2023學(xué)年奉賢區(qū)高三第二次模擬卷

皿I、、九

數(shù)學(xué)

（滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改

動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本

試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1?6題每題4分，第7?12題每題5分）

考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.

1.已知復(fù)數(shù)z=（3—4i）-i（i為虛數(shù)單位），則2=.

2.不等式歸―的解集為.

3.拋物線產(chǎn)=?上一點(diǎn)到點(diǎn)（L°）的距離最小值為.

4.已知圓錐的底面半徑為母線長為2,則該圓錐的側(cè)面積為.

5.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布NR，/），且P（2<X42.5）=0.36,則P（X>2.5）=

6,已知且2cos2tz—3cosc=5,則。=.

___:,C（q）

7.某商品成本c與產(chǎn)量q之間滿足關(guān)系式c=°（q）,定義平均成本c=c（q）,其中q，假

。⑷=。+100

設(shè)4,當(dāng)產(chǎn)量等于時(shí)，平均成本最少.

8.已知向量｝=（2,-1）,則6在a方向上的投影向量為.

9.已知多項(xiàng)式—=%+q%+。2%2+。3%3+。，+。5%5+。6%6對(duì)_切實(shí)數(shù)力恒成立，則

。0+Q3=

10.學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3Q打印技術(shù)制作模型，如圖所示.該模型為長方體ABC。—A4G“中挖

去一個(gè)四棱錐°—EFS,其中。為長方體的中心，E,F,G,"分別為所在棱的中點(diǎn),

AB=BC=4cm,M=2cm,3D打印所用原料密度為/cn?.不考慮打印損耗，制作該模型所需原

料的質(zhì)量為g.

n.點(diǎn)P是棱長為I的正方體ABC—A4Goi棱上一點(diǎn)，則滿足歸=2的點(diǎn)尸的個(gè)數(shù)為

w>0,|^|<|

12.函數(shù)y=sin(wx+9)圖像記為曲線R如圖所示4,B,C是曲線R與坐標(biāo)軸相交

的三個(gè)點(diǎn)，直線BC與曲線廠的圖像交于點(diǎn)加，若直線AM的斜率為左,直線8加的斜率為“2,

心表示）

二、填空題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）

考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接涂寫結(jié)果.

13.設(shè)某大學(xué)的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)

(xi，yi)(i=l,2,n),用最小二乘法建立的回歸方程為＞=0.85x-85.71,則下列結(jié)論中不正確的是

A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系

B.回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(1亍)

C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kg

D.若該大學(xué)某女生身高為170cm,則可斷定其體重必為58.79kg

14.已知函數(shù)丁=/(%)，其中y=%2+i,y=g(x),其中g(shù)(x)=4sinx,則圖象如圖所示的函數(shù)可能

B.

A.,=小44)g⑺

c.y=/(x)+g(x)—1D.y=/(x)_g(x)_l

15.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4，5,6從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球.甲表

示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1"，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的

球的數(shù)字之和是5”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是6"，則().

A.甲與乙相互獨(dú)立B.乙與丙相互獨(dú)立

C.甲與丙相互獨(dú)立D.乙與丁相互獨(dú)立

7T

16.如圖，在等腰梯形A3CD中，AD//BC,AD=1,BC=mgl),=—.點(diǎn)E是線段A3上

3

DF

一點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段。C上，——=t.

DC

命題①：若=則E/JAQ隨著?的增大而減少.

A石1rrj_1

命題②：設(shè)——=%,若存在線段E尸把梯形A8CD的面積分成上下相等的兩個(gè)部分，那么％2——，

AB2m

t=f(x)隨著X的增大而減少.

則下列選項(xiàng)正確的是(

B

A.命題①不正確，命題②正確B.命題①，命題②都不正確

C.命題①正確，命題②不正確D.命題①，命題②都正確

三、解答題（本大題共有5題，滿分78分，第17?19題每題14分，第20?21題每題18

分）需要寫出相應(yīng)的過程.

17.已知｛4｝是公差4=2的等差數(shù)列，其前5項(xiàng)和為15,｛〃｝是公比4為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列，仄=1,

b4-b2=6.

