專題21用一次函數解決實際問題壓軸題五種模型全攻略考點一用一次函數解決分配方案問題考點二用一次函數解決最大利潤問題考點三用一次函數解決行程問題考點四用一次函數解決幾何問題考點五用一次函數解決其他問題典型例題典型例題考點一用一次函數解決分配方案問題例題：（2022·全國·八年級單元測試）旅游團一行60人到一旅館住宿，旅游館的客房有三人間、二人間、單人間三種，其中三人間的每人每天20元，二人間的每人每天30元，單人間的每天50元，如果旅游團共住滿了30間客房，問三種客房各住幾間，共幾種安排方案？怎樣安排住宿消費最低，最低消費是多少？【答案】共16種安排方案，安排住三人間15間、單人間15間時消費最低，最低消費是1650元【分析】設安排住三人間間，二人間間，則住單人間間，根據該旅游團共60人，即可得出關于，的二元一次方程，解之可得出，結合，均為正整數，即可得出方案的個數，設住宿費用為元，利用總費用每人的費用居住人數房間數，即可得出關于的函數關系式，再利用一次函數的性質，即可解決最值問題．【詳解】解：設安排住三人間間，二人間間，則住單人間間，依題意得：，．，均為非負整數，∴30-2x≥0，∴x≤15，為非負整數），共16種安排方案．設住宿費用為元，則，，隨的增大而減小，當時，（元）．答：共16種安排方案，安排住三人間15間、單人間15間時消費最低，最低消費是1650元．【點睛】本題考查了二元一次方程的應用，以及一次函數的應用，熟練掌握一次函數的性質是解答本題的關鍵．【變式訓練】1．（2022·貴州銅仁·八年級階段練習）某城市對用戶的自來水收費表示實行階梯水價，收費標準用如表所示：月用水量不超過12噸的部分超過12噸不超過18噸的部分超過18噸的部分收費標準（元/噸）2.002.503.00問：(1)用表示總的自來水費，用表示月用水量，請與的函數關系式并寫出的取值范圍？(2)某用戶10月份繳水費51元，則該用戶10月份的用水量是多少？【答案】(1)(2)22噸【分析】（1）根據表格所給的收費標準，分為，，三段函數進行計算即可；（2）先判斷水費51元符合哪一段函數，然后代入計算，即可得到答案．（1）解：根據題意，則當時，；當時，；當時，；綜合上述，則；（2）解：當時，水費為：，∵，∴10月份用水量超過18噸，當時，則，解得：，∴10月份的用水量為22噸；【點睛】本題考查了一次函數的應用，分段函數的應用，解題的關鍵是根據等量關系，正確的求出函數的解析式．2．（2021·黑龍江鶴崗·七年級期末）哈爾濱至名山風景區的高鐵工程已經進入施工階段，現要把248噸物資從伊春運往綏化和鶴崗兩地，用大、小兩種貨車共20輛恰好能一次性運完這批貨物，已知大、小兩種貨車的載重量分別是每輛16噸和10噸，運往綏化和鶴崗的運費如表：車型綏化（元/輛）鶴崗（元/輛）大貨車620700小貨車400550(1)兩種貨車各有多少輛？(2)若安排9量貨車前往綏化，其余貨車前往鶴崗，設前往綏化的大貨車為a輛，且運往綏化的物資不少于120噸，那么一共有多少種運送方案？其中那種方案運費最省錢？【答案】(1)大貨車用8輛，小貨車用12輛．(2)共有4種方案，使總運費最少的調配方案是：5輛大貨車、4輛小貨車前往綏化地；3輛大貨車、8輛小貨車前往鶴崗地．【分析】（1）根據大、小兩種貨車共20輛，以及兩種車所運的貨物的和是248噸，據此即可列方程或方程組即可求解；（2）首先表示出每種車中，每條路線中的費用，總運費為w元就是各個費用的和，據此即可寫出函數關系式，再根據運往綏化地的物資不少于120噸，即可列出不等式求得a的范圍，再根據a是整數，即可確定a的值，根據函數關系式，即可確定費用最少的運輸方案．（1）設大貨車用x輛，則小貨車用（20-x）輛，根據題意得16x+10（20-x）=248，解得x=8，20-x=20-8=12．答：大貨車用8輛，小貨車用12輛．（2）設運往綏化地的大貨車是a,那么運往鶴崗地的大貨車就應該是（8-a），運往綏化地的小貨車是（9-a），運往鶴崗地的小貨車是（3+a），w=620a+700（8-a）+400（9-a）+550[12-（9-a）]=70a+10850，則w=70a+10850（0≤a≤8且為整數）；根據題意得：16a+10（9-a）≥120，解得a≥5，又∵0≤a≤8，∴5≤a≤8

