2024年高考第二次模擬考試

高三數(shù)學(天津卷)

第I卷

注意事項：

1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號，

2,本卷共9小題，每小題5分，共45分

參考公式：

?如果事件4、〃互斥，那么P(ADB)=P(A)+P(B).

?如果事件4、5相互獨立，那么P(AB)=P(A)P(5).

?球的體積公式V=g萬g，其中R表示球的半徑.

?圓錐的體積公式V=；S/z,其中S表示圓錐的底面面積，丸表示圓錐的高。

一、選擇題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知集合河={工比無>1},N=W(x—l)(x—4)>0},則Me低N)=()

A.{x|x>e}B.{小24}

C.1x|1<x<e}D.{x|e<x44}

2.已知a>0且"1,則“a>2”是“函數(shù)y=(a-2)logaX是增函數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.=l.l°',Z?=log020.3,c=log2^,則()

A.c<a<bB.c<b<a

C.b<c<aD.a<c<b

A./(x)=sin2x+一

B.f(x)的圖像的一個對稱中心為［-巳,。)

TTSjr

C.〃尤)的單調(diào)遞增區(qū)間是-+fai,—，逅Z

OO_

5

D.7(x)的圖像向左平移97r個單位長度后得到的是一個奇函數(shù)的圖象

O

6.燈籠起源于中國的西漢時期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會掛起象征美好團圓意義的紅燈籠，營造一

種喜慶的氛圍?如圖1,某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個相同的圓柱的側(cè)面，中間是

球面的一部分(除去兩個球冠).如圖2,球冠是由球面被一個平面截得的，垂直于截面的直徑被截得的部

分叫做球冠的高，若球冠所在球的半徑為R,球冠的高為"則球冠的面積5=2成.已知該燈籠的高為

40cm,圓柱的高為4cm,圓柱的底面圓直徑為24cm,則圍成該燈籠所需布料的面積為()

A.1536?tcm2B.1472兀mc?

C.18247icm2D.1760兀cnr2

7.某品牌手機商城統(tǒng)計了開業(yè)以來前5個月的手機銷量情況如下表所示:

時間X12345

銷售量y(千只)0.50.71.01.21.6

若y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為y=0.27x+a,則下列說法不正確的是（）

A.由題中數(shù)據(jù)可知，變量y與x正相關(guān)

B.線性回歸方程y=0.27x+a中，a=0.21

C.x=5時，殘差為0.06

D.可以預(yù)測x=6時，該商場手機銷量約為1.81千只

22

8.已知雙曲線。與橢圓E:土+匕=1有公共焦點，且左、右焦點分別為工，這兩條曲線在第一象限的

2521

交點為尸，鳥是以尸片為底邊的等腰三角形，則雙曲線。的標準方程為（）

丫2丫22

A.—丁=1B.----------=1

395

22

C.爐―2L=1D.-=1

33

①+i_||1<0

9.已知函數(shù)/（X）={1,%,%,工3，%是函數(shù)8（#=/（可-/”的4個零點，且玉<馬<七<匕，給

|log3x|,x>0

14司_L3X2

出以下結(jié)論：①機的取值范圍是（0,2）；②3』+3傳=:；③忍+44的最小值是4；④產(chǎn)"的最大值是

正.其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

6

A.1B.2C.3D.4

第n卷

注意事項

i.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.

2.本卷共11小題，共105分.

二、填空題，本大題共6小題，每小題5分，共30分，試題中包含兩個空的，答對1個的給

3分，全部答對的給5分。

2

10-已知復(fù)如=百，其中i為虛數(shù)單位，則口―

則（?-9丫的展開式中常數(shù)項為

11.已知隨機變量X?N（0,，），且P（X40）=a

12.計算InV?-2022kl、_31唯4_

13.已知直線/：x+y-2=0和圓C:x2+（y-i）2=/（r>0）相交于A1兩點；弦長伊臺上逝，則廠=

14.在一個布袋中裝有除顏色外完全相同的3個白球和機個黑球，從中隨機摸取1個球，有放回地摸取3

次，記摸取白球的個數(shù)為X.若E(x)=j,則〃?=,P(X=2)=

15.在邊長為6的正方形ABC。中，OE=2EC,M是中點，則人小.網(wǎng))=;若點尸在線段3。上運

動，則尸E.PM的最小值是.

