陜西省漢中市實驗中學2024年下學期九年級數學開學考試

一、選擇題（共8小題）

1.在實數一VTT,0,0.67中，無理數是（）

5

A.-VTTB.-￡C.0D.0.67

5

2.3D打印技術日漸普及，用3D打印技術打印出的高精密游標卡尺，其誤差只有土

0.000063米，將0.000063用科學記數法表示為（）

A.6.3X10-5B.6.3X10-6C.0.63X10sD.6.3X106

3.下列計算正確的是()

A.4%+3%=7%2B.(―y2)?ys=—yeC.D.(y+%)(y—%)=y2—%2

4.兩個矩形的位置如圖所示，若Nl=a,則N2=()

A,a-90°B,a-45。C.180°-aD.270°-a

5.如圖，在AABC中，ZACB=90°,D、E分別是AB、AC的中點,連結DE、CD,若AC=6,

DEM,則CD的長為（）

A.7B.6C.5D,4.8

6.在平面直角坐標系中，將一次函數y=3%+m（m為常數）的圖象向上平移2個單位長

度后恰好經過原點，若點A（—1,a）在一次函數y=3%+m的圖象上，則a的值為（）

A.1B,-2C.-4D,-5

7.如圖，OA的圓心A關于弦CD的對稱點為B,且。A的半徑為3,劣弧BD的長是（）

（第7題圖）

8.拋物線丫=a（%—1）2—2（aW0）當一時，y的最大值與最小值的差為3,則a

的值為（）

A.1B.3C—或一三D.§或一三

44444

二、填空題（共5小題）

9.在AABC中，若（sinA—與2+（之一COSB）2=0,則NC的度數是.

22

10.已知一個正多邊形的一個外角為36。，則這個正多邊形的邊數是.

11.小穎同學是校園藝術節的主持人，學完黃金分割后她想，主持節目時如果站在舞

臺長的黃金分別點的位置，會讓臺下的同學們看起來效果更好，于是她將舞臺的長

看作線段AB,量得AB=8米，若點C是線段AB的黃金分割點（AC>BC）,則線段AC的

長為.

12.如圖，DOABC的頂點0是坐標原點，A在力軸的正半軸上，B,C在第一象限，反

比例函數yT的圖象經過點C,yT（kWO）的圖象經過點B.若OC=AC,則k=.

XX

13.如圖,已知OP、0Q為兩條定長的線段，0P=12,0Q=12,N0=45。，點A、C分別為

線段0Q,0P上的點（點C可與點P重合）,AB±OQ,BC〃OQ,若AB+BC=8,則四邊形

OABC面積的最大值為.

三、解答題（共13小題）

14.計算：VH+|l-V2|+（l）-i.

3

+2）—%>4

15.解不等式組：1+2”>+_1

I3

16.解分式方程：三一2二」_

x—33—x

17.如圖，已知△ABC,請用尺規作圖法在BC邊上求作一點D,使得NADB=2NCAD.（不

寫作法，保留作圖痕跡）

18.如圖，點E,F在直線BC上,AB=DF,ZA=D,NB=NF.求證:BC+BE=BF.

19.《孫子算經》是我國古代的重要數學著作，其中有這樣一道題，其大意為：今有

100頭鹿進城，每家取一頭鹿，沒有取完，剩下的鹿每3家共取一頭，恰好取完，求

城中有多少戶人家.

20.在一個不透明的箱子里裝有3個紅球和若干個白球，每個小球除顏色外完全相同，

將小球搖勻后隨機摸出一個小球，記下顏色后再放回箱子里，重復多次試驗后，經

統計發現摸到紅球的頻率大約穩定在0.75.

⑴用頻率估計概率，估計箱子里白球的個數為個.

⑵現從該箱子里隨機摸出1個小球，記下顏色后放回箱子里搖勻，再隨機摸出1個

小球，用畫樹狀圖或列表的方法記錄顏色，求兩次摸出的小球顏色恰好不同的概率.

21.小紅和小華決定利用所學數學知識測量出一棵大樹的高度.如圖，小紅在點C處，

測得大樹頂端A的仰角NACB的度數；小華豎立一根標桿并沿BC方向平移標桿，當

恰好平移到點D時，發現從標桿頂端B處到點C的視線與標桿DE所夾的角ZCED與

NACB相等，此時地面上的點F與標桿頂端E、大樹頂端A在一條直線上，測得DF=2

米，標桿DE=1.5米，CD=3米，已知B、C、D、F在一條直線上，AB±BF,DE±BF,

請你根據測量結果求出這棵大樹的高度AB.

