福建省達標校2023-2024學年高考數學二模試卷

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再

選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知/,根是兩條不同的直線，機_1_平面a,則“///a■”是"/_Lzn”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

2.已知拋物線C：f=2°y(p>0)的焦點為歹(0,1),若拋物線。上的點4關于直線/：y=2x+2對稱的點臺恰好在

射線y=H(x<3)上，則直線人廠被。截得的弦長為()

91100118127

A.—B.——D.——

99~9~9

3.如果b<a<0,那么下列不等式成立的是()

ba

A.log2|Z?|<log2|^|B.I<

20

C.b3>a3D.ab<Z?2

7

4.已知A6c的內角A、B、C的對邊分別為。、b、c,且A=60°,b=3,AQ為BC邊上的中線，若AD=—,

2

則.ABC的面積為()

25A/3n15635A/3

D.-------

44-74

—XH---XX<0

5.已知函數/(%)=2',若函數g(x)=/(%)-區有三個零點，則實數上的取值范圍是()

ln(x+l),x>0

A.—flB.[萬'1]C.(0,1)D.15’+0°)

6.已知a,/是兩平面，m,〃是三條不同的直線，則不正確命題是()

A.若機_La,nila,則帆_L〃B.若機〃a,nila9貝！J

C.若LL”，IHfi,貝！)a_L/D.若砌ff,iQLfi,且〃/以，則1//0

7.復數z滿足z—l=(z+l)i(i為虛數單位)，則Z的值是()

A.1+zB.1-zC.iD.-i

8.已知mb是平面內互不相等的兩個非零向量，且同=l,d-沙與〃的夾角為150,則W的取值范圍是()

A.(0,VJ]B.[1,73]C.(0t2]D.[百,2]

4

9.已知命題夕："根=1''是"直線'—沖=0和直線％+沖=。互相垂直”的充要條件；命題公函數/(%)=%+—的

最小值為4.給出下列命題：①夕△，；②P7Q、③④(「p)A([4),其中真命題的個數為()

A.1B.2C.3D.4

10.執行下面的程序框圖，如果輸入根=1995,〃=228,則計算機輸出的數是()

(W)

//1m,、/

|求m除以[鼠東而一]

*:

II

/輸出m/

A.58B.57C.56D.55

11.函數/(x)=sin(Ox+0)的部分圖象如圖所示，則/(X)的單調遞增區間為()

-----FATT,卜kji,keZB.F2左TT,-----2kji,kRZ

4-------444

C.卜k,------Fk,keZD.------卜2k,-----卜2k,kRZ

4444

12.如圖是國家統計局公布的年入境游客(單位：萬人次)的變化情況，則下列結論錯誤的是()

A入境游客(萬人次)

14132.73

13868.53

13604.33

13340.13

13075.93

12811.73一

I2013年2014年.2015年2I01詐2I017年2I01彈

A.2014年我國入境游客萬人次最少

B.后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢

C.這6年我國入境游客萬人次的中位數大于13340萬人次

D.前3年我國入境游客萬人次數據的方差小于后3年我國入境游客萬人次數據的方差

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

《子臼，cos(a+，cosp-jnj=-^貝!Jsin[tz+?冗

13.已知a,B

44

14.如圖，機器人亮亮沿著單位網格，從A地移動到B地，每次只移動一個單位長度，則亮亮從A移動到3最近的走

法共有一種.

15.已知多項式0+2)'"0+1)"=/+。/+。2必++滿足旬=4,6=16,貝卜篦+〃=,

a0+ax+a2++am+n=-------------

16.一個袋中裝著標有數字1,2,3,4,5的小球各2個，從中任意摸取3個小球，每個小球被取出的可能性相等,

則取出的3個小球中數字最大的為4的概率是

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.(12分)已知/(X)=?%2-2X(0<X<1),求/(X)的最小值.

1InY

18.(12分)已知函數犬)=一天2---------(<2G7?),g(x)=------.

