河南省新鄉市2023-2024學年高三第二次模擬考試數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.設z=2=+4i,貝!()

1-31

A.-1+iB.-1-iC.1-iD.1+i

2.在中，內角A,B,C的對邊分別為“，b,c,且。=7,6=3,c=5,則

()

A.“3C為銳角三角形B.“BC為直角三角形

C.ABC為鈍角三角形D.的形狀無法確定

3.已知直線x+2y+2=0與拋物線C：/=ax的圖象相切，則C的焦點坐標為()

A.[-；,。]B.(-1,0)CD.(1,0)

4.已知COS6=L,則COS36=()

4

111155

A.-----B.—C.—D.—

161666

5.老師有6本不同的課外書要分給甲、乙、丙三人，其中甲分得2本，乙、丙每人至

少分得一本，則不同的分法有()

A.248種B.168種C.360種D.210種

6.函數〃x)=[x]被稱為取整函數，也稱高斯函數，其中[可表示不大于實數x的最大

整數.若V〃7€(0,+8),滿足[疔+[司(竺則X的取值范圍是()

m

A.[-1,2]B.(-1,2)C.[-2,2)D.(-2,2]

7.已知函數滿足1(x+y+l)=[(x)+7'5),則下列結論一定正確的是()

A.〃x)+l是奇函數B.是奇函數

C.〃尤)-1是奇函數D./(x+1)是奇函數

8.已知圓錐"。的底面半徑為百，高為1,其中。為底面圓心，AB是底面圓的一條

直徑，若點P在圓錐的側面上運動，則萬?方的最小值為()

93

A.—B.—C.—2D.—1

42

二、多選題

試卷第1頁，共4頁

9.如圖，彈簧掛著的小球做上下運動，它在把時相對于平衡位置的高度〃（單位：cm）

由關系式〃=/sin(&+e),te[O,+e)確定，其中/>0,<w>0,9?(0,兀|.小球從最

高點出發，經過2s后，第一次回到最高點，則（）

B.。=兀

C.t=3.75s與f=10s時的相對于平衡位置的高度力之比為注

2

D.t=3.75s與/=10s時的相對于平衡位置的高度h之比為g

10.已知加eR,集合/={（x,y）帆x+y-l=0},2={（x,y）|2加x+2y-9=0},

C=^(x,y)|x2+y2+2x-4j/+l=0j,D=|(x,j)|x2+j2-2x=01,則下列結論一定成立

的是（）

A.AcB=0B.4cCw0C.BC\C=0D.CcD=0

22

11.如圖，已知雙曲線C：1-與=1（。>0,8>0）的左、右焦點分別為4（-3,0）,

ab

巴（3刀），點A在C上，點B在了軸上，A,F2,B三點共線，若直線的斜率為百,

直線』片的斜率為一%8,則（）

11

C.片的面積為166D.月內接圓的半徑為百

試卷第2頁，共4頁

三、填空題

12.已知一平面截球O所得截面圓的半徑為2,且球心O到截面圓所在平面的距離為1,

則該球的體積為.

18

13.若一組數據4,。2，〃3，〃4，。5的平均數為3,方差為了，則%,。2，〃3，“4，

牝，9這6個數的平均數為,方差為.

2\x<0,

14.已知函數”x)=421nxg(x)=f+2尤-42,AeR,若關于x的方程

-------,x>0,

/(g(x))=X有6個解，則X的取值范圍為.

四、解答題

15.如圖，在三棱錐尸-43C中，平面上4C,平面48C,S.PA=PC,PA1AB.

P

B

(1)證明：/3工平面R4C；

(2)若尸Z=/B=/C=2,點”滿足而=3同7，求二面角尸一/C-M■的大小.

16.己矢―口,朦.

⑴記“=%-，證明數列也｝是等比數列,并求也｝的通項公式;

(2)求｛%｝的前2〃項和立,并證明2邑">?2?+1-2.

