高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省周口市2024屆高三二模數(shù)學(xué)試題第I卷（選擇題）一、選擇題1.已知全集，集合A滿足，則（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由，，可得或則，，，，故B項正確，A,C,D項均是錯誤的.故選：B.2.數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為（）A.8.5 B.8.6 C.8.7 D.8.8〖答案〗D〖解析〗因為，所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為從小到大排列的第、兩數(shù)的平均數(shù)，即為.故選：D3.已知數(shù)列為等比數(shù)列，且，，設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，若，則（）A.－36或36 B.－36 C.36 D.18〖答案〗C〖解析〗數(shù)列為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，且，，則，則，則，則，故選：C.4.中國南北朝時期的著作《孫子算經(jīng)》中，對同余除法有較深的研究.設(shè)，，（）為整數(shù)，若和被除得的余數(shù)相同，則稱和對模同余，記為.若，，則的值可以是（）A.2018 B.2020 C.2022 D.2024〖答案〗B〖解析〗因為，所以，所以，即被除得的余數(shù)為，結(jié)合選項可知只有被除得的余數(shù)為.故選：B.5.聲音是由物體振動產(chǎn)生的聲波,其中包含著正弦函數(shù).純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù),但我們平時聽到的樂音不止是一個音在響，而是許多個音的結(jié)合，稱為復(fù)合音.若一個復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的一個周期為 B.的最大值為C.的圖象關(guān)于點對稱 D.在區(qū)間上有2個零點〖答案〗D〖解析〗對于A,因為的周期為，的周期為，所以的周期為，故A錯誤；對于B,因為函數(shù)的最大值為1,的最大值為，故兩個函數(shù)同時取最大值時，的最大值為，此時需滿足且，不能同時成立，故最大值不能同時取到，故的最大值不為，則B錯誤；對于C，，則，故的圖象不關(guān)于點對稱，C錯誤；對于D,因為時，，又，所以或者；或者，此時，又，所以，綜上可知，在區(qū)間上有2個零點，故D正確，故選：D.6.在某次測試中，若甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級的概率分別是0.5，0.6和0.7，且三人的測試結(jié)果相互獨立，測試結(jié)束后，在甲、乙、丙三人中恰有兩人沒有達到優(yōu)秀等級的條件下，乙達到優(yōu)秀等級的概率為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗分別記甲、乙、丙三人獲得優(yōu)秀等級為事件，記甲、乙、丙三人中恰有兩人沒有達到優(yōu)秀等級為事件，記乙達到優(yōu)秀等級為事件.由題知，，所以，.所以.故選：C.7.在平面直角坐標系中，設(shè)，，動點P滿足，則的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，則，，則，即，化為，則點的軌跡為以為圓心，半徑為2的圓，又，所以三點共線，顯然當直線與此圓相切時，的值最大.又,則,則.故選：C.8.已知雙曲線C：的左、右焦點分別為、，雙曲線C的離心率為e，在第一象限存在雙曲線上的點P，滿足，且，則雙曲線C的漸近線方程為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，則，而，所以，所以點到的距離為，又，所以，解得，即，從而，又因為，所以，在中，由余弦定理有，所以，即，解得，雙曲線C的漸近線方程為.故選：A.二、選擇題9.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為A，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點為，下列說法正確的是（）A. B.C.向量對應(yīng)復(fù)數(shù)是1 D.〖答案〗AD〖解析〗因為，所以，所以，，A正確；，B錯誤；由上可得，對應(yīng)復(fù)數(shù)為，C錯誤；，，D正確.故選：AD10.如圖，在矩形中，，點與點分別是線段與的四等分點．若把矩形卷成以為母線的圓柱的側(cè)面，使線段與重合，則以下說法正確的是（）A.直線與異面 B.平面C.直線與平面垂直 D.點到平面的距離為〖答案〗ABD〖解析〗A選項：由圖可知，平面，是平面內(nèi)不過D的直線，所以，直線與異面，A正確；B選項：由題知，是底面圓的直徑，且，所以四邊形為正方形，所以，又平面，平面，所以平面，B正確；C選項：由題知，劣弧的長為1，，所以，所以長方形的對角線不垂直，所以直線與平面不垂直，C錯誤；D選項：同上可得為正方向，所以，由圓柱性質(zhì)可知，，又，平面，所以平面，所以即為點到平面的距離，記圓的半徑為，則，得，所以，D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)的定義域為，且，為偶函數(shù)，則（）A. B.為偶函數(shù)C. D.〖答案〗ACD〖解析〗令，得，即，A正確；令，得，又，所以對任意恒成立，因為，所以不恒為0，所以，即，B錯誤；將的圖象向左平移1個單位后，再將圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變，可得的圖象，因為的圖象關(guān)于對稱，所以的圖象關(guān)于對稱，所以，又為奇函數(shù)，所以，所以，所以4為的周期.