圓的方程(精練)

A夯實基礎

一、單選題

1.(2022,山西,朔州市平魯區李林中學高二階段練習)一個圓的標準方程為尤2+(尹1)2=9,

則此圓的圓心與半徑分別是()

(1,0),9(-1,0),3

(0,1),9(0,-1),3

【答案】D

【詳解】圓Y+(y+iy=9的圓心坐標為(0,—1),半徑為3.

故選：D.

2.(2022?江蘇南通?高二期中)已知圓M：%2+y2-6x+2y+5=0,則該圓的圓心坐標為

()

A.(-3,1)B.(-3,-1)C.(3,1)D.(3,-1)

【答案】D

【詳解】圓/+/一6了+2、+5=0化為標準方程得

(x-3)2+(y+l)2=5,

所以圓心坐標為(3,-1),

故選：D

3.(2022?河南?駐馬店市第二高級中學高二階段練習)圓(x+2y+(y-12)2=4關于直線

尤-y+6=0對稱的圓的方程為()

A.(尤+6)~+(y+4y=4B.(x-4y+(y+6了=4

C.(.r-4)2+(y-6)2=4D.(x-6)2+(y-4)2=4

【答案】D

【詳解】由圓的方程(工+2)2+(〉-12)2=4可得，圓心坐標(-2,12)半徑為2,

由題意可得關與直線x-V+6=0對稱的圓的圓心為(-2,12)關于直線對稱的點，半徑為2,設

〃一2Z7+12/

-----------+6=0

22

所求圓的圓心為(外切，則,解得〃=6,。=4,

b-12?

故圓的方程為(x—6)2+(y_4)2=4

故選：D

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4.(2022?海南?瓊山中學高二期中)已知方程f+y2+J贏+2y+2=0表示圓，則實數機

的取值范圍為()

A.(1,+?>)B.(2,+oo)C.(3,+oo)D.(4,-H?)

【答案】D

【詳解】因為方程/+9+詬x+2y+2=0表示圓，

所以(而了+22-4X2>0,解得機>4.

故選：D

5.(2022?北京?清華附中朝陽學校高二期中)若直線2x+y-l=0是圓/+,2-2依+“2_1=0

的一條對稱軸，則()

11

A.—■B.C.1D.—1

22

【答案】A

【詳解】由圓丁+/一2四+/-1=0,整理可得(x-a/+y2=l,則圓心為(a,0),

由題意，直線2無+，-1=。過圓心(a,0),貝1]2。+0-1=0,解得a=g,

故選：A.

6.(2022?天津益中學校高二期中)已知圓的方程必+/+2辦+9=0圓心坐標為(5,0),則

它的半徑為()

A.734B.16C.5D.4

【答案】D

【詳解】由題意，x2+y2+2<xv+9=0,(x+a)2+y2=-9+a2,圓心坐標為

(-67,0),.-.-67=5,0=-5,半徑為J-9+=4:

故選：D.

7.(2022,浙江?元濟高級中學高二期中)若點4(。,2)不在圓(x-l)2+(y+I)2=5a的外部，

則實數。的取值范圍為()

A.[1,5]B.[2,5]C.[3,5]D.[4,5]

【答案】B

【詳解】解：因為點A(a,2)不在圓(尤-1產+(丫+1)2=5.的外部,

所以(a—1)"+(2+1)-<5a且a>0,

化簡得：a2-7a+10<0

解得：2<a<5.

故選：B.

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8.（2022?寧夏?吳忠中學高二期中（理））若直線雙十力=2（，〉0/>0）經過圓