17.根據國家電影局統計，2024年春節假期(2月10日至2月17日)全國電影票房為

80.16億元，觀影人次為1.63億，相比2023年春節假期票房和人次分別增長了18.47%

和26.36%,均創造了同檔期新的紀錄.2024年2月10日某電影院調查了100名觀影者，

并統計了每名觀影者對當日觀看的電影的滿意度評分(滿分100分)，根據統計數據繪

制得到如圖所示的頻率分布直方圖(分組區間為[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),

[80,90),[90,100]).

試卷第3頁，共4頁

頻率

(1)求這100名觀影者滿意度評分不低于60分的人數；

(2)估計這100名觀影者滿意度評分的第40百分位數(結果精確到0.1)；

(3)設這100名觀影者滿意度評分小于70分的頻率為Pi，小于80分的頻率為必，若甲、

乙兩名觀影者在春節檔某一天都只觀看一部電影，甲觀看A,3影片的概率分別為。2,

1-2,乙觀看A,5影片的概率分別為月，當天甲、乙觀看哪部電影相互獨立,

記甲、乙這兩名觀影者中當天觀看A影片的人數為X,求X的分布列及期望.

22

18.已知A,3分別是橢圓M：%J1(a>6>0)的左、右頂點,C為M的

上頂點，尸是M上在第一象限的點，|/C|=VL直線尸/,的斜率分別為勺，k2,

JEL.

⑴求M的方程;

PEPD

(2)直線NC與AP交于點D,。尸與x軸交于點￡,求wwk的取值范圍.

EDJTC

19.定義：若函數/(x)圖象上恰好存在相異的兩點尸，。滿足曲線y=/(x)在尸和。處

的切線重合，貝麻尸，。為曲線y=〃x)的“雙重切點”，直線尸。為曲線y=/(x)的“雙

重切線”.

⑴直線y=2x是否為曲線〃x)=/+1的“雙重切線”，請說明理由；

(2

QX__<0

(2)已知函數g(x)=je%'-'求曲線>=g(x)的“雙重切線”的方程；

Inx,x>0,

(3)已知函數%(x)=sinx,直線尸。為曲線的“雙重切線”，記直線尸。的斜率所有

可能的取值為左，左2，…,后〃，若左1〉左2〉左(:3,4,5,…,幾)，證明：7r<飛~.

傷占

試卷第4頁，共4頁

參考答案:

1.B

【分析】

根據復數除法運算即可求解.

【詳解】“魯(2+4i)(l+3i)_-10+10i

(l-3i)(l+3i)―10--

故z=-1—i,

故選：B

2.C

【分析】

根據余弦定理求解最大角的余弦值即可求解.

【詳解】由于cos/='+"-"2=32+52-72=9+25-49-0

2bc3030

故A為鈍角，進而三角形為鈍角三角形

故選：C

3.C

【分析】

聯立直線與拋物線方程，利用相切有A=0求得。，從而得解.

[x+2y+2—0

【詳解】依題意，聯立[2=6，消去X，得「+2*+2。=0,

則A=4q2—8。=0,由awO,所以。=2,

故拋物線C方程為必=2x,則其焦點坐標為G，o)

故選：C.

4.A

715

【分析】根據題意，求得cos29=-4sin?**,結合cos39=cos(28+。)，代入即可求解.

816

171S

【詳解】因為cosO=—,Rj^cos20=2cos20-l=--,sin2^=l-cos20=—,

4816

則cos30=cos(20+0)=cos20cos0-sin20sin3=(2cos20-1)cos6-2sin?6cos0,

故選：A.

答案第1頁，共14頁

5.D

【分析】

根據分類加法原理，結合組合、排列的定義進行求解即可.

【詳解】根據題意進行分類：

第一類：甲、乙、丙每人分得2本，N=C；C；C；=15x6x1=90(種)；

第二類：甲分得2本，乙、丙兩人中一人分得1本另一人分得3分，

%=C：C；C；A；=15x4x1x2=120(種).

所以由分類加法計數原理可得共有N=2+乂=90+120=210種不同的分法.

故選：D.

6.C

【分析】

根據基本不等式求解最值，即可根據一元二次不等式求解-2V[x]Vl,即可根據取整函數的

定義求解.

