河北省部分學校2023-2024學年高三上學期六調考試數學試

題

學校:.姓名:.班級:考號:

一、單選題

3-4i2023

1.若z=J*,貝心=()

1+i

17.71.

A.-------1B.—I—i

2222

71.17.

C.-------1D.—+—1

2222

2.設A,B,C為三個隨機事件，則“A,B,C相互獨立”是“P(ABC)=P(A)P(B)P(。”

的(

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.5G時代的到來促進了電子商務的飛速發展，某電商統計了線上店鋪營業的前4個月

的產品銷量y(單位：萬元)與月份代碼尤(％=1,2,3,4)的數據如表所示，據此可得到經

驗回歸方程為9=Lk—0.25,則〃=()

X1234

y1a〃+24

A.1B.1.5C.1.6D.2

4.已知隨機變量XB(2,p),隨機變量￥N(2Q2),若尸(X(l)=0.36,P(y<4)=p,

則尸(o<y<2)=(

A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4

5.寫算，是一種格子乘法，也是筆算乘法的一種，用以區別籌算與珠算，它由明代數

學家吳敬在其撰寫的《九章算法比類大全》一書中提出，是從天元式的乘法演變而來.例

如計算89x61,將被乘數89計入上行，乘數61計入右行，然后以乘數61的每位數字

乘被乘數89的每位數字,將結果計入相應的格子中，最后從右下方開始按斜行加起來,

滿十向上斜行進一，如圖，即得5429,若從表內的8個數字(含相同的數字，表周邊

數據不算在內)中取1個數字，這個數字大于5的概率為()

89

.41.

6.已知a>0,b>0,若直線x-y-a=O與曲線y=l+ln（尤+6—1）相切，則一+7的最

ab

小值為（）

A.7B.8C.9D.10

7.在概率論和統計學中用協方差來衡量兩個變量的總體誤差,對于離散型隨機變量X,

Y,定義協方差為Cov（x,y）=E（xy）-磯x）磯y）,已知x,y的分布列如下表所示，

其中則Cov（x,y）的值為（）

X12

PP1-P

Y12

P1-PP

A.0B.1C.2D.4

8.在數列｛%｝中，％=1,an+l=a^-3a?+t,且a“V2,則實數r的最大值為（）

A.4B.5C.472D.6

二、多選題

9.已知用逐的展開式中所有項的系數之和為1,則（）

A.展開式的常數項為-40

B.a=l

C.展開式中系數最大的項的系數為80

D.所有幕指數為非負數的項的系數和為-8

10.有兩組樣本數據，分別為占,馬，…，％和%，%，%，%，且平均數；=90,亍=80,標準

差分別為6和4,將兩組數據合并為z”Z2,…,人,重新計算平均數和標準差，則（）

試卷第2頁，共6頁

A.平均數為85B.平均數為86C.標準差為10D.標準差為2而

11.甲、某人設計一項單人游戲，規則如下：先將一棋子放在如圖所示正方形A8C。（邊

長為2個單位）的頂點A處，然后通過擲骰子來確定棋子沿正方形的邊按逆時針方向行

走的單位，如果擲出的點數為i（i=l,2,6）,則棋子就按逆時針方向行走i個單

位，一直循環下去.某人拋擲〃次骰子后棋子恰好又回到點A處，則（）

A.若〃=2時，則共有3種不同走法B.若〃=2時，則共有5種不同走法

C.若〃=3時，則共有25種不同走法D.若〃=3時，則共有27種不同走法

19

12.設48是一個隨機試驗中的兩個事件，且P（A）=5，|…）=g

貝U（）

1/------\1

A.P（AB）=-B.P（AB）=-C.P（B|A）=1D.P（A|B）=1

三、填空題

13.一組數據2,3,6,9,5,7,12,14,8,13的75%分位數為.

14.為增強學生體質，某校在暑假期間組織本校學生開展各項體育比賽，由于工作需要，

將10名志愿者分成4組，每組至少2人，則不同的分組方法種數為.

