《6.4.1平面向量在幾何和物理中的運(yùn)用》考點(diǎn)講解【思維導(dǎo)圖】【常見考法】考法一平面向量在幾何中的運(yùn)用【例1-1】中，，則一定是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定【例1-2】已知平面向量，的夾角為，且，．在中，，，為的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【例1-3】中，，是中點(diǎn)，是線段上任意一點(diǎn)，且，則的最小值為（）A．-2 B．2 C．-1 D．1【一隅三反】1．如圖，半徑為1的扇形AOB中，，P是弧AB上的一點(diǎn)，且滿足，M，N分別是線段OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）A． B． C．1 D．2．已知是非零向量，且滿足，則的形狀為（）A．等腰（非等邊）三角形 B．直角（非等腰）三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形3．已知平面四邊形滿足，，，則的長(zhǎng)為（）A．2 B． C． D．考法二平面向量在物理中的運(yùn)用【例2-1】已知兩條繩子提起一個(gè)物體處于平衡狀態(tài).若這兩條繩子互相垂直，其中一條繩子的拉力為50，且與兩繩拉力的合力的夾角為30°，則另一條繩子的拉力為（）A．100 B． C．50 D．【例2-2】．已知兩個(gè)力，的夾角為，它們的合力大小為20N，合力與的夾角為，那么的大小為（）A． B．10 C．20 D．【例2-3】．一只鷹正以與水平方向成30°角的方向向下飛行，直撲獵物，太陽(yáng)光從頭上直照下來(lái)，鷹在地面上的影子的速度是40m/s，則鷹的飛行速度為（）A． B． C． D．【一隅三反】1．長(zhǎng)江流域內(nèi)某地南北兩岸平行，如圖所示已知游船在靜水中的航行速度的大小，水流的速度的大小，設(shè)和所成角為，若游船要從航行到正北方向上位于北岸的碼頭處，則等于（）A． B． C． D．2．一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力，，（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài).已知，成角，且，的大小分別為2和4，則的大小為（）A．6 B．2 C．8 D．3．長(zhǎng)江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過(guò)輪渡進(jìn)行運(yùn)輸如圖所示，一艘船從長(zhǎng)江南岸點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿方向行駛，到達(dá)對(duì)岸點(diǎn)，且與江岸垂直，同時(shí)江水的速度為向東則船實(shí)際航行的速度為（）A． B． C． D．4．一輛小車在拉力的作用下沿水平方向前進(jìn)了米(m)，拉力的大小為牛(N)，方向與小車前進(jìn)的方向所成角為，如圖所示，則所做的功_______．5．如圖，在重300N的物體上拴兩根繩子，這兩根繩子在鉛垂線的兩側(cè)，與鉛垂線的夾角分別為30°，60°，要使整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，兩根繩子的拉力為多少？5．設(shè)作用于同一點(diǎn)的三個(gè)力，，處于平衡狀態(tài)，若，，且與的夾角為，如圖所示．（1）求的大小；（2）求與的夾角．《6.4.1平面向量在幾何和物理中的運(yùn)用》考點(diǎn)講解答案解析考法一平面向量在幾何中的運(yùn)用【例1-1】中，，則一定是（）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不確定【答案】C【解析】因?yàn)橹校瑒t，即，，角為鈍角，所以三角形為鈍角三角形故選【例1-2】已知平面向量，的夾角為，且，．在中，，，為的中點(diǎn)，則的長(zhǎng)等于（）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】A【解析】因?yàn)椋裕瑒t，所以．故選：A．【例1-3】中，，是中點(diǎn)，是線段上任意一點(diǎn)，且，則的最小值為（）A．-2 B．2 C．-1 D．1【答案】C【解析】在直角三角形中，，則，因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，所以.設(shè)，所以當(dāng)，即時(shí)，原式取得最小值為.故選：C.【一隅三反】1．如圖，半徑為1的扇形AOB中，，P是弧AB上的一點(diǎn)，且滿足，M，N分別是線段OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）A． B． C．1 D．【答案】C【解析】由題意可知，以O(shè)為原點(diǎn)，OP所在直線為x軸，OB所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系則，設(shè)所以則所以當(dāng)m=n=0時(shí)所以選C2．已知是非零向量，且滿足，則的形狀為（）A．等腰（非等邊）三角形 B．直角（非等腰）三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形【答案】C【解析】∵，∴，即.∵，∴，即，∴，即.∵，∴，∴為等邊三角形.答案選C3．已知平面四邊形滿足，，，則的長(zhǎng)為（）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則,設(shè)，由，則，所以，又，所以，，即，故選：B.