【詳解】Vme(O,+^)Z￡±l=m+l>2,當且僅當優=1時取等號，

mm

由[x]2+[x]<之里可得[X]2+[x]<2^([.r]+2)([r]-l)<0,

m

所以一2W[x]41,故一2Vx<2,

故選：C

7.B

【分析】

利用賦值法推得〃x)+/(-2-x)=0,從而得到〃x)的對稱性，再利用函數圖象平移的性質

可判斷B,舉反例排除ACD,由此得解.

【詳解】因為〃x+y+i)=/(x)+〃y),

令x=y=-l,可得=+則〃-1)=0；

令y=-2-x,則/(-1)=f(x)+/(-2一x)=0,

故/⑴的圖象關于點(-1,0)對稱，

則/(x-l)的圖象關于點(0,0)對稱，即是奇函數，故B正確；

答案第2頁，共14頁

對于C,令x=y=o,可得〃1)=〃0)+/(0),則/(0)=；/■⑴，

當了⑴k2時，40)-1/0,此時〃月-1不可能是奇函數，

由于無法確定了⑴的值，故/(x)-1不一定是奇函數，故C錯誤；

對于AD,取/'(x)=x+l,滿足題意，但易知D錯誤；

故選：B.

8.A

【分析】

由濟.麗=(次-西.(礪-西=蘇［GJ,囪最小時，萬.麗有最小值，求囪的

最小值即可.

【詳解】圓錐同。的底面半徑為百，高為1，其中。為底面圓心，A8是底面圓的一條直徑,

則有況=-礪，|。/=|。8卜百,

點尸在圓錐MO的側面上運動，

則刀.而=(方-函?(麗-函=04-05-(E+礙^OP+OP^OP(國，

wi最小時，方.而有最小值，|加|的最小值為。點到圓錐母線的距離，

R3M0/中，OA=也,OM=l,則NM=2,。點到M4的距離OD=絲絲?=走,

AM2

則煙的最小值為正，瓦麗的最小值為(字］一(6『=一%

2\)

故選:A

9.BC

【分析】

根據周期求出。，代入f=0得到。，從而得到函數解析式，再代入數據即可判斷CD.

【詳解】

答案第3頁，共14頁

對于AB,由題可知小球運動的周期T=2s,又。>0,所以—=2,解得刃=兀，

3

當t=0s時，Asm(p=A,又9€(0,可，所以夕=：,故A錯誤，B正確；

對于CD,貝!J/z=/sin(7i/+]]=NCOSTU,

所以/=3.75s與t=10s時的相對于平衡位置的高度之比為

/cos(兀x3.75)J°s丁=cos(R=2,故C正確D錯誤.

/cos(7ixl0)coslOncosO2

故選：BC.

10.AB

【分析】

根據集合代表的含義，結合直線過定點以及直線與圓的關系，圓與圓的關系，即可結合選項

逐一求解.