15.某科研型農場試驗了生態柳丁的種植，在種植基地從收獲的果實中隨機抽取100個,

得到其質量（單位：g）的頻率分布直方圖及商品果率的頻率分布表如圖.

頻率

0.015r?????????TI

o.oiol......I-J一"一

0.0051…T-

r

Ol00120140160180200^/g

質量/g[100,120）[120,140）[140,160）[160,180）[180,200]

商品果率0.70.80.80.90.7

已知基地所有采摘的柳丁都混放在一起，用頻率估計概率，現從中隨機抽取1個柳丁，

則該柳丁為商品果的概率為.

16.在三棱錐尸—ABC中，AB=PC=2垃,其余棱長均相等，。1，。2分別為AB，PC

的中點，垂直于。。2的一個平面分別交棱山，PB,CB,CA于E,F,G,H四點，則

四邊形EFGH的面積的最大值為.

四、解答題

17.2023年5月30日，搭載神舟十六號載人飛船的長征二號廠遙十六運載火箭在酒泉

衛星發射中心點火發射.實驗中學某班為弘揚“載人航天精神一特別能吃苦、特別能戰

斗、特別能攻關、特別能奉獻”，舉行航天知識問答活動，活動分為4、8兩類項目，

且該班級所有同學均參加活動，每位同學選擇一項活動參加.

A類B類

男同學2515

女同學a10

若采用分層抽樣從該班級中抽取6名同學，則有男同學4名，女同學2名.

(1)求。以及該班同學選擇A類項目的概率；

(2)依據小概率值a=0.01的獨立性檢驗，能否認為同學選擇項目的類別與其性別有關?

a0.0500.0100.001

%3.8416.63510.828

附：_______刎32_______

(Q+b)(c+d)(Q+c)(Z?+d)

18.記,ABC的內角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知AR(C4+C2)=2片.

⑴求:的值；

b

(2)若cosA=—,求cosC.

3

19.我國風云系列衛星可以監測氣象和國土資源情況.某地區水文研究人員為了了解汛

期人工測雨量x(單位：dm)與遙測雨量y(單位：dm)的關系，統計得到該地區10

組雨量數據如下：

樣本號i12345678910

試卷第4頁，共6頁

人工測雨量為5.387.996.376.717.535.534.184.046.024.23

遙測雨量X5.438.076.576.147.955.564.274.156.044.49

卜-y0.050.080.20.570.420.030.090.110.020.26

101010

并計算得I＞；=353.6,Z＞；=3617,2%%=357.3,是工33.62,7,34.42,

i=lZ=1i=\

xy?34.02.

(1)求該地區汛期遙測雨量y與人工測雨量尤的樣本相關系數(精確到0.01),并判斷它

們是否具有線性相關關系；

⑵規定:數組(%,%)滿足花_對<0.1為“I類誤差”;滿足0.1<|x,.-y;|<0.3為“II類誤差”；

滿足舊-切>0.3為“in類誤差”.為進一步研究，該地區水文研究人員從“I類誤差”、"n

類誤差”中隨機抽取3組數據與“m類誤差”數據進行對比，記抽到“I類誤差”的數據的組

數為X,求X的概率分布與數學期望.

￡(%-可(xT)

附：相關系數「=I「,，7304.5^17.4.

整(無「無)2￡(—)2

Vi=li=l

20.如圖，該幾何體是由等高的半個圓柱和1個圓柱拼接而成.C,E,2G在同一平面內，

4

S.CG=DG.

(1)證明：平面B￡D_L平面3CG；

(2)若直線GC與平面A3G所成角的正弦值為萼，求平面BFD與平面A3G所成角的余

弦值.

21.設awR,函數“x)=(x-a)e*+l,其中%￡(0,+oo).

⑴討論的零點個數；

(2)證明：對任意。>1,都存在x>0,使得/(x)+^lna<0.