22.某科技活動小組制作了兩款小型機器人，在同一賽道上進行試驗運行.甲機器人

離A點的距離與出發時間滿足一次函數關系，部分數據如表.乙機器人在離A點15

米處出發，以0.5米/秒的速度勻速前進，兩個機器人同時同向（遠離A點）出發并保

持前進的狀態.

出發時間（單位：秒）???510??

甲機器人離A點距離（單位：米）???1015???

⑴請分別求出甲、乙兩機器人離A點的距離與出發時間之間的函數關系式.

⑵兩機器人出發多長時間時相遇？

25.為進一步推進“雙減”政策，提升學校課后服務水平，某校增設以下拓展課程豐

富學生的課余生活，分別有A.編程，B.廚藝，C.園藝，D.禮儀.學校就“我最喜歡的

拓展課程”從以上A、B、C、D四個類別進行了抽樣調查（每位同學只選一類），并將

調查情況制成了條形統計圖和扇形統計圖，請根據圖中信息，回答下列問題.

⑴共調查了名學生；D選項所對應的圓心角度數為；請補全條形統計

圖.

⑵請你估計該校2000名學生中，有多少名學生喜歡廚藝拓展課程.

24.如圖，在AABC中，AB=AC,以AB為直徑的。。交BC于點D,連接0D.過點D作

。。的切線DE,交AC于點E,延長CA交。。于點F,連接BF.

⑴求證:DEXAC.

⑵若。。的直徑為5,cosC=t求CF的長.

25.平面直角坐標系中，已知拋物線L：y=%Nb%+c過A(0,—1),B(—3,一4)兩點.

1

(1)求該拋物線L的函數表達式.

1

⑵將該拋物線L向右平移2個單位得到拋物線L,點C是拋物線L與原拋物線L

1221

的對稱軸的交點，點D為拋物線L對稱軸上的一點，在平面直角坐標系中是否存在

2

點E,使以點B,C,D,E為頂點的四邊形是以BC為邊的菱形.若存在，請求出符合

條件的點D的坐標；若不存在，請說明理由.

⑴如圖①,在Rt^ABC中,ZB=90°,AB=3,BC=4.若點P是邊AC上一點,則BP的

最小值為.

問題探究

⑵如圖②，在RtAABC中，ZB=90°,AB=BC=2,點E是BC的中點.若點P是邊AC

上一點，試求PB+PE的最小值.

問題解決

⑶某市一濕地公園內有一條四邊形ABCD型環湖路，如圖③所示.已知AD=2000米,

CD=1000米,ZA=60°,ZB=90°,ZC=150°,為了進一步提升服務休閑功能，滿足市

民游園和健身需求，現要修一條由CE,EF,FC連接而成的步行景觀道，其中，點E,

F分別在邊AB,AD上.為了節省成本，要使所修的這條步行景觀道最短，即CE+EF+FC

的值最小，求此時BE、DF的長.（路面寬度忽略不計）

圖①圖②

陜西省漢中市實驗中學2024年下學期九年級數學開學考試

一、選擇題(共8小題)

1.在實數一VTT,0,0.67中，無理數是()

5

A.-VlTB.-￡C.0D.0.67

5

1.解：一VTT是無限不循環小數，是無理數，選A。

2.3D打印技術日漸普及，用3D打印技術打印出的高精密游標卡尺，其誤差只有土

0.000063米，將0.000063用科學記數法表示為()

A.6.3X10-5B.6.3X10-6C.0.63X105D.6.3X10s

2.解:0.000063=6.3X10-5,故選A。

3.下列計算正確的是()

A.4%+3%=7%2B.(—ya)?ys=—yeC.%6-j-%2=%3D.(y+%)(y—%)=y2—

3.解：4%+3%=7%,(—y2)?y3=-y5,46-j-%2=%4,(y+%)(y—%)=y2-42,選D。

4.兩個矩形的位置如圖所示，若Nl=a,則N2=()

A.a-90°B,a-45°C,180°-aD.2700-a

4.解：N1的補角為180。一a,該角的余角為a—90。，N2也與a—90。互余，故N

2=180°-a,選C。

5.如圖，在AABC中，ZACB=90°,D、E分別是AB、AC的中點，連結DE、CD,若AC=6,

DE=4,則CD的長為()