二、解答題，本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程成演算步驟。

16.在么6(7中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.已知6+c=2a,5csinB=6asinC.

⑴求cosB的值;

⑵求sin128+kj值;

⑶若A=2B,求tanC.

17.如圖，四邊形ABCD是正方形,R4，平面ABC。,EB〃PA,A3=P4=4,￡B=2,尸為尸。的中點.

⑴求證：AF1PC；

⑵求D到平面PEC的距離;

(3)求平面DPC與平面PEC的夾角.

22

18.已知橢圓C：―+2=1(°>6>0)的一個焦點為片(-1,0),上頂點到這個焦點的距離為2.

ab

(1)求橢圓C的標準方程

(2)若點T在圓f+y2=2上，點A為橢圓的右頂點，是否存在過點A的直線/交橢圓C于8(異于點

A),使得07=半(。4+。2)成立？若存在，求出直線/的方程；若不存在，請說明理由.

19.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝的前w項和滿足>1,且6sa=4+l)(a?+2),neN*.

(1)求｛%｝的通項公式：

(2)設(shè)數(shù)列也｝滿足%(2〃"-1)=1,并記7“為他,｝的前〃項和，求證：37；,+l>log2(a?+3),7ie7V*.

20.已知函數(shù)/(*)=爐+6+1,g(x)=e*(其中e為自然對數(shù)的底數(shù)).

⑴若“=1,求函數(shù)y=〃x)-g(x)在區(qū)間[-2,0]上的最大值.

⑵若。=-1,關(guān)于x的方程/(x)=hg(x)有且僅有一個根，求實數(shù)上的取值范圍.

⑶若對任意的4/e[0,2],x產(chǎn)超,不等式V(王)-)|<|g(百)-g(%)|均成立,求實數(shù)a的取值范圍.

2024年高考第二次模擬考試

高三數(shù)學(天津卷)

第I卷

注意事項：

1.每小題選出答案后，用鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮

擦干凈后，再選涂其他答案標號，

2,本卷共9小題，每小題5分，共45分

參考公式：

?如果事件A、〃互斥，那么/人。3)=204)+2(6).

?如果事件4、5相互獨立，那么P(AB)=P(A)P(5).

?球的體積公式V=g萬g，其中R表示球的半徑.

?圓錐的體積公式V=；S/z,其中S表示圓錐的底面面積，丸表示圓錐的高。

一、選擇題，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.已知集合河={工比無>1},N=W(x—l)(x—4)>0},則Me低N)=()

A.{x|x>e}B.{小24}

C.1x|1<x<e}D.{x|e<x44}

【答案】D

【解析】由題意可得：Af={x|lnx>l}={x|x>e),8RA^={x|(x-l)(x-4)<0}={x|l<x<4},

所以Mc&N)={x[e<x44}.

故選：D.

2.已知a>0且awl,則“a>2”是“函數(shù)y=(a-2)log“x是增函數(shù)”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】當。>2時，a-2>0,又因為>=log)是增函數(shù)，所以,=(4-2)108戶是增函數(shù)；

當y=(a-2)log/是增函數(shù)時，。>2或0<a<l,

所以“a>2”是“函數(shù)y=(a-2)log“x是增函數(shù)”的充分不必要條件,

故選：A.

3.函數(shù)〃x)=的大致圖象為()

e+e

斗%

A.八'

B.