考法二平面向量在物理中的運(yùn)用【例2-1】已知兩條繩子提起一個(gè)物體處于平衡狀態(tài).若這兩條繩子互相垂直，其中一條繩子的拉力為50，且與兩繩拉力的合力的夾角為30°，則另一條繩子的拉力為（）A．100 B． C．50 D．【答案】D【解析】如圖，兩條繩子提起一個(gè)物體處于平衡狀態(tài)，不妨設(shè)，根據(jù)向量的平行四邊形法則，故選：D【例2-2】．已知兩個(gè)力，的夾角為，它們的合力大小為20N，合力與的夾角為，那么的大小為（）A． B．10 C．20 D．【答案】A【解析】設(shè)，的對(duì)應(yīng)向量分別為、，以、為鄰邊作平行四邊形如圖，則，對(duì)應(yīng)力，的合力，的夾角為，四邊形是矩形，在中，，，.故選：A．【例2-3】．一只鷹正以與水平方向成30°角的方向向下飛行，直撲獵物，太陽(yáng)光從頭上直照下來(lái)，鷹在地面上的影子的速度是40m/s，則鷹的飛行速度為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，，且，則.故選:C【一隅三反】1．長(zhǎng)江流域內(nèi)某地南北兩岸平行，如圖所示已知游船在靜水中的航行速度的大小，水流的速度的大小，設(shè)和所成角為，若游船要從航行到正北方向上位于北岸的碼頭處，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意知有即所以，故選：B．2．一質(zhì)點(diǎn)受到平面上的三個(gè)力，，（單位：牛頓）的作用而處于平衡狀態(tài).已知，成角，且，的大小分別為2和4，則的大小為（）A．6 B．2 C．8 D．【答案】D【解析】根據(jù)題意，得，的大小為.故選：D.3．長(zhǎng)江兩岸之間沒有大橋的地方，常常通過(guò)輪渡進(jìn)行運(yùn)輸如圖所示，一艘船從長(zhǎng)江南岸點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿方向行駛，到達(dá)對(duì)岸點(diǎn)，且與江岸垂直，同時(shí)江水的速度為向東則船實(shí)際航行的速度為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意畫出矢量圖如下：為船速及航行方向，，為水速及方向，為實(shí)際航行速度及方向，由此.故選：C.4．一輛小車在拉力的作用下沿水平方向前進(jìn)了米(m)，拉力的大小為牛(N)，方向與小車前進(jìn)的方向所成角為，如圖所示，則所做的功_______．【答案】【解析】拉力可以分解為與平行水平方向的分力和與垂直豎直方向的分力之和，即，其中，∴力對(duì)物體所做的功．故答案為：．5．如圖，在重300N的物體上拴兩根繩子，這兩根繩子在鉛垂線的兩側(cè)，與鉛垂線的夾角分別為30°，60°，要使整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，兩根繩子的拉力為多少？【答案】與鉛垂線成角的繩子的拉力是，與鉛垂線成角的繩子的拉力是.【解析】如圖，作，使，則，.設(shè)向量分別表示兩根繩子的拉力，則表示物體所受的重力，且N.所以(N)，(N)．所以與鉛垂線成30°角的繩子的拉力是，與鉛垂線成60°角的繩子的拉力是.5．設(shè)作用于同一點(diǎn)的三個(gè)力，，處于平衡狀態(tài)，若，，且與的夾角為，如圖所示．（1）求的大小；（2）求與的夾角．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）由題意，，且與的夾角為，（2），，，，，．《6.4.1平面向量在幾何和物理中的運(yùn)用（精練）》同步練習(xí)【題組一平面向量在幾何中的運(yùn)用】1．若,且,則四邊形是()A．平行四邊形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形2．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則等于A．B．C．D．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在邊AC的中線BD上，則·的最小值為（）A．－B．0C．4D．－14．已知正方形的邊長(zhǎng)為3，其所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則的最大值是__________．5．已知直角梯形中，，，，，是腰上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______.6．如圖，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，A＝60°．若D為BC邊上的任意一點(diǎn)，M為線段AD的中點(diǎn)，則的最大值是_____．7．如圖，邊長(zhǎng)為2的菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，若，則的最小值為_______.8．如圖，在矩形中，，，圓M為的內(nèi)切圓，點(diǎn)P為圓上任意一點(diǎn)，且，則的最大值為________.9．如圖，已知等腰梯形中，是的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是_____10．如圖所示，以兩邊為邊向外作正方形和，為的中點(diǎn).求證：.11．如圖，已知正方形ABCD中,E,F分別是CD,AD的中點(diǎn),BE,CF交于點(diǎn)P.求證：（1）BE⊥CF;（2）AP=AB.12．