14

犬+y2—2x—2y+l=0的圓心，貝!J一+7的最小值是（）

ab

79

A.-B.4C.5D.-

22

【答案】D

【詳解】圓V+y2—2%—2y+l=0的圓心為（1,1）,

b4a

則a+b=2,14）（a+6）“丁屋5+24_9,

abab2222

24

當且僅當。=申6=3時等號成立，

故選：D

二、多選題

9.（2022?新疆?烏魯木齊市第70中高二期中）已知圓C：/+y-4丈-14丫+45=0及點。（-2,3）,

則下列說法正確的是（）

A.直線依-y-2左+1=0與圓c始終有兩個交點

B.圓C與x軸不相切

C.若點尸（九"Z+D在圓C上，則直線PQ的斜率為。

D.若M是圓C上任一點，則|"。|的取值范圍為［2忘,6拒］

【答案】BD

【詳解】依題意，圓。：。一2）2+（丫-7）2=8,圓心C（2,7）,半徑一20，

對于A,直線米-y-2A+l=0恒過定點（2,1）,而點（2,1）在圓C外，則過點（2,1）的直線與圓

C可能相離，A不正確；

對于B,點C（2,7）到x軸距離為7,大于圓C的半徑，則圓C與無軸相離，即圓C與x軸不

相切，B正確；

對于C,點尸（九7〃+1）在圓C上，則（加一2）2+（加-6）2=8,解得加=4,而點。（一2,3）,

m—21

則直線尸。的斜率為y=c不正確；

m+23

對于D,|CQ|=40，點。在圓C外，由|CQ|一r〈阿。4仁@+廠得：20W|M2|=60,D

正確.

故選：BD

10.（2022?廣東廣州?高二期中）在同一直角坐標系下，直線方+勿+c=0與圓

的位置可能為（）

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【詳解】對于ABC,由圓的圖象知圓心（。乃）位于第一象限，.b>0,

直線依+勿+。=。斜率女=一￡<0,則A正確，BC錯誤；

b

對于D,由圓的圖象知圓心位于第四象限，.二a〉。，b<0,

廠.直線ax+Z?y+c=0斜率左=一￡>0,貝！JD正確.

b

故選：AD.

11.（2022?甘肅?敦煌中學高二期中）已知點打1,2）在圓C:Y+y2+依+4y+^+i=。的外

部，則上的取值可能是（）

A.-1B.-2C.1D.2

【答案】AC

）t2+16-4（^2+l）>0

【詳解】由題意可得解得-2<左<2,

1+4+左+8+k2+1>0

故選：AC.

12.（2022?全國?高二）已知圓M的一般方程為x2+y2-8x+6y=0,則下列說法中正確的

是（）

A.圓M的圓心為（4,—3）B.圓M經過點（3,2）

C.圓M的半徑為25D.圓M不經過第二象限

【答案】AD

【詳解】對于選項A、C,

圓M的一般方程為尤2+y2-8x+6y=0,

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則圓的標準方程為（尤一4）2+（y+3）2=25.

所以圓的圓心坐標（4,-3）,半徑為5.

所以選項A正確，選項C不正確；

對于選項B,將（3,2）代入圓的方程，不滿足，所以選項B錯誤；

對于選項D,令（x-4>+（y+3）2=25中的x=0,

得（y+3）2=9,；.y+3=±3,;.y=0或y=-6,

所以圓M被y軸截得的弦長為6,所以選項D正確.

故選：AD.

三、填空題

13.（2022?上海?復旦附中高二期中）已知點尸（2,1）在圓x+2加+Q0外,

則實數A的取值范圍是

【答案][-'|'g]u（l'+00）

【詳解】由題意題設方程表示圓，貝U（4-1）2+4萬一44>。，2<g或

3

點尸在圓外，貝I」4+1+2(%—1)+2/1+2>。，A>--,

綜上，丸的范圍是（-]3，?1（1，+8）.

,31

故答案為：.

14.（2022?湖北?十堰市員邸日區第二中學高二期中）點”,N在圓f+丁+區+2y+4=0上,

且點關于直線％-y+l=。對稱，則該圓的半徑是.

【答案】1

【詳解】由》2+/+日+2〉+4=0=>5+|02+(>+1)24-3,該圓的圓心坐為（-■|,-1

因為點在圓/+丁+田+2y+4=o上，且點關于直線x-y+l=0對稱,

所以圓心卜?|,T）在x_y+l=0上，即_與_（_1）+1=0=%=4,

所以該圓的半徑為若-3=后二=1，

故答案為：1

15.（2022?四川省科學城第一中學高二期中（理））若實數x、y滿足/+產+4尤-2〉-4=。,

則產+產的最大值是.

【答案】14+675##6A/5+14

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【詳解】將方程Y+y2+4x-2y-4=0化為(x+2y+(y-l)2=9,表示以(-2,1)為圓心，半徑

為3的圓，

舊+9=7(x-0)2+(y-0)2表示圓上的點與原點之間的距離,

故始+產表示圓上的點與原點之間的距離的平方，

由(0+2)2+(0-1)2<9可知原點go)在圓內，且原點與圓心之間的距離為J(_2)2+F=占,

所以JV+y?的最大值為6+3,

所以三+產的最大值為即+3『=14+6技

故答案為：14+6省.