且為整數．∴a=5，6，7，8，共有4種方案，∵w=70a+10850，k=70＞0，w隨a的增大而增大，∴當a=5時，W最小．答：共有4種方案，使總運費最少的調配方案是：5輛大貨車、4輛小貨車前往綏化地；3輛大貨車、8輛小貨車前往鶴崗地．【點睛】主要考查了函數的應用．解題的關鍵是根據實際意義列出函數關系式，從實際意義中找到對應的變量的值，利用待定系數法求出函數解析式，再根據自變量的值求算對應的函數值．考點二用一次函數解決最大利潤問題例題：（2022·全國·八年級單元測試）2月4日，北京冬奧會開幕式當天，天貓“奧林匹克旗艦店”里的“冰墩墩”相關產品均已售罄．從“一墩難求”的殘酷現狀到“一人一墩”的強烈要求，許多工廠在假期紛紛開工加緊生產．硅膠是生產“冰墩墩”外殼的主要原材料．某硅膠制品公司現有的378千克原料全部用于生產、兩種硅膠外殼型號，且恰好用完．型號所需原材料進價售價99克165元198元90克172元192元(1)若生產的、兩種型號的硅膠外殼共4000個，分別求、兩種型號的硅膠外殼個數．(2)某專賣店欲從該硅膠制品公司購進、兩種型號的“冰墩墩”共3000個，其中型號的數量不超型號數量的2倍，全部售出后為使獲利最大，請你為該專賣店設計進貨方案．【答案】(1)型號外殼2000個，型號外殼2000個(2)型號外殼為2000個，型號外殼為1000個時，冰墩墩的銷售金額最大，最大銷售金額為86000元【分析】（1）設生產A型號外殼個，B型號外殼個，根據生產的A，B兩種型號的外殼共4000個，該公司現有378千克的原材料用于生產外殼，并恰好全部用完，列出二元一次方程組，解方程組即可；（2）設生產A型號外殼個，B型號外殼個，銷售金額為元，由題意得出的取值范圍，然后求出，結合一次函數的性質即可得出結論．（1）解：設生產A型號外殼x個，B型號外殼y個，由題意得：，解得：即生產A型號外殼2000個，B型號外殼2000個；（2）解：設A種型號的“冰墩墩”個，則B種型號的“冰墩墩”個，銷售獲利為元，由題意得：，解得：，由題意得：，∵，∴y隨的增大而增大，∵m是正整數，則m的最大值為2000，當時，有最大值，最大值為：（元），即A型號外殼為2000個，B型號外殼為1000個時，冰墩墩的銷售金額最大，最大銷售金額為86000元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的應用，一次函數的應用，解題的關鍵是根據題意列出二元一次方程組并正確求解，掌握一次函數的性質．【變式訓練】1．（2022·廣東·佛山市順德區大墩初級中學八年級期中）為響應創建全國文明城市，某校決定安裝垃圾分類的溫馨提示牌和垃圾箱，若購買1個溫馨提示牌和2個垃圾箱共需270元，若購買2個溫馨提示牌和1個垃圾箱共需180元．(1)求一個溫磐提示牌和一個垃圾箱各需多少元？(2)根據計劃，該校需購買溫馨提示牌和垃圾箱共60個，且溫馨提示牌數量不超過垃圾箱數量的一半，應如何購買才能使總費用最少？并求出最少費用．【答案】(1)30元，120元(2)應購買20個溫馨提示牌和40個垃圾箱才能使得總費用最少，最少費用為5400元【分析】（1）設購買1個溫馨提示牌需要x元，購買1個垃圾箱需要y元，根據“購買1個溫馨提示牌和2個垃圾箱共需270元”得x+2y＝270，根據“購買2個溫馨提示牌和1個垃圾箱共需180元”得2x+y＝180，組合成二元一次方程組便可；（2）設購買溫馨提示牌a個，垃圾箱（60﹣a）個，總費用為W元，根據題意列出不等式得出a的取值范圍，再列出W與x的函數關系式，根據一次函數的性質求解即可．（1）解：設一個溫馨提示牌x元，一個垃圾箱y元，依題意得：，解得：，答：一個溫馨提示牌30元，一個垃圾箱120元；（2）設購買溫馨提示牌a個，垃圾箱（60﹣a）個，總費用為w元，則：a≤（60﹣a），解得：a≤20，，即：，∵，∴W隨a的增大而減小，∴當a＝20時，W取最小值，，此時：垃圾箱：60﹣20＝40（個），答：應購買20個溫馨提示牌和40個垃圾箱才能使得總費用最少，最少費用為5400元．【點睛】本題考查了一次函數的應用以及二元一次方程組的應用，解題的關鍵是明確題意，列出相應的二元一次方程組和一次函數解析式，利用一次函數的性質解答．2．（2022·河南·許昌市建安區第三高級中學八年級期末）小剛的爸爸在兩個學校門口開了兩家文具店（分別簡稱甲店、乙店）．