22.馬爾科夫鏈是概率統計中的一個重要模型，因俄國數學家安德烈?馬爾科夫得名，

其過程具備“無記憶”的性質，即第”+1次狀態的概率分布只跟第兀次的狀態有關，與第

999

〃一1,n-2,〃-3,…次狀態無關,即「（X"/X〃一21xn”尸（匕包區）.已知甲

盒子中裝有2個黑球和1個白球，乙盒子中裝有2個白球，現從甲、乙兩個盒子中各任

取一個球交換放入另一個盒子中，重復〃次這樣的操作.記甲盒子中黑球個數為X“，恰

有2個黑球的概率為g，恰有1個黑球的概率為或.

⑴求為,bI和出，人2；

⑵證明：，。"+6“一|，為等比數歹1」（“22且〃eN*）；

（3）求X”的期望（用〃表示，2且〃6？4*）.

試卷第6頁，共6頁

參考答案:

1.C

【分析】利用復數的四則運算化簡即可.

3+4i(3+4i)(l-i)_71

【詳解】由題得z=TT----------------------1

(l+i)(l-i)22

71

所以」_：i.

22

故選：C

2.A

【分析】由三個事件4B,C相互獨立的充要條件得到答案.

(詳解］三個事件A,B,C相互獨立的充要條件是P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=尸(砌尸(C),

P(AC)=尸(A)P(C),P(ABC)=P(A)P(B)P(C),

故"A,B,C相互獨立”是“尸(ABC)=尸(A)尸(3)尸(C)”的充分不必要條件.

故選：A

3.B

7+2。

【分析】根據表格求得樣本中心點2.5,,回歸直線過樣本中心點，代入解得即可.

4

1+2+3+4I+I+Q+2+47+2Q

【詳解】由表可知，元==2.5,y=

444

7+2。

即樣本中心點為2.5,,代入9=1.卜一°.25,

4

7+2。

得1.1x2.5—0.25=,解得〃=1.5.

4

故選：B.

4.C

【分析】由尸(XWl)=0.36求出夕=0.8,進而P“＜4)=夕=0.8,由此求出尸(。＜丫＜2).

【詳解】因為xB(2,p),YN(2,a2),P(XWl)=0.36,

所以尸(XV1)=(1—0)2+2〃(1一p)=0.36,

解得。=0.8或。=-08(舍)，

由尸(y<4)=p=0.8,貝1」尸(￥24)=1_0.8=0.2,

所以P(0<y<2)=；(l-0.2x2)=0.3.

故選：C.

答案第1頁，共14頁

5.B

【分析】根據古典概型的概率公式計算可得.

【詳解】表內的8個數字分別為4,8,5,4,0,8,0,9,其中大于5的有8,8,9,

???從表內的8個數字（含相同的數字，表周邊數據不算在內）中取1個數字有8種取法，

這個數字大于5的情況有3種取法，

a

這個數字大于5的概率為P=J.

O

故選：B.

6.C

【分析】設出切點坐標（私加，利用導數求得切線方程的斜率，即為直線方程得。+力=1,

再利用基本不等式即可.

【詳解】設切點為（WVZ）,由題得了=—三，

所以切線的斜率％=-------,且"=l+ln（根+6-1）

m+b-1

所以切線方程為了=...——(x-m)+l+ln(m+Z)-l),

m+b—1

ih—\

即y=-------%+-------+ln(m+Z?-l),與直線,二X一。相同,

m+b—1m+b—1

所以，整理得Q+Z?=l,

/,、「4ba、「八

(a+Z?)=5H1—25+2,

當且僅當〃=：2,b1時，42+1：取得最小值9.

33ab

故選：C

7.A

【分析】根據題意可得xy的分布列，E（xr）,E（X）和研y）的值，再根據c°v（x,y）的公

式計算即可.

【詳解】解:XY的分布列為

XY124

答案第2頁，共14頁

Pp(l-p)p1+(\-pfp(l-p)

E(Xy)=lx〃(l-〃)+2x[p2+0_〃)2]+4X〃)=_p2+p+2,

石(x)=2-p,E(r)=p+1,

Cov(X,y)=-p2+〃+2_(2_p)(l+p)=0.

故選：A.

8.A

【分析】由題意首先用反正法得。4時，4>2,與〃“42矛盾；進一步U4滿足題意，由

此即可得解.

