2023-2024學年江西省南昌二十八中教育集團八年級（下）期中數(shù)學試卷一、選擇題：本題共6小題，每小題3分，共18分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.下列計算結果正確的是(

)A. B. C. D.2.下列每一組數(shù)據(jù)中的三個數(shù)值分別為三角形的三邊長，不能構成直角三角形的是(

)A.3，4，5 B.6，8，10 C.1，3， D.5，12，133.在如圖的網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長為1，A、B、C三點均在正方形格點上，則下列結論錯誤的是(

)A.

B.

C.

D.點A到直線BC的距離是24.下列二次根式中，最簡二次根式是(

)A. B. C. D.5.如圖，在矩形ABCD中，，連接AC，分別以點A，C為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點M，N，直線MN分別交AD，BC于點E，下列結論：①四邊形AECF是菱形；②；③；④若AF平分，則其中正確結論的個數(shù)是(

)

A.4 B.3 C.2 D.16.將一張正方形紙片按如圖步驟，通過折疊得到圖④，再沿虛線剪去一個角，展開鋪平后得到圖⑤，其中FM，GN是折痕．若正方形EFGH與五邊形MCNGF的面積相等，則的值是(

)

A. B. C. D.二、填空題：本題共6小題，每小題3分，共18分。7.如圖，在中，，點D是斜邊AB的中點，DE平分，，則DE的長是______.8.使用手機支付寶付款時，常常需要用到密碼.嘉淇學完二次根式后，突發(fā)奇想，決定用“二次根式法”來產(chǎn)生密碼.如，對于二次根式，計算結果為13，中間加一個大寫字母X，就得到一個六位密碼“169X13”.按照這種產(chǎn)生密碼的方法，則利用二次根式產(chǎn)生的六位密碼是______.9.圖甲是我國古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個全等的直角三角形圍成的．在中，若直角邊，，將四個直角三角形中邊長為6的直角邊分別向外延長一倍，得到圖乙所示的“數(shù)學風車”，則這個風車的外圍周長圖乙中的實線是______.

10.已知的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，則______.11.將1、、、按下列方式排列.若規(guī)定表示第m排從左向右第n個數(shù)，則與表示的兩數(shù)之積是______.

12.已知在平面直角坐標系中、、點P在x軸上運動，當點P與點A、B、C三點中任意兩點構成直角三角形時，點P的坐標為______.三、計算題：本大題共1小題，共6分。13.在數(shù)學活動課上，老師帶領學生去測河寬．如圖，某學生在點A處觀測到河對岸水邊處有一點C，并測得，在距離A點30米的B處測得，求河寬結果可帶根號四、解答題：本題共10小題，共78分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。14.本小題6分

計算：

；

15.本小題6分

如圖，在中，，過點C的直線，D為AB邊上一點，過點D作，交直線MN于E，垂足為F，連接CD，

求證：；

當D為AB的中點時，判斷四邊形BECD的形狀，并說明理由.16.本小題6分

如圖，已知正七邊形ABCDEFG，請僅用無刻度的直尺，分別按下列要求畫圖．

在圖1中，畫出一個以AB為邊的平行四邊形；

在圖2中，畫出一個以AF為邊的菱形．17.本小題6分

閱讀下列解題過程，根據(jù)要求回答問題：

化簡：

解：原式①

②

③

④

上面解答過程是否正確？若不正確，請指出是哪幾步出現(xiàn)了錯誤？

請你寫出你認為正確的解答過程.18.本小題8分

在一款名為超級瑪麗的游戲中，瑪麗到達一個高為10米的高臺A，利用旗桿頂部的繩索，劃過到達與高臺A水平距離為17米，高為3米的矮臺B，

求高臺A比矮臺B高多少米？

求旗桿的高度OM；

瑪麗在蕩繩索過程中離地面的最低點的高度

19.本小題8分

【定義】若一個直角三角形中兩邊的平方差等于另一個直角三角形兩邊的平方差，則稱這兩個直角三角形為“勾股三角形”.在正方形ABCD中，G為AB上一點.

如圖1，連接DG，CG，于點H，圖中有______對“勾股三角形”；分別是哪幾對？

如圖2，以CG為邊作矩形CGFE，若點D在EF上，，，求DE的長提示：連接

20.本小題8分

如圖，在四邊形ABCD中，，，，，動點P從點D出發(fā)，沿線段DA的方向以每秒2個單位長的速度運動，動點Q從點C出發(fā)，在線段CB上以每秒1個單位長的速度向點B運動，點P，Q分別從點D，C同時出發(fā)，當點P運動到點A時，點Q隨之停止運動．設運動的時間為秒

當時，求的面積；

若四邊形ABQP為平行四邊形，求運動時間t；

當t為何值時，以B，P，Q三點為頂點的三角形是等腰三角形？21.本小題9分

如圖，C為線段BD上的一個動點，分別過點B，D在BD兩側(cè)作，，連接AC，已知，，，設

用含x的代數(shù)式表示的長.