4%x

(1)當。為何值時，X軸為曲線y=/(x)的切線；

⑵用max*%”｝表示根、〃中的最大值，設函數/2(”=!11瞅｛;^(￡),格(％)｝(%>0),當0<”3時，討論〃(％)

零點的個數.

=1(。〉。〉0)的離心率為!

19.(12分)已知橢圓C：右焦點為拋物線V=4X的焦點F.

(1)求橢圓C的標準方程；

4

(2)。為坐標原點，過。作兩條射線，分別交橢圓于4、N兩點，若OM、ON斜率之積為-彳，求證：△MON

的面積為定值.

20.(12分)為了響應國家號召，促進垃圾分類，某校組織了高三年級學生參與了“垃圾分類，從我做起”的知識問卷

作答隨機抽出男女各20名同學的問卷進行打分，作出如圖所示的莖葉圖，成績大于70分的為“合格”.

(II)從上述樣本中，成績在60分以下(不含60分)的男女學生問卷中任意選2個，記來自男生的個數為X,求X

的分布列及數學期望.

附：

尸華次)0.1000.0500.0100.001

k。2.7063.8416.63510.828

心——“2+c+d

(a+b)(c+d)(a+c)(Z?+d)

21.(12分)在以ABCDEE為頂點的五面體中，底面ABC。為菱形，ZABC=120°,AB=AE=ED=2EF,

EF//AB,二面角E-AD-B為直二面角.

(I)證明：BD_LFC；

(ID求二面角A—CE—B的余弦值.

22.(10分)自湖北武漢爆發新型冠狀病毒惑染的肺炎疫情以來，武漢醫護人員和醫療、生活物資嚴重缺乏，全國各

地紛紛馳援.截至1月30日12時，湖北省累計接收捐贈物資615.43萬件，包括醫用防護服2.6萬套N95口罩47.9萬

個，醫用一次性口罩172.87萬個，護目鏡3.93萬個等.中某運輸隊接到給武漢運送物資的任務，該運輸隊有8輛載重

為6f的A型卡車，6輛載重為10f的5型卡車，10名駕駛員，要求此運輸隊每天至少運送720f物資.已知每輛卡車每

天往返的次數：A型卡車16次，B型卡車12次；每輛卡車每天往返的成本：A型卡車240元，B型卡車378元.求每

天派出A型卡車與8型卡車各多少輛，運輸隊所花的成本最低？

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、A

【解析】

根據充分條件和必要條件的定義，結合線面垂直的性質進行判斷即可.

【詳解】

當加，平面a時，若/〃a"則”，加，成立，即充分性成立，

若/_1_機，貝!)/〃a或/ua,即必要性不成立，

則”〃a”是“LL/n”充分不必要條件,

故選:A.

【點睛】

本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結合線面垂直的性質和定義是解決本題的關鍵.難度不大，屬于基礎題

2、B

【解析】

由焦點得拋物線方程，設A點的坐標為(相，一加2),根據對稱可求出點A的坐標，寫出直線AE方程，聯立拋物線求

4

交點，計算弦長即可.

【詳解】

拋物線C：x2=2py(p>0)的焦點為F(O,1),

則3=1,即2=2,

2

1,

設A點的坐標為(相，二7獷)，3點的坐標為(%11)，n<3,

4

34

,m=---

（m=63

解得c，或”（舍去）,

n=235

A(6,9)

4

直線AF的方程為y=jx+l,

設直線AF與拋物線的另一個交點為D,

2

4,x=——

y——x+1x=63

由＜3,解得<1尸9或'

1

x2=4yy=—

-9

D14r

100

.-.|AD|Jf6+ffJ9

故直線A尸被C截得的弦長為罕.

故選：B.

【點睛】

本題主要考查了拋物線的標準方程，簡單幾何性質，點關于直線對稱，屬于中檔題.

