2023-2024學年廣東省揭陽市產業園區高一數學第二學期期末經典模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在平面直角坐標系中，直線與x、y軸分別交于點、，記以點為圓心，半徑為r的圓與三角形的邊的交點個數為M.對于下列說法：①當時，若，則；②當時，若，則；③當時，M不可能等于3；④M的值可以為0，1，2，3，4，5.其中正確的個數為（）A．1 B．2 C．3 D．42．如圖，長方體中，，，那么異面直線與所成角的余弦值是（）A． B． C． D．3．函數的最小正周期是（）A． B． C． D．4．直線：與圓的位置關系為（）A．相離 B．相切 C．相交 D．無法確定5．在正三棱錐中，，則側棱與底面所成角的正弦值為（）A． B． C． D．6．已知正數、滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．7．已知變量滿足約束條件，則的最大值為（）A．8 B．7 C．6 D．48．下列事件是隨機事件的是（1）連續兩次擲一枚硬幣，兩次都出現正面向上．（2）異性電荷相互吸引（3）在標準大氣壓下，水在℃時結冰（4）任意擲一枚骰子朝上的點數是偶數A．（1）（2） B．（2）（3） C．（3）（4） D．（1）（4）9．現有1瓶礦泉水，編號從1至1．若從中抽取6瓶檢驗，用系統抽樣方法確定所抽的編號為（）A．3，13，23，33，43，53 B．2，14，26，38，42，56C．5，8，31，36，48，54 D．5，10，15，20，25，3010．在中，三個內角成等差數列是的（）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．充要條件 D．既非充分又非必要條件二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．在數列中，，則______________.12．若等差數列的前項和，且，則______________.13．如圖甲是第七屆國際數學教育大會（簡稱）的會徽圖案，會徽的主體圖案是由如圖乙的一連串直角三角形演化而成的，其中，如果把圖乙中的直角三角形繼續作下去，記的長度構成數列，則此數列的通項公式為_____．14．已知三棱錐外接球的表面積為，面，則該三棱錐體積的最大值為____。15．如圖，在正方體中，點是線段上的動點，則直線與平面所成的最大角的余弦值為________.16．某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數，且函數是偶函數，設(1)求的解析式；(2)若不等式≥0在區間(1，e2]上恒成立，求實數的取值范圍；(3)若方程有三個不同的實數根，求實數的取值范圍．18．如圖，某地三角工廠分別位于邊長為2的正方形的兩個頂點及中點處.為處理這三角工廠的污水，在該正方形區域內（含邊界）與等距的點處建一個污水處理廠，并鋪設三條排污管道，記輔設管道總長為千米.（1）按下列要求建立函數關系式：（i）設，將表示成的函數；（ii）設，將表示成的函數；（2）請你選用一個函數關系，確定污水廠位置，使鋪設管道總長最短.19．已知函數，（1）若，求a的值，并判斷的奇偶性；（2）求不等式的解集.20．某家具廠有方木料90，五合板600，準備加工成書桌和書櫥出售.已知生產第張書桌需要方木料O.l，五合板2，生產每個書櫥而要方木料0.2，五合板1，出售一張方桌可獲利潤80元，出售一個書櫥可獲利潤120元.（1）如果只安排生產書桌，可獲利潤多少？（2）怎樣安排生產可使所得利潤最大？21．如圖，四棱錐P－ABCD的底面是矩形，側面PAD是正三角形，且側面PAD⊥底面ABCD，E為側棱PD的中點．（1）求證：PB//平面EAC；（2）求證：AE⊥平面PCD；（3）當為何值時，PB⊥AC？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

作出直線，可得，，，分別考慮圓心和半徑的變化，結合圖形，即可得到所求結論．【詳解】作出直線，可得，，，①當時，若，當圓與直線相切，可得；當圓經過點，即，則或，故①錯誤；②當時，若，圓，當圓經過O時，，交點個數為2，時，交點個數為1，則，故②正確；③當時，圓，隨著的變化可得交點個數為1，2，0，不可能等于3，故③正確；④的值可以為0，1，2，3，4，不可以為5，故④錯誤.故選：B.【點睛】本題考查命題的真假判斷與應用，考查直線和圓的位置關系，考查分析能力和計算能力.2、A【解析】

可證得四邊形為平行四邊形，得到，將所求的異面直線所成角轉化為；假設，根據角度關系可求得的三邊長，利用余弦定理可求得余弦值.【詳解】連接，四邊形為平行四邊形異面直線與所成角即為與所成角，即設，，，，在中，由余弦定理得：異面直線與所成角的余弦值為：本題正確選項：【點睛】本題考查異面直線所成角的求解問題，關鍵是能夠通過平行關系將問題轉化為相交直線所成角，在三角形中利用余弦定理求得余弦值.3、C【解析】