A.7B.6C.5D,4.8

5.解：?.?NACB=90°,D是AB的中點，，CD=AD,是AC的中點，，DE，AC,CE=3,

故CD=dCE2十DE2=5,選C。

6.在平面直角坐標系中，將一次函數y=3%+m(m為常數)的圖象向上平移2個單位長

度后恰好經過原點，若點A(—1,a)在一次函數y=3%+m的圖象上，則a的值為()

A.1B.-2C.-4D.-5

6.解：平移后的直線為y=3%+m+2,代入（0,0）得m=-2,將點A（—1,a）代入y=3%—

2得a=-5,選D。

7.如圖，OA的圓心A關于弦CD的對稱點為B,且。A的半徑為3,劣弧BD的長是（）

（第7題圖）

7.解：???點B與點A關于弦CD對稱，，CD垂直平分AB,/.AD=BD,，/AB=AD,/.△

ABD為等邊三角形，.\ZBAD=60°,劣弧BD長為］X2iiX3=m選B。

6

8.拋物線丫=2（%—1）2—2（aW0）當一時，y的最大值與最小值的差為3,則a

的值為（）

A.1B.3C.三或一三D.三或一三

44444

&解：拋物線對稱軸為%=1,當a>0時，貝|當力=—1時y=-2+3=1,代入y=a（%—1）2

—2得l=a（—l—l）2—2,解得a=￡；當a<0時，當力=—1時y=-2—3=—5,代入y=a（%

4

—1）2—2得一5-a（—1—1）2—2,解得a=-1,選C。

4

二、填空題（共5小題）

9.在AABC中,若（sinA—與2+（盛一COSB）2=0,則NC的度數是.

22

9.解：（sinA—2）2+（它一cosB）2=0,sinA—1=0,cosB=0,即sinA=l,cosB=^I,

222222

故NA=30。，NB=45。，則NC=105°。

10.已知一個正多邊形的一個外角為36。，則這個正多邊形的邊數是

10.解:邊數是360。:36。=10卜

11.小穎同學是校園藝術節的主持人，學完黃金分割后她想，主持節目時如果站在舞

臺長的黃金分別點的位置，會讓臺下的同學們看起來效果更好，于是她將舞臺的長

看作線段AB,量得AB=8米，若點C是線段AB的黃金分割點（AC>BC）,則線段AC的

長為.

11.依題意有任二軍，即王二竺左，亦即竺=匕竺，解得AC=一4±4V5（舍去負值），

ABACABAC8AC

即線段AC的長為一4+4V5米。

12.如圖，DOABC的頂點0是坐標原點，A在力軸的正半軸上，B,C在第一象限，反

比例函數y二的圖象經過點C,y=X（kWO）的圖象經過點B.若OC=AC,貝Ik=.

XX

12.解:設點C坐標為（t「），則點B坐標為（kt」）,過C作CD_LOA于D,則OD=t,BC=

tt

kt-t,\，OC=AC,.\AD=OD,\，OA=BC,.\BC=2OD=2t,即kt—t=2t,解得k=3。

13.如圖，已知OP、OQ為兩條定長的線段,0P=12,0Q=12,N0=45。，點A、C分別為

線段OQ,OP上的點（點C可與點P重合），AB±OQ,BC〃OQ,若AB+BC=8,則四邊形

OABC面積的最大值為.

（第12題圖）

13.解:過C作CDL0Q于D,?..N0=45。，，OC=CD,令OD=t,貝UOC“2t,TOCWOP,

/.V7t<12,解得tW6V2,則四邊形OABC面積=S+S=￡XtXt+t><（8—1）=

△OCD矩形ABCD2

—it2+8t=-l（t—8）2+32,為關于t的二次函數，對稱軸為t=8,開口向下，故當t=8

22

時，A、B、C共線，四邊形OABC最大面積為32。

三、解答題（共13小題）

14.計算：VH+|l-V2|+(i)-1.

3

14.解：原式=2+V2—l+3=4+VZo

，3(%+2)—%>4

15.解不等式組：?

