湖南省長沙市天心區長郡教育集團九年級（上）第一次限時檢測

數學試卷

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分）.

1.（3分）直線y=x-2與y軸的交點坐標是（）

A.（2,0）B.（-2,0）C.（0,2）D.（0,-2）

2.（3分）下列各點在函數y=一2圖象上的是（）

x

A.（-2,-3）B.（3,2）C.（-1,6）D.（-6,-1）

3.（3分）一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的截面圓半徑OB=5,截面

圓圓心O到水面的距離OC是3,則水面寬AB是（）

A.8B.5C.4D.3

4.（3分）如圖，已知AB〃CD〃EF,那么下列結論正確的是（）

AAD-BCRBC.DFcCD_BCnCD,AD

DFCECEADEFBEEFAF

5.（3分）下列兩個圖形一定相似的是（）

A.任意兩個等邊三角形B.任意兩個直角三角形

C.任意兩個等腰三角形D.兩個等腰梯形

6.（3分）一次函數y=kx-k與反比例函數y上（kWO）在同一個坐標系中的圖

x

象可能是（）

第1頁（共32頁）

關系是（）

A.相交B.相切C.相離D.無法確定

8.（3分）歷史上，雅各布?伯努利等人通過大量投擲硬幣的實驗，驗證了"正

面向上的頻率在0.5左右擺動，那么投擲一枚硬幣10次，下列說法正確的是

（）

A."正面向上”必會出現5次

B.“反面向上”必會出現5次

C."正面向上”可能不出現

D."正面向上"與"反面向上”出現的次數必定一樣，但不一定是5次

9.（3分）若點A（-5,yj,B（-3,y2）,C（2,y3）在反比例函數y=g的圖

X

象上，則yjy2，丫3的大小關系是（）

A.y1<y3<y2B.y1<y2<y3c.y3<y2<y1D.y2<y1<y3

10.（3分）"服務他人，提升自我、某學校積極開展志愿者服務活動，來自初三

的5名同學（3男2女）成立了“交通秩序維護"小分隊，若從該小分隊中任選兩

名同學進行交通秩序維護，則恰好是一男一女的概率是（）

A.1B.1C.2D.i.

6555

1L（3分）如圖，小正方形的邊長均為1,則下列圖中的三角形（陰影部分）與

△ABC相似的是（）

A.&B.Nc.

12.（3分）如圖，點A/A?依次在y=2叵（x>0）的圖象上，點%,B2依次在

第2頁（共32頁）

軸的正半軸上，若均為等邊三角形，則點的坐標為（）

x△AQB],△A?B]B2B2

A.（2.、,弓，0）B.（2、加，0）C.（3+2百，。）D.（36，0）

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）

13.（3分）有5張大小、背面都相同的卡片，正面上的數字分別是-2,-1,0,

1,2,若將這5張卡片的背面朝上洗勻后，從中任意抽取1張，那么這張卡片正

面上的數字為非負數的概率是.

14.（3分）一個扇形的圓心角為100°,面積為15ncm2,則此扇形的半徑長

為.

15.（3分）如圖，直線y=x+2與雙曲線尸k相交于點A,點A的縱坐標為3,k

的值為.

16.（3分）有四張撲克牌，分別為紅桃3,紅桃4,紅桃5,黑桃6,背面朝上

洗勻后放在桌面上，從中任取一張后記下數字和顏色，再背面朝上洗勻，然后再

從中隨機取一張，兩次都為紅桃，并且數字之和不小于8的概率為.

17.（3分）如圖所示，AABC中，D為AABC的邊AC上一點，若NABD=NACB,

AD=3,DC=1,貝|AB=.

A

BC

第3頁（共32頁）

18.（3分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，四邊形ODEF和四邊形ABCD都是

正方形，點F在

y軸的正半軸上，點C在邊DE上，反比例函數y/■的圖象過點B、E.則AB的

X

長為.

三、解答題（共66分）

19.（6分）已知反比例函數y=k（|＜關0）的圖象經過點A（-2,6）

X

（1）求這個反比例函數的關系式；

（2）判斷點B（3,-4）是否在這個反比例函數的圖象上？

20.（8分）某同學報名參加校運動會，有以下5個項目可供選擇：

徑賽項目：100m,200m,400m（分別用A］、A?、表示）；

田賽項目：跳遠，跳高（分別用巴、B2表示）.

（1）該同學從5個項目中任選一個，恰好是田賽項目的概率為；

（2）該同學從5個項目中任選兩個，利用樹狀圖或表格列舉出所有可能出現的

結果，并求恰好是一個田賽項目和一個徑賽項目的概率.