OxO%

%斗

D.________AV'>

【答案】D

【解析】由于的定義域為R,

又?/\3(-x)+3sin(_%)_3%3_3sinx

八"一e-x+e*—e-'+e"

所以〃力為奇函數(shù)，故可排除AB,

=3?+3silu>o,故排除C,

由于當工￡(。㈤時，sinx>0,x3>0,.*./(x)=

c*+e*

故選：D

4.=l.l0l,Z?=log0.3,c=log-^,則(

022)

A.c<a<bB.c<b<a

C.b<c<aD.a<c<b

【答案】B

【解析】因為〃=1.1°」>1.1°=1,

而log021<logo2O.3<logo20?2,BPO<Z?<1,

所以cvhva.

故選：B.

5.已知/(x)=Asin(ox+0)(A>0,o>0,[d<7t)的一段圖像如圖所示,則()

B.f⑺的圖像的一個對稱中心為

jr57r

C.“X）的單調(diào)遞增區(qū)間是-+kit,—+k7t,%eZ

_oo_

D.7（x）的圖像向左平移Si?r個單位長度后得到的是一個奇函數(shù)的圖象

O

【答案】C

【解析】由圖可知4=1,二=9一（一期］=9,所以7=%=生，解得0=2,

所以/（x）=sin（2x+e）,又函數(shù)過點［-獲,1）,

解得0=?+2E/eZ,因為冏〈兀，所以夕=一，，所以/（x）=sin（2x-￥）,故A錯誤;

因為d=sin12xH一手下sin'g"o,故B錯誤；

jr37rITITSir

令---F2kn<2x------<—■F2kn,keZ,解得—+kn<x<---\~kn,keZ,

24288

yr57r

故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為-+kTt,—+kTt/eZ,故C正確；

oo

將函數(shù)/（X）的圖象向左平移一個單位得〉=色!12V3兀=sin［2x+_|）=cos2尤為偶函數(shù)，故D錯

OT

誤；

故選：c

6.燈籠起源于中國的西漢時期，兩千多年來，每逢春節(jié)人們便會掛起象征美好團圓意義的紅燈籠，營造一

種喜慶的氛圍?如圖1,某球形燈籠的輪廓由三部分組成，上下兩部分是兩個相同的圓柱的側(cè)面，中間是球

面的一部分（除去兩個球冠）.如圖2,球冠是由球面被一個平面截得的，垂直于截面的直徑被截得的部分叫

做球冠的高，若球冠所在球的半徑為R,球冠的高為〃，則球冠的面積5=2兀7隨已知該燈籠的高為40cm,

圓柱的高為4cm,圓柱的底面圓直徑為24cm,則圍成該燈籠所需布料的面積為（）

O'

圖2

1536兀cm'B.1472兀cm'

C.18247icmD.17607tcm

【答案】B

【解析】由題意得圓柱的底面圓直徑為24cm,半徑為12cm,即球冠底面圓半徑為12cm.

已知該燈籠的高為40cm,圓柱的高為4cm,所以該燈籠去掉圓柱部分的高為40-8=32cm,

40—R

所以代_（_^__）2=122,得R=20cm,/?=20-16=4cm,

所以兩個球冠的表面積之和為2s=4nRh=3207tcm2,

燈籠中間球面的表面積為4n7?2-320TT=1280兀cn?.

因為上下兩個圓柱的側(cè)面積之和為2x2434=19221?,

所以圍成該燈籠所需布料的面積為128071+1927t=14727rcm2.

故選：B.