一天，小剛的爸爸購進了A、B兩種文具各10箱，預計每箱文具的盈利情況下表：A種文具B種文具甲店/（元/箱）1117乙店/（元/箱）(1)如果甲店按照A種文具5箱、B種文具5箱配貨，那么小剛的爸爸甲店能盈利______元．(2)如果乙店按照A種文具3箱、B種文具7箱配貨，可盈利118元；如果乙店按照A種文具8箱、B種文具2箱配貨，可盈利98元．請求出乙店A、B兩種文具每箱分別盈利多少元？(3)在甲、乙兩店各配貨10箱，且保證乙店盈利不小于100元的條件下，請你設計出使小剛的爸爸盈利最大的配貨方案，并求出最大盈利為多少？【答案】(1)140(2)乙店A、B兩種文具每箱分別盈利元/箱，元/箱，(3)甲店配A種文具3箱，B種文具7箱．乙店配A種文具7箱，B種文具3箱．最大盈利254元【分析】（1）根據表格數據，甲店A種文具盈利11元/箱，B種文具盈利17元/箱，列出算式進行計算即可求解；（2）根據題意列出二元一次方程組，解方程組即可求解；（3）設甲店配A種文具x箱，分別表示出配給乙店的A文具，B文具的箱數，根據盈利不小于110元，列不等式求解，進一步利用經銷商盈利=A種文具甲店盈利×x+B種文具甲店盈利×（10-x）+A種文具乙店盈利×（10-x）+B種文具乙店盈利×x；列出函數解析式利用函數性質求得答案即可．（1）解：依題意，如果甲店按照A種文具5箱、B種文具5箱配貨，那么小剛的爸爸甲店能盈利：（元）故答案為：140（2）解：依題意解得∴乙店A、B兩種文具每箱分別盈利元/箱，元/箱，（3）設甲店配A種文具x箱，則甲店配B種文具（10-x）箱，乙店配A種文具（10-x）箱，乙店配B種文具10-（10-x）=x箱．∵9×（10-x）+13x≥100，∴x≥，經銷商盈利為．∵-2＜0，∴w隨x增大而減小，∵為正整數，∴當時，w值最大．甲店配A種文具3箱，B種文具7箱．乙店配A種文具7箱，B種文具3箱．最大盈利：=254（元）．【點睛】此題考查了二元一次方程組的應用，一元一次不等式的應用，一次函數的實際運用，找出題目蘊含的不等關系與等量關系解決問題．考點三用一次函數解決行程問題例題：（2021·吉林·長春市赫行實驗學校九年級階段練習）張師傅開車到某地送貨，汽車出發前油箱中有油50升，行駛一段時間，張師傅在加油站加油，然后繼續向目的地行駛，已知加油前、后汽車都勻速行駛，汽車行駛時每小時的耗油量一定．油箱中剩余油量Q（升）與汽車行駛時間t（時）之間的函數圖象如圖所示．(1)張師傅開車行駛____小時后開始加油，本次加油____升．(2)求加油前Q與t之間的函數關系式．(3)如果加油站距目的地320千米，汽車行駛速度為80千米/時，張師傅要想到達目的地，油箱中的油是否夠用？請通過計算說明理由．【答案】(1)3，31(2)Q＝﹣12t+50（0≤t≤3）(3)不夠用，理由見解析【分析】（1）根據函數圖象中的數據，可以寫出張師傅開車行駛幾小時后開始加油，本次加油多少升；（2）根據函數圖象中的數據，可以計算出加油前Q與t之間的函數關系式；（3）根據圖象中的數據，可以計算出每小時耗油多少升，然后再根據后來加油后油箱中的升數，即可計算出可以最多跑的路程，再與320比較大小即可．（1）解：由圖象可得，張師傅開車行駛3小時后開始加油，本次加油45﹣14＝31（升），故答案為：3，31．（2）解：設加油前Q與t之間的函數關系式是Q＝kt+b，∵點（0，50），（3，14）在該函數圖象上，∴，解得，即加油前Q與t之間的函數關系式是Q＝﹣12t+50（0≤t≤3）．（3）解：張師傅要想到達目的地，油箱中的油不夠用，理由：由圖象可得，汽車的耗油量為：（50﹣14）÷3＝12（升/時），45÷12×80＝×80＝300（千米），∵300＜320，∴張師傅要想到達目的地，油箱中的油不夠用．【點睛】本題考查一次函數的應用，解答本題的關鍵是明確題意，求出相應的函數解析式，利用數形結合的思想解答．【變式訓練】1．（2021·江蘇·西安交大蘇州附中八年級階段練習）甲、乙兩人沿相同的路線由A地到B地勻速前進，A、B兩地間的路程為20km，他們前進的路程為s（km），甲出發后的時間為t（h），甲、乙前進的路程與時間的函數圖象如圖所示，根據圖象信息回答下列問題：(1)甲的速度是km/h，乙比甲晚出發h；(2)分別求出甲、乙兩人前進的路程s與甲出發后的時間t之間的函數關系式；(3)甲經過多長時間被乙追上？此時兩人距離B地還有多遠？