3.建立連續性方程第三章流體運動學1.研究流體運動的兩種方法2.介紹流線、跡線、流量等基本概念4.流體微團運動的分析5.建立旋渦運動與無旋運動的概念6.引入速度勢函數與流函數的概念§3-1研究流體運動的兩種方法流體質點(particle)-拉格朗日法兩個基本概念：空間點—歐拉法拉格朗日變量：一、拉格朗日（Lagrange)法（質點法）x=x(a,b,c,t)y=y(a,b,c,t)z=z(a,b,c,t)討論：1.當ａ，ｂ，ｃ為常數時2.若t為常數時代表一個流體質點隨時間的變化，即跡線。某一特定時刻，不同的流體質點的分布情況§3-1研究流體運動的兩種方法拉格朗日法速度和加速度(accleration)為：§3-1研究流體運動的兩種方法ｖx＝ｖx（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）ｖy＝ｖy（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）ｖz＝ｖz（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）ｐ＝ｐ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）ρ＝ρ（ｘ，ｙ，ｚ，ｔ）二、歐拉法(Euler)（空間點法）

xzyO

M（x，y，z）t時刻

x，y，z，t稱為歐拉變數

§3-1研究流體運動的兩種方法xzyO

M（x，y，z）t時刻討論：1.當x,y,z為常數時2.若t為常數時代表先后通過某一空間點的流體質點的運動情況某一特定時刻，通過不同的空間點的流體質點的流動情況若針對一個具體的質點，x，y，z，t均為變數，且有

x(t),y(t),z(t)§3-1研究流體運動的兩種方法歐拉法加速度（1）(2)t時刻,質點a位于空間點M(x,y,z)

u(x,y,z,t)xzyO§3-1研究流體運動的兩種方法加速度物理意義1）,,當地加速度或局部加速度（導數）２)變位加速度或遷移加速度xzyOt時刻，M(x,y,z)

u(x,y,z,t)t時刻，質點at’時刻，質點bt’時刻，質點a!!不是同一個質點的速度變化率§3-1研究流體運動的兩種方法BAAB2.什么情況下只有位移加速度？3.什么情況下兩部分加速度都有？1什么情況下只有局部加速度？討論：§3-1研究流體運動的兩種方法加速度的矢量式:§3-1研究流體運動的兩種方法§３-２幾個基本概念一、定常運動與非定常運動1.定常流動(steadyflow)2.非定常(non-steadyflow)BAAB定常運動與坐標的選取有關在岸邊觀察為非定常流動在船觀察為定常流動§３-２幾個基本概念二、軌跡線(pathline)1.定義：連續時間內流體質點在空間經過的曲線稱為軌跡線。著眼點是個別流體質點，與拉格朗日法相聯系2.特點：軌跡線上各點的切線方向表示的是同一流體質點在不同時刻的速度方向。§３-２幾個基本概念3.軌跡線的方程式：

一條跡線：一個流體質點在一段時間內描述的路徑。§３-２幾個基本概念三、流線(streamline)定義：流場中這樣一條連續光滑曲線：它上面每一點的切線方向與該點的速度矢量方向重合§３-２幾個基本概念§３-２幾個基本概念§３-２幾個基本概念2.流線特點流線上各點的切線方向所表示的是在同一時刻流場中這些點上的速度方向，因而流線形狀一般都隨時間而變。定常運動，流線的形狀，不隨時間變化，流體質點沿流線前進，流線與軌跡線重合。流線一般不相交流線不轉折，為光滑曲線。§３-２幾個基本概念3.流線的微分方程注意：積分時時間作為參量。§３-２幾個基本概念同一流動的跡線和流線也與坐標的選取有關§３-２幾個基本概念四、流管和流量(flowrate)（1）流管：

在流場中作一不是流線的任意微小封閉曲線C,通過C曲線上各點的流線構成的一管狀表面。§３-２幾個基本概念（2）流量：(體積流量)(volumetricflowrate)

單位時間內通過過水斷面的流體體積

（3）平均流速§３-２幾個基本概念條紋線是在一段時間內流過流場中同一點的各流體質點在某一瞬時的連線。五條紋線（煙線，脈線，色線）§３-２幾個基本概念一維，二維與三維流動1.流動維數的確定：三維流動:速度場必須表示為三個方向坐標的函數

v=v(x,y,z,t)

二維流動:速度場簡化為二個空間坐標的函數

v=v(x,y,t)或v=v(r,z,t)

一維流動:速度場可表示為一個方向坐標的函數

v=v(x)或v=v(s)§３-２幾個基本概念2.常用的流動簡化形式：(1)二維流動：平面流動軸對稱流動(2)一維流動：質點沿曲線的流動v=v(s)流體沿管道的平均速度v=v(s)§３-２幾個基本概念例3.6已知流場的速度分布為ｖx＝x+t，ｖy＝-y+t（４）ｔ＝1，過點（1,2）的加速度。試求：（１）ｔ＝0，過點（-1,-1）的跡線；（２）ｔ＝0，過點（1,2）的跡線；（３）ｔ＝０，過點（-1，-1）的流線；故經過點(-1,-1)的軌跡線方程為:解：（1）軌跡線微分方程為:跡線故過點（1，2）的軌跡線方程為:（２）ｔ＝0，過點（1,2）的跡線；（３）流線微分方程為:則過點(-1,-1)的流線方程為