（1）求｛%｝和也｝的通項(xiàng)公式；

n

（2）設(shè)c"=2""+b2n（;i>l,neN）,計(jì)算'q.

1=1

18.某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)

得到下表（單位：天）：

鍛煉人次

[0,200](200,400](400,600]

空氣質(zhì)量等級(jí)

1（優(yōu)）31825

2（良）6X14

3（輕度污染）556

4（中度污染）630

（1）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；

（2）若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4,則稱這

天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，請(qǐng)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)判斷：一天中到該公園鍛煉

的人次是否與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？（規(guī)定顯著性水平a=0.05）

人次“00人次>400總計(jì)

空氣質(zhì)量好

空氣質(zhì)量不好

總計(jì)

22

附：j=-------"(小反)--------P(z>3.841)^0.05

/(a+b)(c+4(a+c)9+d)11

19.如圖1是由兩個(gè)三角形組成的圖形，其中NAPC=90°，ZPAC=30°，AC=2AB,

ZBCA^30°.將三角形ABC沿AC折起，使得平面Q4CL平面ABC,如圖2.設(shè)。是AC的中點(diǎn),

。是針的中點(diǎn).

圖1圖2

(1)求直線與平面PAC所成角的大小；

(2)連接PB,設(shè)平面￡石0與平面P5C交線為直線/,判別/與尸C的位置關(guān)系，并說明理由.

22

20.己知曲線C：?+1_=l,。是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)T(l,0)的直線4與曲線。交于P,。兩點(diǎn).

(1)當(dāng)人與了軸垂直時(shí)，求△OPQ的面積；

(2)過圓f+y2=6上任意一點(diǎn)M作直線M4,MB,分別與曲線。切于A,3兩點(diǎn)，求證：

（3）過點(diǎn)N（/,0）（〃〉2）的直線4與雙曲線后->2=1交于R,S兩點(diǎn)（小，2不與X軸重合）.記直線

77?的斜率為信尺，直線TS斜率為得5，當(dāng)NONP=NONQ時(shí)，求證：〃與《■&+《■5都是定值.

21.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)y=/（x）,其圖象是連續(xù)的曲線，且存在定義域也為R的導(dǎo)函數(shù)丁=/'（尤）.

（1）求函數(shù)/（九）=ev+-x在點(diǎn)（0,/（0））的切線方程；

（2）已知/（x）=acosx+bsinx,當(dāng)。與b滿足什么條件時(shí)，存在非零實(shí)數(shù)上，對(duì)任意的實(shí)數(shù)x使得

/（-%）=-kf'（%）恒成立？

（3）若函數(shù)y=/（x）是奇函數(shù)，且滿足〃x）+/（2—x）=3.試判斷/'（x+2）=/'（2—%）對(duì)任意的實(shí)數(shù)

x是否恒成立，請(qǐng)說明理由.

參考答案

一、填空題（本大題共有12題，滿分54分,第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）

考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫結(jié)果.

1.已知復(fù)數(shù)z=G—4i）-i（i為虛數(shù)單位），則2=.

【答案】4+3i

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則即可計(jì)算.

【詳解】z=（3-4i）-i=3i-4i2=4+3i.

故答案為：4+3i.

2.不等式2|<1的解集為.

【答案】（1,3）

【解析】

【分析】利用絕對(duì)值不等式的解法求解.

【詳解】由卜―2]<1得—1<X—2<1,解得1<X<3,

故不等式卜―2卜1的解集為(1,3).

故答案為：(1,3).

3.拋物線y2=4x上一點(diǎn)到點(diǎn)(1,0)的距離最小值為.

【答案】1

【解析】

2

【分析】在拋物線上任取一點(diǎn)A(,,y),計(jì)算它到定點(diǎn)(1,0)的距離，求其最小值即得.

2

【詳解】設(shè)拋物線/=4x上一點(diǎn)4(乙,y),則點(diǎn)A到點(diǎn)5(1,0)的距離為

-4'

>=Ui=柏+：+1=用+1)2=%」

因丁6口,則>220,故當(dāng)y=0時(shí)，拋物線/=4%上任一點(diǎn)A到點(diǎn)3(1,0)的距離最小值為1.

