查了正弦定理，大邊對大角，特殊角的三角函數值在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題．2、D【解析】

利用不等式的性質或舉反例的方法來判斷各選項中不等式的正誤.【詳解】對于A選項，若且，則，該選項錯誤；對于B選項，取，，，，則，均滿足，但，B選項錯誤；對于C選項，取，，則滿足，但，C選項錯誤；對于D選項，由不等式的性質可知該選項正確，故選：D.【點睛】本題考查不等式正誤的判斷，常用不等式的性質以及舉反例的方法來進行驗證，考查推理能力，屬于基礎題.3、C【解析】

利用等差數列通項公式求得基本量d，根據等差數列性質可得a4【詳解】設等差數列an公差為則a2+∴本題正確選項：C【點睛】本題考查等差數列基本量的求解問題，關鍵是能夠根據等差數列通項公式構造方程求得公差，屬于基礎題.4、B【解析】

根據均值不等式成立的條件逐項分析即可.【詳解】對于A，由知，，所以，故選項A本身正確；對于B，，但由于在時不可能成立，所以不等式中的“”實際上取不到，故選項B本身錯誤；對于C，因為，當且僅當，即時，等號成立，故選項C本身正確；對于D，由知，，所以lnx+=-2，故選項D本身正確.故選B.【點睛】本題主要考查了均值不等式及不等式取等號的條件，屬于中檔題.5、D【解析】試題分析：根據題意，甲、乙兩地的距離為a(a>0)，小王騎自行車以勻速從甲地到乙地用了20min，在乙地休息10min后，他又以勻速從乙地返回到甲地用了30min，那么可知先是勻速運動，圖像為直線，然后再休息，路程不變，那么可知時間持續10min，那么最后還是同樣的勻速運動，直線的斜率不變可知選D.考點：函數圖像點評：主要是考查了路程與時間的函數圖像的運用，屬于基礎題．6、D【解析】

設數列的前項和為，運用數列的遞推式：當時，，當時，，結合等差數列和等比數列的定義和通項公式，即可得到所求結論．【詳解】設數列的前項和為，對任意的，（為非零實數）.當時，；當時，.若，則，此時，該數列是從第二項起的等差數列；若且，不滿足，當時，，此時，該數列是從第二項起的等比數列.綜上所述，此數列為從第二項起的等比數列或等差數列.故選：D.【點睛】本題考查數列的遞推式的運用，等差數列和等比數列的定義和通項公式，考查分類討論思想和運算能力，屬于中檔題．7、A【解析】

，，向量在方向上的投影為，故選A．8、C【解析】

將函數表示為分段函數的形式，由此確定函數圖像.【詳解】依題意，.由此判斷出正確的選項為C.故選C.【點睛】本小題主要考查三角函數圖像的識別，考查分段函數解析式的求法，考查同角三角函數的基本關系式，屬于基礎題.9、A【解析】

由正弦定理可得，再結合余弦定理求解即可.【詳解】解：因為在△ABC中，sinA:sinB:sinC=4:3:2，由正弦定理可得，不妨令，由余弦定理可得，故選：A.【點睛】本題考查了正弦定理及余弦定理，重點考查了運算能力，屬基礎題.10、A【解析】

利用一元二次方程根的分布的充要條件得到關于的不等式，再由為整數，可得當取最小時，取最大，從而求得答案.【詳解】∵在上有兩個不相等的零點，∴∵，∴當取最小時，取最大，∵兩個零點的乘積小于1，∴，∵為整數，令時，，滿足.故選：A.【點睛】本題考查一元二次函數的零點，考查函數與方程思想、轉化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運算求解能力，求解時注意為整數的應用.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

