第十八周面積計算（一）

專題簡析：

計算平面圖形的面積時，有些問題乍一看，在已知條件與所求問題之間找不到任何聯(lián)

系，會使你感到無從下手。這時，如果我們能認真觀察圖形，分析、研究已知條件，并加以

深化，再運用我們已有的基本幾何知識，適當(dāng)添加輔助線，搭一座連通已知條件與所求問題

的小“橋”，就會使你順利達到目的。有些平面圖形的面積計算必須借助于圖形本身的特征,

添加一些輔助線，運用平移旋轉(zhuǎn)、剪拼組合等方法，對圖形進行恰當(dāng)合理的變形，再經(jīng)過分

析推導(dǎo)，方能尋求出解題的途徑。

圖形面積）

簡單的面積計算是小學(xué)數(shù)學(xué)的一項重要內(nèi)容.要會計算面積，首先要能識別一些特別的圖

形：正方形、三角形、平行四邊形、梯形等等，然后會計算這些圖形的面積.如果我們把這

些圖形畫在方格紙上，不但容易識別，而且容易計算.

上面左圖是邊長為4的正方形，它的面積是4X4=16（格）；右圖是3X5的長方形,

上面左圖是"b銳角三角形，它的底是5,高是4,面積是5X44-2=10（格）；右圖

是一個鈍角三角形，底是4,高也是4,它的面積是4X4+2=8（格）.這里特別說明，這兩

個三角形的高線一樣長，鈍角三角形的高線有可能在三角形的外面.

上面左圖是一個平行四邊形，底是5,高是3,它的面積是5X3=15（格）；右圖是

一個梯形，上底是4,下底是7,高是4,它的面積是

（4+7）X4+2=22（格）.

上面面積計算的單位用“格”，一格就是一個小正方形.如果小正方形邊長是1厘米，1

格就是1平方厘米；如果小正方形邊長是1米，1格就是1平方米.也就是說我們設(shè)定一個方

格的邊長是1個長度單位，1格就是一個面積單位.在這一講中，我們直接用數(shù)表示長度或面

積，省略了相應(yīng)的長度單位和面積單位.

一、三角形的面積

用直線組成的圖形，都可以劃分成若干個三角形來計算面積.三角形面積的計算公式是:

三角形面積=底義高+2.

這個公式是許多面積計算的基礎(chǔ).因此我們不僅要掌握這一公式，而且要會靈活運用.

例1右圖中BD長是4,DC長是2,那么三角形ABD的面積是三角形ADC面積的多

少倍呢？

解：三角形ABD與三角形ADC的高相同.

三角形ABD面積=4X高+2.

三角形ADC面積=2X高+2.

因此三角形ABD的面積是三角形ADC面積的2倍.注意：三角形的任意一邊都可以看

作是底，這條邊上的高就是三角形的高，所以每個三角形都可看成有三個底，和相應(yīng)的三條

高.

例2右圖中，BD,DE,EC的長分別是2,4,2.F是線段AE的中點，三角形ABC的

高為4.求三角形DFE的面積.

解：BC=2+4+2=8.

三角形ABC面積=8X4+2=16.

我們把A和D連成線段，組成三角形ADE,它與三角形ABC的高相同，而DE長是4,

也是BC的一半，因此三角形ADE面積是三角形ABC面積的一半,同樣道理，EF是AE的

一半，三角形DFE面積是三角形ADE面積的一半.

這樣一來，三角形DFE的面積是三角形ABC面積的:

三角形DFE面積=16+4=4.

例3右圖中長方形的長是20,寬是12,求它的內(nèi)部陰影部分面積.

解：ABEF也是一個長方形，它內(nèi)部的三個三角形陰影部分高都與BE一樣長.

而三個三角形底邊的長加起來，就是FE的長.因此這三個三角形的面積之和是

FEXBE+2,

它恰好是長方形ABEF面積的一半.

同樣道理，F(xiàn)ECD也是長方形，它內(nèi)部三個三角形（陰影部分）面積之和是它的面積的

一半.

因此所有陰影的面積是長方形ABCD面積的一半，也就是

20X12+2=120.

通過方格紙，我們還可以從另一個途徑來求解.當(dāng)我們畫出中間兩個三角形的高線，把

每個三角形分成兩個直角三角形后，圖中每個直角三角形都是某個長方形的一半，而長方形

ABCD是由這若干個長方形拼成.因此所有這些直角三角形（陰影部分）的面積之和是長方

形ABCD面積的的一半.

例4右圖中，有四條線段的長度已經(jīng)知道，還有兩個角是直角，那么四邊形ABCD(陰

影部分)的面積是多少？

解：把A和C連成線段，四邊形ABCD就分成了兩個，三角形ABC和三角形ADC.