當點C滿足什么條件時，的值最小？

根據(jù)中的結論，請構圖求出代數(shù)式的最小值.22.本小題9分

已知，?AOBC的一邊OB在平面直角坐標系的x軸上，點

如圖1，點，求OA的長；

如圖2，當OA在y軸上時，AB的中垂線EF分別交AC，AB，OB于點E，D，

①求證：四邊形AFBE是菱形；

②若點，動點P，Q分別從點A，B以1，的速度同時出發(fā)勻速運動，動點P自停止，Q自停止.請問是否存在?APBQ，若存在，求出點P，Q的坐標；若不存在，請說明理由.

23.本小題12分

某研究性學習小組在探究矩形的折紙問題時，將一塊直角三角板的直角頂點繞矩形的對角線的交點O旋轉(zhuǎn)①②③，圖中的M，N分別為直角三角形的直角邊與矩形ABCD的邊CD，BC的交點.解決問題：該學習小組成員意外的發(fā)現(xiàn)圖①三角板一直角邊與OD重合中，此時發(fā)現(xiàn)BN，CD，CN這三條線段之間滿足以下的數(shù)量關系：，請你說明理由.

類比探究：在圖③中三角板一邊與OC重合，直接寫出BN，CD，CN這三條線段之間所滿足的數(shù)量關系______.在圖②中，試探究BN，CN，CM，DM這四條線段之間的數(shù)量關系，寫出你的結論，并說明理由.

拓展延伸：將矩形ABCD改為邊長為1的正方形ABCD，直角三角板的直角頂點繞O點旋轉(zhuǎn)到圖④，兩直角邊與AB，BC分別交于M，N，直接寫出BN，CN，CM，DM這四條線段之間所滿足的數(shù)量關系不需要證明

答案和解析1.【答案】C

【解析】解：A、與不是同類二次根式無法合并，故A錯誤；

B、，故B錯誤；

C、，故C正確；

D、，故D錯誤．

故選：

直接根據(jù)二次根式的運算法則計算即可得到答案．

本題主要考查的是二次根式的運算和化簡，掌握其運算法則是解決此題關鍵．2.【答案】C

【解析】解：A、，故是直角三角形，故A選項不符合題意；

B、，故是直角三角形，故B選項不符合題意；

C、，故不是直角三角形，故C選項符合題意；

D、，故是直角三角形，故D選項不符合題意．

故選：

根據(jù)勾股定理的逆定理，即可求得．

本題考查了勾股定理的逆定理，在應用勾股定理的逆定理時，應先認真分析所給邊的大小關系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關系，進而作出判斷，掌握勾股定理的逆定理是解決本題的關鍵．【3.【答案】C

【解析】解：由題意可得，

，故選項A正確；

，

，

，

是直角三角形，，故選項B正確；

，故選項C錯誤；

作于點D，

則，

即，

解得，，

即點A到直線BC的距離是2，故選項D正確；

故選：

根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，利用勾股定理，可以得到AB、BC、AC的值，然后即可判斷各個選項中的結論是否正確，從而可以解答本題．

本題考查勾股定理、勾股定理的逆定理、三角形的面積，解答本題的關鍵是明確題意，利用數(shù)形結合的思想解答．4.【答案】A

【解析】解：A、是最簡二次根式，符合題意；

B、，不是最簡二次根式，不符合題意；

C、，不是最簡二次根式，不符合題意；

D、，不是最簡二次根式，不符合題意；

故選：

根據(jù)最簡二次根式的定義進行解題即可．

本題考查最簡二次根式，熟練掌握相關的知識點是解題的關鍵．5.【答案】C

【解析】解：根據(jù)題意知，EF垂直平分AC，

在和中，

，

≌，

，

，

即四邊形AECF是菱形，

故①結論正確；

，，

，

，

故②結論正確；

，

故③結論不正確；

若AF平分，則，

，

，

，

故④結論不正確；

故選：

根據(jù)題意分別證明各個結論來判斷即可．

本題主要考查長方形的綜合題，熟練掌握長方形的性質(zhì)，基本作圖，菱形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識是解題的關鍵．6.【答案】A

【解析】【分析】

本題主要考查了剪紙問題、正方形的性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)，由剪紙的過程得到圖形中邊的關系是解題關鍵．

連接HF，設直線MH與AD邊的交點為P，根據(jù)剪紙的過程以及折疊的性質(zhì)得且正方形EFGH的面積正方形ABCD的面積，從而用a分別表示出線段GF和線段MF的長即可求解．