3、D

【解析】

利用函數的單調性、不等式的基本性質即可得出.

【詳解】

a

"：b<a<0,：.log|Z?|>log\a\,|,b3<a32

22Iab<b■

故選：D.

【點睛】

本小題主要考查利用函數的單調性比較大小，考查不等式的性質，屬于基礎題.

4、B

【解析】

延長AO到E,使AD=D石，連接則四邊形ABEC為平行四邊形，根據余弦定理可求出=5,進而可

得ABC的面積.

【詳解】

解：延長AD到E,使=連接則四邊形A5EC為平行四邊形,

則BE=AC=3,ZABE^ISO-60=120，AE=2AD=1,

在ZVIB石中，AE2=AB2+BE2-2AB-BEcosZABE

貝！I72=AB?+32—2xABx3xcosl20,得AB=5,

sc=-A5-AC-sin60=-x5x3x—=

ARBC2224

故選：B.

【點睛】

本題考查余弦定理的應用，考查三角形面積公式的應用，其中根據中線作出平行四邊形是關鍵，是中檔題.

5、B

【解析】

根據所給函數解析式，畫出函數圖像.結合圖像，分段討論函數的零點情況：易知％=0為g(x)=/(x)-近的一個零

點；對于當x<0時，由代入解析式解方程可求得零點，結合％<0即可求得上的范圍；對于當%>0時，結合導函數,

結合導數的幾何意義即可判斷人的范圍.綜合后可得左的范圍.

【詳解】

根據題意，畫出函數圖像如下圖所示：

函數g(x)=/(%)-履的零點，即/(x)=Ax.

由圖像可知，/(。)=。，

所以x=0是/(%)—卮=0的一個零點，

,1

當x<0時，/(%)=-%+2%,若/(X)一6=0，

則一必+工工一依=0,即％=工一左，所以工一女<0,解得!〈左；

2222

當了>0時，/(x)=ln(x+l),

貝(1廣(無)=」7,且」《0,1)

若一日=0在％>0時有一個零點，則左e(O,l),

綜上可得左(；/],

故選:B.

【點睛】

本題考查了函數圖像的畫法，函數零點定義及應用，根據零點個數求參數的取值范圍，導數的幾何意義應用，屬于中

檔題.

6、B

【解析】

根據線面平行、線面垂直和空間角的知識，判斷A選項的正確性.由線面平行有關知識判斷B選項的正確性.根據面面

垂直的判定定理，判斷C選項的正確性.根據面面平行的性質判斷D選項的正確性.

【詳解】

A.若〃//a,則在e中存在一條直線/,使得///八,m±a,lua,則加，/,又///〃，那么加，〃，故正確；

B.若mlla,nl/a,則相〃〃或相交或異面，故不正確；

C.若〃〃?，則存在au/?,使///a,又:.a±a,則。，尸，故正確.

D.若a//4,且///a,則/u￡或〃/4,又由/a":.111/3,故正確.

故選：B

【點睛】

本小題主要考查空間線線、線面和面面有關命題真假性的判斷，屬于基礎題.

7、C

【解析】

直接利用復數的除法的運算法則化簡求解即可.

【詳解】

由2—1=（2+1"得：2=產==i

本題正確選項：C

【點睛】

本題考查復數的除法的運算法則的應用，考查計算能力.

8、C

【解析】

試題分析：如下圖所示，43=/4。=①則4。=。8=。—b，因為@一匕與b的夾角為150，即/ZMB=150°,

所以NAZ）5=30。，設=則0＜。＜150°,在三角形曲中，由正弦定理得同=」小,所以

sin30°sin。

\b\=―——xsin。=2sin。，所以0＜卜|?2,故選C.

IIsin30011

D

A

c

考點：1.向量加減法的幾何意義；2.正弦定理；3.正弦函數性質.