在四邊形中，已知，，，.（1）判斷四邊形的形狀；（2）若，求向量與夾角的余弦值.13．已知是等腰直角三角形，，是邊的中點(diǎn)，，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，求證：.14．在△ABC中,∠C=90°,D是AB的中點(diǎn),用向量法證明CD=AB．【題組二平面向量在物理中的運(yùn)用】1．如圖所示，把一個(gè)物體放在傾斜角為30°的斜面上，物體處于平衡狀態(tài)，且受到三個(gè)力的作用，即重力G，沿著斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的彈力．已知，則G的大小為________，的大小為________．2．如圖所示，兩根繩子把質(zhì)量為1kg的物體吊在水平桿AB上（繩子的質(zhì)量忽略不計(jì)，g=10m/s2），繩子在A，B處與鉛垂方向的夾角分別為，，則繩子AC和BC的拉力的大小分別為______，______.3．如圖所示，一根繩穿過(guò)兩個(gè)定滑輪，且兩端分別掛有和的重物，現(xiàn)在兩個(gè)滑輪之間的繩上掛一個(gè)重量為的物體，恰好使得系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，求正數(shù)的取值范圍.4．設(shè)作用于同一點(diǎn)的三個(gè)力處于平衡狀態(tài)，若，且與的夾角為，如圖所示.（1）求的大小；（2）求的大小.5．如圖所示，把一個(gè)物體放在傾角為的斜面上，物體處于平衡狀態(tài)，且受到三個(gè)力的作用，即重力，沿著斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的彈力.已知，求的大小.6．如圖，一滑輪組中有兩個(gè)定滑輪，，在從連接點(diǎn)出發(fā)的三根繩的端點(diǎn)處，掛著個(gè)重物，它們所受的重力分別為，和．此時(shí)整個(gè)系統(tǒng)恰處于平衡狀態(tài)，求的大小．7．一個(gè)人在靜水中游泳時(shí)，速度的大小為.當(dāng)他在水流速度的大小為的河中游泳時(shí)，（1）如果他垂直游向河對(duì)岸，那么他實(shí)際沿什么方向前進(jìn)（角度精確到1°）？實(shí)際前進(jìn)速度的大小為多少？（2）他必須朝哪個(gè)方向游，才能沿與水流垂直的方向前進(jìn)（角度精確到1°）？實(shí)際前進(jìn)速度的大小為多少？8．已知兩恒力，作用于同一質(zhì)點(diǎn)，使之由點(diǎn)移動(dòng)到點(diǎn).（1）求力、分別對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功；（2）求力、的合力對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功.《6.4.1平面向量在幾何和物理中的運(yùn)用（精練）》同步練習(xí)答案解析【題組一平面向量在幾何中的運(yùn)用】1．若,且,則四邊形是()A．平行四邊形 B．菱形 C．等腰梯形 D．非等腰梯形【答案】C【解析】∵，∴，，∵，∴四邊形是等腰梯形，選：C．2．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，則等于A． B．C． D．【答案】C【解析】如圖，因?yàn)檎叫蔚倪呴L(zhǎng)為，則，因?yàn)椋裕蔬xC．3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝2，CA＝4，P在邊AC的中線BD上，則·的最小值為（）A．－ B．0C．4 D．－1【答案】A【解析】依題意，以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AC，BC所在的直線為x，y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B(0，2)，D(2，0)，所以直線BD的方程為y＝－x＋2，因?yàn)辄c(diǎn)P在邊AC的中線BD上，所以可設(shè)P(t，2－t)(0≤t≤2)，所以＝(t，2－t)，＝(t，－t)，所以·＝t2－t(2－t)＝2t2－2t＝2－，當(dāng)t＝時(shí)，·取得最小值－，故選：A.4．已知正方形的邊長(zhǎng)為3，其所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足，則的最大值是__________．【答案】6【解析】如圖，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，，整理可得，則，，則當(dāng)時(shí)，取得最大值為6.故答案為：6.5．已知直角梯形中，，，，，是腰上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為______.【答案】5【解析】由題：以為軸的正方向建立直角坐標(biāo)系，如圖所示：設(shè)，則，當(dāng)取得最小值.故答案為：56．如圖，在△ABC中，已知AB＝2，AC＝4，A＝60°．若D為BC邊上的任意一點(diǎn)，M為線段AD的中點(diǎn)，則的最大值是_____．【答案】7【解析】由余弦定理得，，所以以B為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，，，，，當(dāng)時(shí)，的最大值，最大值是7.故答案為：7.7．如圖，邊長(zhǎng)為2的菱形的對(duì)角線相交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，若，則的最小值為_______.