【詳解】/={(》/)加+尸1=0}表示過定點(0,1),且斜率為-加的直線的點構成的集合，

8={(羽田|2必+2了-9=0}表示過定點(0,￡|且斜率為一加的直線的點構成的集合，

C={(xj)卜2+/+2x-4y+l=0}表示圓心為卜1,2),半徑為r=2的圓上的點構成的集合,

。={(”)卜2+/-2工=0}表示圓心為(1,0),半徑為%=1的圓上的點構成的集合，

對于A,集合48中的直線平行，故ZcB=0,故A正確，

對于B,由于(I?+1+0-4+1<0,故(0』)在圓f+/+2x-4y+1=0內，

故經過點(0,1)的直線與圓相交，NcCw0,故B正確，

對于C,由于+0-4x|+l>0,故在圓x2+/+2x-4y+l=0外，

故當經過點，,|)的直線與圓相離時，此時/cC=0,故C錯誤，

對于D,由于J(-l-以+22=2「e(r-br+1)，故兩圓相交，CcD手(Z>,D錯誤，

故選：AB

11.ABD

【分析】

根據斜率以及雙曲線的對稱性可得48居&為等邊三角形，即可根據同角關系與和差公式求

答案第4頁，共14頁

解三角函數值，進而利用正弦定理求解|"；|=14,|4閭=10,由雙曲線定義可得2a=4,進

而根據選項即可逐一求解，

【詳解】對于A,依題意，直線取；的斜率為百，所以乙姐乙=；,又忸周=忸閭,

所以△明心為等邊三角形，故忸用=忸同=內周=2c=6,NBF再=j,

在AAF'F?中，tan/6片/=卡>0,ZF2FXA為銳角,

??/Z777A5百/Z7Z7彳11

..44二,cos-ZiA—,

濟四?彳.(71G1113#5

所以SIIL4=sm----ZKFA=——x---------x------=-----,

(321421414

根據正弦定理可得匠?=

S1IL4sinZF］尸sinZF2FiA

6二|四|二。

即30一G一56，解得|皿|=14,|/閶=10,

ITT1T

所以2a=4,即a=2力=y/c2—a2=卡，

22

所以雙曲線。的方程為土-2=1,

45

對于AB,C的漸近線方程為y=±日X,|4B1=6+10=16,故AB正確;

對于C,A/BF；的面積為］忸耳卜|/可sin］=Jx6x16xsin§=ads',故C錯誤;

對于D,△/片片的面積為LX6X14X2=156,

214

15唐國

所以△/“內接圓的半徑為915,故口正確.

故選：ABD,

【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是，利用三角函數的知識與正弦定理求得|/周,|/巴|,

從而得到雙曲線C的方程，從而得解.

1-20V5K

3

【分析】

利用球的截面圓性質求得球的半徑，再利用球的體積公式即可得解.

答案第5頁，共14頁

【詳解】由球的截面圓性質可知球的半徑R=配工=石，

則該球的體積為多x(石)3=3遇.

故答案為：型叵.

3

13.48

【分析】

利用平均數公式與方差公式求解即可.

【詳解】依題意，知這6個數的平均數為土井=4,

6

又!［斗；-5X31=T，得=63,

3Ii=l43Z=1

所以這6個數的方差為［￡^+92-6x42］=＞(63+92-6x42)=8

故答案為：4；8.

【分析】

令g(x)=t,根據/(x)的圖象可知，/(x)等于常數的解最多只有3個，根據g(x)圖象性質

可知，g(x)等于常數的解最多只有2個，若/'(g(x))=4有6個解，需要/(。=彳有3個解,

g(x)=f有2個解，根據/(X)圖象先求出0＜力＜±,再得出彳和/'?)=九中最小解之間的等

e

式關系，而后結合g@)的值域即可建立關于X的不等式，最后構造關于4的函數，求導求

單調性即可解不等式，進而得出結果.

【詳解】令g(x)=t,由函數/(X)的圖象可知，方程/⑺=2(2為常數)最多有3個解，

/⑺在(-*0］上單調遞增，

當，＞0時，/?)=2(1丁),則/⑺在(0同上單調遞增，在(e,+8)上單調遞減，

所以f=e處取得極大值，即極大值為/(e)=必=2,如下圖：

ee

答案第6頁，共14頁

故結合圖象可得0<2<一,且方程2的三個解中最小的解為/=10g22.

e

又g(x)=/+2x-4/l=(x+l)2-4/1-1,在(-8,-1)上單調遞減，在(-1,+8)上單調遞增,

所以g(x)最小值為g(T)=-42-l,即當此-42-1時，g(x)=/有2個零點，

log4>-4Z-1

所以使關于X的方程/(g(x))=4有6個解，則L2；2,

、e

log24>-4Z-1,即42+log22+1>0,令〃(丸)=42+log22+1,

易知〃(4在(0,+8)上單調遞增，又《：卜0,所以42+log22+l>0的解集為

綜上所述，2的取值范圍為

故答案為：(wq)

【點睛】方法點睛：本題考查復合函數零點個數問題，此類題目一般做法為：

(1)先根據解析式畫出兩個函數圖象；

(2)令復合函數內函數為；

(3)結合函數圖象及零點個數，分析外函數根的個數以及自變量對應的取值范圍；

(4)再確定內函數根個數及對應參數取值范圍；

(5)解出參數范圍即可.