21.（8分）如圖，已知反比例函數丫=典與一次函數y=kx+b的圖象相交于A（4,

1）、B（a,2）兩點，一次函數的圖象與x軸、y軸的交點分別為E、C.

（1）求反比例函數和一次函數的解析式；

（2）若點D的坐標為（1,0）,求4ABD的面積.

第4頁（共32頁）

22.（8分）如圖，AB是。。的直徑，C是。。上一點，D在AB的延長線上，且

ZBCD=ZA.

（1）求證：CD是。。的切線；

（2）若。。的半徑為3,CD=4,求BD的長.

A

23.（8分）4ABC和ADEF是兩個等腰直角三角形，NA=ND=90。，4DEF的頂

點E位于BC的中點處.

①如圖甲，設DE與AB交于點M,EF與AC交于點N,求證：△BEMs^CNE；

②如圖乙，將4DEF繞點E旋轉，使得DE與BA的延長線交于點M,EF與AC交

于點N.求證：△ECNs^MEN.

圖甲圖乙

24.（8分）已知：如圖，在^ABC中，AB=AC,以AC為直徑的。。交AB于點M,

交BC于點N,連接AN,過點C的切線交AB的延長線于點P.

（1）求證：ZBCP=ZBAN

（2）求證：地口.

MNBP

25.（10分）月電科技有限公司用160萬元，作為新產品的研發費用，成功研制

出了一種市場急需的電子產品，已于當年投入生產并進行銷售.已知生產這種電

第5頁（共32頁）

子產品的成本為4元/件，在銷售過程中發現：每年的年銷售量y（萬件）與銷售

價格x（元/件）的關系如圖所示，其中AB為反比例函數圖象的一部分，BC為一

次函數圖象的一部分.設公司銷售這種電子產品的年利潤為s（萬元）.（注：若

上一年盈利，則盈利不計入下一年的年利潤；若上一年虧損，則虧損計作下一年

的成本.）

（1）請求出y（萬件）與x（元/件）之間的函數關系式；

（2）求出第一年這種電子產品的年利潤s（萬元）與x（元/件）之間的函數關

系式，并求出第一年年利潤的最大值.

（3）假設公司的這種電子產品第一年恰好按年利潤s（萬元）取得最大值時進

行銷售，現根據第一年的盈虧情況，決定第二年將這種電子產品每件的銷售價格

x（元）定在8元以上（x>8）,當第二年的年利潤不低于103萬元時，請結合年

利潤S（萬元）與銷售價格X（元/件）的函數示意圖，求銷售價格X（元/件）的

取值范圍.

（k為常數，且k>0）與x

8

軸從左至右依次交于A,B兩點，與y軸交于點C,經過點B的直“岑x+b

與拋物線的另一交點為D.

（1）若點D的橫坐標為-5,求拋物線的函數表達式;

（2）若在第一象限內的拋物線上有點P,使得以A,B,P為頂點的三角形與△

ABC相似,求k的值;

（3）在（1）的條件下，設F為線段BD上一點（不含端點），連接AF,一動點

M從點A出發，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F,再沿線段FD以每秒

第6頁（共32頁）

2個單位的速度運動到D后停止，當點F的坐標是多少時，，「[M在整個運動過

程中用時最少？

第7頁（共32頁）

湖南省長沙市天心區長郡教育集團九年級（上）第一次

限時檢測數學試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題（本大題共12小題，每小題3分，滿分36分）.

1.（3分）直線y=x-2與y軸的交點坐標是（）

A.（2,0）B.（-2,0）C.（0,2）D.（0,-2）

【分析】函數與y軸的交點的橫坐標為0,代入求值即可.

【解答】解：當x=0時，y=-2,則與y軸的交點坐標為（0,-2）.

故選：D.

【點評】本題考查了一次函數圖象上點的坐標特征，要知道，y軸上的點的橫坐

標為0.

2.（3分）下列各點在函數y=-§圖象上的是（）

A.（-2,-3）B.（3,2）C.（-1,6）D.（-6,-1）

【分析】根據函數y=-巨，得到xy=-6,只要將選項中的點的坐標代入上式驗

X

證即可.

【解答】解：?.?函數y=-且中,k=6,

X

???只需把各選項的橫縱坐標相乘，結果為6的即在函數圖象上.

四個選項中只有C：-1X6=-6.

故選：C.

【點評】此題主要考查對反比例函數圖象上點的坐標特征的理解和掌握，能根據

反比例函數圖象上點的坐標特征進行判斷是解此題的關鍵.