故答案為：L

4.已知圓錐的底面半徑為血，母線長為2,則該圓錐的側(cè)面積為.

【答案】2夜兀

【解析】

【分析】利用圓錐的側(cè)面積公式求解.

【詳解】解：因?yàn)閳A錐的底面半徑為起,母線長為2,

所以圓錐的側(cè)面積為S=nrl=2y/2n，

故答案為：2屈n

5.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布NR,。?)，且P(2<X42.5)=0.36,則P(X>2.5)=

7

【答案】0.14##—.

50

【解析】

【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的性質(zhì)即可解出.

【詳解】因?yàn)閤N（2,吟,所以P（X<2）=P（X>2）=0.5,因此

尸（X>2.5）=P（X>2）-P（2<X<2.5）=0.5-0.36=0.14.

故答案為：0.14.

6.已知。?0,兀],且2cos2c-3cosc=5,貝何=.

【答案】兀

【解析】

【分析】由倍角公式化簡方程，解出cosa,得e的值.

【詳解】已知2cos2a-3cosa=5,由倍角公式得

4cos2a_3cosa-7=（4cosa-7）（coso+l）=0,

由。￡[0,可，cos6ife[-l,1],解得coso=—1,則戊=兀.

故答案為：兀.

7.某商品的成本C與產(chǎn)量4之間滿足關(guān)系式c=c（q）,定義平均成本e=心（4）,其中心=詈，假

設(shè)C（4）=；/+100,當(dāng)產(chǎn)量等于時(shí)，平均成本最少.

【答案】20

【解析】

—q100

【分析】根據(jù)條件得到C=++——，再利用基本不等式，即可求出結(jié)果.

4q

I2

100

【詳解】由題知稱.=C（q）+100：.JOO;：\q_10.

qq4qy4q

q100“

當(dāng)且僅當(dāng)9=——，即q=20時(shí)取等號(hào)，

4q

故答案為：20.

8.已知向量a=（l,1）,方=（2,-1）,則6在a方向上的投影向量為

【答案】3

【解析】

【分析】根據(jù)投影向量公式求出答案.

b-aa_1(1,1)

【詳解】6在a方向上的投影向量為|a||a|^25/2以I

故答案為:

9.已知多項(xiàng)式+=%+4%+〃2%2+。3%3+。4%4+。5%5+〃6%6對(duì)一切實(shí)數(shù)入恒成立，則

。0+。3-__________________

【答案】1

【解析】

【分析】賦值x=0可得％=1,再用通項(xiàng)求出%=0,相加即可.

【詳解】令九=0可得4=1,

又(1—X)5展開式的通項(xiàng)為乙|=G(—%)',

令r=3可得C；(—W=—10；令r=2,可得C；(―=10,

所以生=1x(—10)+1x10=0,

所以。0+。3=L

故答案為：1.

10.學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3。打印技術(shù)制作模型，如圖所示.該模型為長方體ABC。-A4GR中挖

去一個(gè)四棱錐o—EPS,其中。為長方體的中心，E,F,G,H分別為所在棱的中點(diǎn)，

AB=BC=4cm,M=2cm,3。打印所用原料密度為0.9g/cn?.不考慮打印損耗，制作該模型所需原

料的質(zhì)量為g.

【答案】—

【解析】

【分析】根據(jù)幾何體形狀分別求出長方體體積和四棱錐O-EFGH的體積，相減得出模型體積即可求得所

需原料的質(zhì)量.

【詳解】易知四棱錐O—EFGH的底面積SEFGH=SBCGB]—4SECF=4x2—4xgx2xl=4,

高為〃=2cm,

18,

EFGH3

所以四棱錐O—ER3H的體積為%V*1^1\J11=-x4x2=-cm,

長方體ABCD-451GA為V=4x4x2=32cm3，

QQQ

因此該模型的體積為32-2二一cn?,

33

QQ132

所以該模型所需原料的質(zhì)量為一x0.9=——g.