由可得，C正確；因為，，，所以，D正確.故選：ACD.第II卷（非選擇題）三、填空題12.拋物線的準線方程為，則實數(shù)a的值為______.〖答案〗〖解析〗依題可知，則，故〖答案〗為：.13.在中，的對邊分別為，已知，，，則邊______，點在線段上，且，則______．〖答案〗〖解析〗由余弦定理得：，即，，解得：（舍）或；在中，由余弦定理得：，，在中，由正弦定理得：.故〖答案〗為：；.14.已知不等式對任意的實數(shù)x恒成立，則的最大值為______.〖答案〗〖解析〗令，則，不等式可化為：對任意的實數(shù)x恒成立，即對任意的實數(shù)x恒成立.設(shè)，則，當時，，在R上單調(diào)遞增，，不合題意；當時，由可得，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，則當時，.因?qū)θ我獾膶崝?shù)x恒成立，故恒成立，即，則.令，則當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減.故，即,故的最大值為.故〖答案〗為：.四、解答題15.滎陽境內(nèi)廣武山上漢王城與霸王城之間的鴻溝，即為象棋棋盤上“楚河漢界”的歷史原型，滎陽因此被授予“中國象棋文化之鄉(xiāng)”.有甲，乙，丙三位同學(xué)進行象棋比賽，其中每局只有兩人比賽，每局比賽必分勝負，本局比賽結(jié)束后，負的一方下場.第1局由甲，乙對賽，接下來丙上場進行第2局比賽，來替換負的那個人，每次比賽負的人排到等待上場的人之后參加比賽.設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果相互獨立.（1）求前3局比賽甲都取勝的概率；（2）用X表示前3局比賽中乙獲勝的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解：（1）因各局比賽的結(jié)果相互獨立，前3局比賽甲都獲勝，則前3局甲都取勝的概率為.（2）X的所有可能取值為0，1，2，3.其中，表示第1局乙輸，第3局是乙上場，且乙輸，則；表示第1局乙輸，第3局是乙上場，且乙贏；或第1局乙贏，且第2局乙輸，則；表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙輸，則；表示第1局乙贏，且第2局乙贏，第3局乙贏，則；所以X的分布列為X0123P故X的數(shù)學(xué)期望為.16.已知函數(shù).（1）若是函數(shù)的極值點，求a的值；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：（1）函數(shù)定義域為，，因為是函數(shù)的極值點，所以，解得或，因為，所以.此時，令得，令得，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極小值點.所以.（2）.因為，所以，令得；令得；∴所以時，函數(shù)的增區(qū)間為,時函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為.17.如圖，在多面體DABCE中，是等邊三角形，，.（1）求證：；（2）若二面角為30°，求直線DE與平面ACD所成角的正弦值.（1）證明：取BC中點O，連接AO，EO.∵是等邊三角形，O為BC中點，∴，又，∴，∵，平面,∴平面，又平面AEO，∴.（2）解：連接DO，則，由，得，，又，∴，∴，又，平面,∴平面.如圖，以O(shè)為坐標原點，OA，OB，OD所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則，，，，∴，，設(shè)平面ACD的法向量為，則即取，則.∵是二面角的平面角，∴，又，∴，，則，∴直線DE與平面ACD所成角正弦值為.18.已知橢圓E：過點，且焦距為.（1）求橢圓E的標準方程；（2）過點作兩條互相垂直的弦AB，CD，設(shè)弦AB，CD的中點分別為M，N.①證明：直線MN必過定點；②若弦AB，CD的斜率均存在，求面積的最大值.（1）解：依題意有，，解得，所以橢圓的方程為.（2）①證明：設(shè)：，，，則：，聯(lián)立，故，，，故，由代替m，得，當，即時，：，過點.當，即時，，：，令，，直線MN恒過點.當，經(jīng)驗證直線MN過點.綜上，直線MN恒過點.②解：，令，，∵在上單調(diào)遞減，∴，當且僅當，時取等號.故面積的最大值為.19.已知數(shù)列為有窮數(shù)列，且，若數(shù)列滿足如下兩個性質(zhì)，則稱數(shù)列為m的k增數(shù)列：①；②對于，使得的正整數(shù)對有k個.（1）寫出所有4的1增數(shù)列；（2）當時，若存在m的6增數(shù)列，求m的最小值；（3）若存在100的k增數(shù)列，求k的最大值.解：（1）由題意得，且對于，使得的正整數(shù)對有1個，由于或，故所有4的1增數(shù)列有數(shù)列1，2，1和數(shù)列1，3.（2）當時，存在m的6增數(shù)列，即，且對于，使得的正整數(shù)對有6個，所以數(shù)列的各項中必有不同的項，所以且.若，滿足要求的數(shù)列中有四項為1，一項為2，所以，不符合題意，所以.若，滿足要求的數(shù)列中有三項為1，兩項為2，此時數(shù)列為，滿足要求的正整數(shù)對分別為，符合m的6增數(shù)列，所以當時，若存在m的6增數(shù)列，m的最小值為7.（3）若數(shù)列中的每一項都相等，則，若，所以數(shù)列中存在大于1的項，若首項，將拆分成個1后k變大，所以此時k不最大值，所以.當時，若，交換，的順序后k變?yōu)椋源藭rk不是最大