3.（3分）一條排水管的截面如圖所示，已知排水管的截面圓半徑OB=5,截面

圓圓心O到水面的距離OC是3,則水面寬AB是（）

第8頁（共32頁）

【分析】先根據勾股定理求出BC的長，再由垂徑定理得出AB=2BC,進而可得出

結論.

【解答】解：：08=5,0C=3,

BC=VOB2-OCT

—AB,

，AB=2BC=2X4=8.

故選：A.

【點評】本題考查的是垂徑定理在實際生活中的應用，有利于培養學生理論聯系

實際的能力.

4.（3分）如圖，已知AB〃CD〃EF,那么下列結論正確的是（）

AAD-BCRBC.DFcCD_BCnCD,AD

DFCECEADEFBEEFAF

【分析】根據平行線分線段成比例確定出對應線段，進行判斷即可.

【解答】解：

由平行線分線段成比例可知是被平行線所截的線段才有可能是對應線段,

.'.CD、EF不是對應線段，故C、D不正確；

BC和AD對應，CE和DF對應,

??.地衛，故A正確；

DFCE

故選：A.

第9頁（共32頁）

【點評】本題主要考查平行線段成比例定理，確定出對應線段是解題的關鍵.

5.（3分）下列兩個圖形一定相似的是（）

A.任意兩個等邊三角形B.任意兩個直角三角形

C.任意兩個等腰三角形D.兩個等腰梯形

【分析】根據圖形相似的判定判斷，如果兩個邊數相同的多邊形的對應角相等,

對應邊成比例，這兩個多邊形相似，依次判定從而得出答案.

【解答】解：A、任意兩個等邊三角形一定相似，故本選項正確，

B、任意兩個直角三角形不一定相似，故本選項錯誤，

C、任意兩個等腰三角形不一定相似，故本選項錯誤，

D、兩個等腰梯形不一定相似，故本選項錯誤，

故選：A.

【點評】本題考查了相似圖形的判定，嚴格根據定義，可以得出答案，難度適中.

6.（3分）一次函數y=kx-k與反比例函數y=k（kWO）在同一個坐標系中的圖

X

例函數的圖象對照四個選項即可得出結論.

【解答】解：當k>0時，一次函數丫=1?-1<的圖象過一、三、四象限，反比例

函數y上的圖象在一、三象限，

X

:.A、C不符合題意，B符合題意；

當k<0時，一次函數丫=1?<-1<的圖象過一、二、四象限，反比例函數的圖

象在二、四象限,

，D不符合題意.

第10頁（共32頁）

故選：B.

【點評】本題考查了反比例函數的圖象以及一次函數圖象與系數的關系，分k>

0及k<0兩種情況考慮是解題的關鍵.

7.（3分）的半徑為5,圓心0到直線I的距離為6,則直線I與。0的位置

關系是（）

A.相交B.相切C.相離D.無法確定

【分析】直接根據直線與圓的位置關系即可得出結論.

【解答】解：的半徑為5,圓心0到直線I的距離為6,5<6,

??.直線I與。0相離.

故選：C.

【點評】本題考查的是直線與圓的位置關系，熟知設。。的半徑為r,圓心。到

直線I的距離為d,當d>r時，直線I和。。相離是解答此題的關鍵.

8.（3分）歷史上，雅各布?伯努利等人通過大量投擲硬幣的實驗，驗證了"正

面向上的頻率在0.5左右擺動，那么投擲一枚硬幣10次，下列說法正確的是

（）

A."正面向上”必會出現5次

B.“反面向上”必會出現5次

C."正面向上”可能不出現

D.“正面向上"與"反面向上”出現的次數必定一樣，但不一定是5次

【分析】利用頻率估計概率時，只有做大量試驗，才能用頻率會計概率，但少數

實驗不能確定一定會出現和概率相符的結果.

【解答】解：A、"正面向上"不一定會出現5次，故本選項錯誤；

B、"反面向上"不一定會出現5次，故本選項錯誤；

C、"正面向上”可能不出現，只是幾率不太大，故本選項正確；

D、"正面向上"與"反面向上”出現的次數可能不一樣，故本選項錯誤；

故選：C.

【點評】本題考查利用頻率估計概率，大量反復試驗下頻率穩定值即概率，概率

第11頁（共32頁）

=所求情況數與總情況數之比，難度一般，要注意理解定義.