35

132

故答案為：—^―

11.點(diǎn)P是棱長為1的正方體ABC。—A4G。］棱上一點(diǎn)，則滿足|則+盧￡|=2的點(diǎn)p的個(gè)數(shù)為

【答案】6

【解析】

【分析】由橢圓的定義可得P點(diǎn)的軌跡，再找到與正方體棱的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可.

【詳解】因?yàn)檎襟wABC。—A4GR的棱長為1,所以|ACJ=JL

又|R4|+|P￡|=2,

所以點(diǎn)P是以2c=G為焦距，以。=1為長半軸，以4=4/—=g為短半軸的橢球上的一點(diǎn),且焦

點(diǎn)分別為A￡,

所以點(diǎn)尸是橢球與正方體棱的交點(diǎn)，在以A，C為頂點(diǎn)的棱上，所以共有6個(gè)，

故答案為：6.

12.函數(shù)y=sin(”K+。)\〉0,閘的圖像記為曲線R如圖所示AB,C是曲線廠與坐標(biāo)軸相交

的三個(gè)點(diǎn)，直線3c與曲線廠的圖像交于點(diǎn)若直線40的斜率為左，直線3M的斜率為左2，

【解析】

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)寫出A5cM的坐標(biāo)，求出左，占，左，然后確定它們的關(guān)系.

2左兀一①

【詳解】由題意皿%+。=2E，左EZ,X=.........-,則W%A+0=2E+TI#￡Z,

CW

2kn+Ti-(p

XA~'

W

\iII兀/口八71n.rJI/2(2^71—(D).

B(0,sin(p),由°<一得0<0<一,則---------,-sin(p),

22w

_wsin。_wsin/_wsin^

1AB

(p-2kli+TI'2g)_2kit'(p-2kji-7i"

211,,k、k,

所以廠一廠=5-，又42/2左，所以kAB=J}一丁，

k2k{KABZk{-k2

kh

故答案為：乂匕.

二、填空題（本大題共有4題，滿分18分，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分）

考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接涂寫結(jié)果.

13.設(shè)某大學(xué)女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)

（xi,yi）（i=l,2,n）,用最小二乘法建立的回歸方程為y=0.85x-85.71,則下列結(jié)論中不正確的是

A.y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系

B.回歸直線過樣本點(diǎn)的中心（17）

C.若該大學(xué)某女生身高增加1cm,則其體重約增加0.85kg

D,若該大學(xué)某女生身高為170cm,則可斷定其體重必為58.79kg

【答案】D

【解析】

【詳解】根據(jù)y與x的線性回歸方程為y=O.85x-85.71,則

飛=0.85>0,y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系，A正確；

回歸直線過樣本點(diǎn)的中心（京》），B正確；

該大學(xué)某女生身高增加1cm,預(yù)測其體重約增加0.85kg,C正確；

該大學(xué)某女生身高為170cm,預(yù)測其體重約為0.85義170-85.71=58.791^,D錯(cuò)誤.

故選D.

14.已知函數(shù)y=/（x）,其中y=%2+i,y=g（x）,其中g(shù)（x）=4sin九，則圖象如圖所示的函數(shù)可能

_/（X）

艮”國

c.y=f(x)+g(x)-lD.y=〃x)_g(x)_l

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象和/(X),g(x)的奇偶性判斷.

【詳解】易知/(%)=犬+1是偶函數(shù)，g(x)=4sinx是奇函數(shù)，給出的函數(shù)圖象對(duì)應(yīng)的是奇函數(shù),

A.y=^(x)=￡3=31W，定義域?yàn)镽,

f(x)r+i

4sin(—x)4sinx

又M-x)=(_xj+；=-=-3),所以妝％)是奇函數(shù)，符合題意，故正確；

B.y=—^=——,X手kn,kwZ,不符合圖象，故錯(cuò)誤；

g(x)4smx

C.y=/i(x)=/(x)+g(x)-l=x2+l+4sinx-l=x2+4sinx,定義域?yàn)镽,

但x)w—〃(x),故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；

D.y=/z(x)=/(x)-g(x)-l=x2+l-4sinx-l=x2-4sinx,定義域?yàn)镽,

但刈―x)w/z(x)/(—x)w—〃(x),故函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤，

故選：A

15.有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2,3,4,5,6從中有放回地隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球.甲表

示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的

球的數(shù)字之和是5”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是6"，則().