【詳解】由題意得q+i—q=—4q+，=(%—2)+，—4,

若/〉4,貝—4.當時，

an-4二(為一。〃-1)+(q-1一%-2)++(々2一弓)之(〃一D(4),

所以4?1+(〃—1)。—4),當—=時,1+(〃—1)。—4)>2,所以〃〃>2,與〃〃42矛盾；

若f=4,貝Ua.+i=a；-3a“+4,得4+i-2=(a“一l)(a“-2),又％=1,所以%=2,a3-2,

所以當"22時，%=2,所以實數f的最大值為4.

故選：A.

【點睛】關鍵點睛：關鍵是當/>4時，可以結合累加法證明%>2,與a,,42矛盾；由此即

可順利得解.

9.ACD

【分析】令x=l,根據系數可得。=-1,根據二項式定理展開，進而逐項分析判斷.

【詳解】令x=l,得(2+4=1,解得。=-|,B錯誤；

5

因為(2x-1)的展開式的通項公式為Tr+l=G(2x)3xV=G(2X廣/=0,1,2,3,4,5,

PT^(2%-1)5=32X5-80X4+80%3-40X2+10%-1,

貝U型3=32/—80尤2+80尤一40+W-Z,則有：

XXX

展開式的常數項為-40,A正確;

答案第3頁，共14頁

展開式中系數最大的項的系數為80,C正確；

所有塞指數為非負數的項的系數和為32-80+80-40=-8,D正確.

故選：ACD.

10.BD

【分析】根據平均數與標準差的公式列出再，％，…，/和%，%，%，以滿足的等式，再代入

4/2,…，句。的平均數與標準差公式化簡求解即可.

【詳解】由題意，xl+x2+---+x6=6x=540,y+%+%+%=4y=320,

故Z]+z?+…+Z[o=&+/+…+%+%+%+%+M=860,貝!Jz=86;

又…+"）一二=6?,?父+貨+￡+才）一丁=42,

故無;+X：+x；…+芯=48816,y；+y；+y；+yj=25664,

則z；+z；H-----1-zf0—+尤;H----Fx：+y：+y\+y；+y；=74480,

故z”z?,…,Z]o的標準差為+Z2-----1-zio）—z=J7448-86?=452=2JIG.

故選：BD

11.BD

【分析】當"=2時，骰子的點數之和是8,列舉出點數中兩個數字能夠使得和為8的情況，

即可判斷A、B,若〃=3時，三次骰子的點數之和是8,16,列舉出在點數中三個數字能夠

使得和為8,16的情況，再按照分類分步計數原理計算可得.

【詳解】解：由題意知正方形ABCD（邊長為2個單位）的周長是8.

當〃=2時，骰子的點數之和是8,列舉出在點數中兩個數字能夠使得和為8的有（2,6）,（3,5）,

（4,4）共3種組合，拋擲骰子是有序的，所以共5種結果，故A錯誤，B正確；

若"=3時，三次骰子的點數之和是8,16,列舉出在點數中三個數字能夠使得和為8,16的

＜（1,2,5）,（1,3,4）,（1,1,6）,（2,2,4）,（2,3,3）,（4,6,6）,（5,5,6）共有7種組合，

前2種組合（125）,（1,3,4）,每種情況可以排列出A；=6種結果，共有2A；=2x6=12種結

果，

其中（1,1,6）,（2,2,4）,（2,3,3）,（4,6,6）,（5,5,6）各有3種結果，共有5x3=15種結果，根

答案第4頁，共14頁

據分類計數原理知共有12+15=27種結果.

故選：BD.

12.BC

【分析】利用和事件的概率公式可得P（A8）=g進而求得尸0耳=；,即A錯誤，B正

確；由條件概率計算公式計算可知C正確，D錯誤.

【詳解】由尸⑻］可知尸⑻

又尸（A+耳=尸（4）+尸⑻-尸（麗）=；可得尸（A可=右，

由P（叫+P（硝=P⑷可得P（AB）q,所以A錯誤；

由尸（入石）+P（A豆）=P（豆）可知，P（AB）=^-,所以B正確；

1

PAB

由條件概率公式可得尸回可=擊，=

=12=1即C正確;

P網16

2

1

又尸（AB）+P（M）=P⑻可得P（施）=］同理P0⑻=子二=4=1,即D錯誤.