【解答】

解：連接HF，設直線MH與AD邊的交點為P，如圖：

由折疊可知點P、H、F、M四點共線，且，

設正方形ABCD的邊長為2a，

則正方形ABCD的面積為，

若正方形EFGH與五邊形MCNGF的面積相等

由折疊可知正方形EFGH的面積正方形ABCD的面積，

正方形EFGH的邊長

故選：7.【答案】2

【解析】解：，點D是斜邊AB的中點，

，

平分，

，

是的中位線，

，

故答案為：

根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得，然后利用等腰三角形的三線合一性質(zhì)可得，最后利用三角形的中位線定理進行計算即可解答．

本題考查了直角三角形斜邊上的中線，等腰三角形的性質(zhì)、三角形的中位線定理，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線，以及三角形的中位線定理是解題的關鍵．8.【答案】121X11

【解析】解：，

產(chǎn)生的六位數(shù)密碼是121X11，

故答案為：

先求出的值，再根據(jù)題意即可得出結論．

本題考查的是二次根式的性質(zhì)與化簡，熟知算術平方根的意義是解答此題的關鍵．9.【答案】76

【解析】解：依題意，設“數(shù)學風車”中的四個直角三角形的斜邊長為x，

則，

解得：，

“數(shù)學風車”的周長是：

故答案為：

由題意可知為直角，利用勾股定理求得外圍中一條邊，又由AC延伸一倍，從而求得風車的一個輪子，進一步求得四個．

本題考查了勾股定理在實際情況中的應用，并注意利用題中隱含的已知條件來解答此類題．10.【答案】7

【解析】解：根據(jù)題意得，，

原式

故答案為

由于，則可得到，，代入所求得式中得到，然后利用平方差公式進行計算即可．

本題考查了二次根式的化簡求值：先根據(jù)已知條件把所求的代數(shù)式變形，然后利用整體的思想求值．也考查了無理數(shù)的估算．11.【答案】

【解析】解：由圖可知1、、、四個數(shù)字循環(huán)排列，第m排有m個數(shù)，

表示第個數(shù)，表示第個數(shù)．

，，

表示的數(shù)為，表示的數(shù)為，

與表示的兩數(shù)之積是

故答案為：

由題意得出該排列方式為1、、、四個數(shù)字循環(huán)排列，再求出表示第112個數(shù)，表示第4959個數(shù)，從而可求出表示的數(shù)為，表示的數(shù)為，最后計算乘法即可．

本題考查數(shù)字類規(guī)律探索，二次根式的乘法，理解題意，掌握規(guī)律是解決問題的關鍵．12.【答案】，，

【解析】解：點P、A、B在x軸上，

、A、B三點不能構成三角形．

設點P的坐標為

當為直角三角形時，

①，易知點P在原點處坐標為；

②時，如圖，

，

，

解得，，

點P的坐標為；

當為直角三角形時，

①，易知點P在原點處坐標為；

②時，

，，

，

點P的坐標為

綜上所述點P的坐標為，，

因為點P、A、B在x軸上，所以P、A、B三點不能構成三角形．再分和兩種情況進行分析即可．

本題考查了勾股定理及其逆定理，涉及到了數(shù)形結合和分類討論思想．解題的關鍵是不重復不遺漏的進行分類．13.【答案】解：設CD為xm

，，即為等腰直角三角形，

，

，，

，

根據(jù)勾股定理可得：，

解得

答：河寬CD為

【解析】設河寬為未知數(shù)，那么可利用勾股定理和等腰直角三角形用河寬表示出AD、DB，讓就能求得河寬．

本題考查了等腰直角三角形及勾股定理的應用，解決本題的關鍵是利用所求線段表示出題中唯一給出的線段的長度．14.【答案】解：

；

【解析】先去絕對值符號，再把各根式化為最簡二次根式，合并同類二次根式即可；

先算乘法，完全平方公式，再算加減即可．

本題考查的是二次根式的混合運算，熟知二次根式混合運算的法則是解題的關鍵．15.【答案】證明：，

，

，

，

，

，

四邊形ADEC是平行四邊形，

；

四邊形BECD是菱形，

理由：為AB中點，

，

，

，

，

四邊形BECD是平行四邊形，

，D為AB中點，

，

四邊形BECD是菱形．

【解析】根據(jù)垂直定義可得，從而可得，進而可得四邊形ADEC是平行四邊形，然后利用平行四邊形的性質(zhì)可得，即可解答；

根據(jù)線段的中點定義可得，從而利用等量代換可得，進而可得四邊形BECD是平行四邊形，然后利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得，從而根據(jù)有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，即可解答．

