2024年2月海南省高三年級春季學期開學摸底聯考

數學

注意事項：

1.答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號等信息填寫在答題卡和試卷指定位置。

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選

擇涂其他答案標號。回答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一

項是符合題目要求的)

1.集合4={%帝_2%_3〉0},集合3=,則(CR4)nB=

A.(-1,3)B.(-oo,-l)U(l,3)C.(0,3]D.(-1,1)

1.答案C

解析由題意得A=jx\x<-l或無>31,3={x\x>Q\(CR4)PlB={?10<尤W3]，故選C.

2.復數z=1a,則3在復平面中對應的點所在的象限為

2-1

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

2.答案C

解析則z=故名在復平面中對應的點所在的象限為

2-1(2-1)(2+1)5555

第三象限.

3.海南省旅游和文化廣電體育廳攜手故宮博物院，于2024年1月31日至4月30日在海南省博

物館聯合舉辦“千古風流不老東坡——蘇軾主題文物展”，332件文物展品穿越千年在瓊展出，

詮釋中華優秀傳統文化的底蘊與內涵.因此博物館需要從5名男生和3名女生中選取4名志

愿者，則選出的志愿者中至少有2名女生的概率是

31人34

A.—B.—C.—D.—

72107

3.答案B

解析選出的志愿者是2名女生和2名男生的選法有C；C；=30種，

是3名女生和1名男生的選法有C；C；=5種，所以共有30+5=35(種)選法，

故所求概率P=3三5.1故選B.

C：2

ABCD

1

4.答案A

解析易知/(%)的定義域為R,關于原點對稱，/(-%)=]-=也無)，故/(”)是奇函數，排除

e+e

B;

當%>0時,e'+e-'O,即/(")>0,排除C；

24

易知/(1)=-z^,/(2)=丁F，由/(2)4(l)排除D,

e+ee+e

故選A.

5.已知向量a/滿足laI=1,⑸=后，la-26=3,則la+2Z>l=

A.714B.4C.715D.717

5.答案D

解析因為lai=1,⑸=JJ,la-26=3,

所以a2-4a-6+46?=9,即a?b=l,

\a+2b\2=a2+4a-Z?+4Z>2=l+4+4x3=17,

§Pla+2Z>l.故選D.

6.若a=1.309,b-1.2°*,c=logi,80.9,則

A.a>b>cB.b>c>aC.a>c>bD.b>a>c

6.答案A

解析易知/(攵)=1.3”在(0,+8)上單調遞增，所以1.3°-9>1.30-8,

易知g(%)=J8在(0,+8)上單調遞增且g(%)〉0,所以1.3°$〉1.2*故0〉6〉0,

c=log,80.9<log]81=0,所以a>6>c,故選A.

7.“夸父一號”是我國首顆綜合性太陽探測衛星，于2022年10月9日在酒泉衛星發射中心成功

發射.在北京時間2024年1月1日，“夸父一號”衛星的三臺有效載荷成功地跟蹤和記錄了太

陽耀斑的爆發.在探測的過程中，某信息的傳遞可以用函數/(%)=(乃cos4覬-sin4加)*

來近似模擬信號，其中力為常數,e是自然對數的底數，當力=；時,下列說法正確的是

A.函數/(%)的圖象關于點對稱

B.函數是偶函數

C.函數/(%)的最小正周期是F

7TSqT

D.函數/(%)的單調遞減區間是-丘+而，記+而,/ceZ

7.答案B

解析當力=!時，/(%)=2cos(2%+21,作出函數圖象，由圖可知A錯誤.

2

函數/（%）的最小正周期丁1小片；TT,故C錯誤.

=2cos2%4—=2lsin2%1,是偶函數，故B正確.

2

5TTklT27TkF

由圖可知函數》（無）的單調遞減區間為------1---------------1------JeZ,故D錯誤.

