用樣本估計總體（精練）

A夯實基礎

一、單選題

1.（2022?上海市建平中學高三階段練習）甲、乙兩人在6天中每天加工零件的個數(shù)用莖葉

圖表示如圖，中間一列的數(shù)字表示零件個數(shù)的十位數(shù)，兩邊的數(shù)字表示零件個數(shù)的個位數(shù),

則在這6天中，下列結(jié)論正確的是（）

甲乙

9981788

8732135

A.甲、乙兩人加工零件數(shù)的極差相同

B.甲、乙兩人加工零件數(shù)的中位數(shù)相同

C.甲加工零件數(shù)的眾數(shù)小于乙加工零件數(shù)的眾數(shù)

D.甲日均加工零件數(shù)大于乙日均加工零件數(shù)

【答案】D

【詳解】甲加工零件數(shù)的極差為28-18=10,乙加工零件數(shù)的極差為25-17=8,故極差不同,

A錯誤；

甲加工零件數(shù)的中位數(shù)為不上=21,乙加上零件數(shù)的中位數(shù)為上十=19.5,

故中位數(shù)不同，B錯誤；

甲加工零件數(shù)的眾數(shù)為19,乙加工零件數(shù)的眾數(shù)為18,甲加工零件數(shù)的眾數(shù)大于乙加工零

件數(shù)的眾數(shù)，C錯誤；

18+19+19+23+27+28g,乙日均加工零件數(shù)為

甲日均加工零件數(shù)為

6

17+18+18+21+23+2561

6

故甲日均加工零件數(shù)大于乙日均加工零件數(shù)，D正確.

故選：D

2.（2022?江蘇?南京師大附中高二期中）若數(shù)據(jù)4,a2,%的方差為7,則數(shù)據(jù)%+1,

a2+l,a3+l,40+I的方差為（）

A.7B.49C.8D.64

【答案】A

【詳解】數(shù)據(jù)%,?2＞。3，…，陽到“1+1，出+1，%+1，…，4o+l，波動性并沒有發(fā)生

變化，所以方差還是7.

故選：A

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3.（2022?四川?周中中學高三階段練習（文））下列統(tǒng)計量可用于度量樣本X],x2,x3……，

4離散程度的是（）

A.尤1,x2,x3,xn的眾數(shù)B.X],x2,尤3,xn的中位數(shù)

C.x2,x3......,%的極差D.%,x2,鼻……,4的平均數(shù)

【答案】C

【詳解】解：眾數(shù)是指統(tǒng)計分布上具有明顯集中趨勢的數(shù)值，代表數(shù)據(jù)的一般水平；中位數(shù)

是統(tǒng)計數(shù)據(jù)中選取中間的數(shù)，是一種衡量集中趨勢的數(shù)值；極差是用來表示統(tǒng)計資料中的變

異數(shù)量，反應的是最大值與最小值之間的差距，刻畫一組數(shù)據(jù)的離散程度；平均數(shù)是反應數(shù)

據(jù)的平均水平是一種衡量集中趨勢的數(shù)值.

故選：c

4.（2022?山東省單縣第五中學高二開學考試）如果你正在籌劃一次聚會，想知道該準備多

少瓶飲料，你最希望得到所有客人需要飲料數(shù)量的（）

A.四分位數(shù)B.中位數(shù)C.眾數(shù)D.均值

【答案】D

【詳解】四分位數(shù)在統(tǒng)計學中把所有數(shù)值由小到大排列并分成四等份，處于三個分割點位置

的數(shù)值；中位數(shù)是按順序排列的一組數(shù)據(jù)中居于中間位置的數(shù)；眾數(shù)一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最

多的數(shù)值；平均數(shù)是表示一組數(shù)據(jù)集中趨勢的量數(shù)，是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以

這組數(shù)據(jù)的個數(shù)。所以選擇均值較理想.

故選：D

5.（2022?全國?高一專題練習）如圖是甲、乙兩名運動員某賽季一些場次得分的莖葉圖，據(jù)

圖可知（）

甲乙

08

1247

322199

8754336

9444

52

A.甲運動員的成績好于乙運動員

B.乙運動員的成績好于甲運動員

C.甲、乙兩名運動員的成績沒有明顯的差異

D.甲運動員的最低得分為。分

【答案】A

【詳解】根據(jù)莖葉圖可知，甲運動員得分的葉集中在莖2,3,4±,乙運動員得分的葉主要

集中在莖1,2,3上，所以甲運動員的成績好于乙運動員，故A正確，BC錯誤；

第2頁共12頁

甲運動員的最低得分為22分，故D錯誤.

故選：A.

6.（2022?河南?高三開學考試（文））一名籃球運動員在最近8場比賽中所得分數(shù)的莖葉圖

如圖所示，則該運動員這8場比賽得分的平均數(shù)和中位數(shù)分別為（）.