15.(1)證明見解析

【分析】

(1)由面面垂直的性質定理得證線面垂直后可得線線垂直，再由線面垂直的判定定理證明

結論成立；

(2)建立如圖所示的空間直角坐標系，用空間向量法求二面角.

【詳解】⑴

答案第7頁，共14頁

過尸作尸。_L/C于點。，平面尸/C_L平面4BC,且平面P/CPl平面/3C=/C,尸。u平

面"C,

故尸。_L平面/3C.又/Bu平面R4C,PD±AB.

又PALAB,PAC\PD=P,PDu平面上4C,/2u平面上4C,

所以工平面R4C,

(2)

由(1)48/平面B4C,/Cu平面川C,故48//C,

以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系/一初z,

則4(0,0,0),5(2,0,0),P-C(0,2,0),

故麗=(2,-i,-6),麗=；麗=殍)，所以加(15,邛)，

次=(0,2,0),而=§,|,孚)

設平面的法向量比=(%//),

m-AC=2y=0

則一E222氏八，令z=l有，故應=(-6,0,1),

m-AM=—xH——yH——,攵=0

〔333

平面P4C的法向量方二(2,0,0),

m-AB2A/3_V|

貝Ucos〈成,/5〉=

2^2~~2

又二面角P-/C-"所成角為銳角，

二面角尸-NC-M所成角的余弦值為角的大小為二.

1

16.(1)證明見解析;bn=6-.

33

(2)S2?-X6"-n-J；證明見解析.

答案第8頁，共14頁

【分析】

(1)結合遞推公式利用等比數列的概念即可證明并求得通項公式;

(2)利用遞推公式將$20用6"得前"項和來表示，即$2.=3(4+N+4+…+?)-〃，

14

進而利用等比數列的前〃項和公式即可求解；令c“=2S功-出用+2=(x6"-2〃+",并用

c?+I-cn=6"-2>°可得單調性，從而即可證明2s202%,+「2?

【詳解】(1)證明：由題意可知，342TM+3=3(2*7)+3=6,

aa

2n-l2n-l，2〃-1。2〃-1

所以數列｛4｝是首項4=4=1,公比為6的等比數列.

于是b“=6,

(2)由題意可知，?"-2。2〃-1-1，所以

S2n=%+4+%+…+a2?=S+4+…+a2?i-)+G+%+…+4")

=(4+%+?■■+%“T)+(現一1+蜀一1+…+4“T-1)

=3(4+%+■??+%T)-〃=39+%+4+…+6“卜?

令g=2$2“-a2n+l+2=|x6"-2n-|-6"+2=|x6"-2?十1，

cn+1-CK=1x6向-2G+1)+gx6"-2?+3=6"_2>0,

所以數列｛c”｝單調遞增，故c￡q=O,即2凡.2%「2.

17.(1)70

(2)63.3

⑶分布列見解析；1.4

【分析】

答案第9頁，共14頁

(1)利用頻率分布直方圖的頻率與頻數公式即可得解；

(2)利用頻率分布直方圖中百分位數的計算方法即可得解;

(3)先求得2,再利用獨立事件的概率公式分別求得X的取值對應的概率，從而得解.

【詳解】(1)由圖可知，滿意度評分不低于60分的頻率為>(0.010+0.020)x10=0.7,

所以這100名觀影者滿意度評分不低于60分的人數為0.7*100=70.

(2)0^/(0.010+0.020)x10=0.3<0.4,(0.010+0.020+0.030)x10=0.6>0.4,

所以這100名觀影者滿意度評分的第40百分位數位于第三組，

04-03

則這100名觀影者滿意度評分的第40百分位數的估計值為60+cc”"X10?63.3.