乙O

3

故選：BC

【點睛】方法點睛：求解概率計算問題時互斥事件概率的加法公式要靈活變形應用，結合概

率性質即可得出結論.

13.12

【分析】根據百分位數即可求解.

【詳解】將這10個數按由小到大的順序排列為2,3,5,6,7,8,9,12,13,14,

因為10x75%=7.5,所以這組數據的75%分位數為第八個數12.

故答案為：12

14.9450

【分析】根據不平均分組問題，結合排列組合即可求解.

【詳解】將10名志愿者分成4組，每組至少2人，有兩種分組方案：

「2z~i2x^2x~i4

J。

（1）若小組人數分別為2,2,2,4,則有=3150種;

答案第5頁，共14頁

(2)若小組人數分別為2,2,3,3,則有=6300種，所以共有3150+6300=9450

種.

故答案為：9450

79

15.0.79/—

100

【分析】結合頻率分布直方圖與頻率分布表，由全概率公式即可得到答案.

【詳解】記事件A="從柳丁中任取1個為商品果”，

由全概率公式可得

P(A)=0.005x20x0.7+0.015x20x0.8+0.010x(20x0.8+20x0.9+20x0.7)=0.79.

故答案為：0.79.

16.2

【分析】將三棱錐P-ABC置于如圖所示的長方體中，由面面平行的性質定理，判定定理和

線面垂直的判定定理證明四邊形為矩形.再設41=2(0<2<1),EF=2仞，

FG=25/2(1-2),表示出EPGH的面積，由二次函數的性質求解即可.

【詳解】將三棱錐P-ABC置于如圖所示的長方體中,

其中AB=PC=2應，又。。一平面EFG”，。|。2，平面486,

所以平面ABC#平面EFGH,

又平面PABc平面EFG"=￡F,平面PABc平面A^G=45,所以AB//EF,

同理AB〃GH,所以EF//GH；同理FG//PC//EH,

所以四邊形EFGH為平行四邊形.

答案第6頁，共14頁

連接PQi，C01；貝UPaJ_AB,CO,1AB,所以AB2平面PQC,

又尸Cu平面PQC,所以ABLPC,所以EFLFU,所以四邊形EFGH為矩形.

PPFGLr-

設二^=〃0<2<l),則==1一/1,所以EB=2低，FG=272(1-2),

ADPC

所以四邊形EFGH的面積S=￡F.9G=2何x272（1-2）=8（-22+A）=+2,

當2時，Sa=2.

故答案為：2.

【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點在于將三棱錐尸-ABC置于如圖所示的長方體中，由面

面平行的性質定理，判定定理和線面垂直的判定定理證明四邊形所G8為矩形，設

FF

—=2（0<2<1）,由幾表示出四邊形EFGH的面積結合二次函數的性質求解即可.

AB

7

17.（1）61=10,—

（2）認為同學選擇項目的類別與其性別無關

【分析】（1）根據男女同學的比例求。的值，用頻率估計概率求選擇A類項目的概率;

（2）由（1）完善列聯表，求方"并與臨界值對比分析.

【詳解】⑴依題意男女同學的比例為2:1,則奇=2,解得"1°；

25+107

該班同學選擇A類項目的概率為

25+15+10+1012

（2）由（1）完善列聯表可得:

A類B類總計

男同學251540

女同學101020

總計352560

零假設為Ho：同學選擇項目的類別與其性別無關,

力/曰260(25x10-15x10)2

可侍/=40x20x35x25=y?0.857<6.635=x001,

依據小概率值a=。01的獨立性檢驗，沒有充分證據推斷“。不成立,

答案第7頁，共14頁

所以能認為同學選擇項目的類別與其性別無關

18.⑴石

⑵帶

【分析】（1）利用余弦定理化簡即可得到答案；

（2）在ABC中，由（1）及正弦定理得sinA=立，sinB=-,cosB二里,代入

333

cosC=-cos（A+3）解得即可.

