押江蘇無錫卷第27-28題押題方向一：特殊四邊形的綜合問題3年江蘇無錫卷真題考點命題趨勢2023年江蘇無錫卷第27題特殊四邊形的綜合問題從近年江蘇無錫中考來看，特殊四邊形的綜合問題是近幾年江蘇無錫中考的必考題，綜合性較強，有點難度；預(yù)計2024年江蘇無錫卷還將繼續(xù)重視特殊四邊形的綜合問題的考查。2022年江蘇無錫卷第27題特殊四邊形的綜合問題2021年江蘇無錫卷第28題特殊四邊形的綜合問題1．（2023·江蘇無錫·中考真題）如圖，四邊形是邊長為的菱形，，點為的中點，為線段上的動點，現(xiàn)將四邊形沿翻折得到四邊形．

(1)當(dāng)時，求四邊形的面積；(2)當(dāng)點在線段上移動時，設(shè)，四邊形的面積為，求關(guān)于的函數(shù)表達式．【答案】(1)(2)【分析】（1）連接、，根據(jù)菱形的性質(zhì)以及已知條件可得為等邊三角形，根據(jù)，可得為等腰直角三角形，則，，根據(jù)翻折的性質(zhì)，可得，，則，；同理，，；進而根據(jù)，即可求解；（2）等積法求得，則，根據(jù)三角形的面積公式可得，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得出，根據(jù)即可求解．【詳解】（1）如圖，連接、，四邊形為菱形，，，為等邊三角形．為中點，，，，．，為等腰直角三角形，，，翻折，，，，；.同理，，，∴；（2）如圖，連接、，延長交于點．，，，．∵，，．，則，，，．∵，．【點睛】本題考查了菱形與折疊問題，勾股定理，折疊的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇無錫·中考真題）如圖，已知四邊形ABCD為矩形，，點E在BC上，，將△ABC沿AC翻折到△AFC，連接EF．(1)求EF的長；(2)求sin∠CEF的值．【答案】(1)(2)【分析】(1)先由可求得的長度，再由角度關(guān)系可得，即可求得的長;(2)過F作于，利用勾股定理列方程，即可求出的長度，同時求出的長度，得出答案.【詳解】（1）設(shè)，則，∴，在中，，∴，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，由折疊可知，∴，，∴，∴，在中，.（2）過F作FM⊥BC于M，∴∠FME=∠FMC=90°，設(shè)EM=a,則EC=3-a，在中，，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴.【點睛】此題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理，矩形的性質(zhì)，通過添加輔助線構(gòu)建直角三角形是解題的關(guān)鍵．3．（2021·江蘇無錫·中考真題）已知四邊形是邊長為1的正方形，點E是射線上的動點，以為直角邊在直線的上方作等腰直角三角形，，設(shè)．（1）如圖1，若點E在線段上運動，交于點P，交于點Q，連結(jié)，①當(dāng)時，求線段的長；②在中，設(shè)邊上的高為h，請用含m的代數(shù)式表示h，并求h的最大值；（2）設(shè)過的中點且垂直于的直線被等腰直角三角形截得的線段長為y，請直接寫出y與m的關(guān)系式．【答案】（1）①；②，h最大值=；（2）【分析】（1）①過點F作FM⊥BC，交BC的延長線于點M，先證明，可得FM=，CM=，進而即可求解；②由，得CP=，把繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得，可得EQ=DQ+BE，利用勾股定理得DQ=，EQ=，QP=，結(jié)合三角形面積公式，即可得到答案；（2）以點B為坐標原點，BC所在直線為x軸，建立直角坐標系，則E(m，0)，A(0，1)，F(xiàn)(1+m，m)，從而求出AE的解析式為：y=x+1，AF的解析式為：y=x+1，EF的解析式為：y=mx-m2，再分兩種情況：①當(dāng)0≤m≤時，②當(dāng)m＞時，分別求解即可．