根據三角函數的周期公式，進行計算，即可求解．【詳解】由角函數的周期公式，可得函數的周期，又由絕對值的周期減半，即為最小正周期為，故選C．【點睛】本題主要考查了三角函數的周期的計算，其中解答中熟記余弦函數的圖象與性質是解答的關鍵，著重考查了計算與求解能力，屬于基礎題．4、C【解析】

求出圓的圓心坐標和半徑，然后運用點到直線距離求出的值和半徑進行比較，判定出直線與圓的關系.【詳解】因為圓，所以圓心，半徑，所以圓心到直線的距離為，則直線與圓相交.故選【點睛】本題考查了直線與圓的位置關系，運用點到直線的距離公式求出和半徑比較，得到直線與圓的位置關系.5、B【解析】

利用正三棱錐的性質，作出側棱與底面所成角，利用直角三角形進行計算.【詳解】連接P與底面正△ABC的中心O，因為是正三棱錐，所以面，所以為側棱與底面所成角，因為，所以，所以，故選B.【點睛】本題考查線面角的計算，考查空間想象能力、邏輯推理能力及計算求解能力，屬于中檔題.6、B【解析】

由得，再將代數式與相乘，利用基本不等式可求出的最小值．【詳解】，所以，，則，所以，，當且僅當，即當時，等號成立，因此，的最小值為，故選．【點睛】本題考查利用基本不等式求最值，對代數式進行合理配湊，是解決本題的關鍵，屬于中等題．7、B【解析】

先畫出滿足約束條件的平面區域，然后求出目標函數取最大值時對應的最優解點的坐標，代入目標函數即可求出答案．【詳解】滿足約束條件的平面區域如下圖所示：作直線把直線向上平移可得過點時最小當，時，取最大值1，故答案為1．【點睛】本題考查的知識點是簡單線性規劃，其中畫出滿足約束條件的平面區域，找出目標函數的最優解點的坐標是解答本題的關鍵．8、D【解析】試題分析：根據隨機事件的定義：在相同條件下，可能發生也可能不發生的現象（2）是必然發生的，（3）是不可能發生的，所以不是隨機事件，故選擇D考點：隨機事件的定義9、A【解析】

根據系統抽樣原則，可知編號成公差為的等差數列，觀察選項得到結果.【詳解】根據系統抽樣原則，可知所抽取編號應成公差為的等差數列選項編號公差為；選項編號不成等差；選項編號公差為；可知錯誤選項編號滿足公差為的等差數列，正確本題正確選項：【點睛】本題考查抽樣方法中的系統抽樣，關鍵是明確系統抽樣的原則和特點，屬于基礎題.10、B【解析】

根據充分條件和必要條件的定義結合等差數列的性質進行求解即可．【詳解】在△ABC中，三個內角成等差數列，可能是A，C，B成等差數列，則A+B＝2C，則C＝60°，不一定滿足反之若B＝60°，則A+C＝120°＝2B，則A、B、C成等差數列，∴三個內角成等差數列是的必要非充分條件，故選：B．【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，考查了等差中項的應用，屬于基礎題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、20【解析】

首先根據已知得到：是等差數列，公差，再計算即可.【詳解】因為，所以數列是等差數列，公差..故答案為：【點睛】本題主要考查等差數列的判斷和等差數列項的求法，屬于簡單題.12、【解析】

設等差數列的公差為，根據題意建立和的方程組，解出這兩個量，即可求出的值.【詳解】設等差數列的公差為，由題意得，解得，因此，.故答案為：.【點睛】本題考查等差數列中項的計算，解題的關鍵就是要建立首項和公差的方程組，利用這兩個基本量來求解，考查運算求解能力，屬于基礎題.13、【解析】

由圖可知，由勾股定理可得,利用等差數列的通項公式求解即可.【詳解】根據圖形，因為都是直角三角形，,是以1為首項，以1為公差的等差數列，，，故答案為.【點睛】本題主要考查歸納推理的應用，等差數列的定義與通項公式，以及數形結合思想的應用，意在考查綜合應用所學知識解答問題的能力，屬于與中檔題.14、【解析】