【詳解】⑴由AB?C4+C3）=2b2,得Ag.C4+A2C3=2b2,

所以歷cos（兀-A）+accosB=2b2,即accosB-bccosA=2b1,

由余弦定理得Y+=2段,

22

化簡得a=?,即；=有.

b

（2）由（1）及正弦定理得￡=吧4=石，又cosA=逅，Ae（O,7t）,

bsinB3

sinA=，sin5=:，

33

因〃=y/3b>b,則Z>6,

**.cosB=Vl-sin2B=?也，

3

.「Z.「RAV31A/62V2百

??cosC=-cosA4-B=sinAsinB-cosA?cosBR=——x--------x-------=-------.

v733333

19.（1）0.98,汛期遙測雨量y與人工測雨量x有很強的線性相關關系；

（2）分布列見解析,1.

O

【分析】（1）根據參考公式和數據，代入求相關系數，即可判斷相關性強或弱;

（2）根據條件可知X的所有可能取值為0,1,2,3,再根據超幾何分別求分布列和數學期

望.

1010—

可（％-,）^iX-lOxy

i=l1=1

【詳解】（1）因為「=I7oio

店（x「可苴（%-刃2

Vz=li=l

答案第8頁，共14頁

代入已知數據,

357.3-10x34.0217.1…

得「I=/?0.98

"(353.6-10x33.62)x(361.7-10x34.42)V304.5

（2）依題意，“I類誤差”有5組，“n類誤差”有3組，“III類誤差”有2組.

若從“I類誤差”和"II類誤差”數據中抽取3組,

抽到“I類誤差”的組數X的所有可能取值為0,1,2,3.

「31P(X=1)=等15

則尸（x=°）飛-，

556

「2cl1503ro

P(X=2)=等3011，p—A常105

565628

所以X的概率分布為

X0123

115155

P

56562828

所以X的數學期望E（X）=lx1j+2xt+3x1=，.

5628288

另解：因為X~"（3,5,8）,所以典*）=浮=[.

20.（1）證明見解析

⑵半

【分析】（1）連接CE,OG,先證明3FJL平面BCG,然后根據面面垂直的判定得出結論;

（2）建立空間直角坐標系，先根據線面角算出AD,然后在利用法向量求二面角的大小

【詳解】（1）如圖，連接CE,OG,因為該幾何體是由等高的半個圓柱和。個圓柱拼接而成,

4

CG=DG,所以NECD=NDCG=45。，所以/ECG=90。，所以CE_LCG.

答案第9頁，共14頁

因為3c〃加，BC=EF,所以四邊形3CEF為平行四邊形，所以BPCE,所以如，CG.

因為3C1平面AB產，斯u平面A3產，所以3CJ_3P.

因為BC,CGu平面BCG,BCcCG=C,所以3F_L平面BCG,

因為Bbu平面3￡E),所以平面處D_L平面BCG.

(2)如圖，以A為坐標原點建立空間直角坐標系，設AF=2,AD=t,

則A(0,0,0),3(020),F(2,0,0),D(0,0,r),G(-1,1,Z),C(0,2,r),

則AB=(O,2,O),AG=(-l,l,r),GC=(1,1,0),

設平面ABG的一個法向量為m=(x,y,z),

m-AB=0,fy=0,、

則即'c令z=l，則機=(f,0,l),

m-AG=0,|j-x+y+%z=0

記直線GC與平面A5G所成的角為d,

I/---------\iGC-m\AJIQ

則sin6=cos(GC,m)=-。二三，

1'〃GC||m夜x〃+l5

解得/=2(負值舍去)，即A￡>=2.

設平面BED的一個法向量為〃=(4%，)，FB=(—2,2,0),FD=(—2,0,2),

n-FB=0f-2xr+2y=0

則4即4

n?FD-0\—2xr+2zr=0

令￡=1,則幾=(1,1,1).

/\m-n3Vi-5

所以c°s?，〃”印=百耳二號.

因此平面BFD與平面ABG所成角的余弦值為叵.