9、A

【解析】

先由兩直線垂直的條件判斷出命題p的真假，由基本不等式判斷命題〃的真假，從而得出p,q的非命題的真假，繼而

判斷復合命題的真假，可得出選項.

【詳解】

已知對于命題，，由1x1-〃/=0得加=±1,所以命題。為假命題;

4

關于命題q,函數/a)=x+—,

X

4I_44.__

當了＞0時，/(x)=%+—＞2./x--=4,當％=—即x=2時，取等號，

x\xx

4

當了＜0時，函數/'(x)=x+—沒有最小值，

X

所以命題q為假命題.

所以rp和rq是真命題，

所以。人4為假命題，pvq為假命題，°人飛為假命題，＞人飛為真命題，所以真命題的個數為1個.

故選：A.

【點睛】

本題考查直線的垂直的判定和基本不等式的應用，以及復合命題的真假的判斷，注意運用基本不等式時，滿足所需的

條件，屬于基礎題.

10、B

【解析】

先明確該程序框圖的功能是計算兩個數的最大公約數，再利用輾轉相除法計算即可.

【詳解】

本程序框圖的功能是計算機，”中的最大公約數，所以1995=228x8+171,

228=171x1+57,171=3x57+0,故當輸入機=1995,〃=228,則計算機輸出的數

是57.

故選：B.

【點睛】

本題考查程序框圖的功能，做此類題一定要注意明確程序框圖的功能是什么，本題是一道基礎題.

11、D

【解析】

3

由圖象可以求出周期，得到。，根據圖象過點(二,-1)可求9,根據正弦型函數的性質求出單調增區間即可.

4

【詳解】

T51

由圖象知二=7_:=1，

244

-＞2兀

所以T=2,①=—="，

2

所以_l=sin(7+0),

3IT

故。可取一，

4

37r

所以/(x)=sin(g+—-)

4

令2kn--<7ix+—<2k7V+—,k&Z,

242

m2k--<x<2k--,keZ

44

所以函數的單調遞增區間為一3+24,一9+2左,keZ

44

故選：D.

【點睛】

本題主要考查了三角函數的圖象與性質，利用“五點法”求函數解析式，屬于中檔題.

12、D

【解析】

ABD可通過統計圖直接分析得出結論，C可通過計算中位數判斷選項是否正確.

【詳解】

A.由統計圖可知：2014年入境游客萬人次最少，故正確；

B.由統計圖可知：后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢，故正確；

C.入境游客萬人次的中位數應為13340.13與13604.33的平均數，大于13340萬次，故正確；

D.由統計圖可知：前3年的入境游客萬人次相比于后3年的波動更大，所以對應的方差更大，故錯誤.

故選：D.

【點睛】

本題考查統計圖表信息的讀取以及對中位數和方差的理解，難度較易.處理問題的關鍵是能通過所給統計圖，分析出對

應的信息，對學生分析問題的能力有一定要求.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

33

13、——

65

【解析】

由已知利用同角三角函數的基本關系式可求得sin(a+尸)，sin的值，由兩角差的正弦公式即可計算得

sinf(z+j1的值.

【詳解】

5

a，

13

萬(3兀、71

.ccp2",27rBA-------G

4

sin(a+/)=—Jl—cos2(0+y?)——f

（。+尸）一（萬一^

33

=sin(cr+/?)cos0-----cos(cr+/?)sin

l13)51365

故答案為：——

65

【點睛】

本題主要考查了同角三角函數的基本關系、兩角差的正弦公式，需熟記公式，屬于基礎題.

14、80

【解析】

分三步來考查，先從A到C,再從C到。，最后從。到3,分別計算出三個步驟中對應的走法種數，然后利用分步

乘法計數原理可得出結果.

【詳解】

分三步來考查：①從A到C,則亮亮要移動兩步，一步是向右移動一個單位，一步是向上移動一個單位，此時有C；種

走法;

②從C到。，則亮亮要移動六步，其中三步是向右移動一個單位，三步是向上移動一個單位，此時有燒種走法;

③從。到3,由①可知有種走法.