【詳解】解：（1）①過點F作FM⊥BC，交BC的延長線于點M，∵在等腰直角三角形中，，AE=FE，在正方形中，∠B=90°，∴∠BAE+∠AEB=∠FEM+∠AEB，∴∠BAE=∠FEM，又∵∠B=∠FME，∴，∴FM=BE=，EM=AB=BC，∴CM=BE=，∴CF=；②∵∠BAE=∠FEC，∠B=∠ECP=90°，∴，∴，即：，∴CP=，把繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得，則AG=AQ，∠GAB=∠QAD，GB=DQ，∵∠EAF=45°，∴∠BAE+∠QAD=∠BAE+∠GAB=90°-45°=45°，即：∠GAE=∠EAF=45°，∵∠ABG=∠ABE=90°，∴B、G、E三點共線，又∵AE=AE，∴，∴EQ=EG=GB+BE=DQ+BE，∴在中，，即：，∴DQ=，∴EQ=DQ+BE=+m=，QP=1--()=，∴，即：×(1-m)=×h，∴=，即m=時，h最大值=；（3）以點B為坐標原點，BC所在直線為x軸，建立直角坐標系，則E(m，0)，A(0，1)，∵直線m過AB的中點且垂直AB，∴直線m的解析式為：x=，過點F作FM⊥x軸于點M，由（1）可知：，即FM=BE，EM=AB，∴F(1+m，m)，設(shè)AE的解析式為：y=kx+b，把E(m，0)，A(0，1)代入上式，得，解得：，∴AE的解析式為：y=x+1，同理：AF的解析式為：y=x+1，EF的解析式為：y=mx-m2，①當(dāng)0≤m≤時，如圖，G(，)，N(，m-m2)，∴y=-(m-m2)=，②當(dāng)m＞時，如圖，G(，)，N(，)，∴y=-=，綜上所述：．【點睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，一次函數(shù)的性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形，建立坐標系，把幾何問題用代數(shù)的方法解決，是解題的關(guān)鍵．1.幾何變換中的翻折（折疊、對稱)問題是歷年中考的熱點問題，試題立意新穎，變幻巧妙，主要考查學(xué)生的識圖能力及靈活運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。2.在幾何最值問題，幾何背景下的最值是考生感覺較難的，往往沒有思路。常見的有：(1)幾何圖形中在特殊位置下的最值；(2)比較難的線段的最值問題，其依據(jù)是：①兩點之間，線段最短；②垂線段最短，涉及的基本方法還有：利用軸對稱變換、旋轉(zhuǎn)變換化歸到“三角形兩邊之和大于第三邊”、“三角形兩邊之差小于第三邊”等；③借助于圓的知識；④二次函數(shù)的最值法解決。3常見最值模型：1）將軍飲馬模型；2）胡不歸模型；3）阿氏圓模型；4）瓜豆模型（動態(tài)軌跡問題）；5）費馬點模型等。1．如圖，四邊形中．(1)線段；(2)如圖，點是的中點，分別是上的點，將沿著翻折得，將沿著翻折使與重合．①當(dāng)點從點運動到點時，點走過的路徑長為，求的長；②在①的條件下，若與重合（如圖），為中點，為上一動點，將沿翻折得到，若與的重合部分面積是面積的，求的長．【答案】(1)；(2)①，②或．【分析】（1）過點作于點，由三角函數(shù)的定義得從而根據(jù)勾股定理可得，再證明四邊形是矩形，即可得解；（2）①由弧長公式求得進而得點與點重合，過點作，交的延長線于點，則為等腰直角三角形，由三角函數(shù)得，設(shè)從而得解得：利用勾股定理即可得解；②連接，過點作于點，設(shè)，則，當(dāng)與交于點時，得到四邊形是平行四邊形，及四邊形是菱形，得，再由勾股定理及折疊的性質(zhì)得，，從而得，于是得，進而利用勾股定理即可得解，當(dāng)與交于點時，得到四邊形是平行四邊形，，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，過點作于點，∴在中，∵，∴∴，∵，∴，∴四邊形是矩形，∴．（2）解：①∴點運動的軌跡為一段弧，設(shè)弧所對的圓心角為由弧長公式得：解得：即如圖，點與點重合，過點作，交的延長線于點，則為等腰直角三角形，設(shè)在等腰中，解得：在中，；②連接，過點作于點，∴∴設(shè)，則，∵為中點，為上一動點，將沿翻折得到，∴，∵與的重合部分面積是面積的，當(dāng)與交于點時，，∴，∴四邊形是平行四邊形，∴∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形，∴，∵在等腰中，，∴，，由折疊的性質(zhì)可得，∴，∴，∴，∴，解得，∴，∴，∵，，∴，∴，∴，∴當(dāng)與交于點時，，∴，，∴四邊形是平行四邊形，∴，故答案為：或．