9.（3分）若點A（-5,yj,B（-3,y2）,C（2,y3）在反比例函數y=W的圖

X

象上，則y1，y2，丫3的大小關系是（）

A.y1<y3<y2B.y1<y2<y3c.y3<y2<y1D.y2<y1<y3

【分析】直接利用反比例函數圖象的分布，結合增減性得出答案.

【解答】解：,??點A（-5,yj,B（-3,y2）,C（2,y3）在反比例函數y=旦的

X

圖象上，

:AB點在第三象限，C點在第一象限，每個圖象上y隨x的增大減小，

>

；.丫3一定最大，y1y2>

?■?y2<y1<y3-

故選：D.

【點評】此題主要考查了反比例函數圖象上點的坐標特點，正確把握反比例函數

增減性是解題關鍵.

10.（3分）"服務他人，提升自我、某學校積極開展志愿者服務活動，來自初三

的5名同學（3男2女）成立了“交通秩序維護"小分隊，若從該小分隊中任選兩

名同學進行交通秩序維護，則恰好是一男一女的概率是（）

A.工B.XC.ZD.W

6555

【分析】畫出樹狀圖，然后根據概率公式列式計算即可得解.

【解答】解：根據題意畫出樹狀圖如下：

開始

男I男2男3女1女2

男2男3女1女2男1男3女1女2男1男2女1女2男1男2男3女2男1男2男3女1

一共有20種情況，恰好是一男一女的有12種情況，

所以，P（恰好是一男一女）=絲=里.

205

故選：D.

第12頁（共32頁）

【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法，用到的知識點為：概率=所求情況數與

總情況數之比.

11.（3分）如圖，小正方形的邊長均為1,則下列圖中的三角形（陰影部分）與

△ABC相似的是（）

【分析】利用△ABC中，ZACB=135°,AC=2,BC=次,然后根據兩組對應邊的比

相等且夾角對應相等的兩個三角形相似可對各選項進行判定即可.

【解答】解：在^ABC中，ZACB=135°,AC=2,BC=\回，

在A、C、D選項中的三角形都沒有135。，而在B選項中，三角形的鈍角為135。，

它的兩邊分別為1和血，

因為所以B選項中的三角形與AABC相似.

V21

故選：B.

【點評】此題考查了相似三角形的判定.注意兩組對應邊的比相等且夾角對應相

等的兩個三角形相似.

12.（3分）如圖，點A］、A2依次在y=N區（x>0）的圖象上，點%,B2依次在

【分析】由于△AQB］等邊三角形，作A］C，OBj垂足為C,由等邊三角形的性

質求出ACSOC,設A的坐標為（m,在m）,根據點A是反比例函數尸三度

X

第13頁（共32頁）

(x>0)的圖象上的一點，求出BO的長度；作人2口，8尹2,垂足為D.設%D=a,

由于，△A2BR2為等邊三角形，由等邊三角形的性質及勾股定理，可用含a的代

數式分別表示點A2的橫、縱坐標，再代入反比例函數的解析式中，求出a的值,

進而得出B2點的坐標.

【解答】解：作A]C，OB],垂足為C,

???△AQB]為等邊三角形，

...NAiOB『60。，

tan60°=&二

0C

.*.A1C=VSOC,

設A1的坐標為(m,6m)，

?..點A]在(x>0)的圖象上，

X

?*.m?V3m=3V3，解得m=、/5，

/.OC=V3?

：.OB=2/3>

作AzDLBiB2,垂足為D.

設B]D=a,

r

則OD=275+a,A2D=j3a,

??A](2'-/s+a,3a).

VA2(2后a,小)在反比例函數的圖象上，

(273+a)?vr3a=3V3>

化簡得32+2,/la-3=0

解得：a=-V3±V&-

Va>0,

.*.a=-后退.

B]B2=-2/3+2,<6，

：.OQ=OB+518=2f3-2/5+2\,碎2幾，

所以點B2的坐標為(2衣，0).

故選：B.

第14頁(共32頁)

【點評】此題綜合考查了反比例函數的性質，反比例函數圖象上點的坐標特征，

正三角形的性質等多個知識點.此題難度稍大，綜合性比較強，注意對各個知識

點的靈活應用.

二、填空題（本大題共6小題，每小題3分，滿分18分）

13.（3分）有5張大小、背面都相同的卡片，正面上的數字分別是-2,-1,0,

1,2,若將這5張卡片的背面朝上洗勻后，從中任意抽取1張，那么這張卡片正

面上的數字為非負數的概率是旦.

一旦一

【分析】先求出卡片正面上的數字為非負數的有幾種情況，再根據概率公式即可

得出答案.