由分步乘法計數原理可知，共有C；C；G=80種不同的走法.

故答案為：80.

【點睛】

本題考查格點問題的處理，考查分步乘法計數原理和組合計數原理的應用，屬于中等題.

15、572

【解析】

?；多項式(％+2『(％+1)"=%+%%+++〃根+〃廿+"滿足%=4,％=16

?,.令x=0,得2"'x1"='=4,則根=2

A(%+2nx+1)"=(x2+4x+4)(x+1)”

???該多項式的一次項系數為4G：1"+4C：-TT=16

C：T=3

:.n=3

m+n=5

2

令X=1,得(1+2)X(1+1)3=%+%+〃2H---HCLm+n=72

故答案為5,72

3

16、

10

【解析】

由題，得滿足題目要求的情況有，①有一個數字4,另外兩個數字從1,2,3里面選和②有兩個數字4,另外一個數字

從1,2,3里面選，由此即可得到本題答案.

【詳解】

滿足題目要求的情況可以分成2大類：①有一個數字4,另外兩個數字從1,2,3里面選，一共有種情況；②有

兩個數字4,另外一個數字從1,2,3里面選，一共有砥煤種情況，又從中任意摸取3個小球，有品種情況，所以

C；C：+C；C；3

取出的3個小球中數字最大的為4的概率P=

穹。10

3

故答案為：—

【點睛】

本題主要考查古典概型與組合的綜合問題，考查學生分析問題和解決問題的能力.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

a-2,a<l

17、1-

—,。21

a

【解析】

討論a=0和aw0的情況，然后再分對稱軸和區間之間的關系，最后求出最小值

【詳解】

當a=0時，f(x)=-2x,它在［0,1］上是減函數

故函數的最小值為/(1)=—2

當aw0時，函數/(%)=依z—2%的圖象思維對稱軸方程為x=：

函數的最小值為4K

當時,卜(0,1],

當0<a<l時，|>1,函數的最小值為/。)=a—2

當a<0時，1<1,函數的最小值為/。)=a—2

a-2,a<l

綜上，/(xL=<1、

——,61>1

a

【點睛】

本題主要考查了二次函數在閉區間上的最值，二次函數的性質的應用，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題。

3

18、(1)a=—；(2)見解析.

4

【解析】

f(xo)=。

(1)設切點坐標為(天,。)，然后根據<可解得實數。的值;

/'(%0)~。

\a

(2)令/(%)=獷(%)=-_?+以一；，gl(x)=xg(x)=inx(x>0),然后對實數。進行分類討論，結合工

和工(1)的符號來確定函數y=h(x)的零點個數.

【詳解】

/(x)=0

設曲線y=〃力與x軸相切于點(%o,O)，貝1,0

/'(%)=°

1

%0=5

即V解得3

14

所以，當0=(時，X軸為曲線y=/(x)的切線；

(2)令/(%)=#(%)=_工3+以_：,gx(x)=xg(x)=Inx(x>0),

則/z(x)=max{力(x),g"x)},f^x)=-3x2+a,由<'(x)=0,得％=\a

~3

當xe0,Jgj時，<'(x)>0,此時，函數y=<(x)為增函數；當xe［^|,+oo時，(九)<0,此時，函數y=工(％)

為減函數.

0<tz<3,/.0<<1.

3

①當斤，即當o<〃<w時，函數y=M%)有一個零點;

②當工"三1=0,即當a=1時，函數y=/?(X)有兩個零點；

fi、口>035,、

③當\V3),即當:<<<；時，函數y=〃(對有三個零點；

/⑴<0

④當"iJ；；,。，即當a=；時，函數y=/z(x)有兩個零點；

/⑴=。

fi、口>05,、

⑤當('3),即當/<a<3時，函數y=〃(x)只有一個零點.