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，解直角三角形，平行四邊形的判定及性質(zhì)，菱形的判定及性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，基本圖形變換的折疊問題，勾股定理等知識，熟練掌握菱形及平行四邊形的判定及性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．2．如圖，矩形中，，．為邊上的一個動點，沿翻折，點落在點處．(1)如圖1，若，且點與點重合時，交于點．①求的長；②若點在射線上，且，求的值．(2)連接，在邊上存在兩個不同位置的點，使得，則的取值范圍是____．【答案】(1)①；②；(2)．【分析】（1）①根據(jù)折疊的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)可證明，得到，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理即可求解；②連接交于點，過點作于點，可證明，得到，求出、，進而求出，證明，得到，推出，結(jié)合，求出，最后根據(jù)，即可求解；（2）當(dāng)落在直線上面時，過作于，根據(jù)題意得到，推出，結(jié)合折疊的性質(zhì)可得，在中，，可求出的一個范圍；當(dāng)落在直線下面時，過作于，同理推出，進而得到，在中，，即可求解．【詳解】（1）①四邊形是矩形，，，由折疊知，，，，，在和中，，，，，設(shè)，則，，在中，由勾股定理得：，即，解得：，則；②如圖，連接交于點，過點作于點，，（對頂角），，，，，則，，（對頂角），，，，，，，，；（2）當(dāng)落在直線上面時，如圖，過作于，，，，，又，，由翻折可知，在中，，，又，在中，，此時只要，點在邊上，；當(dāng)落在直線下面時，如圖，過作于，同理可得，，在中，，，，，，，在中，，此時要在邊上，則即可，即，綜上，．【點睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用這些知識．3．如圖，已知矩形的邊，點是邊BC上的動點，線段的垂直平分線交矩形的邊于點，其中點在邊AB或BC上，點在邊CD或DA上．

(1)如圖時，求的長度；(2)當(dāng)是等腰三角形時，求能取到的值或取值范圍；(3)當(dāng)動點由點運動到點的過程中，求點的運動路程長為多少？【答案】(1)2.5(2)能取到的值為或取值范圍為(3)7【分析】（1）設(shè)與相交于O，先由勾股定理求得，則，再證明，得，即可求解．（2）分兩情況：①當(dāng)時，有，②當(dāng)時，有，分別求解即可；（3）當(dāng)時，點P從點B到邊的中點運動，則點N在從的中點到的中點運動，求得運動距離為6；當(dāng)時，點P從中點向點C運動，點M從點B沿方向運動，點N從中點向點D方向運動，求得運動距離為1，求出兩距離之和即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖，設(shè)與相交于O，

∵矩形，∴，∴，∵垂直平分，∴，，∵，，∴∴，∴，∴．（2）解：當(dāng)時，點P從點B到邊的中點運動（不包括中點），則點M在上運動，點N在從的中點到的中點運動（不包括的中點），當(dāng)時，連接，過點N作于Q，如圖，

∵，，∴，∵四邊形為矩形，∴四邊形為矩形，∴，∵垂直平分，∴，∴∵∴∵，∴，即∵∴∴∴設(shè)，則，，∴在中，由勾股定理，得解得：，（不合題意，舍去），∴當(dāng)時，是等腰三角形；②當(dāng)時，點P從中點向點C運動，點M從點B向點P運動，點N從中點向點D運動，連接，如圖，

∵矩形，∴∴，，∵垂直平分，∴，，∴∴∴即是等腰三角形，∴當(dāng)時，是等腰三角形，綜上，當(dāng)是等腰三角形時，能取到的值為或取值范圍為．（3）解：當(dāng)時，點P從點B到邊的中點運動，則點N在從的中點到的中點運動，∴運動距離為當(dāng)時，點P從中點向點C運動，點M從點B向點P運動，點N從中點向點D運動，當(dāng)時，即點P與點C重合，取中點E，連接，如圖，

由勾股定理，得，∴∵點E是，∴，∵垂直平分，∴O是，點P與點C重合，∴是的中位線，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴當(dāng)動點由點運動到點的過程中，求點的運動路程長，答：當(dāng)動點由點運動到點的過程中，求點的運動路程長為7．【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)，正確進行分類討論是解題的關(guān)鍵．4．已知：在矩形中，，，點P是邊上的一個動點，將矩形折疊，使點B與點P重合，點A落在點G處，折痕為．