A.甲與乙相互獨(dú)立B.乙與丙相互獨(dú)立

C.甲與丙相互獨(dú)立D.乙與丁相互獨(dú)立

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題意分別求出事件的概率，再根據(jù)相互獨(dú)立滿足的概率公式判斷即可.

【詳解】由題意得，「(甲)=」，p(乙)=!，p(丙)=二=!，p(丁)=±=三

666x696x636

對(duì)于A,P(甲乙)=上，所以P(甲)xP(乙)=P(甲乙)，所以甲與乙相互獨(dú)立，故A正確;

36

對(duì)于B,P（乙丙）=',所以P（乙）xP（丙）（乙丙），所以乙與丙不是相互獨(dú)立，故B不正確;

對(duì)于C,P（甲丙）=二，所以P（甲）xP（丙）（甲丙），所以甲與丙不是相互獨(dú)立，故C不正確;

對(duì)于D,P（乙丁）=',所以P（乙）xP（丁）（乙丁），所以乙與丁不是相互獨(dú)立，故D不正確.

故選：A.

7T

16.如圖，在等腰梯形A3CD中，AD//BC,AD=1,BC=m（m>l）,=點(diǎn)E是線段A3上

3

DF

一點(diǎn)，點(diǎn)尸在線段。C上，一=t.

DC

命題①：若=則..AD隨著?的增大而減少.

命題②：設(shè)——=x,若存在線段反把梯形A3CD的面積分成上下相等的兩個(gè)部分，那么一■

AB2m

t=f（x）隨著無的增大而減少.

則下列選項(xiàng)正確的是（）.

AD

BC

A.命題①不正確，命題②正確B.命題①，命題②都不正確

C.命題①正確，命題②不正確D.命題①，命題②都正確

【答案】A

【解析】

【分析】由向量的投影得出①錯(cuò)誤;用X,加表示出各面積，再由S1+62=53+64得到2/（力=（加+]

最后求導(dǎo)可得②正確.

【詳解】命題①錯(cuò)誤，理由如下：

EF-AD的大小等價(jià)于EF在AD上的投影,

由圖可知，投影是不斷增加的;

命題②正確，理由如下:

G

設(shè)S,S=SS

Si=SADE,S2=FDE3FCE,S4=BCE，

m—1

因?yàn)锽C=m,AB——-—=m—1,

71

cos—

3

做由，OC,垂足為H,

所以/z=￡H=(EA+AG)sinNG=[%(加-1)+1]sin60°,

所以&=gx(%—l)sinl20°,

S=-x

22

S3=QX曰[%(根_i)+i](i_0(加_i),

S4=^m(l-x)(m-l)sin60°,

又S1+S2H3+S4,

m+l-2x

所以化簡得到21x)=

(m+l)x+1

z、—2—(772+1)

求導(dǎo)可得2f(x)=-一―、＜。恒成立，

|_(m+l)x+lj

所以/=/(尤)隨著X的增大而減少，故②正確;

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題②關(guān)鍵是作出輔助線后用工,機(jī)表示出各三角形的面積，再求導(dǎo)判斷即可.

三、解答題(本大題共有5題，滿分78分，第17-19題每題14分，第20-21題每題18

分)需要寫出相應(yīng)的過程.

17.己知｛4｝是公差d=2的等差數(shù)列，其前5項(xiàng)和為15,｛包｝是公比4為實(shí)數(shù)的等比數(shù)列，4=1,

仇-d=6.

(1)求｛4｝和｛%｝的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)%nZq+a.SNl/eN),計(jì)算

Z=1

nl

【答案】(1)an=2n-3,bn=2~；

(2)

【解析】

【分析】(1)根據(jù)等差數(shù)列前“項(xiàng)和公式求出%;根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求出g；從而可得｛4｝和｛〃｝的

通項(xiàng)公式；

(2)求出％,根據(jù)其為等比數(shù)列，利用等邊數(shù)列前〃項(xiàng)和公式即可求解.