對三角形ABC來說，AB是底邊，高是10,因此

面積=4X10+2=20.

對三角形ADC來說，DC是底邊，高是8,因此

面積=7X8+2=28.

四邊形ABCD面積=20+28=48.

這一例題再一次告訴我們，鈍角三角形的高線有可能是在三角形的外面.

例5在邊長為6的正方形內(nèi)有一個三角形BEF,線段AE=3,DF=2,求三角形BEF

的面積.

解：要直接求出三角形BEF的面積是困難的，但容易求出下面列的三個直角三角形的

面積

三角形ABE面積=3X6X2=9.

三角形BCF面積=6X(6-2)4-2=12.

三角形DEF面積=2X(6-3)+2=3.

我們只要用正方形面積減去這三個直角三角形的面積就能算出：

三角形BEF面積=6X6-9-12-3=12.

例6在右圖中，ABCD是長方形，三條線段的長度如圖所示，M是線段DE的中點，

求四邊形ABMD(陰影部分)的面積.

解：四邊形ABMD中，已知的太少，直接求它面積是不可能的，我們設(shè)法求出三角形

DCE與三角形MBE的面積，然后用長方形ABCD的面積減去它們，由此就可以求得四邊

形ABMD的面積.

把M與C用線段連起來，將三角形DCE分成兩個三角形.三角形DCE的面積是7X2

4-2=7.

因為M是線段DE的中點，三角形DMC與三角形MCE面積相等，所以三角形MCE

面積是74-2=3.5.

因為BE=8是CE=2的4倍，三角形MBE與三角形MCE高一樣，因此三角形

MBE面積是

3.5X4=14.

長方形ABCD面積=7X（8+2）=70.

四邊形ABMD面積=70-7-14=49.

二、有關(guān)正方形的問題

先從等腰直角三角形講起.

一個直角三角形，它的兩條直角邊一樣長，這樣的直角三角形，就叫做等腰直角三角形.

它有一個直角（90度），還有兩個角都是45度，通常在一副三角尺中.有一個就是等腰直角

三角形.

兩個一樣的等腰直角三角形，可以拼成一個正方形，如圖（a）.四個一樣的等腰直角三

角形，也可以拼成一個正方形，如圖（b）.

一個等腰直角三角形，當(dāng)知道它的直角邊長，從圖（a）知，它的面積是

直角邊長的平方+2.

當(dāng)知道它的斜邊長，從圖（b）知，它的面積是

斜邊的平方+4

例7右圖由六個等腰直角三角形組成.第一個三角形兩條直角邊長是8.后一個三角形的

直角邊長，恰好是前一個斜邊長的一半，求這個圖形的面積.

解：從前面的圖形上可以知道，前一個等腰直角三角形的兩個拼成的正方形，等于后一

個等腰直角三角形四個拼成的正方形.因此后一個三角形面積是前一個三角形面積的一半，

第一個等腰直角三角形的面積是8X8+2=32.

這一個圖形的面積是

32+16+8+4+2+1=63.

例8如右圖，兩個長方形疊放在一起，小長形的寬是2,A點是大長方形一邊的中點，

并且三角形ABC是等腰直角三角形，那么圖中陰影部分的總面積是多少？

c

解：為了說明的方便，在圖上標上英文字母D,E,F,G.

三角形ABC的面積=2X2+2=2.

三角形ABC,ADE,EFG都是等腰直角三角形.

三角形ABC的斜邊，與三角形ADE的直角邊一樣長，因此三角形ADE面積=ABC面

積X2=4.

三角形EFG的斜邊與三角形ABC的直角邊一樣長.因此三角形EFG面積=ABC面積+2

=1.

陰影部分的總面積是4+1=5.

例9如右圖，已知一個四邊形ABCD的兩條邊的長度AD=7,BC=3,三個角的度數(shù):

角B和D是直角，角A是45°.求這個四邊形的面積.

解：這個圖形可以看作是一個等腰直角三角形ADE,切掉一個等腰直角三角形BCE.

因為

A是45°,角D是90°,角E是

180°-45°-90°=45°,

所以ADE是等腰直角三角形，BCE也是等腰直角三角形.

四邊形ABCD的面積，是這兩個等腰直角三角形面積之差，即

7X74-2-3X34-2=20.