(1)如圖1，當(dāng)點P與點D、C均不重合時，取的中點O，連接并延長與的延長線交于點M，連接、、．①求證：四邊形是平行四邊形；②當(dāng)時，求四邊形的面積．(2)如圖2，設(shè)，用含t的式子表示四邊形的面積S，并求出S的最大值及此時t的值．【答案】(1)①見解析；②四邊形的面積為7.5；(2)，當(dāng)時，．【分析】（1）①利用折疊對應(yīng)圖形全等得到平行，再由中點得出等邊便可以求出全等三角形，即可得到四邊形對角線互相平分，得證四邊形為平行四邊形；②通過折疊得到折痕垂直平分對應(yīng)點連線，將已知三角函數(shù)的角轉(zhuǎn)換到可計算的直角三角形中，計算求出，再設(shè)元利用勾股定理方程求出平行四邊形的底，最后用平行四邊形面積公式求解即可；（2）為方便計算將梯形的上底和下底設(shè)未知數(shù)，通過各個直角三角形勾股定理列出方程，用t表示出上底和下底，最后用梯形面積公式表示出S，用配方法求出最大值即可．【詳解】（1）①矩形，，由折疊可知，仍有，，，又為中點，，≌，，與互相平分，四邊形是平行四邊形．②連接，交于點N，矩形沿折疊，點B與點P重合，，，又，，，，，，設(shè)，中得：，解得，又，；（2）連接、、，

四邊形中，設(shè)，，在中，，得，，由折疊可知，在與中：，得，，，故當(dāng)時可取，此時四邊形的面積最大為．【點睛】本題考查矩形中折疊問題，需要利用折疊對應(yīng)圖形全等，折痕垂直平分對應(yīng)點連線的性質(zhì)．在幾何計算中，設(shè)元和消元是常用的簡化方法．在條件較多復(fù)雜構(gòu)圖的幾何證明和計算中須理清楚目標，轉(zhuǎn)化為一個個具體的邊長和角度的推導(dǎo)，可幫助理清思路．押題方向二：二次函數(shù)的綜合問題3年江蘇無錫卷真題考點命題趨勢2023年江蘇無錫卷第28題二次函數(shù)的綜合問題從近年江蘇無錫中考來看，二次函數(shù)的綜合問題是中考的必考題，重點考查二次函數(shù)的表達式和圖象性質(zhì)問題，通常也會和幾何圖形結(jié)合在一起考查，考查難度較難；預(yù)計2024年江蘇無錫卷還將繼續(xù)重視對二次函數(shù)綜合問題的考查。2022年江蘇無錫卷第28題二次函數(shù)的綜合問題2021年江蘇無錫卷第27題二次函數(shù)的綜合問題1．（2023·江蘇無錫·中考真題）已知二次函數(shù)的圖像與軸交于點，且經(jīng)過點和點．(1)請直接寫出，的值；(2)直線交軸于點，點是二次函數(shù)圖像上位于直線下方的動點，過點作直線的垂線，垂足為．①求的最大值；②若中有一個內(nèi)角是的兩倍，求點的橫坐標．【答案】(1)，(2)①；②2或【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）①過點作軸平行線分別交、于、．令，求得，勾股定理求得，得出，則，進而可得，求得直線的解析式為，設(shè)，則，進而表示出，最后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解．②根據(jù)已知，令，，在上取點，使得，得出，然后根據(jù)，設(shè)，．進而分兩種情況討論，ⅰ當(dāng)時，，則相似比為，得出代入拋物線解析式，即可求解；ⅱ當(dāng)時，，同理可得，代入拋物線解析式即可求解．【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖像與軸交于點，且經(jīng)過點和點∴解得：∴，，；（2）①如圖1，過點作軸平行線分別交、于、．∵，當(dāng)時，，∴，∴，，∴，∴．∵，，∴，∴，∴，∴．∵設(shè)直線的解析式為∴解得：直線解析式為．設(shè)，，，當(dāng)時，取得最大值為，的最大值為．②如圖2，已知，令，則，在上取點，使得，∴，設(shè)，則，則，解得，∴，即．如圖3構(gòu)造，且軸，相似比為，又∵，設(shè)，則．分類討論：ⅰ當(dāng)時，則，∴與的相似比為，∴，，∴，代入拋物線求得，（舍）．∴點橫坐標為．