第4章

指數函數與對數函數4.5函數的應用（二）人教A版2019高中數學必修第一冊4.5.1函數的零點與方程的解函數的零點與方程的解【導學】如何求二次方程的實數根？

【答】由根的判別式得：

對于一個一般的函數，也可以這么算嗎？它們有什么異同點？函數的零點與方程的解【函數零點的定義】與二次函數的零點一樣，對于一般函數，我們把使得

的實數叫做函數的零點.

這樣，函數的零點就是方程的實數解，也就是函數的圖像與軸的交點的橫坐標.所以：

方程有實數解函數有零點函數的圖像與軸有公共點

函數的零點與方程的解【零點的定義給出了求解函數零點的基本方法】(1)代數法：若方程可解，其實數根就是函數的零點.(2)幾何法：若方程難以直接求解，將其改為，進一步改為，在同一坐標系中分別畫出兩個函數

和的圖像，兩圖像交點的橫坐標就是函數的零點.

.

零點存在定理零點存在定理若的圖像在上是不連續的，則在

上沒有零點？？？

那可不一定.下面這個函數在(-1，3)上照樣有零點！函數的圖像在區間上是連續的，但則

在上沒有零點？？？.

這也不一定.下面這個函數

，但函數在

上有零點！

零點存在定理【理解函數零點存在定理需要注意的問題】【1】①函數在區間上的圖像是一條連續不斷的曲線.②，這兩個條件缺一不可，否則結論未必成立.【2】滿足上述條件，則函數的圖像至少穿過軸一次，即在區間

上函數至少有一個零點，但是不確定到底有幾個.【3】該定理是一個充分不必要條件.反過來，若函數在區間

上有零點，則不一定有成立.

零點存在定理【常見函數的零點】一個零點無零點

兩個零點一個零點無零點無零點一個零點1

一個零點0無零點xy1-42-1.306931.098643.386355.609467.791879.9459812.0794914.1972能，用定義。練習：P144頁不能，不能僅根據其中一個圖像得出y=f（x），在某個區間只有一個零點的判斷，應結合函數零點存在定理和函數的單調性判斷。第4章

指數函數與對數函數4.5函數的應用（二）人教A版2019高中數學必修第一冊4.5.2用二分法求方程的近似解利用二分法求方程的近似解【二分法的概念】

假設我們知道函數在區間(2，3)內存在一個零點，那么我們怎么求出這個零點呢？

一個直觀的想法是：如果能將零點所在的范圍盡量的縮小，那么在一定精確度的要求下，就可以得到符合要求的零點的近似值.為了方便，可以通過取中點的方法，逐步縮小零點的范圍.實際上大多數方程都不能像一元二次方程這樣可以直接用公式求出精確解.在實際問題中，往往只需求出滿足一定精確度的近似解.

我們知道求解二次函數零點的方法，當時，利用求根公式就可以求出方程的解，也就是函數的零點.

利用二分法求方程的近似解【二分法的概念】

通過上述步驟，我們把零點的范圍從(2,3)縮小到了(2.5,2.75)，那么重復這個步驟，我們就可以把零點所在的范圍縮小到滿足一定精確度的區間，區間的任意一點都可以作為函數零點的近似值.為了方便，我們把區間的一個端點作為零點的近似值.

一般地，稱為區間

的中點.

函數在區間(2，3)上有零點，并且，取(2，3)的中點2.5，利用計算器求出.因為，所以零點在區間(2.5，3)之間；再取區間(2.5，3)的中點2.75，算出，則零點在區間(2.5，2.75)之間…

【二分法的概念】

把在區間上圖象連續不斷且的函數，不斷把零點所在區間一分為二，使所得區間的兩個端點逐步逼近零點，從而得到零點近似值的方法，叫做二分法.

區間中點xn的值中點函數的近似值(2,3)2.5f(2.5)≈-0.084<0f(2)<0f(3)>0(2.5,3)2.75f(2.75)≈0.512>0(2.5,2.75)2.625f(2.625)≈0.215>0(2.5,2.625)2.5625f(2.5625)=0.066>0(2.5,2.5625)若方程的根要求精確到0.1，∵2.5625-2.5=0.0625<0.1,2.53125∴此方程的近似解為x≈2.5f(2.53125)≈-0.009<0(2.53125,2.5625)……則要求|a-b|<0.1由前面可知:函數f(x)=lnx+2x-6在(2,3)內有零點,利用二分法求方程的近似解【問題】二分法的理論依據是什么？【答】①二分法的理論依據是零點存在定理，

僅適用于函數的變號零點(函數圖

像通過零點時函數值的符號改變)②二分法采用逐步逼近的思想，使函數零點所在的范圍逐步縮小，也就是

逐步逼近函數的零點.要根據函數的性質盡可能的找到含有零點的更小

的區間，當區間的長度小到一定程度時，就可以取得可以解決實際問題

近似值.【步驟口訣】定區間，找中點，中間計算兩邊看；同號去，異號算，零點落在異號間；周而復始怎么辦？精確度上來判斷！對于三個函數，定義域都是R，且在定義域內為單調增函數，所以都可以用二分法求零點近似值.練習：【1】下列函數都可以用二分法求零點近似值嗎，為什么？【解】

對于(2)，作出圖像如圖：易知函數只有一個不變號零點，故無法用二分法求零點近似值.

x012345678y-6-2310214075142273表4.5-3求函數零點個數的四種方法【方程法】求方程的實數根.【圖像法】對于不能用公式法求根的方程或者不易求出實數根的方程，可以將它與

對應的函數圖像聯系起來，并利用函數的性質找出零點，對于不易畫出

圖像的函數，可以轉化為，分別畫出和

的圖像，看兩圖像有幾個交點.【奇偶性】結合函數的奇偶性，因為奇函數和偶函數的圖像都有對稱性，存在奇偶