【小問1詳解】

5x4

'：d=2,>S5=5^+^—x2=15,：.ax=-\,：.an^2n-3.

：4=1,且“一4=6,二一q=6,=2,二bn=2'T.

【小問2詳解】

2,,3

由題可知，cu=2-+22"T=之x4",

8

等比數(shù)列求和，首項(xiàng)為2,公比4,

1=12

,,￡c,

i=l1-46V)

18.某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)

得到下表(單位：天)：

鍛煉人次

[0,200](200,400](400,600]

空氣質(zhì)量等級(jí)

1（優(yōu)）31825

2（良）6X14

3（輕度污染）556

4（中度污染）630

（1）求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；

（2）若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1或2,則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級(jí)為3或4,則稱這

天“空氣質(zhì)量不好”.根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，請(qǐng)根據(jù)表中的數(shù)據(jù)判斷：一天中到該公園鍛煉

的人次是否與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？（規(guī)定顯著性水平a=0.05）

人次“00人次＞400總計(jì)

空氣質(zhì)量好

空氣質(zhì)量不好

總計(jì)

附：—產(chǎn)以小,P(/23.841b0.05.

[a+b)[c+d)(a+c)[b+d)'/

【答案】（1）350（2）列聯(lián)表見解析，一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)

【解析】

【分析】（1）根據(jù)加權(quán)平均數(shù)公式計(jì)算即得；

（2）根據(jù)表格信息完成2x2列聯(lián)表，計(jì)算出的值，將其與小概率0.05對(duì)應(yīng)的恁=3.841比較即得

結(jié)論.

【小問1詳解】

100x20+300x35+500x45

由題知，一天中到該公園鍛煉的平均人次約為:=350即一天中到該公園

100

鍛煉的平均人次的估計(jì)值為350.

【小問2詳解】

根據(jù)所給數(shù)據(jù)，計(jì)算出尤=9,則完成2x2列聯(lián)表為:

人次“00人次>400總計(jì)

空氣質(zhì)量好363975

空氣質(zhì)量不好19625

總計(jì)5545100

假設(shè)一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量無關(guān).

100(36x6-19x39)2

“5.9394,

55x45x25x75

由力2>3.841可得，原假設(shè)不成立，

即一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān).

19.如圖1是由兩個(gè)三角形組成的圖形，其中NAPC=90°，NPAC=30°，AC=2AB,

ZBCA3Q°.將三角形ABC沿AC折起，使得平面平面ABC,如圖2.設(shè)。是AC的中點(diǎn),

。是AP的中點(diǎn).

圖1圖2

(1)求直線6D與平面PAC所成角的大小；

(2)連接依，設(shè)平面￡住0與平面尸5c的交線為直線/,判別/與PC的位置關(guān)系，并說明理由.

TT

【答案】(1)—;

3

(2)1//PC,理由見解析.

【解析】

【分析】(1)過8作陰，AC于〃，連接，可證5"J_平面PAC,則ZBDH為直線與平面PAC

所成角，解三角形即可求解；

(2)根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可判斷.

【小問1詳解】

過2作陰，AC于H,連接￡)/7，

?.?平面K4C,平面ABC,且平面PAC「平面ABC=AC,BHLAC,

?1?，平面PAC,AZBDH為直線BD與平面PAC所成角.

VAC=2AB,不妨設(shè)AB=a,AC=2a,

ABAC

在，ABC中，由正弦定理得------=-----二>sinB=1=>8=90.

sin30sinB

易用PC=a,AP=6a,AD=昱a,AH=巴，

22

DH=A/A￡>*23+AH--2AD-AH-cos^PAC=-,

2

C1BH-

...在中，BH=—a,DH=-a，tanZBDH=——=6,

22DH

TT

???直線BD與平面PAC所成角的大小為一.

3

【小問2詳解】

：。是AC的中點(diǎn)，。是AP的中點(diǎn)，二。。〃尸C；

又?/PCu平面尸8C,DO<ZPBC,。。〃平面PBC-,

又平面DBO\1平面PBC=I,：.DO〃I,

：.I//PC.