【解答】解：???卡片正面上的數字為非負數的有0,1,2,共三種情況，

???從中任意抽取1張，那么這張卡片正面上的數字為非負數的概率是更；

5

故答案為：1.

5

【點評】此題考查了概率公式，用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數

之比.

14.（3分）一個扇形的圓心角為100。，面積為15ncm2,則此扇形的半徑長為

31幾cm.

2

【分析】根據扇形的面積公式sHLt即可求得半徑.

360

2

【解答】解：設該扇形的半徑為R,則100兀*R=15名

360

解得R=3A/&-

即該扇形的半徑為3倔m.

故答案是：3證cm.

第15頁（共32頁）

【點評】本題考查了扇形面積的計算.正確理解公式是關鍵.

15.（3分）如圖，直線y=x+2與雙曲線yjL相交于點A,點A的縱坐標為3,k

X

的值為3.

【分析】由于點A位于兩函數圖象的交點上，故將y=3代入函數y=x+2,即可求

出A的橫坐標，從而得到A的坐標，將A的坐標代入y上即可求出k的值.

X

【解答】解：設A的坐標為（x,3）；

將（x,3）代入y=x+2得：3=x+2,

x=l,

故A點坐標為（1,3）.

將A（1,3）代入y上得：

X

k=3,

故答案為3.

【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，要充分利用兩函數有公

共點的特點，根據一次函數的解析式式求出點的坐標，再利用坐標求出反比例函

數的比例系數是解此類題目的一般規律.

16.（3分）有四張撲克牌，分別為紅桃3,紅桃4,紅桃5,黑桃6,背面朝上

洗勻后放在桌面上，從中任取一張后記下數字和顏色，再背面朝上洗勻，然后再

從中隨機取一張，兩次都為紅桃，并且數字之和不小于8的概率為1.

—^―

【分析】先畫樹狀圖展示所有12種等可能的結果數，再找出兩次都為紅桃，并

且數字之和不小于8的結果數，然后根據概率公式求解.

【解答】解：畫樹狀圖為：

第16頁（共32頁）

A456

小/1\/N

4563:6346345

共有12種等可能的結果數，其中兩次都為紅桃，并且數字之和不小于8的結果

數為4,

所以兩次都為紅桃，并且數字之和不小于8的概率=24.

123

故答案為J_.

3

【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法和樹狀圖法展示所有可能的

結果求出n,再從中選出符合事件A或B的結果數目m,求出概率.

17.（3分）如圖所示，AABC中，D為^ABC的邊AC上一點，若NABD=NACB,

AD=3,DC=1,則AB=2仆.

【分析】只要證明△ABDS^ACB,可得也必，即可解決問題;

ACAB

【解答】解：VZA=ZA,NABD=NACB,

/.△ABD^AACB,

AB_-AD

AcA_B3

AB-

AB

.?.AB2=12,

.*.AB=2',73，

故答案為273

【點評】本題考查相似三角形的判定和性質、解題的關鍵是熟練掌握相似三角形

的判定和性質，屬于中考常考題型.

第17頁（共32頁）

18.(3分)如圖，在平面直角坐標系xOy中，四邊形ODEF和四邊形ABCD都是

正方形，點F在

y軸的正半軸上，點C在邊DE上，反比例函數y=旦的圖象過點B、E.則AB的

X

長為亞-1.

【分析】設OD=a,AD=b,則點E(a,a),點B(a+b,b),由反比例函數圖象

上點的坐標特征即可得出關于a、b的二元二次方程組，解之取a、b均為正值的

解即可.

【解答】解：設OD=a,AD=b,則點E(a,a),點B(a+b,b),

:反比例函數y=旦的圖象過點B、E,

X

，解得(舍去)，(髭-2(舍去)，

[(a+b),b=4(b=v5-l\b=-V5-l(b=l+[b=l-v5

(舍去).

，AB=AD=b=得1.

故答案為：\[5~1-

【點評】本題考查了反比例函數圖象上點的坐標特征、正方形的性質以及解二元

二次方程組，根據反比例函數圖象上點的坐標特征找出關于a、b的二元二次方

程組是解題的關鍵.

三、解答題(共66分)

19.(6分)已知反比例函數y=K(kWO)的圖象經過點A(-2,6)

X

(1)求這個反比例函數的關系式；

(2)判斷點B(3,-4)是否在這個反比例函數的圖象上？

【分析】(1)首先設這個反比例函數的解析式為尸其(kWO),再把點A(-2,

X

第18頁(共32頁)

6）的坐標代入函數關系式，即可算出k的值，進而可得函數關系式；

（2）只要把點B（3,-4）代入（1）中算求的函數關系式，滿足關系式，就是

函數圖象上的點，反之則不在.