/⑴〉。

as

綜上所述，當0<a<a或］<a<3時，函數y=〃(x)只有一個零點;

3S

當a=［或a=W時，函數y=〃(x)有兩個零點；

當時，函數y=〃(尤)有三個零點.

【點睛】

本題考查了利用導數的幾何意義研究切線方程和利用導數研究函數的單調性與極值，關鍵是分類討論思想的應用，屬

難題.

22

19、(1)—+^-=1；(2)見解析

54

【解析】

(1)由條件可得c=l,再根據離心率可求得。力，則可得橢圓方程；

(2)當與x軸垂直時，設直線的方程為：x=t(-45<t<45,t^0),與橢圓聯立求得的坐標，通

過OM、ON斜率之積為-§列方程可得/的值，進而可得△MQV的面積；當與x軸不垂直時，設〃(毛,％),

N(9,%)，MN的方程為、=丘+〃?，與橢圓方程聯立，利用韋達定理和OM、ON斜率之積為-彳可得

2機2=5左2+4,再利用弦長公式求出MN,以及。到的距離，通過三角形的面積公式求解.

【詳解】

(1)拋物線V=4x的焦點為b(1,0)，

C=1,

加C75

‘e=—，/.一=—，

5a5

..。=5,Z?—2>

22

橢圓方程為上+乙=1;

54

(2)(i)當MN與x軸垂直時，設直線的方程為：X=?(-A/5<Z<75,^0)

45-4

5-t2~~~5

,5

解得：t2=-,

2

(ii)當MN與x軸不垂直時，設N8,%),MN的方程為＞=履+現

y—kx+m

由＜（4+5k2）/+lOkmx+5m2-20=0,

I54

由A>0=>54?+4>蘇①

10km5m2-20

kOM-kON=~~

..%F=-g，???5%為+4%1々=°

2

即（5左2+4）玉-x2+5mk（<xl+x2）+5m=0

2

/_2\5m—2010km

\5k7+4A）-------+5mk?+5m2=0

4+5k4+542

整理得：2m2=5k2+4

代入①得：加。0

\Qkrn2<5m2-20>

=A/1+k2?I-4

4+542、4+5公,

，5左2+4—

=4氐/1+左2

4+5左2

。到MN的距離d=

S公MON=^\MN\d

_2回〃|，5公+4-"

4+5左2

2y/5|m|12ml-m2

w

=非

綜上：S^MON=?為定值?

【點睛】

本題考查橢圓方程的求解，考查直線和橢圓的位置關系，考查韋達定理的應用，考查了學生的計算能力，是中檔題.

4

20、(I)填表見解析，有95%以上的把握認為“性別”與“問卷結果”有關；(II)分布列見解析，y

【解析】

(I)根據莖葉圖填寫列聯表，計算K?=郎23.956>3.841得到答案.

1Q9

(II)X=0,l,2,計算P(X=O)=區，P(X=1)=—,P(X=2)=g,得到分布列，再計算數學期望得到答案.

【詳解】

(I)根據莖葉圖可得:

男女總計

合格101626

不合格10414

總計202040

K240(10x4-10x16)2

——?3,956>3,841,

26x14x20x2091

故有95%以上的把握認為“性別”與響卷結果””有關.

(II)從莖葉圖可知，成績在60分以下(不含60分)的男女學生人數分別是4人和2人，從中任意選2人，基本事

件總數為C；=15,X=0,l,2

尸(X=0)=G=L，P(X=l)=-^-=A,p(x=2)=-^=—=-

1515151515155

X012

182

P

1515

0xl+lx8+2x64

E(X)=

153

【點睛】

本題考查了獨立性檢驗，分布列，數學期望，意在考查學生的綜合應用能力.

21、(I)見解析(II)姮

5

【解析】

(I)連接AC,5。交于點。，取AD中點"，連結EMOMOF,證明血_L平面OFC得到答案.

(II)分別以QA03,OE為羽％z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，平