第第頁1.3空間向量及其運算的坐標表示1.了解空間直角坐標系理解空間向量的坐標表示

2.掌握空間向量運算的坐標表示

3.掌握空間向量垂直與平行的條件及其應用

4.掌握空間向量的模夾角以及兩點間距離公式，能運用公式解決問題重點：理解空間向量的坐標表示及其運算難點：運用空間向量的坐標運算解決簡單的立體幾何問題

一、平面向量坐標表示及其運算已知SKIPIF1<0SKIPIF1<0=(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)，SKIPIF1<0=(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)，寫出下列向量的坐標表示SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=(SKIPIF1<0+SKIPIF1<0，SKIPIF1<0+SKIPIF1<0)；SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0=(SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0，SKIPIF1<0﹣SKIPIF1<0)；SKIPIF1<0SKIPIF1<0=(SKIPIF1<0，SKIPIF1<0)；SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=SKIPIF1<0SKIPIF1<0//SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=0；SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0=0設SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0如果表示向量SKIPIF1<0的有向線段的起點和終點的坐標分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0；cos=SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）一、情境導學我國著名數學家吳文俊先生在《數學教育現代化問題》中指出：“數學研究數量關系與空間形式，簡單講就是形與數，歐幾里得幾何體系的特點是排除了數量關系，對于研究空間形式，你要真正的‘騰飛’，不通過數量關系，我想不出有什么好的辦法…….”吳文俊先生明確地指出中學幾何的“騰飛”是“數量化”，也就是坐標系的引入，使得幾何問題“代數化”，為了使得空間幾何“代數化”，我們引入了坐標及其運算.二、探究新知一、空間直角坐標系與坐標表示1.空間直角坐標系在空間選定一點O和一個單位正交基底i,j,k，以點O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標軸.這時我們就建立了一個空間直角坐標系Oxyz，O叫做原點，i，j，k都叫做坐標向量，通過每兩個坐標軸的平面叫做坐標平面，分別稱為Oxy平面，Oyz平面1.畫空間直角坐標系Oxyz時，一般使∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°.三個坐標平面把空間分成八個部分.2.在空間直角坐標系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標系為右手直角坐標系.本書建立的都是右手直角坐標系.2.點的坐標在空間直角坐標系Oxyz中，i，j，k為坐標向量，對空間任意一點A，對應一個向量OA，且點A的位置由向量OA唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使OA=xi+yj+zk.在單位正交基底i,j,k下與向量OA對應的有序實數組(x，y，z)，叫做點A在空間直角坐標系中的坐標，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標，y叫做點A的縱坐標，z3.向量的坐標在空間直角坐標系Oxyz中，給定向量a，作OA=a由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使a=xi+yj+zk.有序實數組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標系Oxyz中的坐標，可簡記作a=(x，y，z小試牛刀1.若a=3i+2j﹣k，且{i，j，k}為空間的一個單位正交基底，則a的坐標為.

思考：在空間直角坐標系中，向量OP的坐標與終點P的坐標有何關系?二、空間向量運算的坐標表示1.空間向量的坐標運算法則設向量a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，λ∈R，那么向量運算向量表示坐標表示加法a+b

減法a﹣b

數乘λa

數量積a·b

2.空間向量的坐標與其端點坐標的關系：設A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則AB=(x2﹣x1，y2﹣y1，z2﹣z1).即一個空間向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去起點坐標.3.空間向量平行與垂直條件的坐標表示：若向量a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，則(1)當b≠0時，a∥b?a=λb?(λ∈R);

(2)a⊥b??.

4.空間向量的模、夾角、距離公式的坐標表示若向量a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，則(1)|a|=a·a=(2)cos<a，b>=a·b|(3)若P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，則P1，P2兩點間的距離為|P1P2小試牛刀1.已知空間向量m=(1，﹣3，5)，n=(﹣2，2，﹣4)，則有m+n=?，3m﹣n=?，(2m)·(﹣3n)=.