7.某品牌手機商城統(tǒng)計了開業(yè)以來前5個月的手機銷量情況如下表所示：

時間X12345

銷售量y（千只）0.50.71.01.21.6

若y與x線性相關(guān)，且線性回歸方程為y=0.27x+a，則下列說法不正確的是（）

A.由題中數(shù)據(jù)可知，變量y與x正相關(guān)

B.線性回歸方程y=0.27x+a中，a=0.21

C.x=5時，殘差為0.06

D.可以預(yù)測x=6時，該商場手機銷量約為1.81千只

【答案】B

【解析】對A,由圖表可知，變量y與x正相關(guān)，

且0.27>0,即變量y與x正相關(guān)，A正確；

1+2+3+4+50.5+0.7+1.0+1.2+1.6

對B,由圖表數(shù)據(jù)可得,

因為樣本中心（3,1）滿足回歸直線，所以1=0.27x3+》，解得6=0.19,B錯誤;

對C,x=5時，殘差為1.6-(0.27x5+0.19)=0.06,C正確;

對D,x=6時，該商場手機銷量約為，=0.27x6+0.19=1.81千只，D正確;

故選:B.

22

8.已知雙曲線。與橢圓E:二+二=1有公共焦點，且左、右焦點分別為片，尸2,這兩條曲線在第一象限的

2521

交點為尸，△尸大鳥是以尸片為底邊的等腰三角形，則雙曲線。的標準方程為（）

22

C.%2_匕=1D.=1

33

【答案】C

22

【解析】設(shè)雙曲線。的方程為Q』+與=1,

%bx

22

在橢圓E:—+—=1中4=25,b2=21,，=a2—b2=4,

2521

則a=5,c=2,因為△Pf；工是以尸耳為底邊的等腰三角形，

所以|「閭=|耳司=2c=4,由橢圓的定義可知，|P耳|+|擘|=2a=10,

所以|正耳|=6,再由雙曲線的定義可得|尸耳卜|尸q=2q=6-4=2,

所以4=1,因為雙曲線。與橢圓2￡+目=1有公共焦點，

2521

所以q=2也=Jc；=44-1=y/3,

2

故雙曲線。的標準方程為——匕=1.

3

故選：C.

9.已知函數(shù)/（%）=<'石,%2，%3，%4是函數(shù)g（x）=/（x）-根的4個零點，且玉<%2<%3<%4，給

|log3x|,x>0

i3再+下20

出以下結(jié)論：①相的取值范圍是（。,2）；②3為+3巧=：；③退+4%的最小值是4；---------的最大值是之.

32%3X46

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

,、3x+1-l,x<0

【解析】作出函數(shù)f(x)=J的圖象如下圖所示:

|log3x|,x>0

因為士,々,不，匕是函數(shù)g(x)=/(無)-機的4個零點，

所以直線，=機與函數(shù)/(力的圖象有四個交點，且西<馬<%<匕，

結(jié)合圖象可知：0<加<1,故①錯誤；

對于②，由圖可知，不<-1,貝1」3工出一14-1,0),所以/(王)=|3討一1卜1—

-1<%2<0,則3也M—le(O,2),所以|=33-1,

2

所以1—3?1=3研J1,所以3』+3為=§,故②錯誤；

對于③，當|log3x|=l時，x或％=3,

結(jié)合圖象可知，1<x3<1<%4<3,由/(七)=/(%4)得|1鳴電|=|1鳴及|，

即-logs%3=log3%4,所以43%4=1，所以玉+4%4-2J7。4%4=4,

當且僅當忍=4匕，即W=2,5=g時，等號成立，顯然不滿足:<W<1<Z<3，

所以毛+4尤4>4,故③錯誤；

對于④，因為2鼻+%2252演x4=2及,當且僅當2七=4=0時，等號成立，

22

所以3、1+3*=3W3=夜,即受生的最大值是正，故④正確.

2%3+%42%3+%42A/26X3+%46

綜上，正確結(jié)論為④，共1個.

故選：A.

第II卷

注意事項

1.用黑色墨水的鋼筆或簽字筆將答案寫在答題卡上.

2.本卷共11小題，共105分.

二、填空題，本大題共6小題，每小題5分，共30分，試題中包含兩個空的，答對1個的給

3分，全部答對的給5分。

2_

10.已知復(fù)數(shù)z=；—,其中i為虛數(shù)單位，貝IJz=.

