第第頁§7.5正態分布學習目標1.利用實際問題的頻率分布直方圖，了解正態分布曲線的特點及曲線所表示的意義.2.了解變量落在區間[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]內的概率大小.3.會用正態分布去解決實際問題．知識點一正態曲線與正態分布1．我們稱f(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))，x∈R，其中μ∈R，σ>0為參數，為正態密度函數，稱其圖象為正態分布密度曲線，簡稱正態曲線．2．若隨機變量X的概率密度函數為f(x)，則稱隨機變量X服從正態分布，記為X～N(μ，σ2)．特別地，當μ＝0，σ＝1時，稱隨機變量X服從標準正態分布．3．若X～N(μ，σ2)，如圖所示，X取值不超過x的概率P(X≤x)為圖中區域A的面積，而P(a≤X≤b)為區域B的面積．思考1正態曲線f(x)＝eq\f(1,\r(2π)σ)，x∈R中的參數μ，σ有何意義？答案μ可取任意實數，表示平均水平的特征數，E(X)＝μ；σ>0表示標準差，D(X)＝σ2.一個正態密度函數由μ，σ唯一確定，π和e為常數，x為自變量，x∈R.思考2若隨機變量X～N(μ，σ2)，則X是離散型隨機變量嗎？答案若X～N(μ，σ2)，則X不是離散型隨機變量，由正態分布的定義：P(a<X≤b)為區域B的面積，X可取(a，b]內的任何值，故X不是離散型隨機變量，它是連續型隨機變量．知識點二正態曲線的特點1．對?x∈R，f(x)>0，它的圖象在x軸的上方．2．曲線與x軸之間的面積為1.3．曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱．4．曲線在x＝μ處達到峰值eq\f(1,σ\r(2π)).5．當|x|無限增大時，曲線無限接近x軸．6．當σ一定時，曲線的位置由μ確定，曲線隨著μ的變化而沿x軸平移，如圖①.7．當μ一定時，曲線的形狀由σ確定，σ較小時曲線“瘦高”，表示隨機變量X的分布比較集中；σ較大時，曲線“矮胖”，表示隨機變量X的分布比較分散，如圖②.知識點三正態總體在三個特殊區間內取值的概率值及3σ原則P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973.盡管正態變量的取值范圍是(－∞，＋∞)，但在一次試驗中，X的取值幾乎總是落在區間[μ－3σ，μ＋3σ]內，而在此區間以外取值的概率大約只有0.0027，通常認為這種情況在一次試驗中幾乎不可能發生．在實際應用中，通常認為服從于正態分布N(μ，σ2)的隨機變量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，這在統計學中稱為3σ原則．1．正態曲線中參數μ，σ的意義分別是樣本的均值與方差．(×)2．正態曲線是單峰的，其與x軸圍成的面積是隨參數μ，σ的變化而變化的．(×)3．正態曲線可以關于y軸對稱．(√)4．若X～N(μ，σ2)，則P(X<μ)＝eq\f(1,2).(√)一、正態曲線例1(1)已知隨機變量服從正態分布，其正態曲線如圖所示，則總體的均值μ＝，方差σ2＝.(2)(多選)一次教學質量檢測中，甲、乙、丙三科考試成績的正態分布密度曲線如圖所示，下列說法中不正確的是()A．甲科總體的標準差最小B．丙科總體的平均數最小C．乙科總體的標準差及平均數都比甲小，比丙大D．甲、乙、丙總體的平均數不相同反思感悟利用正態曲線的特點求參數μ，σ(1)正態曲線是單峰的，它關于直線x＝μ對稱，由此特點結合圖象求出μ.(2)正態曲線在x＝μ處達到峰值eq\f(1,σ\r(2π))，由此特點結合圖象可求出σ.跟蹤訓練1(多選)下面給出的關于正態曲線的4個敘述中，正確的有()A．曲線在x軸上方，且與x軸不相交B．當x>μ時，曲線下降，當x<μ時，曲線上升C．當μ一定時，σ越小，總體分布越分散，σ越大，總體分布越集中D．