【答案】(1)5，1(2)甲的函數關系式為s＝5t；乙的函數關系式為s＝20t﹣20(3)甲經過h被乙追上，此時兩人距B地還有km【分析】（1）根據函數圖象可以求得甲的速度和乙比甲晚出發的時間；（2）根據函數圖象可以分別設出甲、乙兩人前進的路程s與甲出發后的時間t之間的函數關系式，然后根據圖象中的數據即可解答本題；（3）令（2）中的兩個函數值相等，即可求得t的值，進而求得s的值，然后再用20減去s的值即可解答本題．（1）解：由圖象可得，甲的速度為：20÷4＝5km/h，乙比甲晚出發1小時，故答案為：5，1．（2）解：設甲出發的路程s與t的函數關系式為s＝kt，則20＝4k，得k＝5，∴甲出發的路程s與t的函數關系式為s＝5t；設乙出發的路程s與t的函數關系式為s＝at+b，，得，∴乙出發的路程s與t的函數關系式為s＝20t﹣20．（3）解：由題意可得，5t＝20t﹣20，解得，t＝，當t＝時，s＝5t＝5×，20﹣，即甲經過h被乙追上，此時兩人距B地還有km．【點睛】本題考查一次函數的應用，解答此類問題的關鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用數形結合的思想解答．2．（2022·江蘇·漣水縣麻垛中學九年級階段練習）在一條筆直的公路上有A，B，C三地，C地位于A，B兩地之間，甲車從A地沿這條公路勻速駛向C地，乙車從B地沿這條公路勻速駛向A地，在甲車出發至甲車到達C地的過程中，甲、乙兩車與C地的距離（單位：km），（單位：km）與甲車行駛時間t（單位：h）之間的函數關系如圖．請根據所給圖象解答下列問題：(1)甲車的行駛速度為km/h，乙車的行駛速度為km/h；(2)當時，求乙車與C地的距離與甲車行駛時間t之間的函數關系式；(3)當乙車出發小時，兩車相遇；【答案】(1)甲車行駛速度是60km/h，乙車行駛速度是80km/h；(2)＝；(3)乙車出發小時，兩車相遇．【分析】（1）根據速度=路程÷時間分別求出甲、乙兩車的速度即可；（2）根據待定系數法分類討論求解乙車與C地的距離y2與甲車行駛時間t之間的函數關系式；（3）設乙車出發m小時，兩車相遇，根據甲車行駛的路程+乙車行駛的路程=200+240列方程求解即可；（1）解：甲車行駛速度是240÷4＝60（km/h），乙車行駛速度是200÷（﹣1）＝80（km/h），∴甲車行駛速度是60km/h，乙車行駛速度是80km/h；故答案為60，80（2）解：當1＜t≤時，設＝kt+b，∵圖象過點（1，200），（，0），∴，∴，∴＝﹣80t+280；當＜t≤4時，∵（4﹣）×80＝40（km），∴圖象過點（4，40），設＝kt+b，∵圖象過點（4，40），（，0），∴，∴，∴＝80t﹣280．∴＝；（3）解：設乙車出發m小時，兩車相遇，由題意得：80m+60（m+1）＝200+240，解得：m＝．∴乙車出發小時，兩車相遇．故答案為【點睛】本題主要考查了一元一次方程及一次函數的應用，能從圖象中獲取有效信息，熟練運用待定系數法求解一次函數的關系式是解題的關鍵．考點四用一次函數解決幾何問題例題：（2022·山東濟寧·八年級期末）如圖，已知直線與x軸、y軸分別相交于點A、B，再將沿直線CD折疊，使點A與點B重合．折痕CD與x軸交于點C，與AB交于點D．(1)點A的坐標為______；點B的坐標為______；(2)求OC的長度，并求出此時直線BC的表達式；【答案】(1)，(2)，【分析】（1）由一次函數與坐標軸的交點求解即可；（2）由折疊的性質得出直線CD垂直平分線段AB，設，得出，根據勾股定理得出，即可確定點C的坐標，然后利用待定系數法求解即可．（1）解：令，則；令，則，故點A的坐標為，點B的坐標為．（2）設，∵直線CD垂直平分線段AB，∴，∵，∴，，解得，∴，∴設直線BC的解析式為∴解得∴直線BC的解析式為．【點睛】題目主要考查折疊的性質，一次函數的基本性質及利用待定系數法確定一次函數解析式，勾股定理解三角形等，理解題意，綜合運用這些知識點是解題關鍵．【變式訓練】1．（2022·內蒙古·霍林郭勒市第五中學八年級期末）如圖，一次函數的圖像分別與x軸，y軸交于A，B，以線段AB為邊在第一象限內作等腰直角三角形ABC，使．(1)分別求點B，C的坐標；(2)在x軸上求一點P，使它到B，C兩點的距離之和最小．