122,32

8.已知數列｛中,%=1，若（〃+1）（。〃-冊+1）=冊冊+1，則下列結論中正確的是

111112

A.--------2-B.---------<

Jan2an+2an\!(〃+2)(〃+1)

C.-------<—D.dn,ln（AI+1）<1

a2nan2

8.答案D

解析由題意得工-［二）,易知」（九eN*）,

所以「一-，=—1wg,故A錯誤；

日3111小11

易知-------=-~(D,—

冊+2冊+1〃+2冊+1冊

①+②得-----=—-+-->-------------，故B錯誤;

冊+2M〃+2幾+1，(〃+2)(〃+1)

1_111111

=---------1---------F???H2—X”——，故c錯誤;

an+1〃+22n2n2

a2tln

易得」」111_111_1—-----^—=—(n^2,neN*),

。22'。3。23'a4a34冊?n-ln

所以一=1+—+--H----1—>經檢驗，〃=1也符合該式，所以一=1+7+74-----1—(〃eN).

an23nan23n

1—x

設/(%)=ln(%+l)-%(%>0)，則/'(%)=—r-1=-—7(%>。)，則/'(")<。，

%+1%+1

所以函數/(%)在(0,+8)上單調遞減，

所以/(%)4f(0)=0,所以當%>0時』n(%+l)-%<0,所以/(1)=In2-1<0,/=ln3-In2-;

=岳4-ln3-;=In5-In4一!<0,???，/［工］=ln(n+l)-lnn-^-<0,

\5)314;4\nJn

3

所以In(九+1)<1+?+?+…+!=▲，所以an?ln(〃+l)<l，故D正確.

23nan

二、多項選擇題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項

符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分)

9.已知a>0,6〉0,若a+26=l,則

A.ab的最大值為:B.a+b2的最小值為:

84

21

C.—+7的最小值為8D.2"+4"的最小值為2戶

a0

9.答案ACD

解析2向也=!，所以而當且僅當a==J時等號成立，故A正確；

44824

/+62=(1-26)2+62=51-；|+；,所以當6時,取得最小值，為"，故B錯誤；

因為a>0,6〉0,a+26=l,所以2+；=(。+26)［2+』=4+”+；,4+24=8,當且僅當”=；,

abb)aoao

且a+26=l,即a=；,b=:時,取等號，故C正確；

2"+4〃，2衣卬=27^^=27^,當且僅當a=26,且a+26=l,即.=；,6=：時,取等號，故D

正確.

故選ACD.

10.已知定義域為R的函數/(")對任意實數久,y都有卜，/［且/(0)/0,

/(1)=1,則下列說法正確的是

A./(0)=3

B./(無)=/(-x)

C.函數/(%)的圖象關于點對稱

D./(l)V(2)+-V(2024)-0

10.答案BD

解析令*=0,y=0,則/(0)4/(0)=嚴(0),又/(0)片01./(0)=2,故人錯誤；

令,二一%,則/(%)伏一％)=/(0)?/(4)，又/(。)=2,

.,./(%)=/(-%)，故B正確；

由于/(l)V(0)=3六0,故函數/(%)的圖象不關于點］；,01寸稱，故C錯誤；

令y=x-2,則/(久)4/(尤-2)=/■(久-1)?/(1)=/(“-1),

；?/(%)=~f(x-2)+f(x-l),.,./(x-l)=-f(x-3)+f(x-2),

4

.?./(吟=寸(%-3),，6為/(%)的周期,

由/(1)=1"(0)=2,得/(2)=/(1)/(0)=-1,

同理可得/(3)=/(2)于。)=-2,

/(4)=/(3)V(2)=-l,/(5)=/(4)V(3)=l,/(6)=/(5)V(4)=2,

.-./(1)V(2)V(3)V(4)V(5)V(6)=1+(-1)+(-2)+(-1)+1+2=0,

.-./(1)+/-(2)+---+/'(2024)=337x0伏1)伏2)=0,故D正確.

故選BD.

11.已知拋物線r：y2=4%的焦點為町過焦點的一條直線交拋物線于4,5兩點，滿足=8且直線

AB的斜率存在，過點B作該拋物線準線的垂線,垂足為鳥，點P在直線AB左側的拋物線上，則

A.直線48的斜率為±1

B.當面積最大時，點P的坐標為(1,2)

C.點4,。,當(。為坐標原點)共線

D.AF?BF=-5

11.答案AC

解析易知直線45的斜率不為0,

故設直線AB的方程為x=my+l(m7^0),A(xt，%),B(x2,y2),

［x=my+1,

22

聯立］得y-4my-4=0,A=16m+16>0,y}+y,=4m,y1y2=-4,

6=4%,

\ABI=V1+m2?/(%+&)214yly2=4(1+m2),

4(1+機2)=8,=±1,即直線AB的斜率為±1A選項正確.