這是1994小學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克決賽試題.原來試題圖上并沒有畫出虛線三角形.參賽同學(xué)

是不大容易想到把圖形補全成為等腰直角三角形.因此做對這道題的人數(shù)不多.但是有一些同

學(xué)，用直線AC把圖形分成兩個直角三角形，并認為這兩個直角三角形是一樣的，這就大錯

特錯了.這樣做，角A是45°,這一條件還用得上嗎？圖形上線段相等，兩個三角形相等,

是不能靠眼睛來測定的，必須從幾何學(xué)上找出根據(jù)，小學(xué)同學(xué)尚未學(xué)過幾何，千萬不要隨便

對圖形下結(jié)論.我們應(yīng)該從題目中已有的條件作為思考的線索.有45°和直角，你應(yīng)首先考慮

等腰直角三角形.

現(xiàn)在我們轉(zhuǎn)向正方形的問題.

例10在右圖11X15的長方形內(nèi)，有四對正方形（標號相同的兩個正方形為一對），每

一對是相同的正方形，那么中間這個小正方形（陰影部分）面積是多少？

解：長方形的寬，是“一”與“二”兩個正方形的邊長之和，長方形的長，是“一”、

“三”與“二”三個正方形的邊長之和.

長-寬=15-11=4

是“三”正方形的邊長.

寬又是兩個“三”正方形與中間小正方形的邊長之和，因此

中間小正方形邊長=11-4X2=3.

中間小正方形面積=3X3=9.

如果把這一圖形，畫在方格紙上，就一目了然了.

例11從一塊正方形土地中，劃出一塊寬為1米的長方形土地（見圖），剩下的長方形

土地面積是15.75平方米.求劃出的長方形土地的面積.

解：剩下的長方形土地，我們已知道

長-寬=1（米）.

還知道它的面積是15.75平方米，那么能否從這一面積求出長與寬之和呢？

如果能求出，那么與上面“差”的算式就形成和差問題了.

我們把長和寬拼在一起，如右圖.

從這個圖形還不能算出長與寬之和，但是再拼上同樣的兩個正方形，如下圖就拼成一個

大正方形，這個正方形的邊長，恰好是長方形的長與寬之和.

可是這個大正方形的中間還有一個空洞.它也是一個正方形，仔細觀察一下，就會發(fā)現(xiàn),

它的邊長，恰好是長方形的長與寬之差，等于1米.

現(xiàn)在，我們就可以算出大正方形面積：

15.75X4+1X1=64（平方米）.

64是8X8,大正方形邊長是8米，也就是說長方形的

長+寬=8（米）.

因此

長=（8+1）+2=4.5（米）.

寬=8一4.5=3.5（米）.

那么劃出的長方形面積是

4.5XI=4.5（平方米）.

例12如右圖.正方形ABCD與正方形EFGC并放在一起.已知小正方形EFGC的邊長是

6,求三角形AEG（陰影部分）的面積.

解：四邊形AECD是一個梯形.它的下底是AD,上底是EC,高是CD,因此

四邊形AECD面積=（小正方形邊長+大正方形邊長）X大正方形邊長+2

三角形ADG是直角三角形，它的一條直角邊長DG=（小正方形邊長+大正方形邊長），

因此

三角形ADG面積=（小正方形邊長+大正方形邊長）X大正方形邊長+2.

四邊形AECD與三角形ADG面積一樣大.四邊形AHCD是它們兩者共有，因此，三角

形AEH與三角形HCG面積相等，都加上三角形EHG面積后，就有

陰影部分面積=三角形ECG面積

=小正方形面積的一半

=6X6+2=18.

十分有趣的是，影陰部分面積，只與小正方形邊長有關(guān)，而與大正方形邊長卻沒有關(guān)系.

三、其他的面積

這一節(jié)將著重介紹求面積的常用思路和技巧.有些例題看起來不難，但可以給你啟發(fā)的

內(nèi)容不少，請讀者仔細體會.

例13畫在方格紙上的一個用粗線圍成的圖形（如右圖），求它的面積.

解：直接計算粗線圍成的面積是困難的，我們通過扣除周圍正方形和直角三角形來計

算.

周圍小正方形有3個，面積為1的三角形有5個，面積為1.5的三角形有1個，因此圍

成面積是

4X435-1.5=6.5.

例6與本題在解題思路上是完全類同的.

例14下圖中ABCD是6X8的長方形，AF長是4,求陰影部分三角形AEF的面積.

解：三角形AEF中，我們知道一邊AF,但是不知道它的高多長，直接求它的面積是

困難的.如果把它擴大到三角形AEB,底邊AB,就是長方形的長，高是長方形的寬，即BC

的長，面積就可以求出.三角形AEB的面積是長方形面積的一半，而擴大的三角形AFB是

直角三角形，它的兩條直角邊的長是知道的，很容易算出它的面積.因此

三角形AEF面積=（三角形AEB面積）-（三角形AFB面積）

=8X6^2-4X84-2

=8.

