20212022學年第二學期福州市高二期中質量抽測數學試卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.直線的傾斜角是（）A.30° B.45° C.60° D.75°2.展開式中，含項的系數為（）A.15 B.20 C.60 D.3603.設是等比數列，若，，則（）A.8 B.12 C.16 D.324.4位同學到3個小區參加垃圾分類宣傳活動，每位同學只能去一個小區，則不同的安排方法共有（）A.種 B.種 C.種 D.種5.在平面直角坐標系xOy中，動點到直線的距離比它到定點的距離小1，則P的軌跡方程為（）A. B.C. D.6.在直三棱柱中，，，D為線段的中點，則點D到平面的距離為（）A. B. C.1 D.7.游泳是提高心肺功能最好的運動之一，某校大約有30%的學生肺活量達到良好等級，該校大約有20%的學生每周游泳時間超過3小時，這些人中大約有50%的人肺活量達到良好等級．現從每周游泳時間不超過3小時的學生中隨機抽查一名學生，則他的肺活量達到良好等級的概率為（）8.已知實數a，b滿足，則下列關系一定不成立的是（）A B.C. D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.如圖，在平行六面體中，，，．若，，則（）A. B.C.A，P，三點共線 D.A，P，M，D四點共面10.在流行病學中，基本傳染數是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數．初始感染者傳染個人為第一輪傳染，第一輪被傳染的個人每人再傳染個人為第二輪傳染，…．假設某種傳染病的基本傳染數，平均感染周期為7天，初始感染者為1人，則（）A.第三輪被傳染人數為16人 B.前三輪被傳染人數累計為80人C.每一輪被傳染的人數組成一個等比數列 D.被傳染人數累計達到1000人大約需要35天11.在平面直角坐標系xOy中，，，點P滿足，設點P的軌跡為C，則（）A.C的周長為 B.OP平分∠APBC.面積最大值為6 D.當時，直線BP與圓C相切12.如圖數表的構造思路源于楊輝三角，該表由若干行數字組成，每一行最左與最右的數字均為2，其余的數字都等于其“肩上”的數字之積．記第i行從左往右第j個數字為a，，則（）A.B.C.該數表中第9行的奇數項之積等于偶數項之積D.存在j，使得三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，且，則______．14已知向量，，．若，則______．15.已知某批零件的長度誤差X（單位：毫米）近似服從正態分布，從這批零件中隨機抽取一件，則事件的概率為______．附：若隨機變量，則，．16.已知雙曲線，以原點O為圓心，C的焦距為半徑的圓交x軸于A，B兩點，P，Q是圓O與C在x軸上方的兩個交點．若，則C的離心率為______．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17已知函數．（1）求的單調區間；（2）求在區間上的最大值和最小值．19.設各項均為正數的數列的前n項和為，滿足．（1）求數列的通項公式；（2）求．21.如圖，在四棱錐中，四邊形BCDE為梯形，，，平面平面BCDE，．（1）求證：平面BCDE；（2）若，求平面CAB與平面DAB夾角的余弦值．23.為響應“雙減政策”，豐富學生課余生活，某校舉辦趣味知識競答活動，每班各選派兩名同學代表班級回答4道題，每道題隨機分配給其中一個同學回答．小明，小紅兩位同學代表高二1班答題，假設每道題小明答對的概率為，小紅答對的概率為，且每道題是否答對相互獨立．記高二1班答對題目的數量為隨機變量X．（1）若，求x的分布列和數學期望；（2）若高二1班至少答對一道題的概率不小于，求p的最小值．25.已知函數．（1）求曲線在點處的切線方程；（2）當，，求a的取值范圍．27.已知點P為橢圓上一個動點，A、F分別為C的左頂點、左焦點．（1）證明：；（2）設斜率分別為，的兩條直線，均經過點A，且直線，與C分別交于E，G兩點（E，G異于點A），若，試判斷直線EG是否經過定點？若是，求出定點坐標，若不是，請說明理由．

【1題答案】【答案】B【2題答案】【答案】A【3題答案】【答案】C【4題答案】【答案】A【5題答案】【答案】D【6題答案】【答案】B【7題答案】【答案】D【8題答案】【答案】B【9題答案】【答案】BD【10題答案】【答案】CD【11題答案】【答案】ABD【12題答案】【答案】ACD【13題答案】【答案】1【14題答案】【答案】【15題答案】【答案】【16題答案】【答案】【17題答案】【答案】（1）遞增區間為和，遞減區間為（2）最大值為6，最小值為－26【小問1詳解】，由得或，由得，所以的單調遞增區間為和，的單調遞減區間為．【小問2詳解】令得或，由（1）可列下表x13+00+單調遞增取極大值單調遞減取極小值單調遞增由于，，，，得在區間上的最大值為6，最小值為－26．【19題答案】【答案】（1）（2）【小問1詳解】當時，由得，．當時，由得，兩式相減可得，化簡得，由條件得，故，得數列是以1為首項，2為公差的等差數列，從而數列的通項公式為．【小問2詳解】由（1）得，所以，得．【21題答案】【小問1詳解】因為平面平面BCDE，平面平面，，平面BCDE，所以平面AED，因為平面AED，所以，因為，，平面BCDE，所以平面BCDE．【小問2詳解】因為平面BCDE，，所以BE，DE，AE兩兩互相垂直，以E點為原點，EB，ED，EA所在直線為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系．得各點坐標分別為：、、、，得，，．設平面CAB的一個法向量為，由，，得，令得，，從而．設平面ABD的一個法向量為，由，，得，令得，，從而．，所以平面CAB與平面DAB夾角的余弦值為．【23題答案】【答案】（1）分布列見解析，數學期望為（2）【小問1詳解】X的可能取值為0，1，2，3，4．高二1班答對某道題的概率，則，．則X得分布列為X01234P則．【小問2詳解】高二1班答對某道題的概率為，答錯某道題的概率為．則，解得，所以p的最小值為．【25題答案】【答案】（1）（2）【小問1詳解】，，又，故在點處的切線方程為．【小問2詳解】當，令，得，，令，則．①若時，得，則在上單調遞增，故，所以在上單調遞增，所以，從而，不符合題意；②若，令，得．（ⅰ）若，則，當時，，在上單調遞增，從而，所以在上單調遞增，此時，不符合題意；（ⅱ）若，則，在上恒成立，所在上單調遞減，，從而在上單調遞減，所以，所以恒成立．綜上所述，a的取值范圍是．【27題答案】【小問1詳解】由條件得F坐標為，設P點坐標為，得，．，因，所以，得．【小問2詳解】設，．①當直線EG的斜率不存在時，點E，G關于x軸對稱，，互為相反數，