22

20.己知曲線c：?+q_=i,。是坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)T(L0)的直線4與曲線。交于P，Q兩點(diǎn).

（1）當(dāng)4與X軸垂直時(shí)，求△OPQ的面積;

（2）過圓V+y2=6上任意一點(diǎn)V作直線M4,MB,分別與曲線C切于A,3兩點(diǎn)，求證:

MA±MB-,

（3）過點(diǎn)N（〃,0）（〃>2）的直線6與雙曲線丁=1交于氏，s兩點(diǎn)（/-4不與》軸重合）.記直線

77?的斜率為勺葉直線TS斜率為&3，當(dāng)NONP=NONQ時(shí)，求證：〃與&■丑+左不都是定值.

（2）證明見解析（3）證明見解析

【解析】

【分析】（1）將％=1代入橢圓方程，求出V,再計(jì)算三角形面積；

（2）設(shè)M5,%），當(dāng)5=±2時(shí)求出為,從而確定M、A、B（一組）坐標(biāo)，說明也，嶇，當(dāng)/力±2

時(shí)，設(shè)力必，MB的斜率分別為尢，左2，直線他4：丁一為=左（1一/）,得到聯(lián)立直線與橢圓的方程，由

A=0得到化為關(guān)于左的一元二次方程為（就一4）42—2/為左+y；-2=0,利用韋達(dá)定理得到

勺?幺=咚心，即可得證；

■蒞一4

（3）設(shè)P（王，M）、。（4,F2）、氏（％3，乂）、S?,%），直線PN、QN的斜率分別為勺>N、kQN>設(shè)直線

/］：x=6+l,聯(lián)立直線4與曲線C的方程，消元、列出韋達(dá)定理，由NONP=NONQ得kpN+kQN=。，

即可求出〃，設(shè)直線4：x=py+4,與雙曲線聯(lián)立，消元、列出韋達(dá)定理，由斜率公式計(jì)算可得.

【小問1詳解】

由題可知，直線為x=l,

代入橢圓方程三+$=1,解得＞=土"，

422

所以S°po=gxCxl=^.

【小問2詳解】

設(shè)M?,%),

當(dāng)％=±2時(shí)，為=±拒，不妨取土(2,、歷b4(2,0),3(0,⑹，

則AV=(0,⑹，=(2,0),所以AM-3M=0，即例,姐成立；

當(dāng)尤o*±2時(shí)，設(shè)AM,MB的斜率分別為尢，左2，直線舷4：丁一為=k(%—％0),

y-y0=k(x-x0)

22222

由＜=>(2k+l)x+4左(%-kx0)x+2(kx0-y0)-4=0,

-x------,1--y-------,i1

142

因?yàn)橹本€M4與橢圓相切，所以A=0,

即16左2(&0-%)2—4(242+l)[2(fcc0-%)2—4]=0,

2

化簡可得(kx0-y0)-2(2/+1)=0,

化為關(guān)于k的一元二次方程為(x；-4*-2x0y0k+y；-2=0,

所以勺-k2=普~

年-4

因?yàn)椤?%,%)在圓上，所以片+y；=6,

6-X2-?

代入上式可得%?左220=T，

玉)—4

綜上可得/4±MB.

y.

【小問3詳解】

設(shè)P（無1，%）、。（尤2,%）、氏（尤3，%）、SI%,%），

直線PN、QN的斜率分別為左兩、kQN,

設(shè)直線，i：x=6+l,與橢圓聯(lián)立得（父+2）/+2。—3=0,

2k3

則A〉0,X+%一鼻‘X%"K'

由ZONP=ZONQ得kpN+kQN=0,

二%(僅』)+%(如

即kpN+k°NX?%+1+j)=Q

xx-nx2-n(J<y1+1-n)(Zry2+1-n)

計(jì)算分子部分：%(檢+1-〃)+%(如+1-〃)

=2磔%+。—〃)(％+%)

—2kSk+2kn

=2.7H1(一E3)J+(1一辦E==所以"=4'

設(shè)直線4：X=py+4,與雙曲線聯(lián)立得(