5

21.(1)答案見解析

答案第10頁，共14頁

(2)證明見解析

【分析】(1)求導，求解函數的單調性，即可結合分類討論以及零點存在定理求解，

(2)將問題轉化為4+山4<陰"+1對任意恒成立，構造函數t=a+lna-1以及

g(x)=e，-x7,求導判斷函數的單調性即可求證.

【詳解】(1)rw=(x-?+i)e\

當a41時，/^%)>0,/⑺在區間(0,+勾上單調遞增，

所以『(無)>/(0)=1-窈0，即/⑴>0,

故f(x)在區間(0,+co)上無零點；

當a>l時，令r(此<0,解得0<x<a-l；令r(x)>0,解得

所以在區間(0,a-1)上單調遞減，在區間(。-1,+8)上單調遞增,

所以/(Ns=)(。-1)=1一右，

因為a>l,所以l—e“T<0,>/(0)=l-fl<0,/(a)=l>0,

由零點存在定理可知/(x)在區間(a-L。)上有唯一的零點，

此時/⑺在區間(0,+8)上有唯一的零點.

綜上，當時，Ax)無零點；當。>1時，/*)有一個零點.

(2)證明：由(1)知當。>1時，/UU=/(a-l)=l-e0-1,

要證存在x>0,使得/0)+匕!1。<0,

a

即證l—e"T+11口。<0對任意a>l恒成立，即證a—ae"T+lna<0對任意々>1恒成立,

a

即證〃+山4<枇"一1對任意魂>1恒成立，即證3+111々<已111。+“一1對任意。>1恒成立，

令，=a+lna—l,a>l,由于y=lna,y=〃-1均為上的單調遞增函數，

故，=a+lnQ-l在a>l上單調遞增，故，=a+lna-l>0,

因此問題轉化為證e'〉，+1對任意”0恒成立，

令ga)=e<％-1,x>0,則<(%)=]—1>0,所以g(x)在區間(0,+◎上單調遞增，

所以g(x)>。，即e"一x—1>0對任意x>(H亙成立，即e'>/+l對任意，>0,恒成立，

即對任意者B存在%>0,使得/(%)+Llna<0.

a

【點睛】方法點睛：利用導數證明或判定不等式問題：

答案第11頁，共14頁

1.通常要構造新函數，利用導數研究函數的單調性與極值（最值），從而得出不等關系；

2.利用可分離變量，構造新函數，直接把問題轉化為函數的最值問題，從而判定不等關系;

3.適當放縮構造法：根據已知條件適當放縮或利用常見放縮結論，從而判定不等關系；

4.構造“形似”函數，變形再構造，對原不等式同解變形，根據相似結構構造輔助函數.

2151

22.^bx=-,ax=-,b2=-,a2=-

（2）證明見解析

⑶儀七）4+旗「

【分析】（1）列舉出所有交換的情況，分別求出概率即可求解，

（2）由根據獨立事件的概率乘法公式，分類逐一討論，即可求解2+|=1-：2-g%，

an+1=hn+^a?,由等比數列的定義即可求證；

（3）利用等比數列的通項求解2%+2=9+2仕［I進而根據期望的計算公式即可求解

""515<6j

E（X“）.

【詳解】（1）若甲盒取黑，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變為1黑2白，乙盒為1黑1

白，概率為；，

若甲盒取白，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變為2黑1白，乙盒為2白，概率為g,

12

所以4=§，

2

①當甲盒1黑2白，乙盒為1黑1白，概率為偽=］,此時：

若甲盒取黑，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變為3白，概率為:=

326

若甲盒取黑，乙盒取黑，此時互換，則甲盒中變為1黑2白，概率為：4義（=!々，

326

211

若甲盒取白，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變為1黑2白，概率為§么義］=§2，

211

若甲盒取白，乙盒取黑，此時互換，則甲盒中變為2黑1白，概率為§偽義］=］么，

②當甲盒2黑1白，乙盒為2白，概率為q=g，此時：

答案第12頁，共14頁

2

若甲盒取黑，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變為1黑2白,概率為,

概率為:勾,

若甲盒取白，乙盒取白，此時互換，則甲盒中變為2黑1白,

,4、f,1,1,2