遼寧省葫蘆島2024屆數學高一下期末學業水平測試試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．ΔABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知C=60°，b=6，c=3，則A=A．45° B．60° C．75° D．90°2．若平面向量a與b的夾角為60°，|b|=4，(aA．2B．4C．6D．123．已知直線與相交于點，線段是圓的一條動弦，且，則的最小值是（）A． B． C． D．4．過點且與直線垂直的直線方程是．A． B． C． D．5．已知，，則（）A．1 B．2 C． D．36．將兩個長、寬、高分別為5，4，3的長方體壘在一起，使其中兩個面完全重合，組成一個大長方體，則大長方體的外接球表面積的最大值為（）A． B． C． D．7．已知等差數列的公差為2，且是與的等比中項，則等于()A． B． C． D．8．已知，是兩個單位向量，且夾角為，則與數量積的最小值為（）A． B． C． D．9．一個幾何體的三視圖分別是一個正方形，一個矩形，一個半圓，尺寸大小如圖所示，則該幾何體的體積是()A． B． C． D．10．設全集，集合，則（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數的定義域為A，若時總有為單函數.例如，函數=2x+1（）是單函數.下列命題：①函數=（xR）是單函數；②若為單函數，且則；③若f：AB為單函數，則對于任意bB，它至多有一個原象；④函數f（x）在某區間上具有單調性，則f（x）一定是單函數.其中的真命題是.（寫出所有真命題的編號）12．已知三棱錐，平面，，，，則三棱錐的側面積__________．13．若6是-2和k的等比中項，則______.14．計算：=_______________.15．已知數列滿足則的最小值為__________.16．已知等差數列的公差為，且，其前項和為，若滿足，，成等比數列，且，則______，______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知，，．(1)求關于的表達式，并求的最小正周期；(2)若當時，的最小值為，求的值．18．習主席說：“綠水青山就是金山銀山”.某地相應號召，投入資金進行生態環境建設，并以此發展旅游產業，根據規劃，2018年投入1000萬元，以后每年投入將比上一年減少，本年度當地旅游業收入估計為500萬元，由于該項建設對旅游業的促進作用，預計今后的旅游業收入每年會比上一年增加.（1）設年內（2018年為第一年）總投入為萬元，旅游業總收入為萬元，寫出、的表達式；（2）至少到哪一年，旅游業的總收入才能超過總投入.（參考數據：，，）19．已知平面向量，，.（1）若，求的值；（2）若，與共線，求實數的值.20．已知三棱錐中，，.若平面分別與棱相交于點且平面.求證:（1）；（2）.21．已知數列滿足，.（1）證明：數列為等差數列；（2）求數列的前項和.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】

利用正弦定理求出sinB的值，由b<c得出B<C，可得出角B的值，再利用三角形的內角和定理求出角A【詳解】由正弦定理得bsinB=∵b<c，則B<C，所以，B=45°，由三角形的內角和定理得故選：C.【點睛】本題考查利用正弦定理解三角形，也考查了三角形內角和定理的應用，在解題時要注意正弦值所對的角有可能有兩角，可以利用大邊對大角定理或兩角之和小于180°2、C【解析】∵(a+2b)·(a-3b)=-72，∴3、D【解析】

由已知的所給的直線，可以判斷出直線過定點（3，1），直線過定點（1，3），兩直線互相垂直，從而可以得到的軌跡方程，設圓心為M，半徑為，作直線,可以求出的值，設圓的半徑為，求得的最小值，進而可求出的最小值.【詳解】圓的半徑為,直線與直線互相垂直，直線過定點（3，1），直線過定點（1，3），所以P點的軌跡為：設圓心為M，半徑為作直線,根據垂徑定理和勾股定理可得：，如下圖所示：的最小值就是在同一條直線上時，即則的最小值為，故本題選D.【點睛】本題考查了直線與圓相交的性質，考查了圓與圓的位置關系，考查了平面向量模的最小值求法，運用平面向量的加法的幾何意義是解題的關鍵.4、A【解析】

根據與已知直線垂直的直線系方程可假設直線為，代入點解得直線方程.【詳解】設與直線垂直的直線為：代入可得：，解得：所求直線方程為：，即本題正確選項：【點睛】本題考查利用兩條直線的垂直關系求解直線方程的問題，屬于基礎題.5、A【解析】

根據向量的坐標運算法則直接求解.【詳解】因為,,所以,所以,故選:A.【點睛】本題考查向量的坐標運算,屬于基礎題.6、B【解析】

要計算長方體的外接球表面積就是要求出外接球的半徑，根據長方體的對角線是外接球的直徑這一性質，就可以求出外接球的表面積，分類討論：（1）長寬的兩個面重合；（2）長高的兩個面重合；（3）高寬兩個面重合，分別計算出新長方體的對角線，然后分別計算出外接球的表面積，最后通過比較即可求出最大值.【詳解】（1）當長寬的兩個面重合，新的長方體的長為5，寬為4，高為6，對角線長為：，所以大長方體的外接球表面積為；（2）當長高兩個面重合，新的長方體的長5，寬為8，高為3，對角線長為：，所以大長方體的外接球表面積為；（3）當寬高兩個面重合，新的長方體的長為10，寬為4，高為3，對角線長為：，所以大長方體的外接球表面積為，顯然大長方體的外接球表面積的最大值為，故本題選B.【點睛】本題考查了長方體外接球的半徑的求法，考查了分類討論思想，考查了球的表面積計算公式，考查了數學運算能力.7、A【解析】