【解答】解：（1）設這個反比例函數的解析式為產包（kWO）,依題意得：

-2

Ak=-12,

這個反比例函數解析式為廠二區；

x

（2）由（1）求得：尸士，

x

當x=3時，y=-4,

??.B（3,-4）在這個函數的圖象上.

【點評】此題主要考查了利用待定系數法求反比例函數解析式，判斷點是否在函

數圖象上，題目比較簡單.

20.（8分）某同學報名參加校運動會，有以下5個項目可供選擇：

徑賽項目：（分別用、表示）；

100m,200m,400mA1Ap

田賽項目：跳遠，跳高（分別用巴、B2表示）.

（1）該同學從5個項目中任選一個，恰好是田賽項目的概率為2；

-5_-

（2）該同學從5個項目中任選兩個，利用樹狀圖或表格列舉出所有可能出現的

結果，并求恰好是一個田賽項目和一個徑賽項目的概率.

【分析】（1）由5個項目中田賽項目有2個，直接利用概率公式求解即可求得答

案；

（2）首先根據題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與恰好是

一個田賽項目和一個徑賽項目的情況，再利用概率公式即可求得答案.

【解答】解：（1）..法個項目中田賽項目有2個，

???該同學從5個項目中任選一個，恰好是田賽項目的概率為：2；

5

故答案為：2；

5

第19頁（共32頁）

（2）畫樹狀圖得:

開始

A?AB：B24A3BtAA4B：B?A,aAs244&Br

???共有20種等可能的結果，恰好是一個田賽項目和一個徑賽項目的12種情況,

???恰好是一個田賽項目和一個徑賽項目的概率為：絲至.

205

【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率.列表法或畫樹狀圖法可以

不重復不遺漏的列出所有可能的結果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法

適合兩步或兩步以上完成的事件.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況

數之比.

21.（8分）如圖，已知反比例函數丫=典與一次函數y=kx+b的圖象相交于A（4,

X

1）、B（a,2）兩點，一次函數的圖象與x軸、y軸的交點分別為E、C.

（1）求反比例函數和一次函數的解析式；

（2）若點D的坐標為（1,0）,求4ABD的面積.

【分析】（1）把點A、B的坐標代入反比例函數解析式，求得m、a的值；然后

把點A、B的坐標分別代入一次函數解析式來求k、b的值；

（2）求出直線BD的解析式為：y=2x-2,證得AB^BD,根據兩點間的距離公式

得到BD=J（2T）2+2"F，AB=V（4-2）2+（1-2）2=^,然后根據三角形的面積

公式即可得到結論.

【解答】解：（1）?.?點A（4,1）在反比例函數yW上，

/.m=xy=4X1=4,

第20頁（共32頁）

._4

??y-?

x

把B(a,2)代入y=l,得

X

2=1,

a

/.a=2,

AB(2,2).

?把A(4,1),B(2,2)代入y=kx+b

.Jl=4k+b

解得k=-y

lb=3

.一次函數的解析式為1步九

(2)過A作AE，x軸于E,

設直線BD的解析式為y=mx+n,

.f2=2m+n

??<,

O=m+n

.L尸，

ln=-2

直線BD的解析式為：y=2x-2,

,直線AB的解析式為：y=-lx+3；

2

.\AB±BD,

NABD=90°,

?.?BD=J(2T)2+2"遍,AB=7(4-2)2-|.(i-2)

??S圖B君XV?XJ廣寺

第21頁（共32頁）

【點評】本題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，待定系數法求函數的解

析式，兩點間的距離公式，三角形的面積，正確的識圖是解題的關鍵.

22.(8分)如圖，AB是。。的直徑，C是。。上一點，D在AB的延長線上，且

ZBCD=ZA.

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)若。。的半徑為3,CD=4,求BD的長.

【分析】(1)連接0C,由AB是。0的直徑可得出NACB=90。，即NACO+NOCB=90。,

由等腰三角形的性質結合NBCD=NA,即可得出NOCD=90。，即CD是。0的切線;

(2)在RtAOCD中，由勾股定理可求出0D的值，進而可得出BD的長.

【解答】解：

(1)證明：連接0C.

：AB是。。的直徑，C是。。上一點，

NACB=90°,即ZACO+ZOCB=90°.

VOA=OC,NBCD=NA,

AZACO=ZA=ZBCD,

AZBCD+ZOCB=90",即NOCD=90°,

/.CD是。0的切線.