【答案】(1)，(2)【分析】（1）求出當時，的值即可得點的坐標，求出當時，的值即可得點的坐標，再過點作軸于點，利用三角形全等的判定定理證出，然后根據全等三角形的性質可得，則，由此即可得點的坐標；（2）作點關于軸的對稱點，連接，交軸于點，根據軸對稱的性質、兩點之間線段最短可得此時的點即為所求，再利用待定系數法求出直線的解析式，然后求出當時，的值即可得點的坐標．（1）解：對于一次函數，當時，，即，∴，當時，，解得，即，∴，如圖1，過點作軸于點，∵為等腰直角三角形，，∴，，∵，∴，在和中，，∴，∴，，∴點的坐標為．（2）解：如圖2，作點關于軸的對稱點，連接，交軸于點，∵，∴，由軸對稱的性質可知，，，由兩點之間線段最短可知，此時點到兩點的距離之和最小，設直線的解析式為，將點，代入得：，解得，則直線的解析式為，當時，，解得，，即點到兩點的距離之和最小．【點睛】本題考查了一次函數的幾何應用、三角形全等的判定與性質、軸對稱的性質等知識點，較難的是題（2），利用軸對稱的性質和兩點之間線段最短找出到兩點的距離之和最小的點的位置是解題關鍵．2．（2022·陜西咸陽·七年級期末）如圖，OM是一條垂直于河岸ON的小路，現計劃在河岸ON上找一點A，小路OM上找一點C，修建一個長方形OABC區域，作為河道保護工作站，要求，若設米，長方形OABC的周長為y米．(1)請求出y與x之間的關系式；(2)當OA的長為20米時，求長方形OABC的周長y是多少？(3)要使長方形OABC的周長y為150米，求OA的長為多少？【答案】(1)(2)當OA的長為20米時，長方形OABC的周長y是120米(3)要使長方形OABC的周長y為150米，OA的長為25米【分析】（1）根據，得出OC=2x，利用長方形周長公式即可得出y與x之間的關系式；（2）將x=20代入（1）中的關系式即可得出答案；（3）將y=150代入（1）中的關系式即可得出答案．（1）∵，，∴，∴；（2）當時，，即當OA的長為20米時，長方形OABC的周長y是120米；（3）當時，，解得，即要使長方形OABC的周長y為150米，OA的長為25米．【點睛】本題考查一次函數的應用，掌握長方形的周長公式是解題的關鍵．考點五用一次函數解決其他問題例題：（2022·吉林·大安市樂勝鄉中學校八年級階段練習）五一節快到了，單位組織員工去旅游，參加人數估計為10至20人．甲，乙兩家旅行社為了吸引更多的顧客，分別提出了優惠方案．甲旅行社的優惠方案是：買3張全票，其余人按半價優惠；乙旅行社的優惠方案是：一律按6折優惠．已知兩家旅行社的原價均為每人100元．(1)分別表示出甲旅行社收費y1，乙旅行社收費y2與旅游人數x的函數關系式；(2)隨著團體人數的變化，哪家旅行社的收費更優惠？【答案】(1)，(2)當10≤x<15時，乙旅行社收費更優惠；當旅游的人數為15人時，甲、乙旅行社收費一樣；當15<x≤20時，甲旅行社收費更優惠【分析】（1）根據甲、乙兩旅行社的優惠方法，找出甲旅行社收費，乙旅行社收費與旅游人數x的函數關系式；（2）分，，三種情況找出x的取值范圍或x的值，此題得解．（1）解：根據題意得：；．（2）解：當時，即50x+150=60x，解得：x=15；當時，即50x+150＜60x，解得：x＞15，當時，即50x+150＞60x，解得：x＜15，綜上所述：當10≤x＜15時，乙旅行社收費更優惠；當旅游的人數為15人時，甲、乙旅行社收費一樣；當15＜x≤20時，甲旅行社收費更優惠．【點睛】本題考查了一次函數的應用、解一元一次方程以及解一元一次不等式，解題的關鍵是：（1）根據兩旅行社的優惠方案，找出函數關系式；（2）分，，三種情況考慮．【變式訓練】1．（2022·廣東湛江·八年級期末）防疫期間，某藥店銷售一批外科口罩，如果一次性購買50個以上的外科口罩，超過50個部分按原價打8折優惠出售．上個月小王家一次性買了外科口罩90個，花了41元；小李家一次性買了外科口罩120個，花了53元．(1)求銷售一個外科口罩的原價和優惠價分別是多少？(2)設一次性購買外科口罩x個，花費y元，寫出y與x之間的函數關系式．(3)這個月學校一次性購買該外科口罩680個，花了多少錢？【答案】(1)銷售一個外科口罩的原價是元，優惠價是元(2)(3)學校花了元【分析】（1）設銷售一個外科口罩的原價是元，優惠價是元，根據題意，聯立二元一次方程組，解出即可得出結果；（2）根據題意，結合（1）中的結論，即可得出y與x之間的函數關系式；（3）根據（2）中的結論，把代入相應函數解析式，解出即可得出結果．