11467

20356

A.18.5,19B.19,19C.19,18.5D.18,18.5

【答案】C

【詳解】該運動員這8場比賽得分的平均數(shù)為-----------------------------=19,

O

中位數(shù)為組空=18.5.

2

故選：C.

7.（2022?貴州?高二學業(yè)考試）某校高一年級一次數(shù)學考試成績（單位：分）的頻率分布直

方圖如圖所示，估計該次考試成績的眾數(shù)為（）

【答案】C

【詳解】由頻率分布直方圖可知考試成績在80到90的最多，

所以該次考試成績的眾數(shù)為85,

故選：C

8.（2022?貴州貴陽,模擬預測（理））甲乙兩位射擊運動員參加比賽，抽取連續(xù)5輪射擊比

賽的成績情況如下：

甲：80、70、80、90、90；乙：70、80、80、80、70

則下列說法中正確的是（）

A.甲平均成績高，甲成績穩(wěn)定B.甲平均成績高，乙成績穩(wěn)定

C.乙平均成績高，甲成績穩(wěn)定D.乙平均成績高，乙成績穩(wěn)定

【答案】B

【詳解】由題意可得

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e-80+70+80+90+90℃

甲：x=-----------------=82,

2(80-82)2+(70-82)2+(80-82f+(90—82)2+(90-82)2

S]—=56，

丁-70+80+80+80+70”

乙：y=------------------=76,

5

22222

2(70-76)+(80-76)+(80-76)+(80-76)+(70-76)。/

SQ——24,

5

因為元>歹且s；>s；,

故選：B.

二、多選題

9.(2022?山東青島?高二期中)對劃艇運動員甲、乙二人在相同的條件下進行了6次測試,

測得他們最大速度的數(shù)據(jù)如下，甲：27,38,30,37,35,31；乙：33,29,38,34,28,

36.根據(jù)以上數(shù)據(jù)，下列說法正確的是()

A.他們最大速度的平均值相等

B.他們最大速度的中位數(shù)相等

C.同樣情況下，甲運動員的發(fā)揮比乙更穩(wěn)定

D.同樣情況下，乙運動員的發(fā)揮比甲更穩(wěn)定

【答案】AD

【詳解】解：甲的平均數(shù)=(27+38+30+37+35+31)+6=33,

乙的平均數(shù)=(33+29+38+34+28+36)+6=33,

甲的中位數(shù)為：=313+3=533,乙的中位數(shù)為：3上3+了34=33.5,則他們最大速度的中位數(shù)不

22

相等，

年-[(27-33>+(38-33『+(3。-33)2+(37-33日(35-33『+(31-33)1=15.7,

曖」[(33-33y+(29-33)j(38-33)2+(34-3獷+(28-33)，(36-33)[=12.7,

，乙比甲穩(wěn)定.

故選：AD.

10.(2022?浙江?元濟高級中學高二期中)有一組樣本數(shù)據(jù)為，巧，…，％,由這組數(shù)據(jù)得

到新的樣本數(shù)據(jù)2X，2%,…，2x“，則()

A.新樣本數(shù)據(jù)的極差是原樣本數(shù)據(jù)極差的2倍

B.新樣本數(shù)據(jù)的方差是原樣本數(shù)據(jù)方差的2倍

C.新樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是原樣本數(shù)據(jù)中位數(shù)的2倍

第4頁共12頁

D.新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是原樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)的2倍

【答案】ACD

【詳解】解：設樣本數(shù)據(jù)為，巧，…，斗的最大值為無1mX，最小值為

平均數(shù)為"中位數(shù)為尤，方差為$2,則極差為Xmax-Xmin，

所以新的樣本數(shù)據(jù)2X，2X2,2%的最大值為2%窈，最小值為2X*,

平均數(shù)為21中位數(shù)為2x,方差為22s2=4S,則極差為

即新樣本數(shù)據(jù)的極差是原樣本數(shù)據(jù)極差的2倍，新樣本數(shù)據(jù)的方差是原樣本數(shù)據(jù)方差的4倍,

新樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)是原樣本數(shù)據(jù)中位數(shù)的2倍，新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)是原樣本數(shù)據(jù)平均數(shù)

的2倍.