(2)解：在RtZXOCD中，ZOCD=90°,0C=3,CD=4,

第22頁(共32頁)

【點評】本題考查了切線的判定與性質、勾股定理以及等腰三角形的性質，解題

的關鍵是：（1）通過角的計算找出NOCD=90。；（2）根據勾股定理求出0D的長

度.

23.（8分）4ABC和4DEF是兩個等腰直角三角形，NA=ND=90。，4DEF的頂

點E位于BC的中點處.

①如圖甲，設DE與AB交于點M,EF與AC交于點N,求證：△BEMs^CNE；

②如圖乙，將4DEF繞點E旋轉，使得DE與BA的延長線交于點M,EF與AC交

于點N.求證：△ECNs^MEN.

D

MF

【分析】（1）由4ABC和4DEF是兩個等腰直角三角形，NA=ND=90。，易得N

2=N4,又由NB=NC=45°,即可證得△BEMs^CNE；

（2）與（1）同理△BEMs^CNE,可得巫國L,又由BE=EC,即可得型

CNNECNNE

然后由NECN=NMEN=45°,證得△ECNs^MEN.

【解答】證明：（1）??.△ABC是等腰直角三角形，

AZB=45°,

AZl+Z2=135°

又???△DEF是等腰直角三角形，

Z3=45°

AZl+Z4=135°

.?.N2=N4,

VZB=ZC=45°,

AABEM^ACNE；

第23頁（共32頁）

(2)與(1)同理△BEMs^CNE,

???—B^―EEM.,

CN-NE

又：BE=EC,

???ECEM,

CN-NE

?EC_CN

…麗苗

XVZECN=ZMEN=45°,

/.△ECN^AMEN.

【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質以及等腰直角三角形性質.此題難

度適中，注意掌握數形結合思想的應用.

24.（8分）已知：如圖，在^ABC中，AB=AC,以AC為直徑的。。交AB于點M,

交BC于點N,連接AN,過點C的切線交AB的延長線于點P.

（1）求證：ZBCP=ZBAN

（2）求證：M=CB.

【分析】（1）由AC為。0直徑,得至UNNAC+NACN=90°,由AB=AC,得到析BAN=

NCAN,根據PC是。。的切線，得至UNACN+NPCB=90。，于是得到結論.

（2）由等腰三角形的性質得到NABC=NACB,根據圓內接四邊形的性質得到/

PBC=NAMN,證出△BPCs^MNA,即可得到結論.

【解答】（1）證明：：AC為。。直徑，

AZANC=90°,

AZNAC+ZACN=90°,

VAB=AC,

AZBAN=ZCAN,

；PC是。O的切線,

第24頁（共32頁）

ZACP=90°,

AZACN+ZPCB=90",

AZBCP=ZCAN,

AZBCP=ZBAN；

(2)VAB=AC,

，NABC=NACB,

ZPBC+ZABC=ZAMN+ZACN=180°,

，NPBC=NAMN,

由(1)知NBCP=NBAN,

.,.△BPC^AMNA,

【點評】本題考查了切線的性質，等腰三角形的性質，圓周角定理，相似三角形

的判定和性質，圓內接四邊形的性質，解此題的關鍵是熟練掌握定理.

25.（10分）月電科技有限公司用160萬元，作為新產品的研發費用，成功研制

出了一種市場急需的電子產品，已于當年投入生產并進行銷售.已知生產這種電

子產品的成本為4元/件，在銷售過程中發現：每年的年銷售量y（萬件）與銷售

價格x（元/件）的關系如圖所示，其中AB為反比例函數圖象的一部分，BC為一

次函數圖象的一部分.設公司銷售這種電子產品的年利潤為s（萬元）.（注：若

上一年盈利，則盈利不計入下一年的年利潤；若上一年虧損，則虧損計作下一年

的成本.）

（1）請求出y（萬件）與x（元/件）之間的函數關系式；

（2）求出第一年這種電子產品的年利潤s（萬元）與x（元/件）之間的函數關

系式，并求出第一年年利潤的最大值.

第25頁（共32頁）

（3）假設公司的這種電子產品第一年恰好按年利潤s（萬元）取得最大值時進

行銷售，現根據第一年的盈虧情況，決定第二年將這種電子產品每件的銷售價格

x（元）定在8元以上（x>8）,當第二年的年利潤不低于103萬元時，請結合年

利潤S（萬元）與銷售價格X（元/件）的函數示意圖，求銷售價格X（元/件）的

取值范圍.