曲線關于直線x＝μ對稱，且當x＝μ時，位于最高點二、利用正態分布求概率例2設ξ～N(1,22)，試求：(1)P(－1≤ξ≤3)；(2)P(3≤ξ≤5)．延伸探究若本例條件不變，求P(ξ>5)．反思感悟利用正態分布的對稱性求概率由于正態曲線是關于直線x＝μ對稱的，且概率的和為1，故關于直線x＝μ對稱的區間上概率相等．跟蹤訓練2已知隨機變量ξ服從正態分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，則P(0<ξ<2)等于()A．0.6B．0.4C．0.3D．0.2三、正態分布的應用例3有一種精密零件，其尺寸X(單位：mm)服從正態分布N(20,4)．若這批零件共有5000個，試求：(1)這批零件中尺寸在18～22mm間的零件所占的百分比；(2)若規定尺寸在24～26mm間的零件不合格，則這批零件中不合格的零件大約有多少個？反思感悟求正態變量X在某區間內取值的概率的基本方法(1)根據題目中給出的條件確定μ與σ的值．(2)將待求問題向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]這三個區間進行轉化．(3)利用X在上述區間的概率、正態曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1求出最后結果．跟蹤訓練3在某次大型考試中，某班同學的成績服從正態分布N(80,52)，現在已知該班同學中成績在80～85分的有17人，該班成績在90分以上的同學有多少人？根據對稱性求正態曲線在某個區間內取值的概率典例已知隨機變量ξ服從正態分布N(0，σ2)，若P(ξ>2)＝0.023，則P(－2≤ξ≤2)等于()A．0.477B．0.954C．0.628D．0.977[素養提升]借助圖象較直觀的分析出P(ξ>2)與P(－2≤ξ≤2)概率的關系，提升了學生的直觀想象素養．1．設有一正態總體，它的正態曲線是函數f(x)的圖象，且f(x)＝eq\f(1,\r(8π))，則這個正態總體的均值與標準差分別是()A．10與8 B．10與2C．8與10 D．2與102．正態分布N(0,1)在區間(－2，－1)和(1,2)上取值的概率為P1，P2，則二者大小關系為()A．P1＝P2B．P1<P2C．P1>P2D．不確定3．已知某批零件的長度誤差(單位：毫米)服從正態分布N(0,32)，從中隨機取一件，其長度誤差落在區間(3,6)內的概率為()(附：若隨機變量ξ服從正態分布N(μ，σ2)，則P(μ－σ≤ξ≤μ＋σ)≈68.27%，P(μ－2σ≤ξ≤μ＋2σ)≈95.45%)A．4.56% B．13.59%C．27.18% D．31.74%4．設隨機變量ξ服從正態分布N(2,9)，若P(ξ>c＋1)＝P(ξ<c－1)，則c＝.5．在某項測量中，測量結果X服從正態分布N(1，σ2)(σ>0)．若X在(0,1)內取值的概率為0.4，則X在(0,2)內取值的概率為．1．知識清單：(1)正態曲線及其特點．(2)正態分布．(3)正態分布的應用，3σ原則．2．方法歸納：轉化化歸、數形結合．3．常見誤區：概率區間轉化不等價．1．關于正態分布N(μ，σ2)，下列說法正確的是()A．隨機變量落在區間長度為3σ的區間之外是一個小概率事件B．隨機變量落在區間長度為6σ的區間之外是一個小概率事件C．隨機變量落在[－3σ，3σ]之外是一個小概率事件D．隨機變量落在[μ－3σ，μ＋3σ]之外是一個小概率事件2．(多選)已知三個正態密度函數φi(x)＝eq\f(1,σ\r(2π))(x∈R，i＝1,2,3)的圖象如圖所示，則下列結論正確的是()A．σ1＝σ2 B．μ1>μ2C．μ1＝μ2 D．σ2<σ33．已知隨機變量ξ服從正態分布N(2，σ2)(σ>0)，P(ξ<4)＝0.84，則P(ξ≤0)等于()A．0.16 B．0.32C．0.68 D．0.844．