本題考查了平行四邊形的性質(zhì)與判定，菱形的判定，直角三角形斜邊上的中線，平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)與判定，以及菱形的判定是解題的關鍵．16.【答案】解：連接AF、BE、CG，CG交AF于M，交BE于四邊形ABNM是平行四邊形．

連接AF、DF，延長DC交AB的延長線于M，四邊形AFDM是菱形．

【解析】本題考查復雜作圖、平行四邊形的判定、菱形的判定等知識，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考常考題型．

由有兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，判定四邊形ABNM是平行四邊形．

先由有兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，得四邊形AFDM是平行四邊形，再由有一組對邊相等的平行四邊形是菱形，得四邊形AFDM是菱形．17.【答案】解：上面解答過程不正確，第②步出現(xiàn)錯誤；

原式

【解析】直接利用二次根式的性質(zhì)分析得出答案；

利用二次根式的性質(zhì)化簡得出答案．

此題主要考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，正確化簡二次根式是解題關鍵．18.【答案】解：米

如圖：

作，，

，

，

在和中，，

≌，

，，

即，

，

，

則，

所以，，

所以，

≌，

，

由勾股定理得，

答：瑪麗在蕩繩索過程中離地面的最低點的高度MN為

【解析】本題考查了勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練運用這些性質(zhì)解決問題是本題的關鍵．

由題意直接可得．

作，，可證≌，可得，，則，且可求，，即可求OM的長．

根據(jù)勾股定理可求，即可求MN的長．19.【答案】2

【解析】解：圖中由2對“勾股三角形”，分別是和，和，理由如下：

四邊形ABCD為正方形，

，，

在中，由勾股定理得：，

在中，由勾股定理得：，

，即，

，

根據(jù)“勾股三角形”的定義得：和是一對“勾股三角形”；

于點H，

在中，由勾股定理得：，

在中，由勾股定理得：，

，

根據(jù)“勾股三角形”的定義得：和是一對“勾股三角形”；

故答案為：

連接DE，如下圖所示：

四邊形ABCD為正方形，

，，

在中，，，

由勾股定理得：，

，

在中，由勾股定理得：，

設，

四邊形CGFE為矩形，

，，

，

和是一對“勾股三角形”；

即，

，

解得：

故

根據(jù)正方形性質(zhì)得，，在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，根據(jù)“勾股三角形”的定義得和是一對“勾股三角形”；在中，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得：，根據(jù)“勾股三角形”的定義得：和是一對“勾股三角形”，由此可得出答案；

連接DE，先求出，則，進而得，設，根據(jù)矩性質(zhì)得，，則，和是一對“勾股三角形”，則，即，據(jù)此解出x可得DE的長．

此題主要考查了正方形和矩形的性質(zhì)，勾股定理的應用，理解正方形和矩形的性質(zhì)，靈活運用勾股定理進行計算是解決問題的關鍵．20.【答案】解：過點P作于M，則四邊形PDCM為矩形．

，

，

把代入得到：；

當四邊形ABQP是平行四邊形時，，

即，

解得：，

當時，四邊形ABQP是平行四邊形．

由圖可知，，，若以B、P、Q為頂點的三角形是等腰三角形，可以分三種情況：

①若，在中，，由得，解得；

②若，在中，，由得，即，

此時，，

所以此方程無解，

③若，由得得，不合題意，舍去

綜上所述，當或時，以B，P，Q三點為頂點的三角形是等腰三角形．

【解析】若過點P作于M，則四邊形PDCM為矩形，得出，由，可知：；

當四邊形ABQP為平行四邊形時，，即，可將t求出；

本題應分三種情況進行討論，①若，在中，由，，將各數(shù)據(jù)代入，可將時間t求出；

②若，在中，由，，將數(shù)據(jù)代入，可將時間t求出；

③若，，，將數(shù)據(jù)代入，可將時間t求出．

本題主要考查四邊形綜合題，注意梯形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)及勾股定理的應用．在解題時，應注意分情況進行討論，防止在解題過程中出現(xiàn)漏解現(xiàn)象．21.【答案】解：，，

，

，，

，

在中，由勾股定理得，

在中，由勾股定理得，

；

兩點之間，線段最短，

當C在AE上時，值最小；

構圖如下，其中，，，設，

，

同理得，

由兩點之間，線段最短可知，當C在AE上時，值最小，即最小，最小值為AE的長，

過點E作交AB延長線于F，則四邊形BFED是矩形，

，，

，

，

的最小值為

【解析】先求出，再利用勾股定理分別求出AC，CE的長，然后求和即可得到答案；

根據(jù)兩點之間，線段最短可知當C在AE上時，值最小；

仿照題意構圖其中，，，設，根據(jù)利用勾股定理求出AE的長即可得到答案．

本題主要考查了勾股定理，兩點之間，線段最短，矩形的性質(zhì)與