【分析】（1）依據待定系數法，即可求出y（萬件）與x（元/件）之間的函數關

系式；

（2）分兩種情況進行討論，當x=8時，s=-80；當x=16時,s=-16；根據

m111dXImIIaX

-16>-80,可得當每件的銷售價格定為16元時，第一年年利潤的最大值為-

16萬元.

(3)根據第二年的年利潤s=(x-4)(-x+28)-16=-X2+32X-128,令s=103,

可得方程103=-X2+32X-128,解得x=ll,x=21,然后在平面直角坐標系中，

畫出s與x的函數圖象，根據圖象即可得出銷售價格x（元/件）的取值范圍.

【解答】解：（1）當4WxW8時，設丫上，將A（4,40）代入得k=4X40=160,

X

Ay與x之間的函數關系式為y=儂；

當8<xW28時，設丫=八+>將B（8,20）,C（28,0）代入得,

8k'+b=20,解得k'=-1

28kz+b=0b=28

；.y與x之間的函數關系式為y=-x+28,

—(4<x<8)

綜上所述，y=X

-x+28(8<x<28)

第26頁（共32頁）

(2)當4WxW8時，s=(x-4)y-160=(x-4)*1^-160=-

XX

當4WxW8時,s隨著X的增大而增大，

「?當x=8時，s=--80；

maxo

當8<x<28時，s=(x-4)y-160=(x-4)(-x+28)-160=-(x-16)2-16,

...當x=16時，smax=-16；

：-16>-80,

???當每件的銷售價格定為16元時，第一年年利潤的最大值為-16萬元.

(3)?.?第一年的年利潤為-16萬元,

.?.16萬元應作為第二年的成本，

又：x>8,

...第二年的年利潤s=(x-4)(-x+28)-16=-X2+32X-128,

令s=103,則103=-X2+32X-128,

解得Xfll,x=21,

在平面直角坐標系中，畫出s與x的函數示意圖可得：

觀察示意圖可知，當SN103時，ll<x<21,

??.當ll<x<21時，第二年的年利潤s不低于103萬元.

【點評】本題主要考查了反比例函數與二次函數的綜合應用，在商品經營活動中，

經常會遇到求最大利潤，最大銷量等問題，解此類題的關鍵是通過題意，確定出

二次函數的解析式，然后確定其最大值，實際問題中自變量x的取值要使實際問

題有意義；解題時注意，依據函數圖象可得函數關系式為分段函數，解決問題時

第27頁(共32頁)

需要運用分類思想以及數形結合思想進行求解.

26.（10分）如圖，已知拋物線y=K（x+2）（x-4）（k為常數，且k>0）與x

8

軸從左至右依次交于A,B兩點，與y軸交于點C,經過點B的直線y=-Yl_x+b

3

與拋物線的另一交點為D.

（1）若點D的橫坐標為-5,求拋物線的函數表達式；

（2）若在第一象限內的拋物線上有點P,使得以A,B,P為頂點的三角形與△

ABC相似，求k的值；

（3）在（1）的條件下，設F為線段BD上一點（不含端點），連接AF,一動點

M從點A出發，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F,再沿線段FD以每秒

2個單位的速度運動到D后停止，當點F的坐標是多少時，點M在整個運動過

【分析】（1）首先求出點A、B坐標，然后求出直線BD的解析式，求得點D坐

標，代入拋物線解析式，求得k的值；

（2）因為點P在第一象限內的拋物線上，所以NABP為鈍角.因此若兩個三角

形相似，只可能是△ABCs^APB或△ABCs^PAB.如答圖2,按照以上兩種情

況進行分類討論，分別計算；

（3）由題意，動點M運動的路徑為折線AF+DF,運動時間：t=AF+J_DF.如答圖

2

3,作輔助線，將AF+LDF轉化為AF+FG；再由垂線段最短，得到垂線段AH與直

2

線BD的交點，即為所求的F點.

【解答】解：（1）拋物線y上（x+2）（x-4）,

第28頁（共32頁）

令y=0,解得x=-2或x=4,

,A(-2,0),B(4,0).

:直線y=-Vix+b經過點B(4,0),

3

??.-Ylx4+b=0,解得b=3區,

33

??.直線BD解析式為：y=-Ylx+義3.

33

當x=-5時，y=3j§,

：.D(-5,3v1).

?.?點D(-5,3x/3)在拋物線尸寺(x+2)(x-4)上，

-5+2)(-5-4)=3^3>

8

?k-E隗

??i\-?

9

拋物線的函數表達式為：