若隨機變量X服從正態分布，其正態曲線上的最高點的坐標是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(1,2)))，則該隨機變量的方差等于()A．10B．100C.eq\f(2,π)D.eq\r(\f(2,π))5.如圖所示是當σ取三個不同值σ1，σ2，σ3的三種正態曲線N(0，σ2)的圖象，那么σ1，σ2，σ3的大小關系是()A．σ1>1>σ2>σ3>0 B．0<σ1<σ2<1<σ3C．σ1>σ2>1>σ3>0 D．0<σ1<σ2＝1<σ36．已知隨機變量X服從正態分布N(a,4)，且P(X≤1)＝0.5，則實數a的值為．7．已知隨機變量X～N(2，σ2)，如圖所示，若P(X<a)＝0.32，則P(a≤X≤4－a)＝.8．已知X～N(4，σ2)，且P(2<X<6)≈0.6827，則σ＝，P(|X－2|<4)＝.9．已知隨機變量X～N(3，σ2)，且P(2≤X≤4)＝0.68，求P(X>4)的值．10．一投資者在兩個投資方案中選擇一個，這兩個投資方案的利潤X(萬元)分別服從正態分布N(8,32)和N(7,12)，投資者要求“利潤超過5萬元”的概率盡量大，那么他應該選擇哪一個方案？11．在某市2020年3月份的高三線上質量檢測考試中，學生的數學成績服從正態分布N(98,100)．已知參加本次考試的全市學生有9455人，如果某學生在這次考試中的數學成績是108分，那么他的數學成績大約排在全市第()A．1500名B．1700名C．4500名D．8000名12．一批電阻的電阻值X(單位：Ω)服從正態分布N(1000,52)，現從甲、乙兩箱出廠的成品中各隨機抽取一個電阻，測得電阻值分別為1011Ω和982Ω，可以認為()A．甲、乙兩箱電阻均可出廠B．甲、乙兩箱電阻均不可出廠C．甲箱電阻可出廠，乙箱電阻不可出廠D．甲箱電阻不可出廠，乙箱電阻可出廠13．某工廠生產一種螺栓，在正常情況下，螺栓的直徑X(單位：mm)服從正態分布X～N(100,1)．現加工10個螺栓的尺寸(單位：mm)如下：101.7,100.3,99.6,102.4，98.2，103.2,101.1,98.8,100.4,100.0.X～N(μ，σ2)，有P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997.根據行業標準，概率低于0.003視為小概率事件，工人隨機將其中的8個交與質檢員檢驗，則質檢員認為設備需檢修的概率為()A.eq\f(44,45)B.eq\f(4,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(41,45)14．已知隨機變量X～N(2,22)，且aX＋b(a>0)服從標準正態分布N(0,1)，則a＝，b＝.15．(多選)設X～N(μ1，σeq\o\al(2,1))，Y～N(μ2，σeq\o\al(2,2))，這兩個正態分布密度曲線如圖所示．下列結論中錯誤的是()A．P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)B．P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)C．對任意正數t，P(X≤t)>P(Y≤t)D．對任意正數t，P(X>t)>P(Y>t)16．十九大以來，某貧困地區扶貧辦積極貫徹落實國家精準扶貧的政策要求，帶領廣大農村地區人民群眾脫貧奔小康．經過不懈的奮力拼搏，新農村建設取得巨大進步，農民年收入也逐年增加，為了制定提升農民收入力爭早日脫貧的工作計劃，該地扶貧辦統計了2019年50位農民的年收入并制成如下頻率分布直方圖：(1)根據頻率分布直方圖，估計50位農民的年平均收入eq\x\to(x)(單位：千元)(同一組數據用該組數據區間的中點值表示)；(2)由頻率分布直方圖，可以認為該貧困地區農民收入X服從正態分布N(μ，σ2)，其中μ近似為年平均收入eq\x\to(x)，σ2近似為樣本方差s2，經計算得s2＝6.92，利用該正態分布，求：①在扶貧