16.(2022?陜西?渭南市瑞泉中學高二階段練習)若直線〃優+"丁=1為圓C：

14

%2+y2—4x—2y+i=o的一條對稱軸，且加>0,K>0,則丁+—的最小值為___________.

2mn

【答案】9

【詳解】?；V+y2-4x-2y+l=0,即(x-2『+(y-l)2=4,則圓C的圓心為C(2,l),

由題意可得：C(2,l)在直線2+利=1上，則癡+72=1,

14z,/14、n8m=.In8m=八、”口，r、“n”上年口

—+-=(2m+n)—+-卜——+——+5>2——x——+5=9,當且僅當——=—時等號

2mn12mn)2mn\2mn2mn

成立，

14

故2的最小值為9.

2mn

故答案為：9.

四、解答題

17.(2022?青海?西寧北外附屬新華聯外國語高級中學有限公司高二階段練習)求滿足下列

條件的圓的方程：

⑴經過點4(3,2),8(2,@,圓心在x軸上；

(2)經過直線2尤+y+l=O與x-2y+3=0的交點，圓心為點C(-2,l).

【答案】⑴(彳-3『+丁=4

(2)(x+2)2+(y-l)2=l

(1)

,、2。，(3-m)'+4=r2\m—3

設圓的方程為(尤-機)一+產=/，由題意得：，,解得：一，所以圓的方

(2-m)+3=r[r-2

程為(％-3)2+y2=4；

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(2)

\X=-1、/、

聯立2x+y+l=0與x-2y+3=0,解得：,所以交點為,則圓的半徑為

7(-1+2)2+(1-1)2=1,所以圓的方程為(x+2)2+(y—l)2=l.

18.(2022?遼寧實驗中學高二期中)已知：40,5),B(l,-2),C(-3,-4)

(1)求ABC的面積；

(2)求ABC的外接圓方程.

【答案】⑴15

(2)(x+3)2+(y-l)2=25

【詳解】(1)由題意可得：直線AB的斜率k=牛m=-7,\AB\=^(0-1)2+(5+2)2=5后,

則直線A3的方程為y=-7%+5,即7%+y—5=0,

點C(-3,-4)到直線AB的距離d=片："5|=3夜，

<72+12

故，ABC的面積為5=3恒目、1=15.

(2)設ABC的外接圓方程為/+9+m+政+尸=0,

"25+5E+/=0fD=6

則可得<5+D-2E+F=0,解得，￡=一2,

25-3D-4￡+F=0[F=-15

故ABC的外接圓方程x~++6x-2y-15=0,即(尤+3)+(y-1)=25.

B能力提升

19.(2022,北京市懷柔區第一中學高二期中)在平面直角坐標系中，已知點40,3),8(4,0),

M(-l,0),W.0),。為原點，以為直徑作圓C.

(1)求圓C的方程；

⑵設尸是圓c上的動點，求S=|PA|2+|PB|2的最大值和最小值.

【答案】(l)f+丁=1

⑵最大值為37,最小值為17

【詳解】(1)M(-l,0),N(l,0)的中點為。(0,0)

則，以為直徑的圓C的半徑為廠=|。河|=1

所以圓C的方程為：x2+y2=l

(2)設尸(x,y),貝"2+/=1,Tg?=C°Sa(O<?<2^)

[y=sma

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貝！JS=|M+附2=X2+(y_3)2+(x_4)2+y2=2(%2+y2)_(6y+8x)+25

=27-(6)+8x)=27-(6sina+8cosa)

/\4

=27—lOsin(a+0),其中tan°=—

當sin(a+°)=-l時，S=|PA「+|P3「有最大值37.

當sin((z+0)=l時，S=|PA「+|P5「有最大值17.

20.(2022?天津市濱海新區塘沽第一中學高二期中)已知點口2,0),圓C的圓心在直線

尤-y-5=0上且與y軸切于點M(0,-2),

⑴求圓C的方程；

(2)若直線/過點P且被圓C截得的弦長為40，求直線/的方程；

⑶設點。在圓C上運動，求線段PQ的中點N的軌跡方程.

【答案】⑴原一3產+(丫+2產=9

(2)3x+4y-6=0或x=2

S9

⑶(%-5)2+。+1)2