0.030x10

(3)由圖可知，“=1-(0.02+0.015+0.005)x10=0.6,同理。2=0.8,

而X的可能取值為0,1,2,

則尸(X=0)=(1-0)(1-")=02x0.4=0.08,

P(X=1)=p?(l-pJ+Oi(1-02)=0.8x0.4+0.6x0.2=0.44,

P(X=2)=p2p}=0.8x0.6=0.48,

所以X的分布列為

X012

P0.080.440.48

故￡(X)=0x0.08+1x0.44+2x0.48=1.4.

丫2

18.(1)±-+/=1

(2)(2,+co)

【分析】

(1)根據題意，得到關于6的方程組，解之即可得解；

(2)分別聯立直線8尸與橢圓方程、直線8P與直線NC方程，求得尸，。的坐標，從而將所

求轉化為尸，。的縱坐標的表達式，從而得解.

【詳解】(1)依題意，設尸(%,%),顯然解-a,0),8Q0),C(0,6),

答案第10頁，共14頁

九二/22b12(a2-x；)

貝U桃?=—又｝*1,即「

xQ+aXQ—aXQ_o2

2不

所以k、k,=-11即Bn=b=_1①,

a"4a24

由|NC|=6,得/+。2=5②,

聯立①②，解得。=2,6=1,

所以橢圓M的方程為匕+/=1,

4-

(2)由(1)得4-2,0),8(2,0),C(0,l),

設直線BP的方程為y=Kx-2),

因為點P位于第一象限，所以左〈自，=-；，

y=k(x-2)

聯立2_，整理得(4r+1卜2-16/》+16/-4=0，

彳+N=

則辱+2=署丁所以“=片,則處=左國-2)=-

所以P

V—10—11

又直線NC的方程為匚=%,即y=：x+l,

x—22

V——X+14左+24k)

所以聯立,2解得。

2k-l,2k-lJ

y=k(x-2)

\PE\\PD\_\PE\\PD\_ypyD-yP_yD-yP

nV"—"—'-

1^1\PC\\PC\\PB\1一力力l-yp

4月4k

2左一1+4左2+1=16二一8

]+-%一.-2一4_1

4k2+1k2

8

1,11

因為左<一一，所以/>—,0(節<4,0<4-

24k

答案第11頁，共14頁

出業

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【點睛】關鍵點點睛：本題解決的關鍵是，將焉?"轉化為尸，。的縱坐標的比值，從

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而得解.

19.(1)是，理由見解析；

x

(2)y=-；

e

(3)證明見解析.

【分析】

(1)根據題意，利用直線的斜率與導數的幾何意義求得切點，再分別求切線方程驗證即可.

(2)求出函數g(無)的導數，并設出切點尸(士,乂),0(尤2,%),求出尸處的切線方程，再利

用“雙重切線”的定義求出切線方程.

(3)利用“雙重切線”的定義，分別設出配質對應的切點，分別利用導數的幾何意義得到對

JT

應切點之間的關系，再構造函數尸(xhtanxr+M-'VxvO),利用導數結合零點存在性

定理確定判尸(x)的零點所在區間，然后借助不等式性質推理即得.

【詳解】⑴

/(x)=x3+1的定義域為(-8,0)。(0,+8),求導得/⑴=3/-)，直線y=2x的斜率為2,

令r(x)=3x2-1=2,解得x=±l,不妨設切點尸(一1,一2),0(1,2),

則點P處的切線方程為V+2=2(x+l),即y=2x,

點。處的切線方程為>-2=2(》-1),即y=2x,

所以直線V=2x是曲線=/+：的“雙重切線”.

x

e--x<oe*,x<°

(2)函數g(x)={e'—,求導得g'(x)={i,

顯然函數y=e'在(-8,o)上單調遞增，函數y=:在(0,+8)上單調遞減,

設切點尸(國,乂),0卜2，%)，則存在,1<0<人，使得/'(再)=/"2)，

則在點P處的切線方程為y-(e&-2)=爐(》-%)，在點。處的切線方程為

e

答案第12頁，共14頁

y-inx2=-(x-x2),

因此,2,消去巧可得e'—xg'+再---F1=0,

e』一e』'i—2=ln%—1。