ⅱ當(dāng)時，則，∴相似比為，∴，，∴，代入拋物線求得，（舍）．∴點橫坐標為．綜上所示，點的橫坐標為2或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，線段長的最值問題，相似三角形的性質(zhì)與判定，正切的定義．利用分類討論的思想并熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇無錫·中考真題）已知二次函數(shù)圖像的對稱軸與x軸交于點A（1，0），圖像與y軸交于點B（0，3），C、D為該二次函數(shù)圖像上的兩個動點（點C在點D的左側(cè)），且．(1)求該二次函數(shù)的表達式；(2)若點C與點B重合，求tan∠CDA的值；(3)點C是否存在其他的位置，使得tan∠CDA的值與（2）中所求的值相等？若存在，請求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)1(3)，，【分析】（1）二次函數(shù)與y軸交于點，判斷，根據(jù)，即二次函數(shù)對稱軸為，求出b的值，即可得到二次函數(shù)的表達式；（2）證明，得到，即，設(shè)，點D在第一象限，根據(jù)點的坐標寫出長度，利用求出t的值，即可，的值，進一步得出tan∠CDA的值；（3）根據(jù)題目要求，找出符合條件的點C的位置，在利用集合圖形的性質(zhì)，求出對應(yīng)點C的坐標即可。【詳解】（1）解：∵二次函數(shù)與y軸交于點，∴，即，∵，即二次函數(shù)對稱軸為，∴，∴，∴二次函數(shù)的表達式為．（2）解：如圖，過點D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，即，∵，，∴，，設(shè)：，點D在第一象限，∴，，，∴，解得：（舍），（舍），當(dāng)時，，∴，，∴，∵在中，∴（3）解：存在，如圖，（2）圖中關(guān)于對稱軸對稱時，，∵點D的坐標為，∴此時，點C的坐標為，如圖，當(dāng)點C、D關(guān)于對稱軸對稱時，此時AC與AD長度相等，即，當(dāng)點C在x軸上方時，過點C作CE垂直于x軸，垂足為E，∵，點C、D關(guān)于對稱軸對稱，∴，∴為等腰直角三角形，∴，設(shè)點C的坐標為，∴，，∴解得：，（舍），此時，點C的坐標為，當(dāng)點C在x軸下方時，過點C作CF垂直于x軸，垂足為F，∵，點C、D關(guān)于對稱軸對稱，∴，∴為等腰直角三角形，∴，設(shè)點C的坐標為，∴，，∴解得：（舍），，此時，點C的坐標為，綜上：點C的坐標為，，．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合問題，運用數(shù)形結(jié)合、分類討論及方程思想是解題的關(guān)鍵．3．（2021·江蘇無錫·中考真題）在平面直角坐標系中，O為坐標原點，直線與x軸交于點B，與y軸交于點C，二次函數(shù)的圖象過B、C兩點，且與x軸交于另一點A，點M為線段上的一個動點，過點M作直線l平行于y軸交于點F，交二次函數(shù)的圖象于點E．（1）求二次函數(shù)的表達式；（2）當(dāng)以C、E、F為頂點的三角形與相似時，求線段的長度；（3）已知點N是y軸上的點，若點N、F關(guān)于直線對稱，求點N的坐標．【答案】（1）；（2）或；（3）N(0，)【分析】（1）先求出B(3，0)，C(0，3)，再利用待定系數(shù)法即可求解；（2）先推出∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°，可得以C、E、F為頂點的三角形與相似時，或，設(shè)F(m，-m+3)，則E(m，)，根據(jù)比例式列出方程，即可求解；（3）先推出四邊形NCFE是平行四邊形，再推出FE=FC，列出關(guān)于m的方程，求出m的值，從而得CN=EF=，進而即可得到答案．【詳解】解：（1）∵直線與x軸交于點B，與y軸交于點C，∴B(3，0)，C(0，3)，∵二次函數(shù)的圖象過B、C兩點，∴，解得：，∴二次函數(shù)解析式為：；（2）∵B(3，0)，C(0，3)，l∥y軸，∴OB=OC，∴∠MBF=∠FBM=∠CFE=45°，∴以C、E、F為頂點的三角形與相似時，或，設(shè)F(m，-m+3)，則E(m，)，∴EF=-(-m+3)=，CF=，∴或，∴或（舍去）或或（舍去），∴EF==或；（3）∵l∥y軸，點N是y軸上的點，∴∠EFC=∠NCG，∵點N、F關(guān)于直線對稱，∴∠CNE=∠EFC，∴∠CNE=∠NCG，∴NE∥FC，∴四邊形NCFE是平行四邊形，∵點N、F關(guān)于直線對稱，∴∠NCE=∠FCE，∵l∥y軸，∴∠NCE=∠FEC，∴∠FCE=∠FEC，∴FE=FC，∴=，解得：或（舍去），∴CN=EF=，∴ON=+3=，∴N(0，)．