2.已知空間向量a=(2，λ，﹣1)，b=(λ，8，λ﹣6)，若a∥b，則λ=，若a⊥b，則λ=.

3.已知a=(﹣2，2，3)，b=(32，6，0)，則|a|=，a與b夾角的余弦值等于.

例1在直三棱柱ABO﹣A1B1O1中，∠AOB=π2，AO=4，BO=2，AA1=4，D為A1B1的中點，建立適當的空間直角坐標系，求DO用坐標表示空間向量的步驟如下：跟蹤訓練1.如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分別為D1C1，B1C1的中點，若以{AB,AD,AA1}為基底，則向量AE的坐標為，向量AF的坐標為例2已知在空間直角坐標系中，A(1，﹣2，4)，B(﹣2，3，0)，C(2，﹣2，﹣5).(1)求AB+CA,CB(2)若點M滿足AM=1(3)若p=CA，q=CB，求(p+q)·(p﹣q).空間向量的坐標運算注意以下幾點：(1)一個向量的坐標等于這個向量的終點的坐標減去起點的坐標.(2)空間向量的坐標運算法則類似于平面向量的坐標運算，牢記運算公式是應用的關鍵.(3)運用公式可以簡化運算：(a±b)2=a2±2a·b+b2;(a+b)·(a﹣b)=a2﹣b2.跟蹤訓練2在△ABC中，A(2，﹣5，3)，AB=(4，1，2)，BC=(3，﹣2，5).(1)求頂點B，C的坐標;(2)求CA·(3)若點P在AC上，且AP=12PC，例3已知空間三點A(﹣2，0，2)，B(﹣1，1，2)，C(﹣3，0，4).設a=AB，b=AC.(1)若|c|=3，c∥BC，求c;(2)若ka+b與ka﹣2b互相垂直，求k.向量平行與垂直問題主要題型(1)平行與垂直的判斷;(2)利用平行與垂直求參數或解其他問題，即平行與垂直的應用.解題時要注意：①適當引入參數(比如向量a，b平行，可設a=λb)，建立關于參數的方程;②最好選擇坐標形式，以達到簡化運算的目的.跟蹤訓練3.已知a=(λ+1，1，2λ)，b=(6，2m﹣1，2).(1)若a∥b，分別求λ與m的值;(2)若|a|=5，且與c=(2，﹣2λ，﹣λ)垂直，求a.例4如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分別是AA1，CB1的中點.(1)求BM，BN的長.(2)求△BMN的面積.反思感悟向量夾角與模的計算方法利用坐標運算解空間向量夾角與長度的計算問題，關鍵是建立恰當的空間直角坐標系，寫出有關點的坐標，然后利用夾角與模的計算公式進行求解.跟蹤訓練4.在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分別為A1D1，BB1的中點，則cos∠EAF=，EF=.

一題多變——空間向量的平行與垂直典例在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點E是棱D1D的中點，點P，Q分別為線段B1D1，BD上的點，且3B1P=PD1，若PQ⊥AE，BD=λ延伸探究1若本例中的PQ⊥AE改為B1Q⊥EQ，其他條件不變，結果如何?延伸探究2本例中若點G是A1D的中點，點H在平面xOy上，且GH∥BD1，試判斷點H的位置.1.如圖，在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=4，BC=1，AA1=3，已知向量a在基底{AB,AD,AA1}下的坐標為(2，1，﹣3).若分別以DA,DC,DD1的方向為x軸A.(2，1，﹣3) B.(﹣1，2，﹣3)C.(1，﹣8，9) D.(﹣1，8，﹣9)2.下列向量中與向量a=(0，1，0)平行的向量是()A.b=(1，0，0) B.c=(0，﹣1，0)C.d=(﹣1，﹣1，1) D.e=(0，0，﹣1)3.已知向量a=(1，0，1)，b=(2，0，﹣2)，若(ka+b)·(a+kb)=2，則k的值等于()A.1 B.35 C.25 4.已知點A(1﹣t，1﹣t，