直接利用等差數列公式和等比中項公式得到答案.【詳解】是與的等比中項，故即解得：故選：A【點睛】本題考查了等差數列和等比中項，屬于常考題型.8、B【解析】

根據條件可得，，，然后進行數量積的運算即可.【詳解】根據條件，，，，當時，取最小值.故選：B【點睛】本題考查了向量數量積的運算，同時考查了二次函數的最值，屬于基礎題.9、C【解析】

由給定的幾何體的三視圖得到該幾何體表示一個底面半徑為1，母線長為2的半圓柱，結合圓柱的體積公式，即可求解.【詳解】由題意，根據給定的幾何體的三視圖可得：該幾何體表示一個底面半徑為1，母線長為2的半圓柱，所以該半圓柱的體積為.故選：C.【點睛】本題考查了幾何體的三視圖及體積的計算，在由三視圖還原為空間幾何體的實際形狀時，要根據三視圖的規則，空間幾何體的可見輪廓線在三視圖中為實線，不可見輪廓線在三視圖中為虛線，求解以三視圖為載體的空間幾何體的表面積與體積的關鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直觀圖中線面的位置關系和數量關系，利用相應公式求解.10、B【解析】

先求出，由此能求出．【詳解】∵全集，集合，∴，∴．故選B．【點睛】本題主要考查集合、并集、補集的運算等基本知識，體現運算能力、邏輯推理等數學核心素養．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、②③【解析】

命題①：對于函數，設，故和可能相等，也可能互為相反數，即命題①錯誤；命題②：假設，因為函為單函數，所以，與已知矛盾，故，即命題②正確；命題③：若為單函數，則對于任意，，假設不只有一個原象與其對應，設為，則，根據單函數定義，，又因為原象中元素不重復，故函數至多有一個原象，即命題③正確；命題④：函數在某區間上具有單調性，并不意味著在整個定義域上具有單調性，即命題④錯誤,綜上可知，真命題為②③.故答案為②③．12、【解析】

根據題意將三棱錐放入對應長方體中，計算各個面的面積相加得到答案.【詳解】三棱錐，平面，，，畫出圖像：易知：每個面都是直角三角形.【點睛】本題考查了三棱錐的側面積，將三棱錐放入對應的長方體是解題的關鍵.13、-18【解析】

根據等比中項的性質，列出等式可求得結果.【詳解】由等比中項的性質可得，，得.故答案為：-18【點睛】本題主要考查等比中項的性質，屬于基礎題.14、【解析】試題分析：考點：兩角和的正切公式點評：本題主要考查兩角和的正切公式變形的運用，抓住和角是特殊角，是解題的關鍵.15、【解析】

先利用累加法求出an＝1+n2﹣n，所以，設f（n），由此能導出n＝5或6時f（n）有最小值．借此能得到的最小值．【詳解】解：∵an+1﹣an＝2n，∴當n≥2時，an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝2[1+2+…+（n﹣1）]+1＝n2﹣n+1且對n＝1也適合，所以an＝n2﹣n+1．從而設f（n），令f′（n），則f（n）在上是單調遞增，在上是遞減的，因為n∈N+，所以當n＝5或6時f（n）有最小值．又因為，，所以的最小值為故答案為【點睛】本題考查了利用遞推公式求數列的通項公式，考查了累加法．還考查函數的思想，構造函數利用導數判斷函數單調性．16、2【解析】

由，可求出，再由，，成等比數列，可建立關系式，求出，進而求出即可.【詳解】由，可知，即，又，，成等比數列，所以，則，即，解得或，因為，所以，，所以.故答案為：2；.【點睛】本題考查等比數列的性質，考查等差數列前項和的求法，考查學生的計算求解能力，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）,；（2）.【解析】

（1）根據向量數量積的坐標運算及輔助角公式得：，并求出最小正周期為；（2）由，得到，從而，再根據的最小值為，求得.【詳解】（1），所以.（2）當時，則，所以，所以，解得：.【點睛】本題考查向量與三角函數的交會，求函數的最值時，要注意整體思想的運用，即先求出，再得到.18、（1），；（2）2022年【解析】

（1）根據題意，知每年投入資金和旅游業收入是等比數列，根據等比數列的前n項和公式，即可求解；（2）根據（1）中解析式，列出不等式，令，化簡不等式，即可求解.【詳解】解：（1）2018年投入為1000萬元，第年投入為萬元，所以，年內的總投入為.2018年旅游業收入為500萬元，第年旅游業收入為萬元，所以，年內的旅游業總收入為.（2）設至少經討年，旅游業的總收入才能超討總投入，由此得，即，令，代入上式得，解得或（舍去），即，不等式兩邊取常用對數，，即.∴∴至少到2022年，旅游業的總收入才能超過總投入.【點睛】本題考查等比數列求和公式，轉化法解指數不等式，考查數學建模思想方法，考查計算能力，屬于中等題型.19、（1）；（2）4.【解析】

（1）結合已知求得：，利用平面向量的模的坐標表示公式計算得解.（2）求得：，利用與共線可列方程，解方程即可.【詳解】解：（1），所以.（2），因為與共線，所以，解得.【點睛】本題主要考查了平面向量的模的坐標公式及平面向量平行的坐標關系，考查方程思想及計算能力，屬于基礎題．20、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】

（1）利用線面平行的性質定理可得線線平行，最后利用平行公理可以證明出；（2）利用線面垂直的判定定理可以證明線面垂直，利用線面垂直的性質可以證明線線垂直，利用平行線的性質，最后證明出.【詳解】證明（1）因為平面，平面平面,平面，所以有,同理可證