跡線流線（４）加速度公式為所以ax=1+（x+t）·１＋（-y+t）·０＝３ｍ／s2ay=1+（x+t

）·０＋（-y+t

）·(-１)＝2m／s2@§３-３連續性方程式（equationofcontinuity)一、一元流動（onedimensionalflow）ρ１U１σ１＝ρ２U２σ2即可壓縮流體（compressiblefluid）

對于定常流動ρUσ＝const對于不可壓縮流體(incompressiblefluid)：截面積小的地方流速大，截面積大的地方流速小。或者二、空間運動的連續性方程式流出控制體的凈質量控制體內的質量的減少量:流出控制體的凈質量=控制體內減少的質量定常流動或不可壓縮流體，ρ＝const

或

或三、平面極坐標系中的連續方程不可壓縮流體ρ=const式中ｖｒ為徑向速度，ｖθ為圓周切向速度。定常流動四、柱面坐標系中的連續方程ｖｒ、ｖθ、ｖｚ是柱坐標ｒ，θ，ｚ軸上的速度分量。五、球面坐標系中的連續方程ｖＲ，ｖθ，ｖφ是速度在球坐標Ｒ，θ，φ軸上的分量。六、積分形式的連續性方程單位時間內經過σ流入τ內的凈質量為:τ內的流體質量為——歐拉型連續方程式的積分式——歐拉型連續方程的微分式

流體無論是理想，還是粘性流體，定常還是非定常流動均適用。§３-４流體微團運動的分析流體微團的運動形態：平移旋轉變形→線變形角變形剛體的運動：平移+旋轉平移轉動線變形角變形平面流動平移轉動線變形角變形點Ｍ（x,y,z）處的速度為Vx,Vy,Vz點Ｍ１（x＋dx，y＋dy，z＋dz）處速度一、流體微團速度分解公式（3-34）其中：二、各項的物理意義1ｅx,,ｅy、,ｅz六面體微團在ｘoｙ面上投影（1）：流體微團沿ｘ方向的應變率（2）:ｙ方向的應變率（3）:ｚ方向的應變率2γx,γy,γz單位時間內AB邊的轉角單位時間內AD邊的轉角流體微團在xy平面內剪切變形的平均角速度，或稱剪切應變率。yz平面上剪切應變率

xz平面上剪切應變率流體微團的平均旋轉角速度:——單位時間內AE的旋轉角度。AE:流體微團分角線3的物理意義代表流體微團繞過Ａ點并平行于ｚ軸的軸線旋轉的平均角速度。流體微團的運動平移運動：速度為（vx，vy，vz）；旋轉運動：角速度為（ωx，ωy，ωz）；變形運動：線變形速度（ｅx、ｅy、ｅz）

角變形速度為（γx，γy，γz

）的剪切變形運動。海姆霍茲速度分解定理平移轉動變形平移轉動線變形角變形三維流動平移

轉動

變形討論：剛體速度分解定理與流體速度分解定理的區別剛體流體平移

轉動對整個剛體成立在流體微團內成立§３-５旋渦運動與無旋運動旋渦運動（有旋運動）：流體微團有繞著穿過自身軸的轉動。無旋運動：流體微團除平移和變形以外，本身沒有旋轉。ωx＝ωy＝ωz＝０例3.2假設流線均為水平直線的均勻流動，速度分布為ｖx＝ｖ0，ｖy＝０。ωx＝ωy＝ωz＝０，無旋運動。例3.3平行剪切流動ωx＝ωy=0為有旋運動。例3.4流體像剛體一樣轉動，流線是同心圓，流場各點速度與r成正比，V=rΩ(Ω=const)ωx＝ωy＝０運動有旋例3.5流體微團作圓周運動，流動是無旋運動。§3-6速度勢函數與流函數一、速度勢函數稱為速度勢函數勢流：存在速度勢函數的流動。--無旋運動速度勢函數存在條件速度勢函數與速度之間關系:速度勢函數滿足拉普拉斯方程(對不可壓縮流體)

求解(2)

由(1)求出速度。(1)(2)

無旋流動

求解拉氏方程二、流函數1流函數存在的條件：可壓縮流體平面運動不可壓縮流體二維流動平面流動空間軸對稱不一定是無旋流動!（１）流函數和流線的關系

ψ＝const的曲線和流線重合。2流函數的性質：平面運動流線流函數注意:任何情況下都存在流線，但流函數只在少數幾種情況才存在!流線方程的解通過任意兩條流線之間(流管)的流量等于此兩流線的流函數之差值。（２）流函數和流量的關系證明（３）流函數和速度勢的關系平面不可壓縮恒定勢流，速度勢和流函數同時存在。滿足哥西—黎曼條件

Φ與Ψ是一對共軛調和函數Ψ,復變函數W(z)=Φ+i

Ψ為解析復變函數,稱為復勢函數(簡稱復勢).幾個勢流疊加后得到新的勢流

=const.

==const.等流函數線：ψ＝const的曲線（與流線重合）等勢線：

φ＝const曲線等勢線和流線互相垂直（４）無旋流動，流函數也滿足拉普拉斯方程式平面無旋運動即

平面勢流中流函數和速度勢同時滿足拉普拉斯方程。例3.8已知速度場為求：（１）流體微團的旋轉角速度；（２）流體微團的剪切變形角速度。解（１）由旋轉角度公式得：例3.9出油管與腔室軸線的夾角θ，進油速度為ｖ，若要使出油速度等于KV(ｋ為常數），腔室內活塞的移動速度應為多大