由于43的長度固定，故要使得AABP的面積最大，則點P到直線AB的距離d最大，

由A選項知,直線AB-x-y-1=0或%+廠1=0,過P點作直線1//AB，當直線I與拋物線只有一

個交點時，距離d最大.當直線48的方程為4-廠1=0時，設直線/的方程為聯立

(%=y+6,

得y2-4y-46=0,16+166=0,6=-1,.?.點P的坐標為(1,2),

(尸=4%,

同理,當直線48的方程為％+廠1=0時，點P的坐標為(1「2)B選項錯誤.

。4=(犯，%)=,OB］=(-l,y2),由A選項知力”=-4,

y\

4y,y,

-=—=OA//OB,,:.O,A,B.共線,C選項正確.

-iTI/2y-i

AF=(l-x,,-y,)(l-%2,-y2),

—>—>yi/2

/.AF,BF=］一(町+%2)+久/2+%%=］一加%+%)-2+十%”=l-4m-2+1-4=-4(m+1)=

16

-8,「.D選項錯誤.

故選AC.

5

三、填空題(本題共3小題，每小題5分，共15分)

12.《幾何原本》是古希臘數學家歐幾里得的數學著作，其中第十一卷稱軸截面為等腰直角三角

形的圓錐為直角圓錐.已知圓錐P。是直角圓錐，底面直徑43=4,M是圓錐側面上一點，若點

M到圓錐底面的距離為1,則三棱錐P-AMB體積的最大值為.

4

12.答案j

解析由題意知△P4B是等腰直角三角形,P4=P8=27I,

VP_AMR=VM_PAri=y?d-Sv,其中d表示點M到平面PAB的距離,

4

易得?U=1,SA^=1X272X272=4,.-.(VP_AMB)

J

4e

13.設a為銳角，若cosa+一二亍則sm2a-；的值為

6

24+7萬

13.答案

50

7T4

角簞析令a+：=9,貝(ja=0---,cosa+~~=cose=M，又a是銳角，0是銳角,

o6I6

,3

sin0,

7T7T(2TT27T2IT

sin2aq二sm二sin2。-彳=sin20cos---cos20sin—,

333

247

易得sin20=2sin0cos0=—,cos20=cos20-sin26=^,

25’25'

724+773

---X——=

25250

14.若關于％的不等式xex-ax-aln對任意xe(0,+oo)怛成立，則實數a的最大值是

14.答案e

解析由xex-ax-aln%N0可得xex-a(%+ln%)N0,即％e"-aln(xex)N0,

令片%e"(%>0),貝h'=(%+l)e”(%>0)，易知>>0,

故片％6、在(0,+8)上單調遞增，易知當％一。時，力一0,故方>0,

令/(力)=4(力〉0且1關1)，/'(令二］\1，

Int(Ini)

當力>e時，/⑺>0,/⑺單調遞增,

當0</<1或l<i<e時，/⑴<0,/(t)單調遞減，

當xex=1時,xex-aln(xex)=120恒成立，「.aeR,

當xex片1時/e"-aln(%e")NO等價于t-aln力NO,

6

當力>1時,aW：；—，貝!Ja《/(e)=aWe；

Int

當0</<1時,a2：1—易知當t—K)時,/(力)~>0,QNO.

Int

綜上,0WaWe,故a的最大值是e.

四、解答題(本題共5小題，共77分?解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

15.(13分)已知函數g(%)=-^-%4-a%2-2%ln%+2%.

(1)當Q=1時，求g(“)的圖象在點(l,g(l))處的切線方程；

(2)若一(%)20,求實數。的取值范圍.

15.解析(1)當Q=1時，g(%)二%+2%,%￡(0,+8),

則g(l)=—■-1-0+2=—,g\%)=%3-2%-21n%,%￡(0,+oo),

則g'(l)=1-2=-1,3分

故g⑴的圖象在點(1,g⑴)處的切線方程為y-^-=~(%-l),

5分

(2),.,g(%)=一%4-a%2-2%lnx+2x%E(0,+8),

4

f33

.0.g(x)=x-2ax-21nx9xe(0,+oo)，若g，(%)》0,貝1]x-2ax-21n%20,%e(0,+oo),

x2Inx

a^-----(0,+8),7分

2x

八八/、x2Inx/八、r,r…、1-lnx%3+lnx-1”、

令/(%)=不----/e(。，+8)，則/(%)=%----2一=----2---，%￡(0,+8),8分

2%%%

令r(“)=%3+ln久一l,%e(0,+8)，貝rf(x)=3/+一>0,%e(0,+oo),9分

x

r(x)-x3+lnx-1在(0,+8)上單調遞增，又r(1)=0,

當0<%<1時，/'(無)<0,函數/(比)單調遞減，

當%>1時，/(％)>0,函數/(%)單調遞增，

???/(久)min=/(1)=；,；.aW；,

故a的取值范圍是，8.13分

7

16.(15分)為了全面貫徹落實《未成年人保護法》和《海南省中小學生生命安全教育和防護能力

提升工程實施方案》,進一步加強中小學生生命安全宣教，海南省某學校組織了一場安全知識

競賽(總分100分)，一共有1000名學生參加，把得分按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,

90),[90,100]分成5組，繪制了如圖所示的頻率分布直方圖.