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)與幾何的綜合，相似三角形的判定，掌握函數(shù)圖像上點的坐標特征，用點的橫坐標表示出相關(guān)線段的長，是解題的關(guān)鍵．1.二次函數(shù)（含參）最值討論技巧：已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c(a≠0)（下面以a＞0為例進行討論）。圖1圖2圖3圖4圖51）如圖1，當(dāng)x的取值為全體實數(shù)時：當(dāng)時，y取最小值，最小值ymin=，無最大值。2）如圖2，當(dāng)時：當(dāng)時，y取最小值，最小值為ymin=ax22+bx2+c；當(dāng)時，y取最大值，最大值為ymax=ax12+bx1+c。3）如圖3，當(dāng)且時：當(dāng)時，y取最小值，最小值為ymin=；當(dāng)時，y取最大值，最大值為ymax=ax12+bx1+c。4）如圖4，當(dāng)且時：當(dāng)時，y取最小值，最小值為ymin=；當(dāng)時，y取最大值，最大值為ymax=ax22+bx2+c。5）如圖4，當(dāng)時：當(dāng)時，y取最小值，最小值為ymin=ax12+bx1+c；當(dāng)時，y取最大值，最大值為ymax=ax22+bx2+c。1．如圖1，拋物線經(jīng)過，兩點，作垂直x軸于點C．(1)求該拋物線的解析式；(2)若點是拋物線上一點，滿足，求點的坐標；(3)若點P為拋物線上一點，且在第四象限內(nèi)．已知直線，與x軸分別交于E、F兩點．當(dāng)點P運動時，是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由．【答案】(1)(2)，(3)是定值，該定值為，理由見解析【分析】（1）利用待定系數(shù)法求解即可；（2）分①當(dāng)點D在直線的上方時與②當(dāng)點D在直線的上方時兩種情況討論，對于前一種情況，可得軸，點A與點D重合，即可得解，對于后一種情況先求出與x軸的交點M，繼而利用待定系數(shù)法求出直線的解析式，再與拋物線解析式聯(lián)立求出點D的坐標即可；（3）求出拋物線與x軸的交點為和，設(shè)點P的坐標是，則，再用待定系數(shù)法分別求出直線和的解析式，從而求出點E與點F的坐標，繼而求出與，從而代入中化簡即可得解．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過，兩點，∴，解得：，∴該拋物線的解析式為：；（2）①當(dāng)點D在直線的上方時，如下圖所示：∵，∴軸，∵點A與點B對應(yīng)函數(shù)值都是3，即軸，∴此時點A與點D重合，即；②當(dāng)點D在直線的下方時，設(shè)與x軸交于點M，如下圖所示：∵，∴，∵垂直x軸于點C，，∴，，，設(shè)，則，在中，，即，解得：，∴，設(shè)直線的解析式是：，將點B、M代入得：，解得：，∴直線的解析式是：將直線的解析式與拋物線解析式聯(lián)立得：，解得：，或(舍去)，∴；綜上所述：點D的坐標是：，；（3）是定值，該定值為，理由如下．令，解得，即拋物線與x軸的交點是：和，設(shè)點P的坐標是，則，設(shè)直線的解析式是：，將點A、P代入得：，解得：，∴直線的解析式是：，令，解得：，即，∴，設(shè)直線的解析式是：，將點B、P代入得：，解得：，∴直線的解析式是：，令，解得：，即，∴，，∴．∴是定值，該定值為．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合題，涉及待定系數(shù)法，二次函數(shù)與x軸的交點，二次函數(shù)與幾何綜合，勾股定理等知識，運算量較大，掌握待定系數(shù)法、聯(lián)立方程組求函數(shù)交點的方法和數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．2．如圖，已知二次函數(shù)的圖象與x軸相交于A、B兩點（A在B的左側(cè)），它的對稱軸l與圖象交于點P，直線所對應(yīng)的函數(shù)表達式為