【答案】1+i

【解析］???z=-=7|K=l—i,

z=1+i?

故答案為：l+i

11.已知隨機變量X?N（0Q2）,且「（xwo）=a,則［五-的展開式中常數(shù)項為.

【答案】V

4

【解析】由題意得隨機變量X?N（0,/）服從正態(tài)分布，且尸（XW0）=a,由〃=0,所以a=g,

即求的常數(shù)項，由二項式定理得常數(shù)項為

故答案為：—

4

［解析］lnV?-2022lnl+-3,og34=lne2-2022°+--4=--l+--4=--.

K4j4244

故答案為：3

13.已知直線/：x+y-2=0和圓C:f+（y—1）2=/任>0）相交于AB兩點；弦長=貝什=

【答案】1

【解析】圓C:x2+（y_l）2=/（r>0）的圓心為（0,1）,半徑為

2

則由題意可得

貝Ur=1.

故答案為：1.

14.在一個布袋中裝有除顏色外完全相同的3個白球和機個黑球，從中隨機摸取1個球，有放回地摸取3

次，記摸取白球的個數(shù)為X.若￡（X）=：,貝lp"=,尸（X=2）=.

【答案】1=27

64

【解析】由題意知X?

1m+3）

339

因為E（X）=：,所以3X--=4,解得根=1,

所以尸（X=2）=C；xg[x；=|^

27

故答案為：m=l；P（X=2）=—.

15.在邊長為6的正方形ABCD中，OE=2EC,M是BC中點，則Affi.gZ”;若點P在線段3。上運

動，則PE-PM的最小值是.

【答案】30名23

以A為坐標原點，建立如圖所示平面直角坐標系,

因為正方形的邊長為6,且OE=2EC,M是BC中點,

則B（6,0）,Z）（0,6）,M（6,3）,E（4,6）,

則9=(-6,6),ME=(-2,3),

所以Affi.3￡>=(-6)x(-2)+6x3=30；

設(shè)DP=2DB，其中

則DP=ADB=2（6,-6）=（6A,-6>l）,則P（62,6-62）,

所以PE=（4—64,62）,PM=（6-6464-3）,

其中6(12萬-132+4)=612^--j+1,2e[0,l]

當4=蕓13時，有最小值為三?3.

所以的最小值是胃23.

8

23

故答案為：30；--

O

二、解答題，本大題共5小題，共75分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程成演算步驟。

16.在ABC中，內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為。，b,c.已知b+c=2a,5csinB=6asinC.

⑴求C0S5的值；

(2)求sin[28+值；

(3)若A=2區(qū)，求tanC.

【解析】(1)由題設(shè)及正弦定理知：5bc=6ac,則5〃=6。，又8+c=2a,故3c=2b,

a+c-b2

又cosB=

2ac

（2）由8為內(nèi)角且cos3=:，則sin5=31~,故sin2B=2sin5cos8=32,cosIB=2cos2B-l=,

883232

所以sin2B-\——=sin2Bcos——Feos25sin—=---x———F（---）x—=---------

I66632232264

/八.「「/'c、rtanA+tanB,

（3）由tanC=tan[jt—（A+B）]=—tan（zA4+B）=-------------,而A=2B,

1-tanAtanB

2tan^5q/7

所以tanA=tan23=------，由（2）知：tanB=3A/7,貝i」tanA=-*^,

l-tan2B31

3幣一近

45"

-tanA+tanB_________31

綜上,tanC=------------

tanAtanB-13A/7X（一9）-147

31

17.如圖，四邊形ABCD是正方形，B4J_平面ABCQ,跖〃尸AAB=A4=4,￡3=2,尸為尸。的中點.

(1)求證：AF±PC；

⑵求D到平面PEC的距離；

(3)求平面DPC與平面PEC的夾角.

依題意，平面ABCD,如圖，以A為原點，

分別以ARAB,AP的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標系.