(1)求出工的值并計算這1000名學生的平均得分(同一組中的數據用該組區間的中點值作

代表)；

(2)已知得分不低于80分的為“優良”，

①請補充完整下面2x2列聯表；

②依據小概率值a=0.01的V獨立性檢驗，能否認為這次安全知識競賽得分是否“優良”與性

別有關?

安全知識競賽得分

性別合計

非“優良”“優良”

男500

女280

合計

n(ad-bc)2

參考公式:，其中北=a+b+c+d.

(a+6)(c+d)(a+c)(b+d)

參考數據:

a0.10.050.010.005

Xa2.7063.8416.6357.879

16.解析(1)由頻率分布直方圖可得10x(0.005+x+0.035+0.030+0.010)=1,

解得％=0.020.3分

這1000名學生的平均得分為55x0.05+65x0.20+75x0.35+85x0.30+95x0.10=77.6分

(2)①補充完整的2x2列聯表如下.

8

安全知識競賽得分

性別合計

非“優良”“優良”

男320180500

女280220500

合計6004001000

10分

②零假設為Ho：這次安全知識競賽得分是否“優良”與性別無關,

2

21000x(320x220-280x180)

修=------.................—?6.667>6.635=^,

500x500x600x400°0-011

故依據小概率值a=0.01的產獨立性檢驗，我們推斷為不成立，即認為這次安全知識競賽得

分是否“優良”與性別有關.15分

17.(15分)如圖1,在梯形ABCD中,過8,C分別作梯形的高BE,CF,交AD于點E,F.

AE=BE=BC=2,FD=2戊，沿BE,CF所在直線將梯形折疊，使得點4與點O重合,記為點P,

如圖2,M是BC中點,N是尸尸中點.

(1)證明:直線MN〃平面PEB；

(2)G是線段PC上異于端點的一點，從條件①、條件②、條件③中選擇一個作為已知,求平面

PCF與平面GMN的夾角的余弦值.

條件①:而=-:港+；前；

_2

條件②:四棱錐G-EBCF的體積為了；

3

條件③:點G到平面PEF的距離為了

注:如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

17.解析(1)證明：取PE中點修，連接BH、NH,

9

易知NH是4PEF的中位線，NH〃EF,NH=；EF,

由題可知四邊形EBCF為正方形，BC//EF,BC=EF.

又?rM是5c中點，r.BM=；BC=；EF=NH,BM〃NH.

：.四邊形是平行四邊形.

MN//BH,又MNC平面PEB,BHU平面PEB,

直線〃平面PEB.6分

(2)選條件①：

-FN=-i-FC+—FP=i-CP.

CG=--EB+

42444

則點G是線段尸。上靠近C點的四等分點.

PE2+EF2=PF2PE1EF,又?:PE_LBE,BECEF=E,BE、EFU平面EBCF,

PE工平面EBCF.8分

選條件②：

易知PE2+EF2^PF2PELEF,又，:PE工BE,BECEF=E,BE、EFU平面EBCF,

PEL平面EBCF,

18

Vp-EBCF=3-XIPE1XS底面EBCF=W=4VG-EBCF,

故點G是線段PC上靠近C點的四等分點.8分

選條件③：

易知CF1EF,CF1PF,^EFQPF=F,EF,PFC^^PEF,:.C/L平面PEP,

設點C到平面PEF的距離為d,

_3

d~23

貝U---=——=——

CF24'

則G點是線段PC上靠近C點的四等分點.