故選：ACD

11.（2022?湖北?高二階段練習）某市今年夏天迎來罕見的高溫炎熱天氣，當?shù)貧庀蟛块T統(tǒng)

計進入八月份以來（8月1日至8月10日）連續(xù)10天中每天的最高溫和最低溫，得到如下

的折線圖：

根據(jù)該圖，關于這10天的氣溫，下列說法中正確的有（）

A.最低溫的眾數(shù)為29°CB.最高溫的平均值為377C

C.第4天的溫差最大D.最高溫的方差大于最低溫的方差

【答案】AC

【詳解】A選項，由折線圖可知最低溫的眾數(shù)為29。。A選項正確；

38+37+37+39+38+39+38+37+39+37

B選項，由折線圖得最高溫的平均值為=37.9℃,

10

B選項錯誤；

C選項，由折線圖得這10天的溫差分別為9℃,7℃,9℃,12℃,9℃,10℃,10℃,7℃,

8℃,8℃,其中溫差最大的為第4天，C選項正確；

D選項，由折線圖可知最高溫的方差

第5頁共12頁

-37.9)2+4x(37-37.9)2+3x(39-37.9=0.69,

29+30+28+27+29+29+28+30+31+29

最低溫的平均值為=29℃,

10

方差靡溫=*14x（29-29）2+2x（30—29）2+2x（28-29）2+（27—29）2+（31-29）1

=1.2>0.69,D選項錯誤；

故選：AC.

12.（2022?浙江大學附屬中學高三期中）習近平總書記強調(diào)，要堅持健康第一的教育理念，

加強學校體育工作，推動青少年文化學習和體育鍛煉協(xié)調(diào)發(fā)展.某學校對高一年級學生每周

在校體育鍛煉時長（單位：小時）進行了統(tǒng)計，得到如下頻率分布表：

分組[2,3)[3,4)[4,5)[5,6)

頻率0.250.300.200.25

則下列關于高一年級學生每周體育鍛煉時長有關的說法正確的有（）A.眾數(shù)大約為2.5

B.中位數(shù)大約為4

C.平均數(shù)大約為3.95D.第80百分位數(shù)大約為5.2

【答案】BCD

【詳解】對于A,根據(jù)頻率分布表可得，高一年級學生每周體育鍛煉時長眾數(shù)為k=3.5,

2

錯誤；

Y—3

對于B,設高一年級學生每周體育鍛煉時長中位數(shù)為無，則0.25+—x0.30=0.5,解得

4—3

x=3-1~4,正確；

6

對于C,高一年級學生每周體育鍛煉時長平均數(shù)約為

0.25x2.5+0.30x3.5+0.20x4.5+0.25x5.5=3,95,正確；

對于D,因為0.25+0.30+0.20+0.05=0.80,所以高一年級學生每周體育鍛煉時長的第80

百分位數(shù)大約為5+*|=5.2,正確.

故選：BCD.

三、填空題

13.（2022?北京市第十二中學高二期中）在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機構(gòu)認為該

事件在一段時間沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標志為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7

人”.根據(jù)過去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，下列說法中不一定符合該標志

的是（把你認為正確的答案題號填在橫線上）

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①甲地：總體均值為3,中位數(shù)為4；

②乙地：總體均值為1,總體方差大于0；

③丙地：中位數(shù)為2,眾數(shù)為3；

④丁地：總體均值為2,總體方差為3.

【答案】①②③

【詳解】對于①，若甲地連續(xù)10天新增疑似病例數(shù)據(jù)從小到大依次為：

0,0,0,0,4,4,4,4,4,10,

則總體均值為3,中位數(shù)為4,

但不符合“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人"，故①滿足題意；

對于②，若乙地連續(xù)10天新增疑似病例數(shù)據(jù)從小到大依次為：

0,0,0,0,0,0,0,0,0,10,

則總體均值為1,總體方差大于0,

但不符合"連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人"，故②滿足題意；

對于③，若丙地連續(xù)10天新增疑似病例數(shù)據(jù)從小到大依次為：

0,0,0,1,1,3,3,3,3,10,

則中位數(shù)為2,眾數(shù)為3,

但不符合"連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人"，故③滿足題意；

對于④，總體方差S2=：[(七一呼+仁一可?++(x?-x)2]

若丁地某一天新增疑似病例超過7人，即不少于8人，則總體方差

1

52>—x(8-2?9=3.6>3,

101'

..丁地每天新增疑似病例不超過7人，符合"連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過7人”，

故④不滿足題意.

故答案為：①②③.

14.(2022?全國?高三專題練習)有一組樣本數(shù)據(jù)%,々，X3，匕，該樣本的平均數(shù)和方差均為

機.在該組數(shù)據(jù)中加入一個數(shù)加，得到新的樣本數(shù)據(jù)，則新樣本數(shù)據(jù)的方差為.

4

【答案】—

【詳解】樣本數(shù)據(jù)%，該樣本的平均數(shù)和方差均為加，在該組數(shù)據(jù)中加入1個數(shù)加，

則新樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)x=1x(4xm+m)=m,

4

故答案為：.