【答案】【解析】以為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，設(shè)，則①，由得②，由①②解得，故.設(shè)，則，當(dāng)時(shí)取得最小值為.故填：.8．如圖，在矩形中，，，圓M為的內(nèi)切圓，點(diǎn)P為圓上任意一點(diǎn)，且，則的最大值為________.【答案】【解析】以點(diǎn)B為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系如下圖所示，因?yàn)樵诰匦沃校詧AM的半徑為，所以，，，，，圓M的方程為，設(shè)，又，所以，解得，又點(diǎn)P是圓M上的點(diǎn)，所以（為參數(shù)），所以，其中，所以，當(dāng)時(shí)，取得最大值，故答案為：.9．如圖，已知等腰梯形中，是的中點(diǎn)，是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值是_____【答案】【解析】以中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，如下圖所示：由題可知，，設(shè)，，故可得，則，故可得，因的對(duì)稱軸，故可得的最小值為.故答案為：.10．如圖所示，以兩邊為邊向外作正方形和，為的中點(diǎn).求證：.【答案】證明見解析【解析】【解析】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以.又因?yàn)椋裕裕?11．如圖，已知正方形ABCD中,E,F分別是CD,AD的中點(diǎn),BE,CF交于點(diǎn)P.求證：（1）BE⊥CF;（2）AP=AB.【答案】（1）見試題解析；（2）見試題解析【解析】如圖建立平面直角坐標(biāo)系xOy,其中A為原點(diǎn),不妨設(shè)AB=2,則A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(1,2),F(0,1).(1)=(1,2)-(2,0)=(-1,2),=(0,1)-(2,2)=(-2,-1),∵=(-1)×(-2)+2×(-1)=0,∴,即BE⊥CF.(2)設(shè)P(x,y),則=(x,y-1),=(-2,-1).∵,∴-x=-2(y-1),即x=2y-2.同理由,得y=-2x+4,代入x=2y-2,解得x=,∴y=,即P.∴=4=,∴||=||,即AP=AB.12．在四邊形中，已知，，，.（1）判斷四邊形的形狀；（2）若，求向量與夾角的余弦值.【答案】（1）四邊形是等腰梯形.（2）【解析】（1）由題,因?yàn)?,所以,又因?yàn)?,所以四邊形是等腰梯形（2）設(shè),所以,,因?yàn)?所以,解得,所以,,設(shè)向量與夾角為,則,故向量與夾角的余弦值為13．已知是等腰直角三角形，，是邊的中點(diǎn)，，垂足為，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，求證：.【答案】證明見解析【解析】如圖，以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，.設(shè)，則.又因?yàn)椋裕裕獾茫?所以.又因?yàn)椋裕?又因?yàn)椋?14．在△ABC中,∠C=90°,D是AB的中點(diǎn),用向量法證明CD=AB．【答案】見解析【解析】如圖所示，設(shè)=，=，則與的夾角為90°，故=0.∵=-，(+)，∴||=|+|==，||=|-|==.∴=，即CD=AB.【題組二平面向量在物理中的運(yùn)用】1．如圖所示，把一個(gè)物體放在傾斜角為30°的斜面上，物體處于平衡狀態(tài)，且受到三個(gè)力的作用，即重力G，沿著斜面向上的摩擦力，垂直斜面向上的彈力．已知，則G的大小為________，的大小為________．【答案】【解析】如圖，由向量分解的平行四邊形法則，計(jì)算可得：故答案為：2．如圖所示，兩根繩子把質(zhì)量為1kg的物體吊在水平桿AB上（繩子的質(zhì)量忽略不計(jì)，g=10m/s2），繩子在A，B處與鉛垂方向的夾角分別為，，則繩子AC和BC的拉力的大小分別為______，______.【答案】5N【解析】設(shè)繩子AC和BC的拉力分別為，，物體的重力用表示，則，.如圖，以C為起點(diǎn)，分別作，，，則，，∴，，∴繩子AC的拉力大小為，繩子BC的拉力大小為5N.故答案為：，5N3．如圖所示，一根繩穿過(guò)兩個(gè)定滑輪，且兩端分別掛有和的重物，現(xiàn)在兩個(gè)滑輪之間的繩上掛一個(gè)重量為的物體，恰好使得系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，求正數(shù)的取值范圍.【答案】【解析】如圖建立坐標(biāo)系，記OB、OA與軸的正半軸的夾角分別為，則由三角函數(shù)定義得，，由于系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，∴∴，【方法一】移項(xiàng)，（1）、（2）平方相加得：，即，而存在正數(shù)使得系統(tǒng)平衡，∴△＝，∴.（因滑輪大小忽略，寫成亦可，不扣分．這時(shí)均為0）由（*）解得，由（2）式知∴，這是關(guān)于的增函數(shù)，∴正數(shù)的取值范圍為.【方法二】（1）、（2）平方相加得：，由（1）知，，而∴隨單調(diào)遞增，∴（這里的銳角滿足，此時(shí)）且（寫成不扣分，這時(shí)均為0）∴從而，∴，即，∴,∴正數(shù)的取值范圍為.4．設(shè)作用于同一點(diǎn)的三個(gè)力處于平衡狀態(tài)，若，且與