依題意，可得40,0,0),B(0,4,0),C(4,4,0),￡>(4,0,0),尸(0,0,4),依0,4,2),尸(2,0,2),

AF=(2,0,2),PC=(4,4,-4),AF-PC=8+0+(-8)=0,.'.AF±PC.

(2)PE=(0,4,-2),PC=(4,4,-4)

設(shè)平面PEC的一個法向量為〃=(x,y,z),

n-PC=014x+4y-4z=0

則<，即L/n，令y=-1,貝I」尤=-1,Z=-2,

fl-PE=0[4y-2z=0

故乃=(-LT-2),

DC=(0,4,0),故。到平面PEC的距離即DC在法向量〃上的投影長度,

…DCn,,-4,2瓜

則d=i--i=iiV-,

|n|A/63

故D到平面PEC的距離為友.

3

(3)因為APLPRAFLPCPDPC=P,

PD,PCu平面PCD,所以AF_L平面尸CD,

故A尸=(2,0,2)為平面PCD的一個法向量,

|-2-0-4|_73

設(shè)平面PCD與平面PCE的夾角為。，則cos。=|cos〈A死〃〉|=

242-46~2

7T

所以平面PC。與平面PCE的夾角為工.

0

22

18.已知橢圓C：鼻+4=1(。＞力＞0)的一個焦點為月(-1,0),上頂點到這個焦點的距離為2.

ab

(1)求橢圓C的標準方程

(2)若點T在圓V+y2=2上，點A為橢圓的右頂點，是否存在過點A的直線/交橢圓C于8(異于點A),

使得07=半(04+02)成立？若存在，求出直線/的方程；若不存在，請說明理由.

【解析】解：(1)由橢圓的一個焦點為耳(T，。)知：c=l,

因為上頂點到這個焦點的距離為2,故a=2,所以6=指,

22

...所求橢圓C的標準方程為—+^=1；

43

(2)假設(shè)存在過點A的直線/符合題意，直線/的斜率必存在，于是可設(shè)直線/的方程為y=Mx-2),

V￡

由《43一，得(3+4/)/_16上與+163—12=0.(*)

y=k(x-2)

?..點A是直線/與橢圓C的一個交點，則乙=2,

16左2-12.8^-6.12k

乙』=3+41',-XS=374F，,,yfi=-374F，

8--612k

即點

83+4左2'-3+442OA=(2,0),

16312k

OA+OB=

3+4兀2'-3+442

且116r12k)

即OT=-7-13+442'-3+4左2J

?.?點T在圓/+丁=2上.

-與【卜，

3R

化簡得48/-8r-21=0,解得左2=:，；.，k=±—,

42

經(jīng)檢驗知，此時(*)對應(yīng)的判別式△>(),滿足題意，

故存在滿足條件的直線/,其方程為丫=土手(x-2).

19.已知各項均為正數(shù)的數(shù)列｛%｝的前〃項和滿足S“>1,且6s“=(%+l)(a.+2),〃eN*.

(1)求｛叫的通項公式：

(2)設(shè)數(shù)列也｝滿足%=并記［為也｝的前w項和，求證：37；+l>log2(a“+3),〃eN*.

【解析】(1)由4=Sj=(卜4+1)(%+2),結(jié)合%=5>1,因此％=2

a=

由n+\S〃+i-S,=—(an+x++i)--｛an+1)(4+2)

得(4+i+凡)(%-%-3)=0,

又4>°，得4+1-=3

從而｛凡｝是首項為2公差為3的等差數(shù)列,

故｛%｝的通項公式為q=3〃-1.

⑵由"J)=i可得2=1嗎.'

從而北=log2gt3〃3〃-1

)

363n

37；=log(----—-)3

2253n-l

3n3〃+13〃+2

?------->-------->--------

3n-l3n3n+l

/3n、劣3n3〃+13n+2

>

"377-13n-l3〃3n+l