(1)請直接寫出點P的坐標．(2)若為直角三角形，設(shè)直線與這個二次函數(shù)的圖象的另一個交點為Q．①求a、c的值與點Q的坐標；②若M為直線l上的點，且以M、B、Q為頂點的三角形是銳角三角形，請直接寫出點M的縱坐標t的取值范圍．【答案】(1)(2)①，；②或【分析】（1）根據(jù)對稱軸公式可得到點P的橫坐標，代入可得出點P的坐標；（2）①根據(jù)題意可知，是等腰直角三角形，所以，由此可得出點A，B的坐標，聯(lián)立方程，可得出點Q的坐標；②由題意可知，，由兩點間的距離可得，分三種情況，當(dāng)為直角時；當(dāng)為直角時；當(dāng)為直角時，根據(jù)勾股定理建立方程，求出t的值，進而可得出t的取值范圍．【詳解】（1）解：拋物線的對稱軸為直線，∴點P的橫坐標為，∵直線的表達式為，當(dāng)時，，；（2）①由拋物線的對稱性可知，，∴是等腰直角三角形，

設(shè)拋物線的對稱軸與x軸交于點E，則軸，，,,把代入得，，解得，∴拋物線的解析式為，令，解得或，當(dāng)時，，；②由題意可知，，當(dāng)為直角三角形時，分三種情況：當(dāng)為直角時，，即，解得；當(dāng)為直角時，，即解得；當(dāng)為直角時，，即，解得或，∴當(dāng)為銳角三角形時，t的取值范圍為或．【點睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的解析式的求法，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，利用數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．在平面直角坐標系中為，拋物線（、為常數(shù)）的對稱軸為直線，與軸交點坐標為．(1)求此拋物線對應(yīng)的函數(shù)表達式；(2)點、點均在這個拋物線上（點在點的左側(cè)），點的橫坐標為，點的橫坐標為．將此拋物線上兩點之間的部分（含兩點）記為圖象．①當(dāng)點在軸上方，圖象的最高與最低點的縱坐標差為6時，求的值；②設(shè)點，點，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后得到線段，連接，當(dāng)（不含內(nèi)部）和二次函數(shù)在范圍上的圖像有且僅有一個公共點時，求的取值范圍．【答案】(1)；(2)①；②或；【分析】本題考查待定系數(shù)法求解析式及二次函數(shù)最值、與線段交點問題：（1）將對稱軸及點代入求解即可得到答案；（2）①先求出二次函數(shù)與軸交點，分點在對稱軸左邊，對稱軸右邊兩類討論，根據(jù)最高與最低點的距離列式即可得到答案；②當(dāng)點在點上方，用含的代數(shù)式表示出點，當(dāng)點在拋物線上時，（不含內(nèi)部）和二次函數(shù)在范圍上的圖像有且僅有一個公共點，當(dāng)點在點下方，根據(jù)，得出解析式，與拋物線解析式聯(lián)立，求出時對應(yīng)的的值，當(dāng)時，（不含內(nèi)部）和二次函數(shù)在范圍上的圖像有且僅有一個公共點．【詳解】（1）解：∵拋物線的對稱軸為直線，與軸交點坐標為，∴，，解得：，，∴；（2）解：①當(dāng)時，，解得：，，當(dāng)點在對稱軸左邊時，即時，∵，∴此時最高點為對稱軸所在點，最低點為點，∵最高與最低點的縱坐標差為6，∴，解得：（不符合題意舍去），；當(dāng)點在對稱軸右邊時，即，∵，∴此時最高點為A點，最低點為點，∵最高與最低點的縱坐標差為6，∴，解得：（不符合題意舍去）；綜上所述：；②當(dāng)點在點上方，，即：時，，點，即，當(dāng)點在拋物線上時，（不含內(nèi)部）和二次函數(shù)在范圍上的圖像有且僅有一個公共點，∴，解得：，（舍），當(dāng)點在點下方，，即：時，，點，即，設(shè)解析式為：，則：，解得：，∴解析式為：，與拋物線解析式聯(lián)立：，整理得：，當(dāng)直線與拋物線只有一個交點時，，解得：，當(dāng)時，（不含內(nèi)部）和二次函數(shù)在范圍上的圖像有且僅有一個公共點，∴的取值范圍是或，故答案為：或．4．如圖，拋物