_1_+_2_%_->-無Az_1

I3

15.解：解3(%+2)—%>4得力>—1

^-1得力W4

3

故原不等式的解集為一1<%W4。

16.解分式方程：三一2二工.

x—33—x

16.解：三一三二2

x—33—x

—二2

x—3x—3

4+5=2%-6

%二n

經檢驗，%=n是原分式方程的解。

17.如圖，已知AABC,請用尺規作圖法在BC邊上求作一點D,使得NADB=2NCAD.(不

寫作法，保留作圖痕跡)

17.解：作AC中垂線即可，如圖所示。

18.如圖，點E,F在直線BC上，AB=DF,ZA=D,NB=NF.求證:BC+BE=BF.

AD

(NA=D

18.證明：在AABC與ADFE中，AB=DF,AAABC^ADFE(ASA)

[ZB=ZF

，BC=FE,即BE+CE=CE+CF,，BE=CF

,/BF=BC+CF,.\BF=BC+BEo

19.《孫子算經》是我國古代的重要數學著作，其中有這樣一道題，其大意為：今有

100頭鹿進城，每家取一頭鹿，沒有取完，剩下的鹿每3家共取一頭，恰好取完，求

城中有多少戶人家.

19.解：設有4戶人家，依題意

%+三%=100

3

解得了=75(戶)

答：城中有75戶人家。

20.在一個不透明的箱子里裝有3個紅球和若干個白球，每個小球除顏色外完全相同，

將小球搖勻后隨機摸出一個小球，記下顏色后再放回箱子里，重復多次試驗后，經

統計發現摸到紅球的頻率大約穩定在0.75.

⑴用頻率估計概率，估計箱子里白球的個數為個.

⑵現從該箱子里隨機摸出1個小球，記下顏色后放回箱子里搖勻，再隨機摸出1個

小球，用畫樹狀圖或列表的方法記錄顏色，求兩次摸出的小球顏色恰好不同的概率.

20.解：(1)34-0.75-3=1,即估計箱子里白球的個數為1個。

⑵令3個紅球為紅1、紅2、紅3,白球為白1,所有可能出現的情況如下表

紅1紅2紅3白1

紅1紅1+紅1紅1+紅2紅1+紅3紅1+白1V

紅2紅2+紅1紅2+紅2紅2+紅3紅2+白1J

紅3紅3+紅1紅3+紅2紅3+紅3紅3+白1V

白1白1+紅1V白1+紅2V白1+紅3V白1+白1

故兩次摸出的小球顏色恰好不同的概率為

168

21.小紅和小華決定利用所學數學知識測量出一棵大樹的高度.如圖，小紅在點C處，

測得大樹頂端A的仰角NACB的度數；小華豎立一根標桿并沿BC方向平移標桿，當

恰好平移到點D時，發現從標桿頂端B處到點C的視線與標桿DE所夾的角ZCED與

NACB相等，此時地面上的點F與標桿頂端E、大樹頂端A在一條直線上，測得DF=2

米，標桿DE=1.5米，CD=3米，已知B、C、D、F在一條直線上，AB±BF,DEXBF,

請你根據測量結果求出這棵大樹的高度AB.

21.解：令AB=t米，?.,DE_LBF,AB±BF,/.DE//AB

.?.叫二藝，即/解得BD=g,RED—CD=4i_R=4t-i5

ABBFt2+BD333

VZCED=ZACB,NEDC=NCBA=90°

.?.△EDC^ACBA

.,.巴=￡￡,即1=3,解得t=6（米）

BCAB￡0一t

3

故這棵大樹的高度AB為6米。

22.某科技活動小組制作了兩款小型機器人，在同一賽道上進行試驗運行.甲機器人

離A點的距離與出發時間滿足一次函數關系，部分數據如表.乙機器人在離A點15

米處出發，以0.5米/秒的速度勻速前進，兩個機器人同時同向（遠離A點）出發并保

持前進的狀態.

出發時間（單位：秒）???510??

甲機器人離A點距離（單位：米）???1015???

⑴請分別求出甲、乙兩機器人離A點的距離與出發時間之間的函數關系式.