易知PE'EF'PF?PE_LEF,又?:PE_LBE,BECEF=E,BE、EFU平面EBCF,

EBCF.8分

以E為坐標原點，港，前，港的方向分別為無軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標系，

則夕(0,0,2),。(2,2,0),歹(0,2,0),加(2,1,0)4(0,1,1),61萬，5，萬卜9分

兩二(0,2,-2),萬=(-2,0,0),血=卜；,；,],加=(-2,0,1),10分

設平面PC『的法向量為〃1=(%1,力/1),

IPF-?1=0,(2%-2z1=0,

貝即]令力=1,則Z]=i,.?.〃]=(o,i,i),n分

ICF??1=0,]-2%[=0,

10

設平面GMN的法向量為n2=(x2,y2)，

_n[111

IMG,n2-U,----HH—=0,

則晨.n2

即,2-22令％2=1,則%=一1/2=2,「.〃2二(1,一1,2).12分

=

°，-2X2+^20,

nx-n2-1+273=八

??.cos〈〃i,〃2〉=?[JL=Z14分

/3

平面PCF與平面GMN的夾角的余弦值為一.15分

6

2222

18.（17分）已知橢圓E：J+4=l（a>b>0）與雙曲線，-，=1有公共焦點,且橢圓E的離心率為

ab97

272

于

（1）求橢圓E的標準方程；

（2）9是橢圓E的右焦點，過點歹作兩條斜率存在且不為0的直線/、加,兩直線斜率的乘積為

-1,直線/與橢圓E交于4、3兩點，直線m與橢圓E交于C、D兩點，求當四邊形4OBC的面

積取得最小值時，直線I的解析式.

18.解析(1)由題知￡-/=。2=9+7=16,

c=4,3分

又?；橢圓E的離心率為e=￡==-,

a3

/.a=342,b=/2,

22

橢圓E的標準方程是"+二=L6分

Io2

（2）由（1）知產的坐標為（4,0），設直線/：%=人人+4A（0,4（町’）產（％2,y2）,

%二左尹4,

聯立”2/消去%并整理得（/+9）/+甌廠2=0,自產0,

/.A=64A：；+8(K+9)>0,「?%+%二10分

IM=尤|一尤2）2+（二]一人2）2=/]+1；?，（％+72）'4力”

64后8-6也(K+1)

(k；+9y+k]+9~~4+912分

直線I、m的斜率乘積為T直線m的方程為久=-3y+4AX0.

ki

11

6721—+1

6也(1+/)

同理得IC0=---------;lh#0.14分

4+91+9《

16印后+1)6也(1+后)

1''S四邊形=,MBI,\CD\=—

2l+9k~

36(1+/)2(1+就)2(1+K)236

--------------N36x-------------=36x--------=——

(后+9)(1+9后)忻+9+1+9/丫(5+5/)225

、2

當后+9=1+9/，即R=±l時，四邊形4DBC的面積有最小值,為玉.

直線I的解析式為x-y-4=0或x+y-4=0.17分

19.(17分)由nxn個數排列成九行九列的數表稱為鼠行〃列的矩陣，簡稱nxn矩陣,也稱為n階

方陣,記作:

41ai2ai3,'%.'

a2la22a23°,a2n

A(n,n)=a31a32Q33°■。3n

*2an3.'a"

其中a,y(ieN*JeN*,iJW鼠)表示矩陣A中第i行第，列的數

12a13…ain^

ana

a21a22a23**'a2n

已知三個n階方陣分別為A(n,n)=a3la32a33?**&3n,B(n,n)=

aa

@an2n3***nn>

h瓦?63…b［「cnc\3.,,?八

%b?2b23,一b2nC21。22。23?

,C(n,n)=C，其中旬,勺,％.(:,jGN*,i,jWn)

631L633???b3n31。32。33,*,

“1bn2bn3…b

nn$1Cn2Cn3,??Cnn,

分別表示A(n,n),B{n,n},C(n,n)中第i行第j列的數.

若ct>=(1~/JL)ay+fib^/JLeR)，則稱C(zi/)是4(九,九)，8(九,九)生成的線性矩陣.

(24、'3-1

(1)已知4(2,2)=,5(2,2)=4，若C(2,2)是4(2,2),3(2,2)生成的線性矩

11J

12J

陣，且c1i=3,求C(2,2)；

12

??1?..AA

ai2,%bi?,U\n

332?-3"12.??n

(2)已知V〃6N*,〃23,矩陣4(〃,〃)=,B(n,n)=

9〃a2n?,ann,b2n,??bnnJ

矩陣C（幾,C是4（口,〃），回幾/）生成的線性矩陣，且。21=2.

①求。23，。2晨4￡N*/0〃）；

②已知數列也|滿足6.二〃,數列!dn\滿足點二二一,數列｛dn\的前n項和記為T.，是否存

2c2“一〃

在正整數叫〃，使7；=堆成立？若存在，求出所有的正整數對（加