這一例題告訴我們，有時我們把難求的圖形擴大成易求的圖形，當(dāng)然擴大的部分也

要容易求出，從而間接地解決了問題.前面例9的解法，也是這種思路.

例15下左圖是一塊長方形草地，長方形的長是16,寬是1。.中間有兩條道路，一條是

長方形，一條是平行四邊形，那么有草部分的面積（陰影部分）有多大？

16

2

10

2

解：我們首先要弄清楚，平行四邊形面積有多大.平行四邊形的面積是底X高.從圖上可

以看出，底是2,高恰好是長方形的寬度.因此這個平行四邊形的面積與10X2的長方形面

積相等.

可以設(shè)想，把這個平行四邊形換成10X2的長方形，再把橫豎兩條都移至邊上（如前

頁右圖），草地部分面積（陰影部分）還是與原來一樣大小，因此

草地面積=（16-2）X（10-2）=112.

例16右圖是兩個相同的直角三角形疊在一起，求陰影部分的面積.

8

解：實際上，陰影部分是一個梯形，可是它的上底、下底和高都不知道，不能直接來

求它的面積.

陰影部分與三角形BCE合在一起，就是原直角三角形.你是否看出，ABCD也是梯形,

它和三角形BCE合在一起，也是原直角三角形.因此，梯形ABCD的面積與陰影部分面積

一樣大.梯形ABCD的上底BC,是直角邊AD的長減去3,高就是DC的長.因此陰影部分

面積等于

梯形ABCD面積=（8+8-3）X5-r2=32.5.

上面兩個例子都啟發(fā)我們，如何把不容易算的面積，換成容易算的面積，數(shù)學(xué)上這叫

等積變形.要想有這種“換”的本領(lǐng)，首先要提高對圖形的觀察能力.

例17下圖是兩個直角三角形疊放在一起形成的圖形.已知AF,FE,EC都等于3,CB,

BD都等于4.求這個圖形的面積.

解：兩個直角三角形的面積是很容易求出的.

三角形ABC面積=（3+3+3）X44-2=18.

三角形CDE面積=（4+4）X3-7-2=12.

這兩個直角三角形有一個重疊部分■四邊形BCEG,只要減去這個重疊部分，所求圖形

的面積立即可以得出.

因為AF=FE=EC=3,所以AGF,FGE,EGC是三個面積相等的三角形.

因為CB=BD=4,所以CGB,BGD是兩個面積相等的三角形.

2X三角形DEC面積

=2X2X（三角形GBC面積）+2X（三角形GCE面積）.

三角形ABC面積

=（三角形GBC面積）+3X（三角形GCE面積）.

四邊形BCEG面積

=（三角形GBC面積）+（三角形GCE面積）

=（2X12+18）4-5

=8.4.

所求圖形面積=12+18-8.4=21.6.

例18如下頁左圖，ABCG是4X7長方形，DEFG是2X10長方形.求三角形BCM與

三角形DEM面積之差.

解：三角形BCM與非陰影部分合起來是梯形ABEF.三角形DEM與非陰影部分合起來

是兩個長方形的和.

（三角形BCM面積）-（三角形DEM面積）

=（梯形ABEF面積）-（兩個長方形面積之和

=（7+10）X（4+2）4-2-（4X7+2X10）

=3.

例19上右圖中，在長方形內(nèi)畫了一些直線，已知邊上有三塊面積分別是13,35,49.

那么圖中陰影部分的面積是多少？

解：所求的影陰部分，恰好是三角形ABC與三角形CDE的公共部分，而面積為13,49,

35這三塊是長方形中沒有被三角形ABC與三角形CDE蓋住的部分，因此

（三角形ABC面積）+（三角形CDE面積）+（13+49+35）

=（長方形面積）+（陰影部分面積）.

三角形ABC,底是長方形的長，高是長方形的寬；三角形CDE,底是長方形的寬，高

是長方形的長.因此，三角形ABC面積，與三角形CDE面積，都是長方形面積的一半，就

有

陰影部分面積=13+49+35=97.

例題1。

2

已知圖18—1中，三角形ABC的面積為8平方厘米，AE=ED,BD=]BC,求陰影部

D

18-1

【思路導(dǎo)航】陰影部分為兩個三角形，但三角形AEF的面積無法直接計算。由于AE=ED,

連接DF,可知SAAEF=SAEDF（等底等高），采用移補的方法，將所求陰影部分

轉(zhuǎn)化為求三角形BDF的面積。

_2

因為BD=2BC,所以SABDF=2SADCF。又因為AE=ED,所以SAABF=SABDF=2SADCF?