由題意利用方位角的定義畫出示意圖，再利用三角形，解出的長度．【詳解】解：由題意畫出圖形為：因為，，所以，又由于某船以每小時18海里的速度向正北方向航行，經過40分鐘航行到，所以（海里）．在中，利用正弦定理得：，所以；故答案為：．【點睛】此題考查了學生對于題意的正確理解，還考查了利用正弦定理求解三角形及學生的計算能力，屬于基礎題．12、①④⑤【解析】為了得到本題答案，必須對5個圖形逐一進行判別．對于給定的正方體，l位置固定，截面MNP變動，l與面MNP是否垂直，可從正、反兩方面進行判斷．在MN、NP、MP三條線中，若有一條不垂直l，則可斷定l與面MNP不垂直；若有兩條與l都垂直，則可斷定l⊥面MNP；若有l的垂面∥面MNP，也可得l⊥面MNP．解法1作正方體ABCD－A1B1C1D1如附圖，與題設圖形對比討論．在附圖中，三個截面BA1D、EFGHKR和CB1D1都是對角線l(即AC1)的垂面．對比圖①，由MN∥BAl，MP∥BD，知面MNP∥面BAlD，故得l⊥面MNP．對比圖②，由MN與面CB1D1相交，而過交點且與l垂直的直線都應在面CBlDl內，所以MN不垂直于l，從而l不垂直于面MNP．對比圖③，由MP與面BAlD相交，知l不垂直于MN，故l不垂直于面MNP．對比圖④，由MN∥BD，MP∥BA．知面MNP∥面BA1D，故l⊥面MNP．對比圖⑤，面MNP與面EFGHKR重合，故l⊥面MNP．綜合得本題的答案為①④⑤．解法2如果記正方體對角線l所在的對角截面為．各圖可討論如下：在圖①中，MN,NP在平面上的射影為同一直線，且與l垂直，故l⊥面MNP．事實上，還可這樣考慮：l在上底面的射影是MP的垂線，故l⊥MP；l在左側面的射影是MN的垂線，故l⊥MN，從而l⊥面MNP．在圖②中，由MP⊥面，可證明MN在平面上的射影不是l的垂線，故l不垂直于MN．從而l不垂直于面MNP．在圖③中，點M在上的射影是l的中點，點P在上的射影是上底面的內點，知MP在上的射影不是l的垂線，得l不垂直于面MNP．在圖④中，平面垂直平分線段MN，故l⊥MN．又l在左側面的射影(即側面正方形的一條對角線)與MP垂直，從而l⊥MP，故l⊥面MNP．在圖⑤中，點N在平面上的射影是對角線l的中點，點M、P在平面上的射影分別是上、下底面對角線的4分點，三個射影同在一條直線上，且l與這一直線垂直．從而l⊥面MNP．至此，得①④⑤為本題答案．13、【解析】

可以利用前項的積與前項的積的關系，分別求得第三項和第五項，即可求解，得到答案.【詳解】由題意知，數列中，，且，則當時，；當時，，則，當時，；當時，，則，所以.【點睛】本題主要考查了數列的遞推關系式的應用，其中解答中熟練的應用遞推關系式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題.14、【解析】

∵，∴∴=1×[+]=1．故答案為：1．15、【解析】

由過點，求得a，代入，令，即可得到本題答案【詳解】因為的圖象過點，所以，所以，故.故答案為：-5【點睛】本題主要考查函數的解析式及利用解析式求值.16、【解析】

根據分式不等式,移項、通分并等價化簡,可得一元二次不等式.結合二次函數恒成立條件,即可求得的值.【詳解】將不等式化簡可得即的解集為空集所以對于任意都恒成立將不等式等價化為即恒成立由二次函數性質可知化簡不等式可得解得故答案為:【點睛】本題考查了分式不等式的解法,將不等式等價化為一元二次不等式,結合二次函數性質解決恒成立問題,屬于中檔題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)最小正周期為.對稱中心坐標為；(2)-1【解析】

（1）由題意兩未知數列兩方程即可求出、的值，再進行三角變換，可得的解析式，再利用正弦函數的周期公式、圖象的對稱性，即可得出結論．（2）先由條件求得的值，可得的值．【詳解】（1）由，得：，解得：，，，即函數的最小正周期為.由得：函數的對稱中心坐標為；（2）由題意得：，即，或，則或，由知：，.【點睛】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數的周期性、圖象的對稱性，以及三角函數求值．18、(1)(2)(3)存在,,或【解析】

由題設得恒成立，所以，由和知，，且，由此能推導出假設存在正整數m，r滿足題設，由，，又得，于是，由此能推導出存在正整數m，r滿足題設，，或，．【詳解】由題設得，即恒成立，所以，由題設又由得，，且，即是首項為1，公比為2的等比數列，所以即為所求．假設存在正整數m，r滿足題設，由知，顯然，又得，，即是以為首項，為公比的等比數列．于是，由得，m，，所以或15，當時，，；當時，，；綜上，存在正整數m，r滿足題設，，或，【點睛】本題主要考查了數列中參數的求法、等差數列的通項公式和以極限為載體考查數列性質的綜合運用，屬于難題．19、（Ⅰ）（Ⅱ）（）．【解析】試題分析：（Ⅰ）運用兩角和的正弦公式對f（x）化簡整理，由周期公式求ω的值；（Ⅱ）根據函數y=sinx的單調遞增區間對應求解即可.試題解析：（Ⅰ）因為，所以的最小正周期．依題意，，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）知．函數的單調遞增區間為（）．由，得．所以的單調遞增區間為（）．【考點】兩角和的正弦公式、周期公式、三角函數的單調性.【名師點睛】三角函數的單調性：1.三角函數單調區間的確定，一般先將函數式化為基本三角函數標準式，然后通過同解變形或利用數形結合方法求解．關于復合函數的單調性的求法；2.利用三角函數的單調性比較兩個同名三角函數值的大小，必須先看兩角是否同屬于這一函數的同一單調區間內，不屬于的，可先化至同一單調區間內．若不是同名三角函數，則應考慮化為同名三角函數或用差值法（例如與0比較，與1比較等）求解．20、（1）；（2）.【解析】

（1）利用點到直線的距離公式得到圓心到