根據球的表面積計算出球的半徑.利用勾股定理計算出三角形外接圓的半徑，根據正弦定理求得的長，再根據圓內三角形面積的最大值求得三角形面積的最大值，由此求得三棱錐體積的最大值.【詳解】畫出圖像如下圖所示，其中是外接球的球心，是底面三角形的外心，.設球的半徑為，三角形外接圓的半徑為，則，故在中，.在三角形中，由正弦定理得.故三角形為等邊三角形，其高為.由于為定值，而三角形的高等于時，三角形的面積取得最大值，由于為定值，故三棱錐的體積最大值為.【點睛】本小題主要考查外接球有關計算，考查三棱錐體積的最大值的計算，屬于中檔題.15、【解析】

作的中心，可知平面，所以直線與平面所成角為，當在中點時，最大，求出即可。【詳解】設正方體的邊長為1，連接，由于為正方體，所以為正四面體，棱長為，為等邊三角形，作的中心，連接，，由于為正四面體，為的中心，所以平面，所以為直線與平面所成角，則當在中點時，最大，當在中點時，由于為正四面體，棱長為，等邊三角形，為的中心，所以，，所以直線與平面所成的最大角的余弦值為故直線與平面所成的最大角的余弦值為故答案為【點睛】本題考查線面所成角，解題的關鍵是確定當在中點時，最大，考查學生的空間想象能力以及計算能力。16、2【解析】

根據三視圖還原幾何體，為一個底面是直角梯形的四棱錐，根據三視圖的數據，分別求出其底面積和高，求出體積，得到答案.【詳解】由三視圖還原幾何體如圖所示，幾何體是一個底面是直角梯形的四棱錐，由三視圖可知，其底面積為，高所以幾何體的體積為.故答案為.【點睛】本題考查三視圖還原幾何體，求四棱錐的體積，屬于簡單題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)；(2)；(3).【解析】

（1）對稱軸為，對稱軸為，再根據圖像平移關系求解；（2）分離參數，轉化為求函數的最值；（3）令為整體，轉化為二次函數根的分布問題求解.【詳解】(1)函數的對稱軸為，因為向左平移1個單位得到，且是偶函數，所以，所以.(2)即又，所以，則因為，所以實數的取值范圍是.(3)方程即化簡得令，則若方程有三個不同的實數根，則方程必須有兩個不相等的實數根，且或，令當時，則，即，當時，，，，舍去，綜上，實數的取值范圍是.【點睛】本題考查求函數解析式，函數不等式恒成立及函數零點問題.函數不等式恒成立通常采用參數分離法；函數零點問題要結合函數與方程的關系求解.18、（1）（i）（，其中）.（ii).（2）污水廠設在與直線距離處【解析】

（1）（i）設的中點為，則，，，，由此可得關于的函數；（ii）由題意，則，，由此可得關于的函數；（2）設，，則，然后利用基本不等式求最值．【詳解】解：（1）（i）設中點，則，，，，∴（，其中）；（ii），，；（2）設，，則，，當，即時，取最小值，∴污水廠設在與直線距離處時，鋪設管道總長最短，最短長度為千米．【點睛】本題主要考查根據實際問題選擇函數模型，訓練了利用換元法及基本不等式求最值，屬于中檔題．19、（1），，是偶函數（2）或【解析】

（1）先由已知求出，然后結合利用定義法判斷函數的奇偶性即可；（2）討論當時，當時對數函數的單調性求解不等式即可.【詳解】解：（1）由題意得，，即，則，，則，函數的定義域為，則，是偶函數；（2）當時，在上是減函數，，，解得，所以原不等式的解集為；當時，在上是增函數，，，即，所以原不等式的解集為，綜上所述，當時，原不等式的解集為，當時，原不等式的解集為.【點睛】本題考查了利用定義法判斷函數的奇偶性，主要考查了利用對數函數的單調性求解不等式，重點考查了分類討論的數學思想方法，屬中檔題.20、(1)只安排生產書桌，最多可生產300張書桌，獲得利潤24000元；(2)生產書桌100張、書櫥400個，可使所得利潤最大【解析】

（1）設只生產書桌x個，可獲得利潤z元，則，由此可得最大值；（2）設生產書桌x張，書櫥y個，利潤總額為z元．則，，由線性規劃知識可求得的最大值．即作可行域，作直線，平移此直線得最優解．【詳解】由題意可畫表格如下：方木料（）五合板（）利潤（元）書桌（個）0.1280書櫥（個）0.21120(1)設只生產書桌x個，可獲得利潤z元，則，∴∴所以當時，(元)，即如果只安排生產書桌，最多可生產300張書桌，獲得利潤24000元(2)設生產書桌x張，書櫥y個，利潤總額為z元．則，∴在直角坐標平面內作出上面不等式組所表示的平面區域，即可行域作直線，即直線．把直線l向右上方平移至的