（1）解：設銷售一個外科口罩的原價是元，優惠價是元，根據題意得：，解得，答：銷售一個外科口罩的原價是0.5元，優惠價是0.4元．（2）解：根據題意，可得：，（3）解：∵，∴當時，，答：學校花了元．【點睛】本題考查了二元一次方程組的實際應用、一次函數的實際應用，解本題的關鍵在根據題意，正確找出等量關系，列出二元一次方程組．2．（2022·廣東·八年級單元測試）2020年“中國移動”公司提供兩種通訊收費方案供客戶選擇．方案一：按月收取座機費40元，此外每分鐘的費用是0.1元；方案二：無座機費用，直接按通話時間計費，每分鐘的費用是0.2元．根據以上信息，解答下列問題：(1)設通話時間為分鐘，方案一的通訊費用為元，方案二的通訊費用為元，則與的函數關系式為，與的函數關系式為．(2)當通話時間為多少分鐘時，兩種方案費用相同？(3)小明的爸爸每月的通話時間約為500分鐘，則他選擇哪種通訊收費方案更合算？【答案】(1)，(2)400分鐘(3)選擇方案一收費方案更合算【分析】（1）根據收費方式列式即可．（2）將（1）中的結果等起來即可．（3）把500分鐘分別代入（1）中的兩個式子得到結果比較大小即可．（1）解：根據題意得：方案一：與的函數關系式為，方案二：與的函數關系式為．故答案為：，；（2）當時，則，解得：，答：當通話時間為400分鐘時，兩種方案費用相同；（3）當時，（元，（元，，答：他選擇方案一收費方案更合算．【點睛】本題主要考查一次函數在方案選擇上的應用，能夠通過條件列出關系式是解題關鍵．課后訓練課后訓練一、選擇題1．（2022·貴州畢節·八年級期末）如圖，某電信公司手機的收費標準有兩類，已知每月應繳費用（元）與通話時間（分）之間的關系如圖所示，當通話時間為分鐘時，按這兩類收費標準繳費的差為（）A．30元 B．20元 C．15元 D．10元【答案】D【分析】根據題意，待定系數法求得解析式，分別令，求得是的值，進而即可求解．【詳解】解：設類收費的解析式為，代入

，，得，解得，∴，類收費的解析式為，代入，得，解得，∴，∴當時，，，∴（元），故選：D．【點睛】本題考查了一次函數的應用，待定系數法求解析式，求得解析式是解題的關鍵．2．（2022·江蘇·盛澤一中八年級階段練習）某市為了改善生態環境，政府決定綠化荒山，計劃第一年先植樹萬畝，以后每年比上一年增加一萬畝，以植樹時間年數x（年）為自變量，植樹總數y（萬畝）是x的一次函數．此函數的圖象為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意得出：總面積y（萬畝）是x的一次函數，，代入求得特殊點，判定函數的圖象即可．【詳解】解：根據題意，總面積y（萬畝）是x的一次函數，，當，，所以選項A符合題意．故選：A．【點睛】此題考查一次函數的實際運用，與一次函數的圖象，根據函數解析式找出圖象上的點是正確判定的關鍵．3．（2022·重慶南開中學九年級開學考試）東東和爸爸一起出去運動，兩人同時從家出發，沿相同路線前行，途中爸爸有事返回，東東繼續前行，5分鐘后也原路返回，兩人恰好同時到家，東東和爸爸在整個運動過程中離家的距離（米），（米）與運動時間x（分）之間的函數關系如圖所示，下列結論中錯誤的是（）A．兩人前行過程中的速度為180米/分 B．m的值是15，n的值是2700C．爸爸返回時的速度為90米/分 D．運動19分鐘時，兩人相距810米【答案】D【分析】根據圖象可求兩人共同的速度，再根據“路程時間速度”可求出爸爸返回的速度，根據“速度時間路程”求出兩人之間的距離即可．【詳解】解：∵（米/分），∴A選項正確，不符合題意；∵，∴，∴B選項正確，不符合題意；∵（米/分），∴C選項正確，不符合題意；∵（米），∴D選項錯誤，符合題意；故選：D．【點睛】本題考查了一次函數的實際應用，理解圖象的含義，熟練掌握速度、時間和路程之間的關系是解題的關鍵．4．（2022·陜西·西安市曲江第一中學八年級期中）已知1號探測氣球從海拔處勻速上升，同時2號探測氣球從海拔處勻速上升，兩個氣球所在位置的海拔y（單位：m）與上升時間x（單位：）之間的函數關系如圖所示，根據圖中的信息，下列說法：①上升時，兩個氣球高度一樣；②1號探測氣球所在位置的海拔關于上升時間x的函數關系式是；③當兩個氣球所在位置的海拔高度相差，上升時間為10或30分鐘；④記兩個氣球的海拔高度差為h，則當時，h的最大值為．