⑵兩機器人出發多長時間時相遇？

24.解：⑴設甲離A點的距離與出發時間之間的函數關系式為y=k%+b

分別代入（5,10）、（10,15）得

[5k+b=10

tlOk+b=15

解得k=l,b=5

故函數關系式為y=%+5

乙離A點的距離與出發時間之間的函數關系式為y=0.5%+15

⑵聯立y=%+5與y=0.5%+15得4+5=0.5%+15,解得了=20

答：兩機器人出發20秒時間時相遇。

25.為進一步推進“雙減”政策，提升學校課后服務水平，某校增設以下拓展課程豐

富學生的課余生活，分別有A.編程，B.廚藝，C.園藝，D.禮儀.學校就“我最喜歡的

拓展課程”從以上A、B、C、D四個類別進行了抽樣調查（每位同學只選一類），并將

調查情況制成了條形統計圖和扇形統計圖，請根據圖中信息，回答下列問題.

⑴共調查了名學生；D選項所對應的圓心角度數為；請補全條形統計

圖.

⑵請你估計該校2000名學生中，有多少名學生喜歡廚藝拓展課程.

23.解：(1)114-22%=50,即共調查了50名學生；B類人數為50義40%=20人，B類人

數為50—11—20—15=4人，故D選項所對應的圓心角度數為360。義士=28.8。，補全

50

條形統計圖如圖所示。

(2)2000X40%=800(名)

答：有800名學生喜歡廚藝拓展課程。

24.如圖，在AABC中，AB=AC,以AB為直徑的。。交BC于點D,連接0D.過點D作

。。的切線DE,交AC于點E,延長CA交于點F,連接BF.

⑴求證:DEXAC.

⑵若。。的直徑為5,cosC=t求CF的長.

V0B=0D,/.ZABD=Z0DB,/.ZC=Z0DB

???AB。。的直徑，AADXBC,/.ZAD0+Z0DB=90°

?「DE是。。的切線，ZAD0+ZADE=90°,，N0DB=NADE,/.ZC=ZADE

NADE+NCDE=ZADC=90°,/.ZC+ZCDE=90°,則ZCED=90°

故DEXAC

(2)VZABD=ZC,/.cosZABD=^￡=cosC=t即外=3解得BD=4

AB555

VAB=AC,AD±BC,;.BC=2BD=8

VBFXAF,/.cosC=2￡=t解得CF=至。

BC55

25.平面直角坐標系中，已知拋物線L：y=%Nb%+c過A(0,—l)、B(—3,—4)兩點.

1

(1)求該拋物線L的函數表達式.

1

⑵將該拋物線L向右平移2個單位得到拋物線L,點C是拋物線L與原拋物線L

1221

的對稱軸的交點，點D為拋物線L對稱軸上的一點，在平面直角坐標系中是否存在

2

點E,使以點B,C,D,E為頂點的四邊形是以BC為邊的菱形.若存在，請求出符合

條件的點D的坐標；若不存在，請說明理由.

25.解：(1)將點A(0,—1)、B(—3,—4)代入y=%Nb%+c得

rc=-1

19-3b+c——4

解得b=4,c=-1

故拋物線L的函數表達式為y=%N4”一1

1

(2)拋物線L為y=(%—2)日4(%—2)—1,即丫=力口-5,對稱軸為y軸

2

y=%[34%—1的對稱軸為力=—2,代入y=%□七得y=-1,即點C坐標為(-2,—1)

設D坐標為(0,t),點E坐標為(m,n)

①當以CD為對角線時，有%+%=%+%,即-2+0=—3+m,解得m=l；y+y=y+y,即

CDBECDBE

-l+t=-4+n,即n=t+3；BC2=BD2,即(—4+1)2+(—3+2)2=(—4—t)2+(—3+0)2,解得

t=-3,t=-5,即點D坐標分別為(0,—3)或(0,-5)

12

②當以CE為對角線時，有%+%=%+%,即-2+m=—3+0,解得m=—l；y+y=y+y,

CEBDCEBD

即一l+n=—4+t,即n=t—3；BC2=CD2,即(—4+1)2+(-3+2)2=(一1一t)2+(-2+0)2,解

得t=—1+V6,t=—1—VB,即點D坐標分別為(0,—1+/6)或(0,—1—VB)

12

綜上述，符合條件的點D的坐標有(0,一3)、(0,—5)、(0,—1+，6)或(0,-1-V5)O

26.問題提出

⑴如圖①,在Rt^ABC中，ZB=90°,AB=3,BC=4.若點P是邊AC上一點，則BP的

最小值為.

問題探究

⑵如圖②，在RtAABC中，ZB=90°,AB=BC=2,點E是BC的中點.若點P是邊AC

上一點，試求PB+PE