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15.(2022?全國?高一專題練習)為保持身體健康，人們需要控制零食的攝人量.有20種

不同的零食，它們每100克的熱量含量(千卡)如下：318,249,280,162,146,210,

120,110,120,123,165,432,190,174,235,428,123,120,150,140,則這20種

零食每100克熱量的中位數(shù)與平均數(shù)分別為.

【答案】163.5,199.75

【詳解】設這20種零食每100克熱量的從小到大排列為：

110,120,120,120,123,123,140,146,150,162,

165,174,190,210,235,249,280,318,428,432,

所以這20種零食每100克熱量的中位數(shù)為：162：165=163$.

設這20種零食每100克熱量的平均分為是，則

-318+249+280+162+146+210+120+110+120+123+165+432+190+174+235+428+123+120+150+140

尤=----------------------------------------------------------------------------------------------

20

故答案為:163,5；199.75.

16.(2022?廣東?普寧市華僑中學高二期中)某同學5次上學途中所花的時間(單位：分鐘)

分別為X,y,8,10,12.已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為10,標準差為0,則X-y的值為

【答案】±2

【詳解】平均數(shù)為gx(x+y+10+12+8)=10,即x+y=20①，

方差為(X[(無-10)2+(y-10)2+(10-10)2+(12-10)2+(8_10產(chǎn)]=2,

BP(x-10)2+(y-10)2=2(2),

由①②解得x=9,y=ll或x=ll,y=9,

所以當x=9,y=ll時，尤一y=-2；當x=H,y=9,無一y=2

故答案為：±2.

四、解答題

17.(2022?山東青島?高二期中)某學校高一級部根據(jù)同年齡段女生的身高數(shù)據(jù)繪制了頻率

分布直方圖，其中身高的變化范圍是[150,180)(單位：厘米)，樣本數(shù)據(jù)分組為[150,155),

[155,160),[160,165),[165,170),[170,175),[175,180),

第8頁共12頁

⑴求X值;

(2)已知樣本中身高大于175厘米的人數(shù)是36,求出樣本總量N的數(shù)值和身高超過170厘米

的人數(shù)”;

⑶求樣本中位數(shù)%的值.

【答案】(1)尤=0.03

(2)1200；216

⑶％=164

【詳解】(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)(0.004+0.04+0.07+0.05+x+0.006)x5=l,解得

x=0.03

(2)身高大于175厘米的樣本的頻率是P=0.006x5=0.03,所以樣本總量N=~^=1200,

身高超過170厘米的頻率為。=(0.006+0.03)x5=0.18,

所以身高超過170厘米的人數(shù)〃=0.18x1200=216.

(3)因為身高位于［150,160)的頻率為(0.04+0.004)x5=0.22<0.5

身高位于［150,165)的頻率為(0.004+0.04+0.07)x5=0.57>0.5

所以中位數(shù)應該毛e［160,165),由(0.04+0.004)x5+(x0-160)x0.07=0.5,

分解得%=164.

18.(2022?北京豐臺?高二期中)某校舉辦“喜迎二十大，奮進新征程”知識能力測評，共有

1000名學生參加，隨機抽取了100名學生，記錄他們的分數(shù)，將其成績(均為整數(shù))整理

第9頁共12頁

(2)若得分在80分及以上的學生都有獎品，試估計這次能力測評的獲獎率；

⑶假設同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替，根據(jù)頻率直方圖估計此次能力測評全

部同學的平均成績.

【答案】⑴機=0.025

(2)30%

⑶71分

【詳解】(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì)可知小矩形的面積之和為1,

gp10x(0.01+0.015+0.015+0.03+m+0.005)=1,

解得：m=0.025.

(2)由圖可知：

得分在80分及以上的學生所占頻率為10*(0.025+0.005)=0.3,

所以這次能力測評獲獎率為0.3*100%=30%.

(3)由圖中數(shù)據(jù)可知：

=45x10x0.01+55x10x0.015+65x10x0.015+75x10x0.03

+85x10x0.025+95x10x0.005=71.

故此次能力測評全部同學的平均成績?yōu)?1分.

B能力提升

19.(2022?新疆?烏魯木齊101中學高一期末)某中學為了解學生數(shù)學課程的學習情況，在

3000名學生中隨機抽取200名，并統(tǒng)計這200名學生的某此數(shù)學考試成績(卷面100分)，

一般學校認為成績大于等于80分的學生為優(yōu)秀.

⑴根據(jù)頻率分布直方圖，估計3000名學生在該次數(shù)學考試中成績優(yōu)秀的學生數(shù).

⑵依據(jù)以上樣本的頻率分布直方圖，估計總體成績的眾數(shù)和平均數(shù).

【答案】⑴840人

(2)眾數(shù)為75,平均數(shù)712

【詳解】(1)由樣本的頻率分布直方圖可知：

在該次數(shù)學考試中成績優(yōu)秀的