因此，SAABC=5SADCF?由于SAABC=8平方厘米，所以SADCF=8+5=1.6（平方厘米），

則陰影部分的面積為1.6X2=32（平方厘米）。

練習(xí)1

1、如圖18—2所示，AE=ED,BC=3BD,SAABC=30平方厘米。求陰影部分的面積。

2、如圖18—3所示，AE=ED,DC=|BD,SAABC=21平方厘米。求陰影部分的面積。

3、如圖18—4所示，DE=JAE,BD=2DC,SAEBD=5平方厘米。求三角形ABC的面

18-318-4

18-2

例題2。

兩條對角線把梯形ABCD分割成四個三角形，如圖18—5所示，已知兩個三角形的面

積，求另兩個三角形的面積各是多少？

18-5

【思路導(dǎo)航】已知S^BOC是SZXDOC的2倍，且身相等，可知：BO=2DO；從SZXABD與SZXACD

相等（等底等局）可知：SAABO等于6,而△ABO與△AOD的IWJ相等，底是△AOD

的2倍。所以AAOD的面積為6+2=3。

因為SAABD與SAACD等底等局所以SAABO=6

因為SzXBOC是S&DOC的2倍所以△ABO是^AOD的2倍

所以△AOD=6+2=3。

答：^AOD的面積是3。

練習(xí)2

1、兩條對角線把梯形ABCD分割成四個三角形，（如圖18—6所示），已知兩個三角形的

面積，求另兩個三角形的面積是多少？

2、已知AO=goC,求梯形ABCD的面積（如圖18—7所示）。

3、已知三角形AOB的面積為15平方厘米,線段OB的長度為OD的3倍。求梯形ABCD

的面積。（如圖18-8所不）。

A/\/\0

A,______________nAl-----------------------D/XO\

—

BCB

18-618-718-8

例題3。

四邊形ABCD的對角線BD被E、F兩點三等分,且四邊形AECF的面積為15平方厘

米。求四邊形ABCD的面積（如圖18—9所示）。

E

【思路導(dǎo)航】用王/、F三等分阮），所以三角形ABE、AEF、AFD是等底等高的三角形，

它們的面積相等。同理，三角形BEC、CEF、CFD的面積也相等。由此可知，

三角形ABD的面積是三角形AEF面積的3倍,三角形BCD的面積是三角形

CEF面積的3倍，從而得出四邊形ABCD的面積是四邊形AECF面積的3倍。

15X3=45（平方厘米）

答：四邊形ABCD的面積為45平方厘米。

練習(xí)3

1、四邊形ABCD的對角線BD被E、F、G三點四等分，且四邊形AECG的面積為15平

方厘米。求四邊形ABCD的面積（如圖18—10）。

2、已知四邊形ABCD的對角線被E、F、G三點四等分，且陰影部分面積為15平方厘米。

求四邊形ABCD的面積（如圖18—11所示）。

3、如圖18—12所示，求陰影部分的面積（ABCD為正方形）。

18-12

例題4。

如圖18—13所示，B0=2D0,陰影部分的面積是4平方厘米。那么，梯形ABCD的

面積是多少平方厘米？

【思路導(dǎo)航】因為B0=2D0,取BO中點E,連接AE。根據(jù)三角形等底等高面積相等的性

質(zhì)，可知SADBC=SACDA;SACOB-SADOA_4,類推可得每個三角形的面積。所

以，

SACDO=4+2=2（平方厘米）SADAB=4X3=12平方厘米

SWABCD=12+4+2=18（平方厘米）

答：梯形ABCD的面積是18平方厘米。

練習(xí)4

1、如圖18—14所示，陰影部分面積是4平方厘米，OC=2AO。求梯形面積。

2、已知OC=2AO,SZ\BOC=14平方厘米。求梯形的面積（如圖18—15所示）。

3、已知SAAOB=6平方厘米。OC=3AO,求梯形的面積（如圖18—16所示）。

BC

o

刪題5。18-16C

如圖1㈣*所示，長方形ADEF是16,三角形ADB的面積是3,三角形ACF

的面積是4,求三角形ABC的面積。

【思路導(dǎo)航】連接AE。仔細觀察添加輔助線AE后，使問題可有如下解法。

由圖上看出：三角形ADE的面積等于長方形面積的一半（16+2）=8。用8減去3得到

三角形ABE的面積為5。同理，用8減去4得到三角形AEC的面積也為4。

因此可知三角形AEC與三角形ACF等底等高,C