其中，說法正確的個數是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據圖形可判斷①；利用待定系數法求出函數關系式可判斷②；根據題意列方程，解方程可判斷③；求得高度差，利用一次函數的性質解答可判斷④．【詳解】解：①上升時，兩個氣球高度一樣，都是，①正確；②設1號探測氣球所在位置的海拔關于上升時間x的函數關系式是，把點代入得，解得，∴1號探測氣球所在位置的海拔關于上升時間x的函數關系式是，②正確；③同理求得2號探測氣球所在位置的海拔關于上升時間x的函數關系式是，由題意，得或，解得或，∴當兩個氣球所在位置的海拔高度相差，上升時間為10或30分鐘，③正確；④當時，h的最大值為，當時，，∵，則h隨x的增大而增大，∴當時，h有最大值，最大值為，④正確．綜上，四個說法都是正確的故選：D．【點睛】本題考查了一次函數的應用，解決本題的關鍵是根據題意，求得函數解析式，利用一次函數的性質解答．二、填空題5．（2022·河北·寬城滿族自治縣第三中學八年級期中）公民的月收入超過5000元時，超過部分須依法繳納個人所得稅，當超過部分在3000元以內（含3000元）時稅率為3%．根據已知信息，公民每月所繳納稅款y（元）與月收入x（元）之間的函數關系式是__________，自變量的取值范圍是__________．【答案】

5000＜x≤8000【分析】超過部分在3000元以內（含3000元）時稅率為3%，所以必須從收入中減去5000后，再去考慮繳稅多少，即可解答．【詳解】解：根據題意可知y與x之間的函數關系式為：，（5000＜x≤8000）．故答案為：；5000＜x≤8000．【點睛】本題主要考查的是一次函數的實際問題，理解題意，根據題意得出需要繳稅的部分為元，是解題的關鍵．6．（2022·重慶南開中學八年級開學考試）在彈簧限度內，彈簧掛上物體后彈簧的長度與所掛物體的質量之間的關系如表：所掛物體的質量/千克12345678彈簧的長度/cm12.51313.51414.51515.516則不掛物體時，彈簧的長度是_____cm．【答案】12【分析】根據表格數據可得y與x成一次函數關系，設，取兩點代入可得出y與x的關系式，當所掛物體質量為0時，即是彈簧不掛物體時的長度．【詳解】解：由表格可得：y隨x的增大而增大；設，將點，代入可得：，解得：．故．當時，．即不掛物體時，彈簧的長度是12cm．故答案為：12．【點睛】此題考查了函數關系式及函數值的知識，解答本題的關鍵是觀察表格中的數據，得出y與x的函數關系式．7．（2022·四川省南充市第九中學八年級階段練習）A，B兩地相距12km，甲、乙兩人分別從A，B兩地沿同一條公路相向而行．他們離A地的距離s（km）與時間t（h）的函數關系如圖．則甲出發到相遇的時間為______h．【答案】1.8【分析】設甲行駛的函數關系式為，把代入，求得，得到，設乙行駛的解析式為，把，代入，求得，，，得到，解方程組，得到，得到相遇時間為1.8小時．【詳解】設甲行駛的函數關系式為，把代入，得，解得，∴，設乙行駛的解析式為，把，代入，得，，解得，，∴，組成方程組，，解得，，∴相遇時間為1.8小時．故答案為：1.8．【點睛】本題主要考查了一次函數與二元一次方程組等，解決問題的關鍵是熟練掌握待定系數法求函數解析式，一次函數與二元一次方程組的關系．8．（2022·河南·鄭州市第七十三中學八年級期中）甲、乙兩名大學生去距學校36的某鄉鎮進行社會調查，他們從學校出發，騎電動車行駛20分鐘時發現忘帶相機，甲下車繼續步行向前走，乙騎電動車按原路返回，取到相機后馬上騎電動車追甲，在距鄉鎮13.5處追上甲并同車前往鄉鎮，若電動車速度始終不變，設甲與學校相距，乙與學校相距，甲離開學校的時間為x，，與x之間的函數圖象如圖，則下列結論：①電動車的速度為0.9；②甲步行所用的時間為45；③甲步行的速度為0.15．其中正確的是___________（只填序號）．【答案】①②##②①【分析】①根據圖象由速度=路程÷時間就可以求出結論；②先求出乙追上甲所用的時間，再加上乙返回學校所用的時間就是乙步行所用的時間；③先根據第二問的結論求出甲步行的速度．【詳解】解：①由圖象，得()，故①說法正確；②乙從學校追上甲所用的時間為：()，∴甲步行所用的時間為：()，故②說法正確；③由題意，得甲步行的速度為：()，故③說法錯誤；綜上，正確的是①②，故答案為：①②．【點睛】本題考查了一次函數的應用，速度與時間，追擊問題，分析函數圖象反應的數量關系是解題關鍵．三、解答題9．（2022·廣東·佛山市南海區金石實驗中學八年級期中）在暑假來臨之際，某班準備組織學生到某園區進行戶外活動，經了解該園區有甲、乙兩種收費方案，設入園人數為x時所需費用為y元，y與x的函數關系如圖所示：(1)分別求出甲、乙兩種收費方案所需費用y（單位：元）與入園人數x（單位：人）之間的函數關系；(2)如果你是組織者，你認為應選擇哪種方案？請說明理由．【答案】(1)；(2)見解析【分析】（1）運用待定系數法，即可求出y與x之間的函數表達式；（2）解方程或不等式即可解決問題，分三種情形回答即可．【詳解】（1）解：設，根據題意得：，解得：，∴；設，根據題意得：，解得：，∴；（2）解：①，即，解得，當入園人數小于20人時，選擇甲方案比較合算；②，即，解得，當入園人數等于20人時，選擇兩種方案費用一樣；③，即，解得，當入園人數大于20人時，選擇乙方案比較合算．【點睛】本題主要考查了一次函數的應用、學會利用方程組求兩個函數圖象的解的坐標，正確由圖象得出正確信息是解題關鍵，屬于中考常考題型．10．（2022·全國·八年級專題練習）某商店銷售A型和B型兩種電腦，其中A型電腦每臺的利潤為400元．B型電腦每臺的利潤為500元，該商店計劃再一次性購進兩種型號的電腦共100臺，其中B型電腦的進貨量不超過A型電腦的2倍．若設購進A型電腦x臺，這100臺電腦的銷售總利潤為y元．(1)則購進B型電腦_______臺；（用含有x的代數式表示）(2)直接寫出y關于x的函數關系式_______；(3)該商店購進A型、B型電腦各多少臺，才能使銷售總利潤最大，最大利潤是多少？【答案】(1)(2)(3)該商店購進A型、B型電腦34臺、66臺時，才能使銷售總利潤最大，最大利潤是46600元【分析】（1）直接根據題意列出代數式即可；（2）直接根據題意列出函數關系式即可；（3）先求出x的取值范圍，再根據一次函數的性質作答即可．【詳解】（1）∵商店計劃再一次性購進兩種型號的電腦共100臺，其中A型電腦x臺，∴購進B型電腦（）臺，故答案為：；（2）由題意可得，，∴y關于x的函數關系式是，故答案為：；（3）∵B型電腦的進貨量不超過A型電腦的2倍，∴，解得，，∵，，∴y隨x的增大而減小，∵x為整數，，∴當時，y取得最大值，此時，，答：該商店購進A型、B型電腦34臺、66臺時，才能使銷售總利潤最大，最大利潤是46600元．【點睛】本題考查了一次函數的實際應用，熟練掌握一次函數的圖像與性質是解題的關鍵．11．（2022·四川達州·八年級期中）已知在平面直角坐標系中，直線與直線交于點，直線分別與x軸，y軸交于點A和點B．(1)求直線與的表達式及點A，點B的坐標；(2)x軸上是否存在點P，使的面積為24，若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由；(3)點P是x軸上一動點，過點P作y軸的平行線交直線于點E，交直線于點F，求出當長為4時點P的坐標．【答案】(1)，，，(2)，(3)或【分析】（1）用待定系數法即可求出直線與的表達式，在中，分別令和可解出、的坐標；（2）由的面積為24可求出的長度，即可得的坐標；（3）設，可得，根據長為4列方程即可得答案．【詳解】（1）解：把代入中，得，解得，，把代入，得，解得，，在中，令得，，在中，令得，；（2）解：存在，理由如下：如圖：在軸上，，點的縱坐標為12，，，點可以在點的左邊，也可以在點的右邊，，；（3）解：如圖：設，則，，，根據題意得：，解得或，點的坐標為或．【點睛】本題考查一次函數的應用，涉及三角形面積、待定系數法、一次函數圖象上點坐標的特征等，解題的關鍵是用含的式子表示、的坐標及的長度．12．（2022·福建三明·八年級期中）某羽毛球館有兩種消費方式：A種是辦理會員卡，但需按月繳納一定的會員費；B種是不辦會員卡直接按打球時間付費兩種消費方式每月收費情況如圖所示，根據圖中提供的信息解答下列問題：(1)種方式要求客戶每月支付的會員費是___________元，種方式每小時打球付費是___________元；(2)寫出辦會員卡打球的月費用(元)與打球時間x(小時)之間的關系式___________；(3)小王每月打球時間為10小時，他選用哪種方式更合算？【答案】(1)100，40(2)(3)辦會員卡更合算【分析】（1）直接從函數圖象上得出答案；（2）根據題意得出種